5.1 Determinazione delle distanze dei corpi del Sistema Solare

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1 5.1 Deteminazione delle distanze dei copi del istema olae Distanza ea-pianeti aallassi equatoiali Questo è il metodo più peciso ma anche quello più delicato da eseguie. Esso si basa sul fatto che un oggetto elativamente vicino semba cambiae posizione ispetto ad alti oggetti molto più lontani, se noi cambiamo il punto d ossevazione. Questo fenomeno è alla base della nosta visione tidimensionale, e ne abbiamo la pova ogni secondo della nosta vita. e capie di cosa sto palando, ponete un dito della vosta mano a cica 20cm dai vosti occhi, di fonte al vosto naso. Oa ossevatelo altenativamente con un solo occhio; cosa succede? Il dito semba cambiae posizione se guadato con l occhio desto invece che con il sinisto e vicevesa. La metà dell angolo di cui questo oggetto semba cambiae posizione è detto angolo di paallasse. Il suo valoe è legato alla distanza ta i nosti occhi e alla distanza del dito dalla nosta faccia. Allontanando il dito si può notae che l angolo di paallasse cambia, e diventa sempe più piccolo, fino a non essee più pecettibile pe oggetti molto lontani come ad esempio una montagna lontana o le stesse stelle. D alta pate, la geometia dei tiangoli ettangoli ci dice che se conosciamo l angolo di paallasse e la distanza ta i due punti d ossevazione, possiamo facilmente icavae la distanza dell oggetto (questa tecnica è conosciuta con il più famoso nome di tiangolazione). e analizziamo la figua, possiamo capie meglio quello che sto dicendo. chematizzazione del angolo di paallasse. Una sogente vicina che si staglia pospetticamente su uno sfondo lontano appae spostasi se si cambia punto di vista. Questo fenomeno è lo stesso alla base della visione tidimensionale dell occhio umano In paticolae, la distanza dell oggetto è data da dch AH/tan(p), dove dchdistanza, AHmetà della distanza ta i due ossevatoi e pangolo di paallasse, che vediamo essee la metà dello spostamento dovuto al diffeente punto di ossevazione. e angoli piccoli, al di sotto di un gado, (e quindi nella totalità dei casi astonomici) possiamo scivee la fomula in modo ancoa più semplice: CHAH/p Questa semplice fomula è così potente che ci pemette di deteminae la distanza di ogni copo celeste, a patto di iuscie a misuae l angolo di paallasse, cosa tutt alto che facile in cete situazioni. Adesso che avete le basi, il passo successivo è di applicae questa tecnica ai pianeti!

2 appiamo che l angolo di paallasse dipende dalla distanza dei due ossevatoi e dalla distanza dell oggetto da misuae; siccome si suppone che i pianeti siano molto distanti dalla ea, alloa pe avee un angolo di paallasse misuabile, ci seve una base abbastanza laga. Il modo miglioe che abbiamo è quindi di ossevae contempoaneamente un pianeta ad una ceta distanza sulla supeficie teeste e stabilie di quanto esso si sposta ispetto alle ben più lontane stelle. La tecnica ci consente di stabilie teoicamente la distanza di qualunque pianeta dalla ea; abbiamo solo bisogno di fae due ossevazioni ad una ceta distanza e allo stesso tempo; misuiamo lo spostamento angolae (questo è facile da eseguie, sopattutto se ho a disposizione delle immagini) e dall angolo isalgo subito alla distanza dell oggetto. ebbene qualunque base possa essee in gado di misuae la paallasse di un oggetto elativamente vicino, le paallassi planetaie vengono espesse come metà dell angolo che due ossevatoi misueebbeo se fosseo distanti ta di loo esattamente la lunghezza del diameto teeste; è come se essi ossevasseo dai due poli teesti. In questo modo siamo sicui di pote usae la massima base possibile e quindi di misuae i maggioi spostamenti possibili. Natualmente non è fattibile ossevae esattamente da due postazioni poste agli antipodi del nosto pianeta, sopattutto in egioni ostili come i poli teesti; nella ealtà succede che si misua una paallasse data da una base più piccola, ad abitaia scelta degli astonomi (puché sufficientemente gande da pote essee misuata!) e poi il valoe ottenuto lo si icalcala come se la base fosse stata l inteo diameto teeste. eché si fa questo lavoo appaentemente inutile? La isposta è molto semplice: siccome l angolo di paallasse dipende dalla lunghezza della base scelta (e poi vedemo che non è solo questo, ma conta anche la sua oientazione!), ogni astonomo misueebbe un angolo diveso a seconda della sua scelta della base; è ceto che la distanza misuata saà la stessa, ma lo scambio di infomazioni con alti astonomi diventeebbe poblematico e al alto ischio di eoi. e questo, si sceglie di coeggee il popio valoe tovato, come se si fosse usato l inteo diameto teeste; in questo modo lo scambio di infomazioni è molto più facile e pivo di eoi. La cosa impotante da capie, a questo punto, è che pe misuae un oggetto elativamente vicino, ispetto ad uno sfondo posto molto molto lontano (come ad esempio le stelle ispetto ai pianeti) è sufficiente costuie una semplice geometia data da un tiangolo isoscele, che si può tagliae in due tiangoli ettangoli, tacciando l altezza (che in un tiangolo isoscele è anche mediana e bisettice dell angolo al vetice). uccessivamente bisogna solamente isolvee uno dei tiangoli ettangoli, cosa possibile dalla semplice conoscenza dell angolo al vetice (la cui metà è definita paallasse) e della base (la distanza ta due ossevatoi). uttavia le cose, appaentemente semplici, sono più complicate del pevisto, come spesso accade e come a beve vi endeete conto; ogni volta che si vogliono misue più pecise, si dovanno intodue difficoltà nei calcoli. Non sapete ancoa di cosa stia palando? i do alcuni punti su cui iflettee: - La tea è una sfea, non è piatta; come faccio a misuae la paallasse se non ho più una base piatta, ma un aco di ciconfeenza?

3 - Cosa succede se la base, olte ad essee un aco di ciconfeenza, è anche inclinata e non foma un tiangolo ettangolo isolvibile immediatamente? Le isposte poteste tovale anche da soli, se avete un po di dimestichezza con i tiangoli e con la tigonometia. e oa vi lascio agionae, e se siete popio cuiosi, avete le isposte che cecate, mano a mano che andete avanti a leggee queste pagine. i faccio solamente notae una cosa: la fomula che vi ho dato pe il calcolo della distanza, a patie dall angolo di paallasse (che vi icodo si misua!) : dch AH/tan(p) non è l unica fomula pe isolvee il poblema; tocca a voi essee elastici e capie che a seconda delle situazioni geometiche che si vengono a ceae, quale fomula usae. e esempio, pe tovae la distanza del copo celeste coloato di osso, nella figua 1, questa fomula non seve, ma se ne applica un alta; quale secondo voi? (suggeimento: nella figua1 la distanza da calcolae è D, che non è più un cateto del tiangolo ettangolo EDB, ma l ipotenusa, e pe questo essa non si può calcolae come un cateto moltiplicato la tangente del suo angolo adiacente!)

