GRAVITAZIONE UNIVERSALE.

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1 GAVITAZIONE UNIVESALE. Intoduzione. Aistotele sosteneva che copi divesi, di peso diveso, cadono tanto più veloceente quanto aggioi sono le sue diensioni. Tale affeazione è stata confutata solo 000 anni dopo. Nel 600 Galilei ovescia copletaente il discoso filosofico di Aistotele sostenendo sepliceente che un affeazione cica le leggi della Natua, pe essee accettata deve essee povata da espeienti ipoducibili. I discosi nosti hanno a essee intono al ondo sensibile e non sopa un ondo di cata (intoduzione del etodo scientifico). E dunque scienza galileiana tutto ciò che, scitto in linguaggio ateatico, può essee veificato speientalente da chiunque. Si badi bene che questo atteggiaento di Galilei iguado la conoscenza del ondo fisico deiva dalla sua pofonda fede nel Ceatoe del ondo e da una eale uiltà intellettuale. Galilei diceva infatti che non dobbiao avee la petesa di capie coe Dio ha fatto il ondo sepliceente agionando su di esso, peché Dio è infinitaente più intelligente di noi e potebbe ave peso stade che noi neanche ce le iaginiao pe ceae e govenae l Univeso. Fa le infinite logiche possibili, Dio ne aveva scelta una sola e stava a noi capie quale, ponendo le doande giuste alla Sua ceazione. Secondo la sua entalità quindi, l unica via coetta da seguie ea quella di poe doande pecise al Ceatoe attaveso l esecuzione di espeienti che ettesseo in evidenza le leggi ateatiche che govenano il ondo fisico. Ogni legge tovata, ea quindi pe lui una isposta del Ceatoe all uile ceatua che si ette alla iceca della veità accettando di essee nel buio e nell ignoanza più copleta. Questo gandissio libo che continuaente ci sta apeto innanzi agli occhi, non si può intendee se pia non si ipaa a intende la lingua, e conosce i caattei nei quali è scitto. Egli è scitto in lingua ateatica, e i caattei son tiangoli, cechi, ed alte figue geoetiche, senza i quali ezzi è ipossibile a intendene uanaente paola; senza questi è un aggiasi vanaente pe un oscuo labiinto. ( Opee VI, 3.) Nel 636 Galileo sostenne che se fosse stato possibile eliinae copletaente la esistenza dell aia, tutti i copi saebbeo caduti con uguale velocità se abbandonati dalla stessa altezza. Subito dopo la sua ote (64), Toicelli iuscì a ceae il vuoto e dae quindi la possibilità di veificae speientalente l affeazione di Galileo. Molto più tadi, nel 97, David Scott, sul suolo lunae, abbandonò una piua di un falcone e un atello. Quando gli oggetti toccaono il suolo disse: Che die? Galileo aveva agione. Ma bisogna die che lo stesso Tito Lucezio Cao, olte 00 anni dopo Aistotele, nel suo De eu natua azzadò una affeazione secondo cui lo spazio vuoto non può ipedie ad alcuna cosa di cadee secondo la sua natua, pe cui anche copi disuguali di peso si dovebbeo uovee con la stessa velocità. Questo è il ifeiento cultuale che Newton aveva quando all età di cica 3 anni (665) iniziò a posi il poblea del peché la luna non cade sulla tea così coe la Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica

2 faosa ela (aleno secondo il acconto che ne fa un aico di Newton, Willia Stukeley).In ealtà, iceche stoiogafiche ecenti ostano che quasi cetaente Newton fu indiettaente condotto ad occupasi di gavità da obet Hooke il quale gli sottopose tutta una seie di poblei concenenti il oto di un copo su una taiettoia cuva. Ma è, putoppo, difficile icostuie lo sviluppo stoico peché Newton odiava le contovesie e non pubblicava volentiei i isultati delle sue iceche. I Pincipia fuono pubblicati anni dopo ave avanzato le idee pincipali e gazie ad Halley. Da un punto di vista della cineatica del oto dei pianeti, Newton stava giusto vivendo un cabiaento adicale della visione dell univeso dell epoca che, sebbene poposto un secolo pia da Copenico, aveva appena avuto un suppoto scientifico da pate di Galileo. La concezione toleaica secondo la quale la tea è fea e i pianeti e il sole le giano intono, fu soppiantata dalla teoia eliocentica che spiegava in odo più seplice il oto dei pianeti. Le ossevazioni del oto dei copi celesti fatte dagli antichi geci aveva stabilito che le obite dei pianeti Mecuio, Venee, Mate, Giove, Satuno eano peiodiche. In paticolae, il pio odello planetaio assueva che i vai pianeti descivevano obite cicolai concentiche intono alla Tea, fissa nel cento. Toloeo, nel II secolo d.c., pe spiegae il oto ossevato, sviluppò la teoia degli epicicli secondo la quale un pianeta si uove di oto unifoe lungo una ciconfeenza (epiciclo) il cui cento si uove su una ciconfeenza più gande (defeente) con cento sulla Tea. Il oto isultante del pianeta è una epicicloide. Nikolaj Kopenik ( ) popose una teoia eliocentica. Sostanzialente la diffeenza ta i due odelli ea il diveso sistea di ifeiento adottato: la Tea pe Toloeo, il Sole pe Copenico. Da un punto di vista foale cabiavano i sistei di ifeiento: ineziale quello di Copenico, non ineziale quello di Toloeo. Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica

