3. La velocità v di un satellite in un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v = e,

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1 Capitolo 10 La gavitazione Domande 1. La massa di un oggetto è una misua quantitativa della sua inezia ed è una popietà intinseca dell oggetto, indipendentemente dal luogo in cui esso si tova. Il peso di un oggetto, invece, è la foza gavitazionale che la ea esecita su di esso e, ovviamente, dipende dalla distanza ta l oggetto stesso e il cento della ea. Quindi, quando un oggetto viene spostato dal livello del mae alla cima di una montagna, la sua massa non cambia, ma il suo peso sì.. Il peso di un oggetto è diettamente popozionale alla sua massa e la costante di popozionalità è appesentata dall acceleazione di gavità (g) del luogo in cui l oggetto si tova. Se l oggetto A sulla ea pesa il doppio dell oggetto B, vuol die che A ha una massa doppia di B, caatteistica che conseveà anche sulla Luna. Di conseguenza, sulla Luna l oggetto A peseà ancoa il doppio dell oggetto B (pu se i valoi dei pesi di A e B saanno divesi sulla ea e sulla Luna, in quanto cambia il valoe dell acceleazione di gavità). Gm. La velocità v di un satellite in un obita cicolae di aggio intono alla ea è v e, quindi, dipende dalla massa della ea. 4. Sì, e, in questo caso, la costante è 4π /GM, dove M è la massa della ea. 5. Sembano senza peso, pechè si muovono attono alla ea con la stessa acceleazione centipeta della navicella e la foza di gavità esecitata dalla navicella su di loo è molto piccola. In ealtà il loo peso, cioè la foza di attazione gavitazionale che la ea esecita su di essi, è di poco minoe ispetto al peso che hanno sulla ea pe via della maggioe distanza da essa. 6. Sì. L'enegia potenziale gavitazionale calcolata come mgh è solo un appossimazione locale e andebbe calcolata sempe come U -GmM/. est 1. A. C. C 4. D 5. D 6. C 7. C 8. B 9. D 10. B 11. C 1. C 1. A 14. C 15. D Zanichelli 009

2 Capitolo 10 La gavitazione Poblemi 1. Pe la teza legge di Kepleo i valoi dovebbeo essee uguali. Non lo sono a causa degli aotondamenti.. Sapendo che M M. a K, possiamo impostae la elazione M, da cui M M 0, m 5, m a V K, alloa, V V 65 gioni 0,7 4 gioni 4. F Gm 1 m V G P 1 / g ( P / g) ( 6, N m / kg ) N 9,80 m/s 1 m ( 400 N) 1, Il modulo della foza è massimo quando le due bocce sono a contatto, cioè alla loo distanza minima, pe cui la distanza ta i loo centi è: bowling + b iliado. Quindi: F Gm bowling m biliado Gm bowling m biliado ( bowling + biliado ) ( 6,67 10 "11 N m / kg ) 7, kg 0,11 m + 0,08 m 6. F Gm 1 m 7. 7 N ( 0,8 kg) 9,6 10 "9 N ( 6,67 10 "11 N m /kg ) 7,510 kg F ma " 140 N ( 40 kg) 110 " N 1,10-1 N (, m) f 5,90 10 kg E, isolvendo in funzione di f, otteniamo: 5,90 10 kg f 140 N ( 0,0 m/s) 1N ( 0,0 m/s) Zanichelli 009

3 Capitolo 10 La gavitazione 8. GMm mg dove, m + 6,810 6 m, e, quindi, l acceleazione di gavità è g GM (6,67 10"11 N m /kg )(5, kg) (, m + 6,810 6 m) 0, m/s 9. Calcoliamo pima la foza che si esecita, due a due, ta i copi indicati e assumiamo positivo il veso di desta. F AB Gm A m B F BC Gm B m C F AC Gm A m C ( 6, N m / kg ) 6 kg ( 517 kg) 5, N ( 0,500 m) ( 6, N m / kg ) 517 kg ( 154 kg) 8, N ( 0,50 m) ( 6, N m / kg ) 6 kg Sul copo A si esecitano le foze F AB e F AC, ovveo ( 154 kg) 6, N ( 0,750 m) F A F AB + F AC 5, N + 6, N 5, N, veso desta Sul copo B F B F BC F AB 8, N 5, N, N, veso desta Sul copo C, invece, F C F AC + F BC 6, N + 8, N 9, N, veso sinista 10. L intensità della foza che agisce sul satellite è uguale a quella che agisce sulla ea, e vale: F Gm satellite m ea ( 6,67 10 "11 N m / kg ) 45 kg 6, m & $% '( 5, kg L acceleazione del satellite e della ea valgono, ispettivamente: a satellite F 1,04 10 N m satellite 45 kg,45 m / s 1,04 10 N Zanichelli 009