4 Metodi geometici Abbiamo visto che pe calcolae la distanza dei pianeti dalla ea ci sono divesi metodi; la paallasse equatoiale è sicuamente il più potente e peciso dei metodi geometici, ma non sempe essa è facilmente attuabile; cosa ne dieste di iuscie a misuae la paallasse di Nettuno, che ha un semiasse di cica 30 UA? Da un apido calcolo, possiamo stimae che la paallasse di un oggetto così lontano, mettendoci agli antipodi della ea (e pe questioni puamente geometiche questo non è possibile!) è di 0.29!Questo coisponde ad uno spostamento ta polo nod e polo d sud di 0.58, un valoe molto piccolo! E veo che i modeni telescopi sono in gado di misuae angoli di paallasse almeno 10 volte più piccoli, ma è anche veo che questa paallasse è ottimale e sopattutto teoica!non esistono telescopi posti a così gande distanza, pe non tenee conto delle eventuali difficoltà di misuazione di un oggetto che si pesenta così basso sull oizzonte (Infatti se Nettuno si tovasse esattamente sull equatoe celeste, esso appaiebbe esattamente all oizzonte sia se ossevato dal polo nod che dal polo sud!), dovute al seeing, alla ifazione atmosfeica e anche all assobimento della stessa; bisogna palae chiao; una tale misuazione è impossibile. Cosa fae dunque? - si pecoe la stessa stada, cecando di misuae la paallasse non con una base così estesa, - si cecano alti metodi geometici, - si tovano alti metodi: ossevazioni e costuzione obite con l aiuto delle leggi di Kepleo oppue un alto metodo ancoa più semplice e peciso che spiegheò pesto: le misuazioni ada. iccome la tecnologia ada è elativamente nuova, vale la pena di scopie come si misuavano le distanze planetaie anche solo 100 anni fa. Natualmente il discoso è quello già visto: la difficoltà dei calcoli dipende dalla pecisione che si vuole aggiungee. ale la pena, anche in questo caso di distinguee ta pianeti inteni (Mecuio e enee) e pianeti esteni (tutti gli alti, compesi asteoidi e comete). ianeti Inteni: Il discoso pe essi, è molto simile a quello già affontato nel calcolo della distanza ea-ole; effettivamente in quel caso avevamo visto che un pianeta, nella fase di dicotomia, ci consente di ottenee la sua distanza dal ole e dalla ea, contempoaneamente. Il pocedimento che desciveò oa è una genealizzazione di quello pecedentemente visto: dall ossevazione del pianeta inteno, voglio icavae ad ogni istante la distanza di esso dalla ea. a detto che questo poblema si isolve in fetta conoscendo semplicemente le obite dei pianeti e le loo posizioni ecipoche, cosa abbastanza facile da fae; infatti conoscendo l unità astonomica conosciamo il fattoe di scala del nosto sistema solae, mente la teza legge di Kepleo ci da una misua dei semiassi maggioi di tutti i copi del sistema solae; quello che si deve fae quindi, è di misuae, come su una catina, la distanza ta i pianeti, conoscendo natualmente le loo posizioni ecipoche e moltiplicae pe il fattoe di scala che alto non è che l unità astonomica. e si vogliono fae le cose pe bene, si intoducono le obite esatte, compese di inclinazione ed eccenticità; dati che si icavano dalle semplici ossevazioni (e Gauss dice che ne bastano già 3!); quello che descivo è quindi solamente una semplificazione (o complicazione?) pe chi non vuole ogni volta contollae le posizioni ecipoche delle obite, ma con un semplice calcolo, che si effettua anche mentalmente, conoscee almeno l odine di gandezza delle distanze.

5 upponiamo di conoscee quindi l unità astonomica e la distanza del pianeta attono al ole (almeno quella media, cioè il semiasse maggioe); pe i pianeti inteni, possiamo costuie una configuazione costituita non più da un tiangolo ettangolo, ma da un tiangolo qualsiasi: Attaveso le elazioni dei tiangoli qualsiasi più il teoema di Canot, possiamo costituie il seguente sistema: C B + A 2AB cosc da cui si icava la distanza C, valida A C cosb + B cosc pe ogni angolo b (che alto non è che l elongazione del pianeta, o meglio, la sepaazione angolae): C + distanza del pianeta dalla ea in funzione della sua sepaazione angolae dal ole (b); il segno ± sta ad indicae se il pianeta si tova ta la ea e il ole (segno - ) oppue più distante del ole. La fomula semba andae bene; infatti studiando i casi limite si ha: Acosb ± A cos 2 b A B. Questa fomula, ci da la - pe b0 cosb1 e quindi la distanza saà: C A ± B ; se osseviamo bene, la configuazione con b0 coisponde a 2 casi: enee pefettamente ta la ea e il ole, e enee esattamente dieto il ole; in questi casi è elementae capie che la distanza è popio CA-B se venee si tova davanti al ole, e CA+B se esso è dieto. Chiaamente il valoe di b non può essee qualunque, in quanto si tatta di pianeti inteni, che mai si discosteanno dal ole pe più di poche decine di gadi. Il valoe di b va inseito in valoe assoluto, nel senso che esso non impota se sia desto o sinisto, basta che sia sempe positivo. ianeti esteni: e essi vale la stessa elazione cecata, con la diffeenza che l angolo b può vaiae da 0 a 180 ; le fomule comunque sono le stesse: C B + A 2AB cosc 2 2 e quindi: C Acosb ± A 2 cos 2 b A + B. A diffeenza dei pianeti A C cosb + B cosc inteni, qui abbiamo tutti gli angoli possibili, da 0 a 180, e quindi non c è più la simmetia che si aveva nel caso pecedente; la fomula può così essee leggemente semplificata in questo modo: C + l opposizione) che ci da il segno di A (se è da sottae nel caso dell opposizione, o da aggiungee nel caso della congiunzione). La simmetia oizzontale invece esta; non impota se il pianeta si tova a desta o a sinista del ole; l impotante è inseie un valoe dell angolo di sepaazione dal ole compeso ta 0 e 180 Analizziamo i casi limite anche in questo caso, pe avee una pova delle veidicità della fomula; Acosb + A cos 2 b A B, in quanto è l angolo oa (da 0 pe la congiunzione, a 180 pe - 2 quando il pianeta è in opposizione, si ha b180, e quindi cosb-1 e cos b 1, e quindi la distanza saà C A + B ; - pe b0 cioè quando esso è in congiunzione con il ole, si ha cosb1 e quindi C A + B - pe b90 (il pianeta è in quadatua), si ha cosb0 e la distanza C saà data dal semplice teoema di itagoa: C 2 2 B A come ci si aspetteebbe. La fomula semba quindi essee coetta, e dae la distanza del pianeta dalla ea pe ogni punto della sua obita. Questa fomule sono, come già detto, appossimate; in paticolae esse non tengono conto dell eccenticità delle obite. e avee un valoe coetto, è necessaio inseie il valoe puntuale della distanza ea-ole (A) e della distanza del pianeta dal ole (B), i quali si icavano dalla conoscenza delle loo obite, attaveso la legge già vista: a ( 1 e cos E ). Questo accogimento può essee utile se usato con pianeti con alta eccenticità, come Mate, mente può