3 L astonoo danese Tycho Bahe citicò l ipotesi copenicana poponendo una teoia alquanto divesa. Pe potela veificae, Bahe eseguì isue olto accuate della posizione dei pianeti pe un peiodo di 5 anni. Tali dati fuono successivaente analizzati dall astonoo tedesco Johannes Keple (57-630) che iuscì a fonie una base speientale alla teoia copenicana. Le leggi di Kepleo. Dopo cica 0 anni di studio, Kepleo stabilì te leggi epiiche:. i pianeti si uovono su obite ellittiche intono al sole che occupa uno dei due fuochi (visione eliocentica);. il aggio vettoe spiccato dal sole veso il pianeta spazza aee uguali in tepi uguali (la velocità aeolae è costante): A cos t ; t 3. i quadati dei peiodi di ivoluzione, T, dei pianeti intono al sole sono popozionali ai cubi dei seiassi aggioi, a, delle ispettive ellissi T cos t 3 a E chiaa la visione eliocentica o copenicana del sistea solae, in netto contasto con quella geocentica alloa doinante. E la tea che si uove attono al sole fisso nel fuoco dell ellisse e non vicevesa. Anche Galileo cedeva nel sistea eliocentico e diceva che sostenee che fosse l inteo univeso a giae attono a noi e non vicevesa ea coe pensae che pe ossevae un inteo paese, un ipotetico tuista, in cia ad una toe, petendesse di stae feo e che qualcuno gli uotasse il paese intono. Egli peò non accettava l idea che le obite non fosseo cicolai pe la sua visione divina ed aonica del ondo deivante dalla sua fede e oì con tale convinzione. C è da die che la visione eliocentica del sistea solae non è nata con Copenico e Kepleo, a ea già stata ipotizzata e avanzata su agionevoli basi ossevative dall astonoo geco Aistaco di Sao (30-30 a.c.) a poi dienticata nel coso dei secoli anche a causa del disastoso incendio della biblioteca di Alessandia d Egitto. Le leggi di Kepleo non avevano alcuna spiegazione teoica. Newton si ese conto che tali leggi possono essee stabilite se si facevano due ipotesi: ) ai copi celesti possono essee applicate le leggi della eccanica valide pe i copi sulla tea; ) i pianeti si uovono sotto l azione di una foza invesaente popozionale al quadato della distanza. Pe veificae la coettezza della legge di gavitazione univesale, Newton confontò l acceleazione centipeta della luna, a c, con l acceleazione di gavità con cui un copo cade nelle vicinanze della tea, g. La pia vale: a c v / ω (4π /T ) posto , T s, si ha a c /s. Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 3

4 Il appoto g/a c vale cica 60. Tale appoto isulta essee lo stesso di (/ T ) se si assue T Tale uguaglianza di appoti si ha se si assue che la foza che tiene la luna in obita intono alla tea è dello stesso tipo di quella che fa cadee un copo sulla supeficie teeste. Infatti, se M T M L F LUNA G M La c M T FTEA G g T dividendo ebo a ebo si ha: g ac T Coe già detto, Newton veificò tale uguaglianza e postulò coe vea la legge di gavitazione pe due copi qualunque e non solo pianeti del sistea solae. Questo isultato fu pubblicato 0 anni dopo la sua scopeta peché non poteva giustificae l ipotesi che la assa della tea fosse coe concentata nel suo cento. Newton sviluppò il calcolo diffeenziale ed integale e diostò, coe in seguito diostato, che un guscio sfeico oogeneo, e quindi una sfea solida oogenea, esecita su un copo esteno una foza pai a quella che si eseciteebbe sul copo qualoa tutta la assa fosse concentata nel cento della sfea. La pia legge di Kepleo stabilisce che l obita è piana. Il significato pofondo della seconda legge di Kepleo isiede nella consevazione del oento angolae. Fissato un sistea di ifeiento Oyz, definiao oento angolae di un copo di assa la quantità J p dove è un vettoe spiccato da un polo O e che individua (ispetto ad O) la posizione del copo e p v la sua quantità di oto. E facile diostae che pe un copo soggetto ad una foza centale, il oento angolae si conseva, cioè non vaia nel tepo. Infatti, la vaiazione tepoale del oento angolae è nulla: dj d dp p F 0 () dt dt dt L aea infinitesia spazzata dal aggio vettoe è: A θ e la sua vaiazione nel tepo è: A θ J ω t t Da ciò discende che se la velocità aeale è costante (coe affeato nella II legge di Kepleo), tale è anche il oento angolae. La costanza del oento angolae assicua anche che la foza agente sul copo è centale coe isulta evidente dalla (). La teza legge di Kepleo contiene un gande tesoo che Newton seppe scopie e valoizzae. Esso consiste nella legge di Gavitazione Univesale che, in foa scalae, si scive: Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 4