4 Capitolo 10 La gavitazione a ea 11. m m F G F 1,04 10 N m ea 5, kg 1,74 10" m / s a -a m m p pa p-a p F G Dividendo membo a membo, otteniamo: m m p a G p-a p p F m " " F m m $ % m $ $ &% & -a G a p F p-a mp " " -a $ % m $ $ &% p & F $ Sapendo che mp m e F p-a ( 540 N) ( ) 1 " 1. g GM M R M Da cui p $ % & 10 N 1, otteniamo: g (6,67 10"11 N m /kg )(6,46 10 kg) (, m),75 m/s E, quindi, P mg (65 kg)(,75 m/s ),4 10 N 1. F 1 F 1.0 m 0 1 Zanichelli 009

5 Capitolo 10 La gavitazione Sulla sfea agisce la isultante delle foze esecitate dalle sfee 1 e, la cui intensità è: GMm F. Ossevando il disegno, si compende che la somma delle componenti oizzontali è nulla, mente quella delle componenti veticali vale: F F cos GMm cos e, di conseguenza, l acceleazione della teza sfea è: a F GM (6,67 "10 11 N " m /kg )(,80 kg) cos m 1,0 m cos 0,0,5 "10 10 m/s 14. Indichiamo con M la massa della mongolfiea e dell equipaggio e con m la massa della zavoa. Quando il sistema è in equilibio, pe la seconda legge di Newton, avemo: F Mg, dove F g appesenta la foza di galleggiamento. g 0 Quando la zavoa viene buttata fuoi dalla mongolfiea, avemo, invece Fg ( M m) g ( M m) a, dove Fg Mg, e quindi Mg M m g mg M m a e infine m Ma g + a (10 kg )(0,15 m/s ) 4,7 kg 9,80 m/s + 0,15 m/s 15. Punto in cui le foze gavitazionali si equilibano Luna ea ea-luna F G m m a Uguagliando le due foze, otteniamo: m G m a G m L m a -L Da cui, isolvendo in funzione di : F m m L a L G ( -L ) Zanichelli 009

6 Capitolo 10 La gavitazione ( -L ) m m L 1+ m m L (, m) 81, ,4, m 16. F S F L GM S m S- GM L m L- " M S M L $ & % " L- S- $ & & % 1,99 ' 100 kg $,85 ' 10 8 m $ " 7,5 ' 10 & kg %" 1,50 ' & m % 178 È maggioe la foza esecitata dal Sole. 17. he acceleation due to gavity at the suface of the neuton sta is a Gm ( "11 N m / kg )( kg) ( m) m/s Since the gavitational foce is assumed to be constant, the acceleation will be constant and the speed of the object can be calculated fom v v + ay, with v 0 0 m/s since the object falls fom est. Solving fo v yields 0 v ay ( m/s )( m ) m/s 18. D L m m m Pima che venga inseita la teza paticella, la foza che agisce ta le due paticelle è: F pima Gmm/L. Dopo l inseimento della teza paticella, entambe le paticelle isentono di una foza maggioe, peché anche la teza paticella agisce su di esse. In paticolae, pe la paticella di massa m, avemo Gmm Gmm + dopo D L L m Gmm pima md F F + 1 L Zanichelli 009

7 Capitolo 10 La gavitazione E pe la paticella di massa m, Gmm Gmm + dopo ( L D) L L m F + 1 F Gm m pima m( L D) L Dato che F dopo /F pima pe entambe le paticelle, icaviamo L m L m D L D md m L D D + LD " L 0 E quindi: L ± L 4 1 L D 0,414L o, 414L 1 La soluzione negativa va scatata peché la teza paticella si tova ta le pime due. 19. La velocità obitale di un satellite intono a un pianeta è: v GM / P Quindi, il appoto ta le due velocità è v v 1 GM / P GM / P 1 1 Che, isolta in funzione di v, dà v v 1 1 ( 1, m/s) 5,510 6 m 8, m 1,104 m/s 0. v GM G /, dove 6, m + 7, m 7, m Quindi, ( 6,67 10 "11 N m / kg ) 1, kg v 7, m 4, m/s 1. he obital speed is v (1) Zanichelli 009