6 essee tascuato pe pianeti con bassa eccenticità come Giove, o ancoa meglio Nettuno, che insieme a enee è il pianeta con l obita più cicolae di tutti. Come già detto, queste fomule, pu essendo coette dal punto di vista matematico, sono da usae solamente se si vuole effettuae un apido calcolo senza stae a guadae le posizioni ecipoche delle obite (e questo calcolo è molto semplice quando il pianeta è pe esempio in quadatua, cioè foma un angolo di 90 con il ole). e calcoli più pecisi, bisogna usae le obite, che si deteminano facilmente dalle semplici ossevazioni. La cosa in assoluto più difficile è solamente deteminae il fattoe di scala del sistema solae, che abbiamo tovato descivendo i vai metodi pe la misua dell unità astonomica. Il esto ichiede solo pazienza e ossevazioni accuate. Distanza ea-luna aallasse diuna appiamo cosa è l angolo di paallasse e che esso, in linea di pincipio, esiste sempe quando due ossevatoi ossevano da due punti di vista divesi; questo può essee fatto sulla ea pe la misua di oggetti lontani, e natualmente funziona anche pe oggetti al di fuoi del sistema solae; il metodo è sempe lo stesso: ossevae da due posizioni abbastanza lontane da pote misuae un angolo di paallasse; misuato questo posso facilmente isalie alla distanza in Km dell oggetto consideato. Abbiamo anche visto come pe gli oggetti del sistema solae si pali del concetto di paallasse equatoiale; esso è l angolo visibile se si usa una base lunga quanto il diameto teeste (icoda che la paallasse è metà di questo angolo di spostamento). ediamo oa un alta applicazione del metodo della paallasse, chiamata paallasse equatoiale diuna. La sua misuazione non ichiede due ossevatoi che misuano lo stesso oggetto nello stesso istante, ma sfutta il fatto che la ea uota su se stessa. Il concetto è molto semplice, almeno in linea teoica. Ci si mette sull equatoe, in modo da avee la Luna che passa esattamente sopa le noste teste e si conducono almeno due ossevazioni, annotando scupolosamente gli oai. La pima ossevazione si effettua al sogee del nosto satellite; si annota l oa esatta al secondo e poi si aspetta fino a quando la luna non aggiunge la massima altezza sull oizzonte (che saà possima ai 90, anche se questo valoe, come vedemo non è poi così scontato). A questo punto si pende nota dell oa esatta (al secondo possibilmente) e il gioco è fatto; oa abbiamo tutti i dati a nosta disposizione, ed oa comincia il pocedimento di calcolo. a detto che quello che vado a spiegae oa, è un pocedimento abbastanza ozzo o poco peciso, che comunque da una misua abbastanza pecisa della distanza del nosto satellite natuale. utto isulta più semplice se ci aiutiamo con una figua; la nosta situazione geometica è all incica questa (all incica peché natualmente il disegno non è in scala!):

7 Il nosto scopo è oa di isolvee il tiangolo ettangolo della figua, con semplici fomule tigonometiche. Conosciamo sicuamente l angolo a che è di 90, in quanto fomato da una etta che passa pe il cento, pependicolae alla supeficie teeste con la tangente alla supeficie teeste, passante pe il cento della Luna; l angolo b può essee calcolato abbastanza facilmente; esso è infatti l angolo del quale la ea si è spostata duante le due ossevazioni. Il suo valoe è già contenuto negli istanti annotati. Infatti, sappiamo che la tea compie una otazione in 23h 56 min e 4 sec, il che equivale a die un angolo gio, cioè 360. Alloa, con una semplice popozione possiamo tovae l angolo pecoso nell intevallo di tempo 1 0 : x b 360, dove è il peiodo di otazione della ea. In questo modo toviamo l angolo b, e oa possiamo calcolae facilmente anche l angolo di paallasse p. Infatti, in ogni tiangolo la somma degli angoli è sempe uguale a 180 ; siccome conosco già due angoli, alloa il tezo si icava subito: p 180 ( a + b) ; oa che ho l angolo di paallasse, sono a buon punto; basta solamente fae un piccolo calcolo pe tovae la distanza della Luna. A Infatti, pe piccoli angoli, vale la elazione già vista: D dove D distanza oggetto e A aggio p teeste; questa fomula ci da diettamente la distanza del cento della Luna dal cento della nosta ea. e avee una distanza che si ifeisca alla supeficie teeste bisogna almeno coeggee pe il aggio teeste, che è di 6378 Km. Dobbiamo ancoa una volta fae uno delle tigonometia; analizziamo la seguente figua. Attaveso l angolo di paallasse noi toviamo la distanza D, mente a noi fa comodo avee la 1 distanza D. ediamo che è possibile costuie un piccolo tiangolo ettangolo (in giallo), dove il lato etto è la distanza che dobbiamo sottae al nosto valoe affinché sia ifeito al nosto punto di ossevazione e non al cento della ea. Il suo valoe è un po più piccolo del aggio teeste R, di una quantità che dipende dall angolo t; in paticolae si ha: R cost e quindi la distanza saà: 1 1 D cost. Questa è la distanza ta la supeficie teeste e il cento della Luna. p uttavia, non tutto è così semplice, e questa fomula intoduce un gande eoe: la luna infatti ( e anche la ea) nell intevallo di tempo delle due misuazioni, si muove lungo l obita attono alla ea (e la tea attono al ole); in paticolae, la Luna nel moto appaente in cielo, semba andae più lentamente, estae indieto ispetto alle stelle di fondo; questo significa che in ealtà, quando la luna aggiunge la massima altezza sull oizzonte, essa non è tale peché nel fattempo essa si è mossa (e non a causa della sola paallasse!); bisogna tenee conto dello spostamento della luna lungo la sua obita, se vogliamo ottenee un dato sensato; senza entae nei dettagli, conoscendo la velocità obitale del nosto satellite, possiamo coeggee pe il suo moto e capie il veo istante in

8 cui esso aggiunge la massima altezza ed avee un valoe che contenga solo l infomazione della paallasse, e non anche il suo moto obitale. E chiao che questo eoe affligge solamente il valoe dell angolo della paallasse e non il pocedimento di calcolo. Nella pagina dedicata al nosto atellite, faemo un esempio numeico di quanto conti lo spostamento obitale e di come coeggelo. aallasse equatoiale La distanza ea-luna può essee misuata con ottima pecisione usando il metodo della paallasse equatoiale. A diffeenza del metodo della paallasse diuna, che ichiede solo un ossevatoe, ma posto all equatoe e che deve tenee conto del moto obitale del nosto satellite, la paallasse equatoiale ichiede due ossevatoi che ossevano a distanza lo stesso fenomeno, allo stesso istante; pe semplificae i calcoli, è necessaio che i due ossevatoi si tovino sullo stesso meidiano, Il metodo della paallasse equatoiale in ealtà pevede l ossevazione da pate di due ossevatoi posti ai 2 poli teesti, in modo da avee un angolo di paallasse che sfutta l inteo aggio teeste, che poi non p alto che la massima base che si possa aggiungee sulla ea. Natualmente questo solo in linea teoica, mente in patica è abbastanza difficile tovae 2 ossevatoi che siano posti esattamente ai poli, pe non palae degli evidenti poblemi ossevativi che si incontano: la luna non saà mai ben visibile da entambi i poli contempoaneamente! E chiao che nella patica, le cose devono essee divese; c è un metodo pe calcolae la paallasse ta due luoghi postai ad una distanza abitaia, non necessaiamente ai poli? La isposta è senz alto affemativa, visto che pe notae l angolo di paallasse non è ichiesto nessun vincolo alla lunghezza della base scelta; l impotante è che sia abbastanza gande da endee pecisa la misua dell angolo! Quindi, il pocedimento da seguie è abbastanza semplice; si osseva la luna allo stesso istante, in due luoghi distanti almeno 100km ta loo, possibilmente sullo stesso meidiano (cosa non difficile da effettuae con i modeni pogammi di catogafia, che indicano in modo molto peciso le coodinate di qualsiasi punto teeste, o con i icevitoi gps), necessaiamente alla stessa oa; si misua quindi lo spostamento ispetto alle stelle di fondo, e si icava subito l angolo di paallasse. Con le modene tecnologie digitali, questa pate ossevativi è diventata abbastanza facile da effettuae; basta sinconizzae gli oologi dei compute e scattae qualche immagine digitale in contempoanea. Inolte le immagini digitali sono facili da calibae e misuae, molto di più delle immagini su pellicola chimica. L unico poblema seio è dato dall alta luminosità della Luna, che ende difficile, se non impossibile ipendee anche le stelle di fondo; il poblema si isolve facilmente ipendendo duante un eclisse di luna totale, natualmente duante la totalità, quando la luminosità supeficiale del nosto satellite è confontabile con quella delle stelle di fondo e quindi si possono facilmente ipendee immagini di stelle e del nosto satellite. Dopo ave ipeso le immagini il gioco è fatto; abbiamo già tutti i dati di cui disponiamo; bisogna solo elaboali, e la cosa è meno semplice di quanto si possa pensae. e noi ossevatoi italiani, che osseviamo da medie latitudini (cica 40 nod), la situazione geometica che si viene a ceae è data dalla seguente figua:

9 Il disegno non è natualmente in scala, ma da un idea di quello che succede. L obita della luna è inclinata di cica 5 ispetto all eclittica; in questo caso abbiamo supposto che la luna all equatoe passi allo zenit (e quindi questa è un eclissi che può veificasi ealmente a cavallo degli equinozi, in pimavea o in autunno), ma il pocedimento non cambia qualsiasi sia la posizione della luna sull eclittica. ediamo subito che la nosta base di ossevazione A è inclinata e non foma un tiangolo ettangolo con le congiungenti al cento della luna. Questo significa 2 cose: - non abbiamo un tiangolo ettangolo e quindi non sappiamo isolvee il poblema con i dati che abbiamo - l angolo di paallasse che si viene a ceae dipende solamente dall altezza B del tiangolo e non dalla base A, ma dalla sua poiezione pependicolae. Questo non è banale, ma facilmente veificabile dalla figua. In paticolae, l angolo di paallasse che avei a causa di una base lunga ed oientata come la A, è uguale a quello che in questo caso avei con una base B posta sull equatoe, dove la luna è esattamente allo zenit (90 ). La paallasse che misuiamo quindi, coisponde alla poiezione B di A; pe tovae la distanza della luna da uno dei due punti di ossevazione devo necessaiamente conoscee B, che è la vea base che mi da la paallasse p. Come fae pe calcolae B? Bisogna isolvee il tiangolo ettangolo BAF, cosa che non è possibile visto che conosciamo solamente il lato A e l angolo etto c. A questo punto abbiamo due possibilità; una isoluzione appossimata con un metodo semplice, o una isoluzione esatta con un metodo un po più complicato; la pima consiste nell analizzae la figua, e tascuando la cuvatua della ea, possiamo conoscee tutti gli angoli del tiangolo ettangolo BAF; infatti, gli angoli a e d possono essee consideati, in pima appossimazione come l altezza della luna sugli oizzonti, nello stesso istante. In ealtà questo non è veo, in quanto l altezza di un asto sull oizzonte si misua ispetto alla tangente alla supeficie teeste di quel punto; Gli angoli a e d invece sono dati dall intesezione delle ette E+F e D con la coda che congiunge i due punti di ossevazione. e tascuo la cuvatua della ea, alloa posso consideae la coda e le tangenti ai due punti di ossevazione, paalleli, e che quindi fomano gli stessi angoli con le due ette consideate.

10 Misuando quindi l altezza della Luna sull oizzonte nel punto F, ottengo subito l angolo a, mente, l angolo b si ottiene tenendo conto delle popietà di tutti i tiangoli, e cioè che la somma dei loo angoli (inteni) è sempe di 180. Conoscendo due angoli, si ha il tezo, cioè b90-a. ossiamo calcolae quindi il lato B dato da: B Asin a. Questa è la vea base pe la quale si ha il valoe calcolato della paallasse. B Asin a Quindi, oa possiamo calcolae la distanza D della Luna: D e il gioco è fatto! sin p sin p e invece vogliamo complicaci la vita ed avee un valoe esatto (questo pocedimento è giustificabile solamente se le misuazioni dell angolo di paallasse sono state molto pecise, altimenti non ha senso usae il pocedimento esatto; icoda infatti che la pecisione di una seie di misue è data sempe dalla misua meno pecisa!), alloa dobbiamo consideae la cuvatua teeste e il fatto che non posso misuae l angolo a, ma, un angolo minoe di quello effettivo. e capie meglio, analizziamo la seguente figua: In questa figua sono spaiti tutti i ifeimenti elativi alla luna e alla paallasse, e in effetti questo poblema non iguada più la misua della distanza lunae. Analizziamo la figua: la lunghezza 2B è la coda che unisce i due punti di ossevazione, mente C è la tangente ad uno dei due punti, che ci da anche la linea d oizzonte. L angolo t è quello che ci inteessa; esso è l angolo pe il quale devo coeggee l altezza della Luna che misuo. In paticolae, all altezza della Luna misuata, deve essee aggiunto il valoe dell angolo t, che saà tanto più piccolo quanto minoe saà la base. b Dobbiamo conoscee il aggio teeste, che è di cica 6378 Km. L angolo a è dato da: a dove b è metà dell aco di ciconfeenza ta le due località, che alto non è che la distanza ta le due località; l angolo c è di 90, in quanto, pe costuzione essa è la mediana del tiangolo isoscele RRB, e quindi anche la bisettice e l altezza. L angolo b saà dato da b90-a e quindi finalmente l angolo t saà dato da t90-b (visto che ogni tangente è sempe pependicolae al aggio della ciconfeenza). Quindi il veo valoe dell angolo a della pima figua saà dato dall altezza della luna sull oizzonte 1 (che chiamiamo a )più l angolo t appena tovato. Quindi a a 1 + t e finalmente la distanza saà B Asin( a + t) data da: D. sin p sin p