5 F G Assuiao che un pianeta di assa o, tascuabile ispetto al Sole, si uova attono alla sua stella di oto cicolae unifoe, pe cui è soggetto ad una foza centipeta: F PS oω che scitta tenendo conto che ω π diventa: T 4π FPS o T Sfuttando la teza legge di Kepleo otteniao: o 4π FPS K dove abbiao indicato con K la costante di popozionalità pesente nella teza legge di Kepleo e abbiao sostituito il seiasse aggioe dell obita, a, con il aggio dell obita cicolae,. La foza centipeta che tiene legato il pianeta al Sole non è alto che la foza di gavità, pe cui la pecedente appesenta la foza di gavità con cui il Sole attia il pianeta. Ma pe il tezo pincipio della dinaica è anche la foza con cui il pianeta attia a sé il Sole, ossia: o 4π S 4π F PS F SP K K O dove K O è una costante che dipende solo dal pianeta e non da ciò che ci gia attono e S è la assa del Sole. Dalla pecedente elazione discende che K S K O o è una costante fondaentale della fisica che non dipende da nulla, né dal pianeta né dal Sole. Posto G4π /K S 4π /K O o, possiao scivee la legge di gavitazione univesale in foa scalae: F o S os G Vettoialente, se indichiao con u il vesoe spiccato dal cento di foza veso il pianeta, la legge di gavitazione univesale si scive: os FoS G u Essa affea che due copi si attaggono con una foza che è diettaente popozionale al podotto delle loo asse gavitazionali ed invesaente popozionale al quadato della loo distanza. La costante G vale /s Kg e fu isuata da Lod Cavendish nel 798. La foza d inteazione ta due copi non dipende da ciò che si tova nello spazio cicostante; se vi sono più copi, la foza isultante è data dal pincipio di sovapposizione. Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 5

6 Espeiento di Cavendish. Bilancia di tosione usata da Cavendish Cavendish, H.: Epeient to Deteine the Density of the Eath, Philosophical Tansactions of the oyal Society of London, 88, pp , Londa, 798; Pe la isua di G, Cavendish utilizzò una bilancia di tosione. Un filo etallico, o una fiba di quazo, fissato con un esteo al soffitto, ecava all alto esteo un asta igida coe in figua. Agli estei dell asta attaccò due sfee identiche di assa nota e, olto vicine ad esse, alte due sfee identiche olto pesanti. La piccola otazione della bilancia pe effetto dell attazione gavitazionale, fu aplificata con uno specchietto collegato al filo veticale sul quale faceva incidee un aggio di luce che veniva poi iflesso su una scala gaduata. La bilancia aggiunge la condizione di equilibio quando il oento della foza di attazione ispetto all asse OC eguaglia quello tocente κθ, essendo κ la costante di tosione del filo. Peciò, detta L la lunghezza del anubio ed la distanza ta i centi delle sfee di assa e, all equilibio si ha: ' G L κθ da cui si icava G note tutte le alte gandezze. Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 6

7 Il valoe icavato da Cavendish fu G conto quello oggi accettato di Kg - 3 s -. Con questo espeiento Cavendish poté calcolae la assa della Tea. Infatti la foza con cui la Tea attia un oggetto è il suo peso, Fg. Ma tale foza può espiesi taite la legge di gavitazione univesale, pe cui: M da cui, noto, g G 9.8 ( g G 6 4 M T ) Massa ineziale e assa gavitazionale. Pe icavae la legge di gavitazione, Newton usa la seconda legge della dinaica nella quale copae la assa ineziale. Questa è intesa coe la esistenza che un copo ha a cabiae il suo stato di oto, cioè, è una isua dell inezia posseduta dal copo. Opeativaente la assa ineziale di un copo si deteina isuando l acceleazione che una foza nota poduce su di esso, pe cui i F/a; essa si definisce quindi pe via dinaica. Nel caso della foza d inteazione gavitazionale che si esecita, pe esepio, ta tea e un copo nelle sue vicinanze, le asse che intevengono non hanno nulla a che vedee con l inezia dei copi. La popietà della ateia esponsabile della foza gavitazionale si chiaa assa gavitazionale. A pioi, non c è otivo pe pote affeae che i due tipi di assa coincidono. La assa gavitazionale può opeativaente deteinasi con una bilancia; la isua è quindi di tipo statico. Possiao facilente veificae che queste due popietà della ateia sono popozionali; inolte, con altissia pecisione la costante di popozionalità è. T Kg Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 7

