Unità Didattica N 6. La gravitazione universale

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1 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale Unità Didattica N 6 La gaitazione uniesale 01) Le leggi di Kepleo 0) La legge di gaitazione uniesale 03) L acceleazione di gaità 04) La assa della ea e la sua assa oluica edia 05) La assa dei copi celesti 06) assa ineziale e assa gaitazionale 07) Vaiazione del peso di un copo al aiae della sua distanza dal cento della tea 08) Dalle leggi di Kepleo alla gaitazione uniesale, oeo coe si passa dalle leggi di Kepleo alla legge di gaitazione uniesale 09) La deduzione delle te leggi di Kepleo 10) Caendish pesa la ea: acceleazione di gaità e assa della tea

2 - - Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale Le leggi di Kepleo ia legge di Kepleo : le obite descitte dai pianeti attono al ole sono ellissi delle quali il sole occupa uno dei fuochi. Le ellissi descitte dai pianeti sono. in geneale, poco eccentiche, pe cui in alcuni casi possono essee itenute cicolai. econda legge di Kepleo : la elocità aeolae di ogni pianeta è costante. Con paole diese possiao die che le aee descitte dal aggio ettoe tacciato dal ole ad ogni pianeta sono popozionali ai tepi ipiegati a desciele ; questo significa che il aggio ettoe che a dal ole ad ogni pianeta spazza aee uguali in intealli di tepi uguali. Coe conseguenza di questa legge abbiao che la elocità di un pianeta nel peielio ( A ) è aggioe di quella posseduta dallo stesso pianeta nell ' afelio. ( B ) La elocità lineae del pianeta è inia all'afelio, assia al peielio. etanto essa auenta quando il pianeta a dall'afelio al peielio e diinuisce quando a dal peielio all'afelio. Obita ellittica descitta da un pianeta che uota attono al ole. Il punto di inia distanza dal ole è il peielio e quello di assia distanza è l afelio. La elocità scalae del pianeta aia passando dal aloe assio al peielio al aloe inio all afelio. AA ', BB ', CC ' sono achi dell obita attono al ole pecosi da un pianeta in tepi uguali. Le aee coloate in giallo sono uguali. Questo significa che il aggio ettoe tacciato dal ole al pianeta descie aee uguali in tepi uguali. Questo significa che la elocità aeolae del pianeta si antiene costante. eza legge di Kepleo : i quadati dei tepi ipiegati dai pianeti a desciee le popie obite sono popozionali ai cubi dei seiassi aggioi delle ellissi. Con paole diese possiao die che il appoto ta il cubo del seiasse aggioe dell'obita e il quadato del peiodo di ioluzione è lo stesso pe tutti i pianeti. a 3 K ( A ) posizione del pianeta più icina al ole

3 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale t k a 3 t A con k s costante che dipende dal copo centale, cioè dal ole La legge di gaitazione uniesale di Newton La legge di gaitazione uniesale affea quanto segue : << due paticelle puntifoi aenti ispettiaente asse 1 ed si attaggono con una foza, agente lungo la etta congiungente le due asse, diettaente popozionale al podotto delle asse ed inesaente popozionale al quadato della loo distanza >> ( C ) In siboli ateatici abbiao : F F G 1 AB BA [1] Il coefficiente di popozionalità G è una costante uniesale che pende il noe di costante di gaitazione uniesale. Il aloe nueico di G non dipende dai aloi delle asse che inteagiscono né dalla geoetia del sistea, né dal luogo doe aiene l'inteazione. Il suo aloe nueico dipende esclusiaente dal sistea di unità di isua usato. e questo otio G è una costante uniesale. Il aloe di G è lo stesso sia pe i copi celesti che pe qualsiasi alto copo. La pia isua accuata di G fu eseguita dallo scienziato inglese Heny Caendish nel 1798, che si seì di una bilancia di tosione. i tatta di un espeiento daeo delicato. Il aloe di G attualente N accettato nel.i. è il seguente : G 6, kg i tatta di un aloe esteaente piccolo. [ G] [ F ] [ ] 3 1 [ L ] F AB foza gaitazionale che agisce sul copo A e poeniente dall azione del copo B ( B ) posizione del pianeta più lontana dal ole ( C ) La legge di gaitazione uniesale è igoosaente alida pe copi puntifoi, cioè pe copi le cui diensioni sono tascuabili ispetto alla loo utua distanza.