11 Questo secondo metodo è peciso e da un isultato esatto, senza ave usato alcuna appossimazione. Esso ci da la distanza dal secondo punto di ossevazione, conoscendo la paallasse e l altezza della luna sull oizzonte del pimo ossevatoe, coetta pe la cuvatua della ea. Quello che si ichiede è di ipendee due immagini della luna, contempoanee, in località poste allo stesso meidiano e quando essa è alla massima altezza sull oizzonte (cioè in meidiano); solo in queste condizioni vale lo schema geometico appena esposto; è chiao che si possono effettuae misuazioni in località poste a divesi meidiani e con la luna non all oizzonte, ma questo complica notevolmente i calcoli, già di pe se piuttosto noiosi. La distanza che si icava è del cento della luna ispetto al secondo punto di ossevazione e non al cento della ea o all equatoe. Distanze pianeti-ole Legge di Kepleo Abbiamo visto fino ad oa come si misuano le distanze degli alti copi celesti ispetto al nosto pianeta; sappiamo che tutti i copi del sistema solae obitano intono al ole su obite ellittiche; è quindi natuale che il possimo passo sia come misuae la distanza ta il ole e gli alti pianeti. A diffeenza dei pocedimenti puamente geometici usati fino ad oa, alcuni anche piuttosto lunghi e pecisi, in questo capitolo useemo delle appossimazioni inevitabili, e vedemo dei metodi sia geometici che non; in paticolae, con l aiuto delle leggi di Kepleo. edemo quanto il poblema saà di più immediata e pecisa soluzione. ima di cominciae, bisogna distinguee, un alta volta ancoa, la diffeenza ta il semiasse maggioe di un obita, la distanza media dal ole e la distanza istantanea. e un analisi completamente giustificata dal punto di vista fisico-matematico, bisogneebbe analizzae il molto più complesso poblema dei due copi, nel quale si analizza il moto di due copi sottoposti alla mutua inteazione gavitazionale. Da questa semplice ipotesi ( e cioè che l unica foza ad agie è la gavitazione) si icavano molte infomazioni sulla foma dell obita, sulla distanza, sul peiodo di ivoluzione, sulla velocità obitale, e molto alto, compese le te fondamentali leggi di Kepleo, icavate su basi puamente empiiche dal gande astonomo, nel XII secolo. e oa mi limito a dae delle elazioni che non dimosto; pe chi vuole una giustificazione fisicomatematica, mi pometto di dala in un alto capitolo. Fu Kepleo che, su basi puamente ossevative, giunse a die che le obite planetaie sono delle ellissi, e che il ole, attono al quale uotano i pianeti, è posto non al cento dell ellisse, ma su uno dei fuochi. In modo puamente geometico, cosa è un ellisse? Un ellisse è il luogo geometico dei punti la cui distanza da due punti, detti fuochi, è costante. In alte paole, un ellisse è quella paticolae foma geometica che si costuisce pendendo due punti allineati, detti fuochi, e tacciando la cuva mantenendo costante la distanza ta i due fuochi

12 Quando la distanza ta i due fuochi tende a zeo, l ellisse tende ad una ciconfeenza; è lecito dunque affemae che la ciconfeenza è un caso paticolae di ellisse, in cui i due fuochi coincidono entambi al cento. La gandezze più impotanti che caatteizzano un ellisse sono sostanzialmente 3: il semiasse maggioe (a), il semiasse minoe (b) e l eccenticità (e). Il semiasse maggioe, come dice la paola stessa, è metà dell asse maggioe, e fin qui non abbiamo detto nulla di nuovo. Esso è la massima distanza che c è in un ellisse; è la etta che nasce nel cento, passa pe uno dei fuochi, fino ad aivae al bodo dell ellisse. Allo stesso modo, il semiasse minoe è la etta che nasce nel cento, pependicolae all asse maggioe; queste due gandezze sono quindi una specie di aggio massimo e minimo dell ellisse. L eccenticità, espime in qualche modo la foma dell ellisse; qualitativamente, essa ci dice quando essa è schiacciata o somigliante ad una ciconfeenza: è definita come il appoto ta la distanza di un fuoco dal cento e il semiasse maggioe a. Risulta quindi evidente che una ciconfeenza, nella quale i due fuochi coincidono al cento, abbia eccenticità e0, mente d alta pate, e1 coisponde non più ad un ellisse, ad una cuva apeta, una paabola. e e>1 alloa l obita è un ipebole. aabola e ipebole sono due cuve apete, e quindi gli oggetti con questa obita, passeanno solamente una volta attono al ole, pe poi pedesi nello spazio pofondo e non tonae mai più. Questo è il caso di molte comete, che passano una sola volta visino al ole, pe poi uscie dal sistema solae. L eccenticità di un ellisse quindi vaia ta questi 2 valoi limite, 0 e 1; nel caso dei pianeti, questa elazione si iduce a 0<e<1; questo significa che non esistono obite pefettamente cicolai, e ne chiaamente obite che non sono più tali, ma delle semplici etta (e1). enza entae nell ambito fisico-matematico del poblema dei due copi, analizziamo le leggi che Kepleo fomulo in base alle sole ossevazioni, in paticolae la teza, la quale è quella utile al nosto scopo; infatti essa evidenzia un legame ta i peiodo di ivoluzione dei pianeti e il semiasse maggioe della loo obita. Un eoe molto comune, a questo punto, è quello di consideae il semiasse maggioe come la distanza del ianeta dal ole; pe quanto detto fino ad oa, questo non è veo; il semiasse maggioe non è la distanza del pianeta ispetto al ole. Lo è solamente se le obite che consideiamo sono pefettamente cicolai, o in pima appossimazione quasi. E altesì chiao che conoscendo la foma e la dimensione dell obita planetaia, in paticolae l eccenticità, si possa facilmente isalie dal semiasse maggioe alla distanza del pianeta dal ole, che nel sistema solae occupa uno dei fuochi. Consideando bene tutte le popietà delle ellissi, a die il veo il semiasse maggioe è in qualche misua collegato diettamente alla distanza copo-sole; il suo valoe infatti, può essee itenuto come il valoe della distanza media Copo celeste-ole (in ealtà dipende da che tipo di media si considea). Conoscendo comunque le popietà delle ellissi, si tova facilmente una elazione che mi lega il semiasse maggioe (che icodiamolo, è una costante) alla distanza istantanea ianeta-ole; la fomula, che abbiamo già visto è la seguente: a ( 1 e cos E ), dove è la distanza ole-ea, e è l eccenticità dell obita, a il semiasse dell obita ed E è un angolo chiamato anomalia eccentica; è un angolo facilmente misuabile, ed è descitto dalla figua a lato. Il pocedimento pe ottenee E è lungo e ichiede la conoscenza appofondita del poblema dei due copi; pe i nosti scopi basta sapee che esso si misua a pescindee dalla conoscenza della misua in Km del semiasse maggioe obitale. Detto questo, possiamo oa passae diettamente ad analizzae la teza legge di Kepleo e tovae quindi le distanze planetaie dal ole e le dimensioni delle loo obite (semiassi).

13 2 3 La legge fu espessa da Kepleo nella seguente foma: a ; in ealtà questa è una foma paticolae e appossimata della più geneica legge, che si icava sempe dallo studio del poblema 3 / 2 2πa dei due copi: dove G è la costante di gavitazione univesale, M è la massa del G( M + M ) consideato e M è la massa del ole. La foma data da Kepleo si icava se noi consideiamo la legge applicata alla ea: 3 / 2 2πa a M + M ; dividendo membo a membo toviamo: G( M + M ) ; a M + M uttavia possiamo fae anche un appossimazione che non pegiudica in alcun caso il isultato finale; se infatti consideiamo che le masse planetaie sono tutte molto più piccole di quella del 1/ 2 1/ 2 3 / 2 M + M M a ole, alloa il appoto: 1 e quindi la legge diventa: M + M M ; se a misuiamo il peiodo in anni, e poniamo quello teeste uguale ad 1, così come il semiasse 2 3 maggioe della tea, otteniamo: a, dove espimendo il peiodo in anni teesti, icavo il semiasse maggioe dell obita in unità astonomiche (AU). iccome conosciamo il valoe dell unità astonomica, è facile, dalla semplice misua del peiodo obitale, icavaci diettamente il semiasse maggioe delle obite in Km. A causa dell eccenticità, sappiamo che esso peò appesenta solamente una distanza media dei pianeti dal ole; natualmente usando il valoe del semiasse, con la elazione a ( 1 e cos E ), otteniamo alloa il valoe puntuale della distanza del pianeta dal ole ad ogni istante di tempo (definito tamite l angolo E, che è chiamato anomalia eccentica). Metodi Geometici Olte alla legge di Kepleo, ci sono anche alti modi di calcolae, almeno in via appossimata, la distanza dei pianeti dal ole. E chiao che data la semplicità della legge di Kepleo, andae a cecae metodi altenativi e pe di più complicati, semba una follia, ed in pate lo è; tuttavia, questi metodi sevono e sono seviti popio pe confemae la validità della stessa legge di Kepleo, pima che fosse icavata diettamente dallo studio del modello fisico. Come spesso abbiamo visto con questi metodi, la difficoltà dei calcoli è diettamente popozionale alla pecisione della misua che si vuole aggiungee; di seguito daò solo una beve descizione di alcuni di questi metodi, non andando molto nel paticolae, a volte anche con appossimazioni piuttosto bute. In ealtà, chiunque abbia dimestichezza con la geometia dei tiangoli qualsiasi e ettangoli, è in gado di tovae metodi che consentano di ottenee la distanza dei pianeti dal ole e dalla stessa ea. Distinguiamo oa due metodi, uno applicabile ai pianeti inteni (quindi Mecuio e enee), l alto a tutti gli oggetti esteni all obita teeste (almeno in linea di pincipio). 3 / 2 1/ 2

