PREMESSA (diapositive 1, 2, 3) PER UNA DISTRIBUZIONE SFERICA DI MASSA contenuta all interno della superficie S:

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1 PREESSA (diapositive 1,, 3) PER UNA DISTRIBUZIONE SFERICA DI ASSA contenuta all inteno della supeficie S: Tutta la massa estena alla supeficie S non influisce sul moto di una oggetto posto in coispondenza della supeficie S medesima; Il moto delle masse a distanza dal cento della distibuzione sfeica è peciò influenzato solo dalle alte masse intene alla supeficie medesima; assa distibuita con una densità che dipende solo dalla distanza dal suo cento attae i copi esteni ad essa come se l intea massa intena fosse concentata nel cento.

2 Il moto della stella (copo) dipende solo dalle stelle (copi) poste intenamente alla sfea indicata nelle figue, sia che la densità sia costante sia che la densità sia vaiabile adialmente Densità costante Densità vaiabile con la distanza dal cento F mg G La foza isultante sulla stella NON è m e quindi, in paticolae, non vale la teza legge di Kepleo Il moto della stella non è kepleiano, non è come il moto dei pianeti del Sistema Solae.

3 Il moto della stella (copo) dipende solo dalle stelle (copi) poste intenamente alla sfea indicata nelle figue, quindi da tutte le stelle pesenti, sia che la densità sia costante sia che la densità sia vaiabile adialmente. Oa tutte le stelle attaggono la stella indicata come se esse fosseo un unico copo, posto nel cento della distibuzione sfeica, avente pe massa la somma di tutte le masse. Oa la foza sulla stella è popio m F mg G dove appesenta la massa ale di tutte le stelle intene alla sfea Quando siamo al di là di tutte le masse, il moto di una stella è peciò kepleiano: T k 3 o, in temini di velocità v G

4 The Viial Theoem The viial theoem states that, fo a stable, self-gavitating, spheical distibution of equal mass objects (stas, galaxies, etc),* the al kinetic enegy of the objects is equal to minus 1/ times the al gavitational potential enegy: E U 0 cin.. In othe wods, the potential enegy must equal the kinetic enegy, within a facto of two**.. * dato un sistema di masse le cui inteazioni ecipoche siano di tipo gavitazionale e tali che i loo moti avvengano in una pozione limitata e definita di spazio, vale a die che il sistema sia in una fase di equilibio dinamico, alloa. ** il fattoe è collegato alla dipendenza dell inteazione gavitazionale dall inveso del quadato della distanza

5 Suppose that we have a gavitationally bound system that consists of N individual objects (stas, galaxies, globula clustes, etc.) that have the same mass m and some aveage velocity v. The oveall system has a mass = N. m and a adius R. The kinetic enegy of each object is K.E.(object) = 1/ m v, while the kinetic enegy of the al system is E cin = K.E.(system) = 1/ m N v = 1/ v whee v is the mean of the squaes of v. The gavitational potential enegy of the system can be witten as: 1 Nm 1 U. G G R R NB: il fattoe ½ nella enegia potenziale può anche essee tascuato viste le appossimazioni che facciamo. Vedi quanto affemato nell ultima diapositiva.

6 We usually assume that all of the obits tavel on simila obits that ae isotopic, that is, ae not flattened in any way and have no pefeential diection; we say these ae andom obits. The viial theoem then equies that the kinetic enegy equals one half the potential enegy, that is: K.E. = - 1/ P.E. 1 1 v G 4 R R v Theefoe, we can estimate the Viial ass of a system if we can obseve: The tue oveall extent of the system R The mean squae of the velocities of the individual objects that compise the system If the motions ae not andom/isotopic, the viial theoem still applies, but its fom changes a bit. Similaly, since ou system is made up of many objects, we can gain some insight by seeing how the obital velocities vay with adius fom the cente outwad. Fo example, in a spial galaxy, the dominant motion of the stas in the disk is cicula otation in the plane of the disk. The vaiation in the obital velocities with adius V() is called the otation cuve (ed è la velocità da inseie nella fomula pe la stima della massa viiale). G

7 Attenzione, nel Cielo come Laboatoio la fomula della massa viiale non tiene conto del fattoe ½; peciò è semplicemente: R v G