4 - 4 - Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale F BA foza gaitazionale che agisce sul copo B e poeniente dall azione del copo A Le foze di gaitazione ta due paticelle costituiscono nel loo insiee azione e eazione. La pia paticella esecita sulla seconda una foza che è dietta eso la pia paticella lungo la loo congiungente. iilente la seconda paticella esecita sulla pia una foza che è dietta sulla seconda lungo la loo congiungente. Queste foze hanno lo stesso odulo, la stessa diezione, a esi opposti. A 1 F AB F BA B { G} { F} { } { } N kg La legge di gaitazione uniesale è igoosaente alida soltanto pe copi puntifoi, cioè pe copi aenti diensioni piccole ispetto alla loo distanza. Essa ale anche pe asse non puntifoi puché sfeiche. Esepio Calcolae il aloe della foza con cui si attiano : 1) il ole e la ea ) la ea e la Luna 3) due copi uguali aenti la assa di 100kg e posti alla distanza di un eto. F F G 11 (, )(5, , (, ) 30 4) 6, 6731, 985, , , 610 N, 01 F L F L 4) L 11 (7,35410 ) (5,9810 G 6, , (3,84410 ) 19 N F 6, ( 1 ) 6, N Osseazione e iteniao alide le leggi di Kepleo e le leggi della dinaica, alloa possiao diostae la legge di gaitazione uniesale, che dienta un teoea. e, inece, iteniao alide le leggi della dinaica e la legge di gaitazione uniesale, alloa possiao diostae le te leggi di Kepleo che dientano altettanti teoei.

5 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale L acceleazione di gaità Il peso di un copo è la foza gaitazionale esecitata su di esso dalla tea. i tatta di una gandezza ettoiale la cui diezione è oientata dalla posizione occupata dal copo al cento della tea. Quando un copo di assa è lasciato cadee libeaente,la sua acceleazione ( di gaità ) è indicata col sibolo g e la foza di gaità che agisce su di esso è il suo peso. La seconda legge di Newton F a, applicata ad un copo in caduta libea, ci dà : g che scitta in foa scalae dienta : g. La legge di gaitazione uniesale ci fonisce la seguente elazione : G. g G [B] g assue lo stesso aloe in tutti i punti dello spazio distanti eti dal cento della tea. Nella patica g si considea costante ( a causa del aloe piuttosto gande del aggio della tea ) in egioni possie alla supeficie teeste. g G 5, , , 8 6,3710 s 6 ( R ) ( ) Il aloe di g aia al aiae della posizione del punto ateiale. g 98, s La assa della ea e la sua assa oluica edia Dalla isuazione speientale di g possiao calcolae la assa della tea. Dalla [B] icaiao : g G 98, ( 638, 10 ) , , 10 4 kg Diidendo la assa della tea pe il suo olue otteniao la assa oluica della tea : ρ g 55 3 V c oiché la assa oluica della ateia sulla costa teeste è inoe del aloe toato, deduciao che la ea è costituita al suo inteno da ateiale la cui assa oluica è g aggioe del aloe 55,. e ogliao calcolae il aloe di g senza utilizzae la assa della 3 c tea, alloa possiao consideae il oto della luna attono alla tea. e quanto isto, pecedenteente possiao sciee : G π 4 3 L con aggio della ciconfeenza descitta dalla luna nella sua ioluzione attono alla tea L peiodo di ioluzione della luna enendo pesente la [B] otteniao : g π 4 3 L