14 1) ianeti inteni. Un metodo molto semplice pe misuae la distanza ianeta-ole consiste nell analizzae i pianeti inteni al momento della cosiddetta dicotomia, cioè quando essi mostano esattamente metà supeficie illuminata dal ole; questo coisponde quindi alla configuazione geometica a lato. In questa configuazione, siamo capaci di isolvee completamente il tiangolo ettangolo fomato dal ole, uno dei pianeti inteni e la ea, e quindi di deteminae senza difficoltà, sia la distanza ianeta- ole, che la distanza ianeta-ea (entambe istantanee e non mediate!). Infatti conosciamo tutti e te gli angoli e il lato B, che può essee sia consideato uguale all unità astonomica, pe facilitae i calcoli (a scapito di un po di pecisione), oppue icavato dalla semplice fomula già vista: a ( 1 e cos E ) B. Questo sta a voi decidelo; un altenativa, che può essee un buon compomesso ta semplicità e pecisione è quello di leggee su qualche effemeide la distanza ea-ole di quel deteminato giono ed inseie quella come misua di B, senza dove passae pe la fomula appena scitta che ichiede la conoscenza dell eccenticità e dell anomalia eccentica. Un alta soluzione, meno otodossa ma ugualmente pecisa è di icavae la distanza ea- ole (B nel nosto caso) dalla misua del diameto angolae appaente del ole. e conosciamo il suo diameto appaente quando la ea si tova esattamente ad 1 AU da esso, alloa con una semplice popozione possiamo tovae la distanza pe la quale esso ci appae del diameto angolae misuato. Oppue, ancoa, sapendo le sue dimensioni eali e l angolo che ci sottende, possiamo icavae facilmente la distanza, con l aiuto dei soliti tiangoli ettangoli; in paticolae; la distanza B saà data da: B tan a, dove a è l angolo 2 appaente che ci sottende il ole (cica mezzo gado, ma si ichiede un valoe più peciso) ed a a è il aggio olae espesso in Km, o in foma appossimata (consideando tan, 2 2 valida pe angoli piccoli) ha: D B. a B a 2 e se consideiamo D con D diameto solae, alloa si 2 Oa che conosciamo con più pecisione B, calcoliamoci finalmente la Distanza ianeta-ole. L angolo a lo conosciamo ed è la sepaazione angolae ta enee e il ole (l elongazione), mente chiaamente l angolo b è di 90 e quindi c90-a. La distanza A alloa saà data da: A B cosc! utto qui! M non solo, peché con un alta piccola elazione otteniamo anche la distanza del ianeta dalla ea: C B sin c, ed il gioco è fatto! 2) ianeti esteni. e i pianeti esteni il discoso cambia adicalmente, peché non possiamo più avee la configuazione geometica dei pianeti inteni, e pe questo non siamo in gado di conoscee la distanza dal ole dalla sola conoscenza dell unità astonomica e dell angolo di elongazione.

15 e conoscee la distanza dal ole, dobbiamo pe foza conoscee la distanza del pianeta dal ole, cosa che sposta solamente il poblema e non lo isolve. Ceto, si potebbe sempe calcolae la paallasse del pianeta, e subito dopo, conosciuta la distanza attuale dalla ea, sin iesce a calcolae la distanza dal ole. Ma a questo punto soge una domanda: vale la pena complicae così tanto un calcolo che può essee fatto molto più velocemente e con molta più pecisione attaveso la legge di Kepleo? Inolte, fu lo stesso Gauss a dimostae che pe costuie un obita di un copo celeste intono al ole, bastano 3 ossevazioni. Non staò qui ad enunciae il metodo di Gauss, ma la sua potenza è davveo gande. Bastano 3 ossevazioni pe costuie l obita di un copo celeste, calcolae quindi l eccenticità, inclinazione, oientazione, peiodo di ivoluzione, e quindi anche il semiasse maggioe. Effettivamente, ogni volta che viene scopeto un nuovo copo del sistema solae, si usa popio il metodo di Gauss pe tacciae una pima, appossimata obita, che successivamente viene affinata con alte ossevazioni. Questo cosa significa? ignifica che dieto tante fomule e numei a volte incompensibili, si nasconde un backgound costituito ancoa dal buon vecchio e cao occhio umano, o una camea CCD. Basta ossevae e capie quello che si sta ossevando pe fasi un idea di come funzionano le cose fuoi dal nosto pianeta. aallasse solae: distanza ea-ole Metodo di Aistaco di amo La distanza ea-ole, detta Unità Astonomica (UA) è una gandezza di fondamentale impotanza nella misua dell inteo univeso. Abbiamo già visto il caso della legge di Kepleo, che è l unico stumento a nosta disposizione pe calcolae la distanza dei pianeti dal ole (e non dalla ea, cosa che invece isulta facilmente ealizzabile con metodi geometici), che peò si fema a dici di quanto l obita di un pianeta è più gande o più piccola di quella del nosto pianeta. La mossa da fae è quella di tovae il fattoe di scala; è come se avessimo un modellino in scala; sappiamo che la ea dista 1, Giove 5.2, enee 0.72, Nettuno 30, ma in ealtà non sappiamo quanto valgano effettivamente questi numei. La distanza ea-ole è molto impotante anche pe il metodo delle paallassi annuali, metodo che vedemo seve a calcolae la distanza delle stelle a noi più vicine, e che fa da scalino alla taatua delle distanze cosmologiche. L impotanza dell UA ea già conosciuta da tempo; isalgono infatti ai tempi dell antica Gecia i pimi tentativi di misuazione, anche se con poco successo. olamente nell età modena, con l avvento di stumenti di ossevazione, si è potuto finalmente ispondee alla domanda. Oa, con la disponibilità della tecnologia ada le cose sono molto divese; bastano poco più di 16 minuti pe avee una misua pecisissima della distanza ea-ole, sia da tea che dallo spazio. Il metodo che espoò oa è semplice da capie, ma non tanto da attuae, peché ichiede l ossevazione pecisa di angoli piuttosto piccoli.