8 Capitolo 10 La gavitazione o find a value fo the adius, we begin with: / / o GM E GM E Next, we squae both sides of the esult fo / : " GM / E GM $ % o E ( ) $ % & ' 4 We can now take the cube oot of both sides of the expession fo in ode to detemine : GM E 4 ( 1.0 "10 4 s) ( 6.67 "10 11 N " m /kg )( 5.98 "104 kg ) 4 With this value fo the adius, we can use Equation (1) to obtain the speed: v 1.1"10 7 m 5.9 "10 m/s 1.0 "10 4 s. / GM E da cui A B / A / E A / / B B GM GM E Sappiamo che v / e, quindi, sostituendo nell equazione (1) avemo: ( ) ( ) ( v ) / / / " v / A A A A A A $ % / / / B B " v / B B B B $ % v 1.1"10 7 m E, infine: A B v B v A v B 1 v 7 B. ( V / ) ( V / ) da cui V / E 0,611 E, infine: V (0,611)(65 gioni) gioni Zanichelli 009

9 Capitolo 10 La gavitazione 4. + ( 4,1"10 5 m % ) & ( 7,0 "10 s) 1,08 "104 kg M pianeta 4 4 $ 4,15"10 6 m G 6,67 "10-11 N " m / kg dove è il aggio dell obita cicolae elativamente al cento del pianeta e il peiodo del satellite,00h 7,0 10 s Ricaviamo oa il peso del satellite: P GM p m ( 6, N m / kg) 1, kg ( 5850 kg), N ( 4, m) 5. L acceleazione centipeta è uguale pe l aeeo e pe il satellite, quindi: a v v v " v & ' aeeo sat aeeo c aeeo sat aeeo $ sat % sat dove Quindi: v aeeo " aeeo sat $ & % v sat Gm sat Gm sat aeeo Gm sat ( 15 m) ( 6,67 '10 (11 N ' m / kg) ( 5,98'10 4 kg) 6,7 '10 6 m 1 m/s 6. a A v A /A 10,0 m/s dove v A π A / e il peiodo è di 60,0 s. Quindi A a A /(4π ) 91 m e, di conseguenza, a B 7. vb 4 B 4 ( 8 m) B 60,0 s,50 m/s U G M M L L 6,67 "10-11 N " m / kg 8. B A /4,00 8 m ( 5,98 "104 kg) ( 7,5"10 kg) U G M M L L 6,67 "10 11 N " m / kg 9. L mgh 0,0 kg,84 "10 8 m ( 5,98"104 kg) ( 0 kg) 6,7 "10 6 m ( 9,80 m/s )( 40,0 m) 7,84 "10 J 1,5"10 9 J 7,6"10 8 J Zanichelli 009

10 Capitolo 10 La gavitazione U mgh 0. U G M m + h 6,67 "1011 N " m / kg 1. ( 5,98"10 4 kg) ( 1,1"10 kg) (6,7 "10 6 m) + 0,50 "10 6 m 1 mv G M m G M 6,67 "10 11 N " m / kg v 6,4 "1010 J ( 5,98 "104 kg) ( 6,4 "10 m/s) 1,95"107 m. Pe essee su un obita geostazionaia, il satellite deve avee un peiodo di 4 oe e ciò avviene solo se si tova a una distanza di km sopa l equatoe. U G M m + h 6,67 "1011 N " m / kg E U + K v R + h 6,8 4,17 "106 m s ( 5,98 "10 4 kg) ( 1,5"10 kg) (6,7 "10 6 m) + 5,8 "10 6 m,1"10 m/s K 1 mv 0,5( 1,5"10 kg) (,1"10 m/s) 7, "10 9 J 0,7 "10 10 J E U + K 1,4 "10 10 J + 0,7 "10 10 J 0,70 "10 10 J 7,0 "10 9 J 1,4 "1010 J. v GM R " ( 6, N m / kg 1 % ) $ ( 45 5,98104 kg) ' & 1,9 10 m/s 5,110 6 m 4. m 7 (1, 10 ),56 10 m GM v R v, alloa M s 8, kg R G " 11 Nm 6,67 10 kg 5. Il valoe di R ichiesto è quello pe il quale, dato un copo celeste di massa M, si ha la velocità di fuga uguale a quella della luce: R GM c ( 10 0 kg) 10 m ( 10 8 m/s) 6,67 10 "11 N m / kg 6. L acceleazione di gavità su Satuno è Zanichelli 009