6 - 6 - Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale La assa dei copi celesti e conosciao il aloe della costante di gaitazione uniesale G e qualche alto dato astonoico coe il tepo di ioluzione e la distanza di due copi celesti, possiao calcolae il aloe della assa di un copo celeste, cioè possiao calcolae la assa del ole, della ea, di Gioe e di tanti alti copi celesti. Il agionaento è il seguente : ianeta F F foza che il ole esecita sul pianeta F ole F foza che il pianeta esecita sul ole elocità ettoiale del pianeta nel suo oto attono al ole La foza centipeta che fa uotae la tea attono al ole è la foza gaitazionale di attazione esecitata dal ole. Consideiao il caso del ole e di un pianeta nell'ipotesi che il oto del pianeta attono al ole sia cicolae ed unifoe. ( 5 ) Un pianeta di assa, uotando attono al ole di assa lungo un'ellisse, assiilabile in pia appossiazione ad una ciconfeenza, è ad ogni istante soggetto all'azione di una foza centipeta data dalla seguente elazione : F G con distanza sole-pianeta e il secondo pincipio della dinaica possiao sciee : F ac 4 π F F G 4π 4 3 π G essendo il peiodo di ioluzione del pianeta consideato, cioè il tepo necessaio peché il pianeta pecoa un'intea obita. Consideiao adesso il caso paticolae della ea e del ole. [C] ( 5 ) Con ottia appossiazione è il caso della tea nel suo oiento attono al ole

7 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale ia la assa del ole ed la assa della tea. upponiao che l'ellisse descitta dalla tea attono al sole sia assiilabile ad una ciconfeenza di aggio pecosa con oto unifoe, cioè con elocità ettoiale π aente odulo costante. oiché la tea di assa si uoe di oto unifoe lungo la taiettoia cicolae, l'unica acceleazione cui è soggetta è quella centipeta a n. in base al secondo pincipio della dinaica la tea è soggetta ad una foza F data da : F a cioè : F a n n n n π 1 4π a : a n doe è il tepo ipiegato dalla tea a pecoee una intea obita cicolae. a chi deteina sulla tea questa foza centipeta che la antiene in obita? E' la foza di attazione gaitazionale che il ole esecita sulla ea e che ci iene data dalla legge di gaitazione uniesale : F G 4π an foza gaitazionale esecitata dal ole sulla tea foza centipeta necessaia a antenee la ea nella sua obita cicolae attono al ole π G 4 3 [D] 148, 10 11, 3156, 10 7 s, 198, kg ostituendo nella [D] otteniao : 1, kg. La [D] è ancoa alida pe una qualsiasi obita ellittica con la sola condizione che appesenta il seiasse aggioe dell'ellisse. La [D] può essee applicata ad un qualsiasi copo di assa che uoti attono ad un copo centale di assa. iù coplicato è isuae la assa di un copo celeste coe la Luna che non ha satelliti natuali. Il etodo usato è quello delle petubazioni, cioè dello studio delle odificazioni, ispetto alle taiettoie peiste dalle leggi di Kepleo, che un copo induce sui copi icini, odifiche che dipendono dal aloe della sua assa. tudiando tali petubazioni si iesce a isalie alla assa del copo celeste. Un pocediento più seplice è quello di iniae attono alla Luna un satellite atificiale.