16 Il metodo isale addiittua ad Aistaco di amo, il pimo ad effettuae una stima della distanza ea ole. Consideiamo la seguente situazione geometica. Il ole, posto molto lontano, illumina il sistema ea-luna. ebbene esso sia molto lontano, il sistema ea-luna è in gado di dici a quale distanza esso si tova. Infatti se esso fosse infinitamente lontano, i suoi aggi aiveebbeo paalleli, e la luna saebbe illuminata esattamente a metà quando l angolo ole- ea-luna saebbe di 90 esatti. iccome questo non è il caso, noi vediamo la luna illuminata esattamente a metà quando essa non si pesenta esattamente a 90 ispetto a noi, ma con un angolo un po più piccolo. Di conseguenza, misuando l angolo (l elongazione) della luna esattamente al pimo quato, possiamo, con un po di semplice tigonometia, calcolae la distanza ea-ole, a patto di conoscee la distanza ea-luna. Risolvendo il tiangolo ettangolo appena fomato, otteniamo c btgγ subito:. Inseendo la distanza ea-luna (b) e la sepaazione Luna-ole (γ ) 2 2 a b + c icaviamo facilmente la distanza ea-ole, che alto non è che l unità astonomica. Questo semplice metodo non è peò molto peciso se applicato in maniea così semplice. Ci sono 2 poblemi che non possiamo tascuae: - La difficoltà di misuae l angolo γ esatto, che si discosta molto poco dal valoe di 90 - L elliticità dell obita lunae non può essee tascuata; quindi questa misua deve essee peceduta da una misua accuata della distanza Luna-ea, che vaia significativamente a seconda della posizione obitale del nosto satellite. Anche se non molto peciso, questo metodo fu il pimo ad essee usato, da Aistaco di amo, che giunse alla conclusione che il ole avebbe dovuto essee molto più distante della Luna. In ealtà, inolte, in questo modo non toviamo popio la misua dell unità astonomica, ma una stima della distanza istantanea della ea dal ole. La diffeenza può non isultae evidente, ma esiste e non può essee tascuata. Anche l obita della ea è un ellisse e quindi la distanza ea- ole vaia nel tempo; pe esempio d estate, il ole è più lontano di cica 4 milioni di km ispetto a Gennaio, punto in cui il sistema ea-ole aggiunge la massima vicinanza. L unità astonomica invece appesenta la distanza mediata su un intea obita del sistema ea- ole, e anche un paameto obitale molto impotante: il semiasse maggioe dell obita teeste. Infatti, si può dimostae, che nel caso di obite ellittiche, il valoe del semiasse maggioe coincide con il valoe della distanza media del pianeta dal ole. Questo non è pe niente scontato in quanto il semiasse maggioe non ha alcun legame banale con il ole. Ricodando infatti la pima legge di Kepleo, sappiamo che le obite dei pianeti sono delle ellissi, in cui il ole occupa uno dei fuochi. In ealtà questo è veo solo pe il nosto sistema solae, mente la legge più geneale, valida pe ogni sistema gavitazionalmente legato affema che le obite sono delle ellissi e i copi uotano attono al loo comune baicento, che si tova su uno dei fuochi. iccome il ole è migliaia, a volte milioni di volte più massiccio dei pianeti del sistema solae, la posizione del baicento delle obite, che dipende dalla massa del pianeta e da quella del ole, è paticamente intena al disco della nosta stella. edemo meglio in seguito questo punto, in quanto impotante nello studio della iceca dei pianeti extasolai. onando al nosto discoso, il metodo di Aistaco ci può ancoa essee molto utile pe deteminae efficacemente la distanza media del ole dalla ea, e popio il fatto che questo valoe è uguale al semiasse maggioe dell obita, che ci da la chiave di analisi.

17 Dal punto di vista della meccanica delle obite di due o più copi, sappiamo (quasi) tutto; il poblema di due copi gavitazionalmente legati e del loo compotamento ecipoco, è stato studiato già qualche secolo fa e quindi sappiamo descivee molto bene le dimensioni e le caatteistiche delle obite planetaie (questo è veo fino ad un ceto punto; il poblema che noi possiamo isolvee è di due copi legati in un sistema isolato; il nosto sistema solae invece non è costituito da soli 2 copi, ma molti di più, le cui ecipoche influenze gavitazionali si fanno sentie e a volte non possono essee tascuate; questo poblema, a n copi non può essee isolto esattamente, ma solo con metodi appossimati, tamite compute). Misuando quindi esattamente la distanza lunae (istantanea, visto che l obita lunae è ellittica), icavo la distanza ea-ole, che chiamiamo ; questa non è peò la misua dell unità astonomica, ma da questo dato possiamo icavaci facilmente tale misua. Dalla pima legge di Kepleo (che si icava dal poblema dei due copi), abbiamo una elazione che ad ogni istante ci lega la distanza pianeta-ole (i due centi) al semiasse maggioe del pianeta, in questo modo: a ( 1 e cos E ), dove a è il semiasse maggioe dell obita teeste, e è l eccenticità e E è un angolo facilmente misuabile, chiamato anomalia eccentica. Ricavando il semiasse maggioe, abbiamo: a e quindi abbiamo anche il a ( 1 e cos E ) valoe dell unità astonomica (AU). Questo metodo ea sconosciuto agli antichi geci, e quindi non fu applicato da Aistaco, la cui unica ipotesi fu che il ole fosse molto più lontano della luna. Metodo dei tansiti viluppiamo oa un pocedimento che isulteà abbastanza elaboato, pe il calcolo della paallasse solae, e quindi della distanza media ea-ole (che può essee itenuta dello stesso valoe del semiasse maggioe dell obita teeste). Il calcolo non è semplice, e ichiede delle conoscenze di base, in paticolae la isoluzione dei tiangoli ettangoli. ima di intodue il calcolo, è necessaio descivee il poblema dal punto di vista ossevativo e qualitativo; solo successivamente, quando saà ben chiao quello che dovemmo fae, potemmo passae all analisi quantitativa. Il nosto scopo è di misuae la paallasse solae, cioè di quanto il ole si sposta ispetto allo sfondo delle stelle fisse (meglio saebbe die al piano tangente alla sfea celeste) quando visto da due punti di ossevazione divesi sulla supeficie teeste. Il metodo è a gandi linee quello già visto pe la Luna e i pianeti e si basa sul concetto di paallasse equatoiale; essa non è alto che l angolo sotto cui l oggetto cambia posizione se visto da due punti di vista che distano esattamente un aggio teeste. Il poblema, piuttosto semplice nel caso della Luna, in cui è facile, duante un eclissi, misuae la paallasse anche con una base molto piccola, come poche centinaia di Km, è molto più complesso nel caso del ole, pe il semplice fatto che esso è toppo billante e non è possibile misuae il suo spostamento ispetto ad oggetti distanti quali le stelle. Come fae quindi? Abbiamo già visto che la teza legge di Kepleo ci fonisce un modello in scala di tutte le distanze planetaie, e nota una, è possibile isalie a tutte, compesa la tanto agognata unità astonomica. uttavia, il metodo si pesenta difficile, sia pe le piccole paallassi planetaie da misuae, sia peché bisogna conoscee molto bene le caatteistiche delle obite, la cui eccenticità può intodue eoi molto gandi nelle misue. Anche la nosta Luna non ci semplifica i compiti; la sua obita inclinata ed eccentica necessita di calcoli complicati e molto sensibili pe dae un valoe molto peciso. Il metodo dei tansiti invece attenua tutte queste poblematiche, anche se come vedemo, ne intoduce di nuove. Esso si basa sostanzialmente nell ossevazione di un tansito di enee (anche Mecuio, anche se i isultati non saanno tanto pecisi) davanti al disco solae, da pate di due ossevatoi situati in divesi punti sulla supeficie teeste; in questo modo è possibile icavae la paallasse solae, e quindi la misua dell unità astonomica.