8 L espeienza osta che tutti i copi nel vuoto cadono con la stessa acceleazione (Galilei); nelle vicinanze della supeficie teeste poteo scivee: GM T M g () pe un copo : M i () a() T GM T M g () pe un copo : M i () a() T M i () M i () a() Dividendo ebo a ebo, si ha:. Essendo a()a(), si ha M g () M g () a() che il appoto ta assa ineziale e assa gavitazionale di un copo è costante. Stoicaente si potebbe consideae coe pio espeiento quello sulla caduta dei gavi eseguito da Galileo Galilei a Pisa: copi che hanno la stessa assa ineziale hanno lo stesso tepo di caduta, il che iplica che hanno la stessa acceleazione di caduta libea e quindi la stessa assa gavitazionale. Questo espeiento ostò anche che il peiodo di un pendolo seplice non dipendeva dal ateiale utilizzato. (Galileo attibuì le piccole diffeenze ossevate alla esistenza dell'aia). Newton, avendo a disposizione le pie acchine pneuatiche, poté ipetee le stesse espeienze iducendo di paecchi odini di gandezza l'effetto dell'aia: ostò che in un siile abiente (tubo di Newton) tutti i copi cadevano con la stessa acceleazione confeando l'ipotesi di Galileo. Successivaente utilizzando un pendolo foato da un involuco cavo in cui poteva intodue ateiali divesi isuò il peiodo delle piccole oscillazioni intoducendo nel pendolo vai ateiali. Il peiodo di un pendolo seplice di lunghezza l ottenuto antenendo distinte le due asse vale: il T π g d ( lθ ) Infatti, con ifeiento alla figua, si ha: g g sinθ i e, pe piccole dt d θ g g d θ oscillazioni: g gθ il ovveo: θ da cui l espessione di T. dt l dt i g Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 8

9 Peciò se il peiodo isulta indipendente dal ateiale, si può affeae che copi di ateiali divesi, aventi la stessa assa ineziale, hanno la stessa assa gavitazionale. I isultati ottenuti da Newton ostaono che l'affeazione è valida ento una pate su ille, cioè copi di eguale assa ineziale hanno la stessa assa gavitazionale ento una pate su ille. Un iglioaento notevole è stato ottenuto da Eötvös con la bilancia di tosione con cui si ette in evidenza che la foza peso ha la stessa diezione pe copi di ateiale diveso. La foza peso che agisce su un copo feo ispetto alla Tea è soa della foza di attazione gavitazionale g g N dietta veso il cento della Tea e della foza centifuga i ω dovuta al oto di otazione teeste: P g g N iω la sua diezione è quella del filo a piobo che, in una data posizione, non dipende dal ateiale solo se i copi, a paità di assa ineziale, hanno la stessa assa gavitazionale. Eötvös utilizzò una bilancia di tosione del tipo di quella di Cavendish, costituita da un'asticella sospesa pe ezzo di un sottile filo di quazo alle cui esteità vengono Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 9

10 poste due sfee di diveso ateiale, a aventi la stessa assa ineziale. Se la assa gavitazionale fosse divesa esse avebbeo pesi divesi. Le foze agenti sulle due asse non sono paallele al filo: quindi hanno oento non nullo ispetto allo stesso, e, coe si vede dalla figua, i due oenti hanno lo stesso segno. Ne segue che l'equipaggio della bilancia di tosione uoteà in un ceto veso. Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 0

11 Poiettando l appaato su un piano otogonale al filo di quazo e con l asta uotata di 80, possiao appesentae le foze nel odo seguente. Agendo sul filo, la sbaa viene oientata in diezione est-ovest in odo che, se le due asse gavitazionali fosseo divese, i due pesi avebbeo diezione ed intensità divese pe cui si geneeebbe un oento che tendeebbe a fa uotae la bilancia. Tale oento veebbe copensato da un oento di tosione del filo pe antenee il sistea in equilibio. Se, dopo ave aggiunto l'equilibio, la bilancia di tosione viene uotata di 80º le due foze peso si scabiano di posizione e il oento di tosione del filo si soa a quello dovuto alle foze peso facendo sbilanciae il sistea. L'effetto potebbe essee esso in evidenza ediante una oppotuna leva ottica. Ma l'espeiento evidenziò alcun effetto dovuto a diffeenze ta le asse gavitazionali. Alti espeienti hanno alla base il confonto ta le acceleazioni di caduta libea ispetto al Sole. Il pocediento è il seguente: nell'appossiazione di obite cicolai, il aggio dell'obita pe un copo solidale con la Tea, avente assa ineziale i e assa gavitazionale g che descive un'obita (cicolae) intono al Sole di assa M S vale Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica

12 3 g M s G iω e quindi copi con assa gavitazionale inoe pecoono obite con aggio inoe e vicevesa. Se un dispositivo siile a quello di Eötvös viene posizionato sul piano dell'obita teeste, in diezione otogonale alla etta che congiunge il cento della Tea col cento del Sole, se, a paità di asse ineziali i due copi avesseo assa gavitazionale divesa, tendeebbeo a potasi su obite divese. Nella figua a) è scheatizzata la situazione iniziale: il copo di assa gavitazionale inoe (copo pieno) tende a pecoee un'obita più vicina al Sole. Dopo oe la tea ha copiuto una otazione di 80 e se tutto l appaato si uovesse igidaente, il anubio si poteebbe nella posizione indicata. Ma poiché il copo vuoto tende a descivee un obita di aggio aggioe la situazione saà quella in figua e il anubio oscilleà con un peiodo di 4 oe. Peciò il sistea coinceà ad oscillae con peiodo ben definito (4 oe) intono alla posizione di equilibio e si possono ettee in evidenza anche oscillazioni di apiezza esteaente piccola. Espeienti in tal senso non hanno, peò, evidenziato alcun effetto e hanno peesso di idue di alcuni odini di gandezza l'indeteinazione, in paticolae l'espeiento di oll et al. (964) ha idotto l'indeteinazione a 0 - e quello di Baginski e Panov (97) fino a 0 -. Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica

13 Capo gavitazionale podotto da una distibuzione sfeica cava di assa. dθ t O θ α P Consideiao una sfea cava di assa M, spessoe t e aggio. Vogliao calcolae la foza di attazione gavitazionale ta la sfea e un copo puntifoe di assa posto a distanza dal cento O. Tagliao una fetta di diensioni tasvesali t e dθ, aggio sinθ e avente cento sul segento OP. Iniziao col calcolae la foza di attazione gavitazionale ta questo anello e P. La assa dell anello è dmρdvρ πsinθ dθ t. Consideiao sull anello un eleento infinitesio di assa d distante da, pe cui la foza saà Gd' df ' Tutte queste foze giacciono sulla supeficie lateale del cono di vetice P e base l anello. Se le soiao, notiao che le coponenti otogonali ad sono a due a due uguali ed opposte pe cui la loo soa è zeo. Le coponenti paallele ad si soano pe cui la foza esecitata dall inteo anello avà odulo Gd' GdM Gcosα πρ t sinθdθ df' cosα cosα e saà dietta lungo. Se soiao le foze esecitate da tutti gli anelli otteeo la foza che la sfea esecita su. A tale scopo notiao che cosθ e quindi cosθ ; diffeenziando si ha: sin θdθ d. Inolte df potà quindi scivesi: cosθ cosα. df' Gπρt d G t πρ Gπρt d Gtπρ d d Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 3

14 Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 4 Integando si ha: ( ) 4 M G Gt Gt d Gt F πρ πρ πρ essendo la assa della sfea t M ρ4π. Petanto la foza d inteazione gavitazionale ta una sfea cava e un punto ateiale posto a distanza > dal cento della sfea è la stessa di quella che si eseciteebbe se la assa della sfea fosse concentata nel suo cento O. Vediao cosa accade se < ovveo se si tova all inteno della sfea. L integale va oa effettuato ta - e : ( ) 0 Gt d Gt F πρ πρ Se consideiao una sfea piena e la suddividiao in tanti gusci sfeici, se è al di fuoi della sfea, i contibuti dei gusci si soano e quindi la foza saà la stessa di quella che si eseciteebbe se la assa della sfea fosse concentata nel suo cento. Se si tova dento la sfea, i gusci che la contengono danno contibuto nullo pe cui la foza saà esecitata da una sfea di aggio pai alla distanza di dal cento e assa pai a M( 3 / 3 ), cioè: M G M G F P O - F /

15 Enegia potenziale gavitazionale. Consideiao un copo di assa che si uove sotto l azione della foza gavitazionale F, esecitata su di esso da un copo di assa M, posto in O. Tale foza saà consevativa se il lavoo che essa copie quando il copo si sposta da una posizione i ad una f isulteà indipendente dal pecoso. F i ds f d dθ O Calcoliao il lavoo usando la sua definizione: f f f f M L F ds G u ds F ds i i i i M G d GM U i U f i f Il lavoo dipende solaente dalle posizioni iniziale e finale del copo di assa ; GM possiao quindi definie una funzione enegia potenziale U cost, tale che il lavoo sia pai all opposto della sua vaiazione. Poniao nulla l enegia potenziale all infinito. Si definisce velocità di fuga la inia velocità con cui un copo dev essee lanciato pe sfuggie all attazione gavitazionale del pianeta su cui si tova e aggiungee l infinito. L obita descitta è peciò apeta e quindi dev essee E 0. Pe un copo sulla supeficie teeste: M 0 v G T da cui v fuga. K/s Capo gavitazionale. Definiao capo gavitazionale la egione dello spazio in cui sono sensibili azioni di tipo gavitazionale. Se nello spazio cicostante una assa, poniao una assa in ' vaie posizioni, questa sentià una foza attattiva data da F G u essendo u il vesoe oientato da veso. Possiao itenee che l azione gavitazionale Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 5