8 - 8 - Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale ianeta F Una assa, pe pecoee una ciconfeenza di aggio con una elocità ettoiale di odulo costante, ha bisogno di una foza centale di F ole odulo. Questa foza iene fonita dal ole sotto foa di foza gaitazionale G foza ichiesta G foza fonita assa ineziale e assa gaitazionale Ogni copo è caatteizzato da una popietà fisica detta assa, la quale è caatteizzata da due popietà che danno luogo alla assa ineziale ed alla assa gaitazionale. Una foza F applicata ad un copo libeo deteina su questo copo una acceleazione a. Il appoto fa la foza applicata e l acceleazione podotta è una caatteistica intinseca del copo e pende il noe di assa ineziale del copo in quanto essa è un indice della tendenza che hanno F tutti i copi di stae fei o di uoesi di oto ettilineo unifoe. a L inezia appesenta una ipotante popietà della assa che consiste nell opposi ai cabiaenti podotti da una eentuale foza estena che tenti di odificane la elocità ettoiale e quando ogliao eidenziae questa popietà della assa paliao di assa ineziale. Al contaio, quando si uole sottolineae la popietà della assa di inteagie con le alte asse secondo la legge di gaitazione uniesale coe aiene, pe esepio, con la foza peso, si pala di assa gaitazionale. La assa ineziale e la assa gaitazionale di un copo hanno significati diesi, anche se hanno lo stesso aloe nueico e si isuano entabe in chilogai. i possono ealizzae diesi espeienti con i quali è possibile isuae e confontae la assa gaitazionale e la assa ineziale di uno stesso copo. utti gli espeienti finoa ealizzati hanno sepe dato lo stesso aloe pe cui, in seguito, palando di assa di un copo non peciseeo più se si tatta di assa ineziale o di assa gaitazionale.

9 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale Vaiazione del peso di un copo al aiae della sua distanza dal cento della tea Calcoliao l acceleazione di gaità di un copo di assa posto all altezza h ispeso alla supeficie della ea, che consideiao sfeica, di aggio R e assa la foza di gaitazione uniesale ( peso del copo ) fondaentale della dinaica, ale : ( R + h). ul copo agisce F G che, pe la legge F g. Confontando le due equazioni otteniao : con g G e quindi : ( R + h) R + h distanza del copo dal cento della tea. g G ( R + h) Il peso di un copo diinuisce con l auentae della sua distanza dal cento della tea. L inteazione gaitazionale, che è elatiaente debole, è esponsabile di ipotanti fenoeni quali le obite ellittiche descitte dai pianeti ed è douta all attazione del ole. Le aee sono doute alla ecipoca attazione esecitata ta la Luna e le asse d acqua degli oceani. Le leggi di Kepleo e la gaitazione uniesale, oeo coe si passa dal oto dei pianeti alla legge di gaitazione uniesale La legge di gaitazione uniesale può essee dedotta dalle leggi della dinaica e dalle leggi di Kepleo. Noi la diosteeo nel caso seplice di un'obita cicolae. Nel caso geneale di obite ellittiche occoe il calcolo diffeenziale. Enunciao le te leggi di Kepleo. ia legge di Kepleo Le obite descitte dai pianeti attono al ole sono ellissi di cui il ole occupa uno dei fuochi. Le ellissi descitte dai pianeti sono. in geneale, poco eccentiche, pe cui in alcuni casi possono essee itenute cicolai. Il pianeta si toa alla assia distanza dal ole nella posizione A, detta Afelio, ed alla inia distanza nella posizione, detta peielio. econda legge di Kepleo ( o legge delle aee ) Le aee descitte dal aggio ettoe che congiunge il ole col pianeta sono popozionali ai tepi ipiegati a desciele. Questo significa che la elocità aeolae del pianeta ispetto al punto occupato dal ole si antiene costante. La elocità lineae del pianeta è inia all'afelio, assia al peielio. etanto essa auenta quando il pianeta a dall'afelio al peielio e diinuisce quando a dal peielio all'afelio.