11 Capitolo 10 La gavitazione ( 5, kg) g S G M S S 6, N m / kg 10,5 (6, m/s m) Il appoto ta il peso di una pesona su Satuno e sulla ea è P S mg S g S 10,5 m/s P mg g 9,80 m/s 1,07 7. a K a a S M S M M a $ ( M " a &,(10 ' S M ( 8,9 (10 8 s) 11 m) S % ( 1,4 (10 1 m) 5,9 (107 s 8. A B PA PB GM m GM m Gm ( M A M B) R R R da cui ( M A M B P A P B) R Gm 9. p p GM 4 1,10 7 m 1, kg 60 N (6,67 10 "11 N m / kg ) 5450 kg ( 6,67 "10-11 N " m / kg )( 1,",0 "10 0 kg) ( 6,7 " 4 " 600 s),88"10 10 m 4,14, m 1, m 0, E i 0; E f 1 mv GM m 0 " v GM ( 5, kg) 6, N m / kg 6, m 11, 10 m/s 11, km/s 41. v GM ( 6, N m / kg )( 6, kg) 7, m 7,6 10 m/s Zanichelli 009

12 Capitolo 10 La gavitazione 4. L acceleazione è costante in entambe le situazioni, quindi y 1 G a t G G 1 a t y Risolvendo in funzione del appoto ta i tempi di caduta, otteniamo t G t a a G GM / R GM G / R G R G R M ( 11,) M G ,68 4. Sulla Luna agisce una foza isultante SL L F F + F dove (talasciando le unità di misua) F SL Gm S m L SL e F L Gm m L L e quindi ( 6,67 10"11) 1, ( 7,510 ) 4, N ( 1, ) ( 6,67 10"11) 5, ( 7,510 ) 1, N (, ) F ( 4, N) + 1, N 4, N GM 4 (,85"10 8 m) ( 6,67 "10 11 N " m / kg )( 5,98 "10 4 kg),8 "10 6 s 7,5 gioni cica 1 mese. Zanichelli 009

13 Capitolo 10 La gavitazione 45. i v i / i a c,i e a c,e i a c,i e a c,e 46. a K a c,i a c,i ; 4 4 " 4 e a c,e ; (,7 m/s )( 150 m) 816 m 9,80 m/s ah a H, a a ovveo H H $ a H a H & " & (0,1496 (75,8 a) $ '101 m),68 10 % " (1 a) & 1 m 17,9 UA % + a a (5,8-0,6) UA 5, UA; A P H A H p L P L A M H Av A M H P vp v A $ P &v P " % " A Av A P vp, $ &54500 m/s 9 m/s % 0,596 UA 5, UA 47. v GM R ( 6, kg) 6, N m / kg,510 5 m 1,9 10 m/s Olimpiadi della fisica 1. B. B. A 4. C 5. D 6. C 7. D 8. Sia F la foza che il pavimento dell ascensoe esecita sui piedi di Calo. Nel caso geneico in cui l ascensoe abbia acceleazione a (assunta positiva veso il basso) il moto di Calo e l equilibio della massa m appesa alla molla di costante elastica k sono descitti dalle equazioni Mg F Ma e mg k" l ma. Eliminando a si tova una elazione ta F e Δl: F k l km a g " g " F l. M m m Detti F 0 e Δl 0 i valoi paticolai quando a 0 (ascensoe femo o in moto unifome) si ha l F F0 Mg 60kg " 9,8ms 470N l Zanichelli 009

14 Capitolo 10 La gavitazione est di ammissione all Univesità 1. A. B. B Pove d esame all Univesità 1. 1 Ei mv0 1 GMm E f mv1 R 1 1 GMm 1 1 GM GM Ei E f " mv0 mv1 " v1 v0 + " v1 v0 + R R R (dove M è la massa della Luna e R è il aggio della Luna) Zanichelli 009