16 esecitata da esista indipendenteente dalla pesenza di e diciao che poduce un capo gavitazionale G, definito coe: F G G u ' Con questa definizione, l acceleazione di gavità può essee consideata coe il capo gavitazionale alla supeficie teeste. Se consideiao un copo esteso, il capo gavitazionale da esso podotto in un punto P, saà dato dai contibuti di ciascun eleento di assa d distante da P: G d - G u Se intoduciao il potenziale gavitazionale definito coe V-G/, il capo gavitazionale può espiesi coe G - gad V. Il poblea dei due copi. Il poblea iguada la deteinazione dell equazione del oto di due copi soggetti ad una foza centale attattiva che vaia con l inveso del quadato della loo distanza, coe la foza gavitazionale o elettostatica. Sia Oyz un sistea di ifeiento ineziale, ed la distanza dall oigine dei copi di assa ed, ispettivaente. Le equazioni del oto dei due copi sono: d F G ˆ () dt d F G ˆ () dt dove F è la foza agente sul copo dovuta al copo,, è il vettoe che individua la posizione del copo ispetto a, F è la foza agente sul copo dovuta al copo. Se soiao la () e la () otteniao la legge di consevazione della quantità di oto che sappiao essee valida pe sistei isolati di paticelle; di conseguenza, il cento di assa si uoveà con velocità costante, nel sistea di ifeiento ineziale scelto. y F F O Moltiplicando la () pe e la () pe e sottaendo la () dalla (), si ha: Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 6

17 essendo d µ G ˆ (3) dt µ la assa idotta dei due copi. Tale equazione è quella di una paticella di assa µ soggetta alla foza G ˆ. Le due equazioni di patenza che contengono i vettoi posizione dei due copi, in funzione del tepo, si sono idotte ad una sola equazione che coinvolge un solo copo di assa µ e il cui vettoe posizione ha oigine sull alto copo coe se questo fosse feo. Pe isolvee il sistea notiao che il oento angolae, J µ v µ ωzˆ (4) si conseva, essendo la foza centale. Ciò iplica che il oto dei due copi avviene in un piano foato dal vettoe posizione e velocità iniziali. In questo piano scegliao un sistea di coodinate polai e φ. Se desciviao il fenoeno da un sistea di ifeiento non ineziale doveo tene conto della foza centifuga che vale µω ; nel sistea otante l equazione del oto è: µ & G µω (5) J Dalla (4) icaviao ω, pe cui la (5) diventa: 4 µ J µ & G (6) 3 µ Nella (6) solo vaia col tepo. Questa equazione è di fondaentale ipotanza nella eccanica celeste e govena il oto di pianeti, stelle doppie e satelliti. Tenendo conto che (φ), possiao scivee: d d dϕ d J d ω dt dϕ dt dϕ µ dϕ d d dz Intoducendo la funzione z/(φ), e quindi dϕ dϕ z z dϕ d J d J dz J dz z dt µ dϕ µ z. Possiao valutae la deivata seconda: dϕ µ dϕ d J d z dϕ. Sostituendo nella (6) si ottiene: dt µ d dt ϕ d z µ G z (7) dϕ J Tale equazione è un equazione aonica con il secondo ebo costante, la cui soluzione è: µg z Acosφ (8) J La (8) è l equazione di una conica in coodinate polai: Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 7

18 s ε cos ϕ (9) (si veda l appendice A) Confontando si ha: a µg s b J e ε sa ; (0) ε è l eccenticità della conica ( 0 pe la ciconfeenza, pe la paabola, > pe l ipebole e copesa ta 0 ed pe l ellisse). L enegia eccanica si conseva e può scivesi: J G J G E T U U in in µ µ a a () dove si è sfuttato il fatto che la coponente adiale della velocità è nulla al peielio e all afelio. Dalla (9) si ha: ( ε) (pe φπ (peielio)), ( ε) (pe φ0 (afelio)) in s a s Sostituendo nella () otteniao: / µ G EJ E ( ε ) ; ε J µ G () iassuiao in tabella la elazione esistente ta enegia totale dei due copi, eccenticità dell obita e la sua foa geoetica: Foa dell obita Eccenticità ε Enegia totale E Stato Ciconfeenza 0 µ G Legato E J Ellisse 0 < ε < µ G Legato E ( ε ) < 0 J Paabola E 0 Asintoticaente libeo Ipebole > µ G Non legato E ( ε ) > 0 J Pe la Tea: J Kg s - µ G G 33, E.7 0 J J dove si è assunta pe la Tea l obita cicolae. Possiao calcolae l enegia potenziale totale che genea il oto dei due copi; U ( ) J tenendo pesente che µ && F G, si ha: 3 µ U J ( ) G µ Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 8 U ( ) eff gav Il pio teine è quello dovuto all inteazione gavitazionale, il secondo è un teine epulsivo che deiva dalla otazione del copo ovveo dalla consevazione del oento U ep ( )