10 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale eza legge di Kepleo I quadati dei tepi ( peiodi ) ipiegati dai diesi pianeti a pecoee la loo obita ellittica sono popozionali ai cubi dei seiassi aggioi delle ellissi descitte. t t k a 3 A s con k costante che dipende dal copo centale, cioè dal ole dalle leggi di Kepleo, dedotte speientalente, e dalle leggi della dinaica possiao dedue la legge di gaitazione uniesale. Consideiao il caso del ole e di un pianeta nell'ipotesi che il oto del pianeta attono al ole sia cicolae ed unifoe. ( 5 ) ianeta F F foza che il ole esecita sul pianeta F ole F foza che il pianeta esecita sul ole elocità ettoiale del pianeta nel suo oto attono al ole La foza centipeta che fa uotae la tea attono al ole è la foza gaitazionale di attazione esecitata dal ole. upponiao che la taiettoia descitta dal pianeta sia una ciconfeenza. La costanza della elocità aeolae si tauta nella costanza della elocità lineae. Il pianeta si uoe attono al π ole di oto cicolae unifoe con elocità lineae ω ed acceleazione centipeta ac ω ( 5 ) Con ottia appossiazione è il caso della tea nel suo oiento attono al ole

11 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale La foza che agisce sul pianeta, peettendogli di pecoee una taiettoia cicolae con elocità scalae costante, dee essee esclusiaente centipeta ( cioè senza coponente tangenziale ). Essa isulta uguale a : doe 4π F ac ω [] π è il peiodo di ioluzione del pianeta attono al ole, è la assa del pianeta, ω è il aggio dell'obita descitta dal pianeta. 3 Utilizzando la teza legge di Kepleo k e sostituendo nella [] otteniao : F 4π C k [3] Questo è il pio isultato ipotante : la foza esecitata dal sole sui pianeti è inesaente popozionale al quadato della distanza dal sole e diettaente popozionale alla assa del pianeta. La foza esecitata dal pianeta sul ole ha l'espessione : Questa olta è il pianeta che funge da copo centale. F 4π k [4] e la teza legge della dinaica sul ole agisce una foza F uguale ed opposta a quella che agisce sulla tea : F F 4 4 π π k k k k oiché il isultato è stato dedotto pe un pianeta qualsiasi, possiao affeae che il podotto k è una costante uniesale, che non dipende dal paticolae pianeta consideato. aà pue una costante uniesale anche la gandezza : G 4π 4π 4π k k k Da queste uguaglianze icaiao le uguaglianze : 4 π G, 4 π k k G ostituendo i isultati toati nella [3] e nelle [4] otteniao : F G F G Concludiao icodando che dalla legge di gaitazione uniesale e dalle leggi della dinaica possiao dedue le te leggi di Kepleo. La deduzione delle te leggi di Kepleo Le te leggi di Kepleo, da questi dedotte speientalente, sono una conseguenza delle te leggi della dinaica applicate al caso paticolae del oto di un copo ( pianeta ) di assa che uota attono ad un alto copo ( stella ) itenuto feo e di assa, attatto da una foza inesaente popozionale dal quadato della loo distanza.

12 - 1 - Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale Innanzitutto si può diostae ateaticaente che, con una foza 1, la taiettoia del pianeta ispetto al baicento della stalla ( itenuta fissa ) è appesentata da una conica. I pianeti che tonano sepe eso la stella pecoono delle ellissi. La seconda legge di Kepleo è una conseguenza della conseazione del oento angolae ( o oento della quantità di oto ). e è un ettoe costante alloa si può diostae che la elocità aeolae del pianeta è costante. La teza legge di Kepleo è una conseguenza del fatto che nel oto del pianeta la foza gaitazionale è una foza esclusiaente centipeta. Diostiao la teza legge di Kepleo nel caso paticolaente seplice di un pianeta che descie un'obita cicolae. upponiao che un pianeta descia un'obita cicolae. si uoe di oto cicolae unifoe e possiede un'acceleazione centipeta il cui odulo ci iene dato dalla foula : a c ω doe ω è la elocità angolae del pianeta ed è la sua distanza dal ole. In un oto cicolae unifoe, la elocità angolae è legata al peiodo dalla elazione : π ω 4π Il odulo dell'acceleazione centipeta del pianeta assue la seguente foa : a c ω e è la assa del pianeta esso, pe la legge fondaentale della dinaica, è attiato eso il 4 c π cento del ole da una foza il cui odulo ale : f a Questa foza è di oigine gaitazionale e, quindi, ale : f G. f f G 4π 3 4π G Al secondo ebo della [A] copae una quantità che è indipendente dal pianeta consideato : dipende solo dalla assa del ole, che funge da copo centale ( e da costanti coe π e G ). k [A] Quindi il appoto 3 è lo stesso pe tutti i pianeti. E' essenziale che l'intensità della foza di attazione gaitazionale sia popozionale a 1 teza legge di Kepleo. ; diesaente, non c'è odo di giustificae la