18 La domanda che soge spontanea è: come è possibile icavae la paallasse solae, se enee è molto più vicino del ole e quindi nell ossevazione avò anche il contibuto della paallasse di enee, sicuamente maggioe di quello del ole? A questa domanda si isponde facilmente, appena inizieemo l analisi quantitativa del poblema. Intanto consideiamo quindi il nosto scenaio; due punti di ossevazione che ossevano lo stesso fenomeno esattamente alla stessa oa. I due punti, a diffeenza dei casi pecedenti, possono anche essee non allineati; l impotante è che l ossevazione avvenga allo stesso istante (e fose questa è la difficoltà ossevativa più gande). Lo schema geometico che ci si pesenta è il seguente: I due ossevatoi, vedanno il disco di enee poiettato in due divesi punti del disco solae, e un attenta misuazione della sepaazione ta i due centi planetai, ci da infomazioni sulle paallassi di entambi i copi celesti. Analizzando la seguente figua, è abbastanza facile capie la situazione che ci si pesenta, nella figua a desta. La diffeente posizione dei centi di enee è il isultato della paallasse di enee e del ole, ma in che modo? ensiamo pe un attimo di togliee il sole e poe delle stelle molto lontane la cui paallasse è paticamente 0; misuando lo spostamento dei centi di enee avemo un ceto valoe A. e consideiamo anche il ole, che è si più lontano di venee, ma non tanto lontano da avee una paallasse tascuabile, è facile capie che anche esso si sposteà ispetto alla sfea celeste di un ceto angolo, nella stessa diezione dello spostamento dei centi di venee, anche se di una quantità infeioe, in quanto più lontano del pianeta. e essi fosseo alla stessa distanza dalla ea, noi non vedemo il cento di venee spostasi, peché la sua paallasse saebbe uguale a quella del ole, e quindi essi si sposteebbeo di uno stesso angolo. Avete sicuamente capito che quindi lo spostamento che noi misuiamo (allo stesso istante) nei centi dei dischi poiettati di venee saà minoe di quello che si avebbe se di misuasse non ispetto alo sole ma ispetto a oggetti molto più lontani. Quindi lo spostamento angolae che misuiamo del pianeta venee sul disco solae saà dato dalla paallasse di venee meno la paallasse olae; in fomule: π π π, dove π è la paallasse solae e π è la paallasse di enee. Natualmente non conosciamo la paallasse di enee, ne quella solae, e pe di più, non sapendo quanto dista il sole, non sappiamo neanche quanto vale lo spostamento dei centi del pianeta sul disco solae, spostamento che quindi misuiamo in unità convenzionali, come i aggi solai; pendendo il aggio appaente del ole uguale ad 1, alloa lo spostamento angolae π saà una fazione del aggio solae (ad esempio 1/500 del aggio), ma non avemo mai un valoe in gadi o secondi d aco.

19 e isolvee il poblema ci sevono alte equazioni. e tovane, patiamo popio dal pincipio; la definizione di paallasse solae e di venee: La paallasse di venee è data da: d π (1) e d d d π (2), dove è la distanza ea- ole, d è la distanza ea-enee, che si può scivee anche come cioè la diffeenza ta la distanza tea-ole e la distanza ea-enee, mente d è la distanza lineae ta i due punti d ossevazione. Questa distanza saà molto impotante in seguito, e bisogna ben capie cosa essa sia in ealtà. Essa è la poiezione sul piano tangente la sfea celeste della distanza ta i due punti di ossevazione. Con qualche figua saà tutto più chiao: edemo in seguito che, sempe con l ausilio di fomule tigonometiche, d saà dato banalmente dalla distanza ta i due ossevatoi moltiplicata il seno dell angolo θ. Comunque pe oa, questo dato non ci inteessa. Consideiamo le equazioni (1) e (2) e manipoliamole un po, pe aivae a delle elazioni che ci possano dae qualche elemento in più. Dalla (1) e (2)si ha: π π d d + π π π π π π π (3) Inolte, dalla (2) si ottiene: d d d π π (4) Dalla (3) si ottiene: 1 π π (5) e quindi, in definitiva abbiamo il seguente sistema: π π π π 1, dove comunque ho ancoa toppe incognite. Infatti, olte alle paallassi, ho anche le distanze ea-ole e ea-enee da misuae, e semba quindi che non abbia fatto nulla.

20 In ealtà quello fatto è un gan bel passo in avanti; infatti basta usae appopiatamente le leggi di Kepleo pe avee ciò che ceco, e cioè la paallasse solae. Infatti, il appoto è facilmente espimibile con l aiuto delle leggi di Kepleo. La teza legge, ci dive infatti che i appoti dei semiassi maggioi al cubo sono uguali ai appoti dei peiodi di ivoluzione al cubo, o in fomule: a a 3 2 ; questo è analogo a scivee che pe un solo copo celeste si ha: cos t, cioè pe un 2 a pianeta, il appoto ta il cubo del suo semiasse maggioe (che può essee consideata la distanza media dal ole) e il quadato del suo peiodo di ivoluzione sono costanti. e poi consideiamo la legge di kepleo applicata alla ea, vediamo subito che possiamo icavae il appoto dei semiassi maggioi delle due obite semplicemente dalla conoscenza dei peiodi di ivoluzione (che sono 2 / 3 a sempe misuabili con ottima pecisione):. Questa elazione peò ancoa non ci è a molto utile, peché nelle noste fomule non abbiamo i semiassi maggioi, ma le distanze dal ole, le quali dipendono dall eccenticità delle obite (se le obite fosseo state cicolai alloa avemmo subito potuto usae la fomula, e i semiassi saebbeo coincisi con le distanze usate nelle fomule). uttavia la pima legge di Kepleo, ci da un fondamentale aiuto: essa affema che le obite dei pianeti sono delle ellissi e il ole occupa uno dei fuochi. viluppando analiticamente questa idea qualitativa, usando le conoscenze delle cuve geometiche, è abbastanza facile isalie alla elazione fondamentale che stavamo cecando, la elazione che ci da, con l aiuto della teza e pima legge di Kepleo, il valoe del appoto, l unica incognita imasta pe la isoluzione del sistema di equazioni. Il aggio vettoe, cioè la distanza ta il fuoco dell ellisse (il cento del sole) e il pianeta è legato al semiasse maggioe del pianeta stesso (che è una costante indipendente dalla foma dell obita!) dalla elazione: a ( 1 e cos E) dove e è l eccenticità dell obita planetaia ed E è un angolo chiamato anomalia eccentica, facilmente misuabile con qualsiasi stumento. Questa elazione vale pe ogni pianeta, e nel nosto caso pe la ea e enee: a 1 e cos E ) e ( a 1 e cos E ). Dividendo membo a membo, tovo ( 2 / 3 a (1 e cos E ) (1 e cos E ) a (1 e cos E ) e quindi posso conoscee facilmente il appoto (1 e cos E ) fondamentale. Oa ho tutto quello che mi seve e il sistema diventa: π π 1 π π 2 / 3 (1 e cos E ) (1 e cos E ) La paallasse solae media saà data da: Un sistema di 3 equazioni in te incognite facilmente isolvibile. In questo modo toviamo la paallasse solae istantanea che vaia a seconda della posizione della ea nella sua obita. e calcolae la paallasse media, bisogna fae ancoa un alto sfozo. atiamo di nuovo dall inizio.. π 0 R a, dove a è il semiasse maggioe dell obita teeste (che può essee consideato anche come la distanza media ole-ea, ed è pe questo

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