19 angolae: più un copo tende ad avvicinasi all alto più il teine epulsivo doina su quello attattivo e quindi da una ceta distanza in poi i copi si espingono. Questo vale igoosaente pe copi puntifoi. Pe copi sfeici estesi dipende dal paaeto d uto; se questo è infeioe della soa dei due aggi, ci saà l uto. A gande distanza pedoina il teine attattivo e i copi tendono ad avvicinasi. In figua è ipotato l andaento dell enegia potenziale gavitazionale, di quella epulsiva e di quella efficace. Tipi di obite. Abbiao già visto che il tipo di obita dipende dal valoe dell enegia totale posseduta dal copo; essa è data da E T U µ & U e quindi essa deve essee sepe aleno uguale al potenziale efficace. Nel caso di uguaglianza, & 0, cioè il copo si antiene a distanza costante dal cento di foza e quindi il oto avviene lungo una ciconfeenza. Se l enegia cinetica è positiva, E>U eff e può essee positiva, nulla o negativa coispondente ad un obita ipebolica, paabolica o ellittica, ispettivaente. Intanto vediao che: li U eff 0 Inolte, U eff, in - (G ) µ/(j ) e in J /(G µ), quindi tale potenziale ha la foa di una buca di potenziale. Pe ciascuno dei 3 casi sopa citati, si ha, Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 9 ; li U 0 eff

20 ispettivaente, un oto ellittico copeso fa un peielio ( in ) ed un afelio ( a ); un oto paabolico che s invete all infinito ed un oto ipebolico apeto, senza itono. Se U eff E, possiao scivee: µe µk J 0 essendo kg. isolvendo l equazione in abbiao che e µ 4 k µ EJ µ k ± / 4 µ E µ k Pe E n ± 0 J, la soluzione è della foa che è positiva. q J /µk costante e quindi si tatta di una ciconfeenza. Se µ k n ± p < E < 0 con p < n. Ci sono due soluzioni positive: J q µ k 0 E J n p n p > 0 ; > 0 esistono peciò due punti in cui & 0 che sono l afelio e il q q peielio (nel sistea solae). Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 0

21 Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica Deivazione della teza legge di Kepleo. Consideiao un obita cicolae e una paticella di assa µ che si uove sotto l azione di un cento di foza. Dalla (6), tenendo conto che costante, abbiao: 3 0 J G µ ed essendo 4 J µ ω e T / π ω, si ha: ) ( 4 3 G T π Tale appoto dipende dalla assa del pianeta anche se essa è olto inoe della assa del sole e quindi può essee tascuata (peciò Kepleo non evidenziò alcuna dipendenza). La pecedente elazione può scivesi: s O O G T π La deivazione pe l obita ellittica è alla fine dell ultio paagafo. Nella tabella sono ipotati i dati astonoici elativi al sistea solae e nel gafico sono ipotati i valoi di T in funzione di a 3 ; è evidente che i punti si situano su una etta e quindi la teza legge di Kepleo è veificata.

22 Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica

23 Equazione geneale del oto I isultati pecedenti possono essee icavati anche usando un sistea di ifeiento ineziale. icaviao le coponenti della velocità e dell acceleazione in un sistea di ifeiento polae. d d du d d v ( u ) u u ω u u ωut dt dt dt dt dt dv d d dω d d d dω a u ω u ut ω ut ω ut u ut dt dt dt dt dt ω dt ω dt dt Essendo la foza centale dietta lungo, essa saà data da: d F ω dt Se poniao u/, l equazione dell ellisse si scive: a u ( ε cos ϕ) b J J 3 d d dϕ d J Tenendo pesente che ω, si ha che ω u ; inolte u, dt dϕ dt dϕ d d du d J du d J d u dϕ J d u e quindi e u. dϕ dϕ u u dϕ dt dϕ dt dϕ dt dϕ Sostituendo nell espessione della foza si ha: J d u J 3 J d u F u u u u dϕ dϕ d u d a d a a a a ( ε cos ϕ) ε sin ϕ ε cos ϕ u e quindi: dϕ dϕ b dϕ b b b J a J a K F u b b J a avendo posto K. b da J πab J La III legge di Kepleo si ottiene tenendo pesente che: e quindi. dt T J a 4π 3 Essendo K, isulta T a. b K Vediao quale elazione esiste ta foa dell obita ed enegia e oento angolae di un copo. L enegia totale è, confondendo la assa idotta con la assa del copo avente assa inoe: M M E v G ( v vθ ) G usando un ifeiento polae. Essendo angolae J ω, possiao scivee v d v v ϕ ω e il oento dt Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 3