13 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale ate Luna ecuio atuno Venee 0,37 g ea g 0,17 g ole 8 g 0,34 g Uano 0,84 g 1,06 g Gioe,51 g 0,83 g Valoe della gaità sulla supeficie di alcuni copi celesti del sistea solae calcolato in unità di acceleazione di gaità g sulla ea, nell ipotesi che i copi celesti siano sfeici.

14 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale DOANDE EORICHE D01) Quanto ale la costante di gaitazione uniesale G sulla luna? R01) Lo stesso che sulla supeficie teeste o in qualsiasi alto luogo, poiché si tatta di una costante uniesale D0) Die se la foza che deteina la otazione della luna attono alla tea è il isultante della foza centipeta e della foza gaitazionale douta alla tea. R0) Falso ; le due foze sono la stessa identica cosa D03) La assa della luna è olto più piccola della assa della tea. E' giusto die che la Luna attae la ea con una foza inoe di quella che la ea esecita sulla Luna? R03) No,in quanto pe la teza legge della dinaico la ea e la Luna inteagiscono fa loo con una a aente la stessa intensità. D04) Iaginiao che enga scopeto un pianeta che obita attono al ole ad una distanza doppia di quella della tea. Che peiodo di ioluzione 1 ha quel pianeta? R04) i applica la teza legge di Kepleo k ; : :, , 1 peiodo di ioluzione della tea ; cica anni e 10 esi D05) A paità di distanza, se tiplichiao la assa die due copi, di quanto auenta la foza di attazione gaitazionale? R05) di 9 olte D06) Calcolae la assa del ole, conoscendo il aggio dell'obita teeste ed il peiodo di ioluzione della tea. 3 4π R06) 196, 10 G 30 kg D07) Calcolae la elocità ed il peiodo di ioluzione di un satellite atificiale in obita cicolae attono alla ea ad un'altezza di 00 k k R07) 7,8 88inuti. i tatta di calcolae l'acceleazione di gaità g a s chiloeti dal cento della tea e icodae le foule elatie al oto cicolae unifoe che ha g coe acceleazione centipeta. Oppue possiao icoee alla teza legge di Kepleo, conoscendo i dati elatii al oto della Luna

15 Unità Didattica N 06 La Gaitazione Uniesale D08) Calcolae la elocità ed il peiodo di ioluzione di un satellite atificiale in obita R08) cicolae attono alla Luna ad un'altezza di 00k k 1,6 14 inuti. s D9: A che quota dee toasi l'obita di un satellite geostazionaio? Un satellite è geostazionaio quando obita in 4 oe nello stesso senso della otazione ea attono al popio asse. In questo odo il satellite appae paticaente feo nel cielo. R09) 35900k D10) Calcolae il aloe dell'acceleazione di gaità g G si Gioe, sapendo che il suo diaeto è 11, 3 olte aggioe di quello teeste e la assa G 337 olte aggioe di quella teeste. R10) g, 6 g 5, 48. Ciò significa che un copo, su Gioe, pesa cica 6, olte quello G s che pesa sulla ea. D11) La ea e ate sono due pianeti del ole. upponendo che essi desciono due obite cicolai aenti ispettiaente aggi ed, calcolae il appoto delle loo elocità lineai. R11) a a acceleazione centipeta della ea acceleazione centipeta di ate F G F G G >