24 d J M E G dt Il teine J /( ) è il potenziale centifugo peché coisponde ad una foza centifuga con veso concode ad u. Il potenziale efficace a cui il copo è soggetto è quindi J M U eff G d d dϕ d J d d J Abbiao visto che e quindi 4 ; dt dϕ dt dϕ dt dϕ dell espessione di E otteniao: M J d E G dt Uguagliando si ha: 4 M J d E G J dϕ Deivando ispetto a φ l equazione A3 si ha: 4 d sin ϕ dϕ f e quindi M J E G sin ( cos ) ϕ ϕ J f f Consideando l equazione A3 pe espiee il cosφ, si può scivee: f f f GM E ε ε J J Questa eguaglianza iplica quella ta i teini indipendenti da e dipendenti da, cioè: f E ε J f f GM GM f J ovveo e quindi f ε J ε J εgm Eliinando f nella pecedente espessione si ha: EJ ε 3 G M In questa elazione l unica quantità che può essee negativa è l enegia totale E; se E è negativa, isulta ε < e quindi l obita è ellittica, se E è positiva, isulta ε > e quindi Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 4

25 l obita è ipebolica, se E0, ε e l obita è paabolica. Inolte, l eccenticità dipende sia dall enegia che dal oento angolae. fε J fε J Abbiao visto che a, f pe cui ε e ε εgm a agm sostituendo in f E ε J si ha: GM E a cioè, l enegia eccanica di un pianeta che si uove su un obita ellittica è invesaente popozionale al seiasse aggioe dell ellisse. L enegia, quindi deteina il seiasse aggioe, ente la foa è deteinata dal oento angolae, fissata l enegia. Dall espessione di ba(-e ) / e dell eccenticità si ottiene: b J E In definitiva, date le condizioni iniziali di una paticella, possiao deteinae la foa dell obita. Se nel punto P, la paticella ha velocità v che foa un angolo φ con il vettoe che individua la posizione di P ispetto al cento di foza,, l enegia GM eccanica saà E v C. θ P φ v Il oento angolae è dato da: Jv sinφ ; il seiasse aggioe saà dato da a - GM/E e quello inoe da b J. Infine, l oientazione degli assi E dell ellisse nel piano contenente e v, potà ottenesi dall equazione dell ellisse fε fε ε cos θ. Essendo a e ba(-ε ) / b si tova facilente: cos θ ε. a ε Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 5

26 Dalla figua si può notae che la lunghezza dell asse aggioe dipende da E e quindi solo dal odulo e non dalla diezione della velocità iniziale v. a C. θ P φ v v a Se il pianeta non fosse soggetto all inteazione gavitazionale con alti copi, esso desciveebbe un obita ellittica pefetta. La pesenza di alti copi e, in paticolae, degli alti pianeti deteina i seguenti effetti: ) l asse aggioe dell ellisse uota olto lentaente intono al cento di foza (avanzaento del peielio pe i pianeti del sistea solae) e la taiettoia ellittica non è chiusa; ) l eccenticità dell ellisse vaia peiodicaente intono al suo valoe edio. Pe la Tea, il peiodo di questa vaiazione è di 0 5 anni. La teoia della elatività di Einstein pevede un effetto addizionale elativo alla otazione dell asse aggioe dell obita del pianeta. Tale effetto è stato ossevato con notevole pecisione pe il pianeta Mecuio. otazione dell asse dell ellisse Oscillazione dell eccenticità dell ellisse Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 6

27 Appendice. H P φ d V f F c c F b V a L ellisse è il luogo dei punti del piano aventi la soa delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, costante e pai alla lunghezza dell asse aggioe: PF PF a (A) Sia F F c la distanza focale e b la lunghezza del seiasse inoe. Dalla (A), a e quindi 4a 4a; d alto canto, utilizzando il teoea di Canot: 4c -4c cosφ e quindi: 4a 4a 4c -4c cosφ ovveo: a a c -c cosφ a c a -c cosφ (a-c cosφ), a a c b pe cui b / a b / a (A) c ε cos ϕ cos ϕ a essendo c/a ε, l eccenticità dell ellisse. La A è l equazione dell ellisse in coodinate polai. Una conica è il luogo dei punti del piano tali che il appoto PF/PH ε, costante positiva. PH è la distanza del punto da una etta d, detta diettice distante f dal fuoco F. H P φ F d f Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 7

28 L equazione della conica in coodinate polai si ottiene tenendo conto che PH f cosφ e quindi ε f cos ϕ fε ovveo: (A3) ε cos ϕ Nell ellisse PF/PH è inoe di, vale nella paabola ed è aggioe di nell ipebole. Il podotto fε p è detto paaeto della conica. La ciconfeenza è un ellisse degenee in cui p cost. Confontando A3 con A, isulta: b /a fε. I vetici della conica si hanno ponendo φ fε fε fε b 0 e π:,. Nell ellisse a a e quindi ε ε ε a( ε ) b a ( ε ); a a c b c e quindi si tova ε coe pecedenteente assunto. a fε Inolte si ha anche: a ε ε ε Pof. V. Augelli Gavitazione - Copleenti di Fisica CdL Spec. in Mateatica 8