Il teorema di Gauss e sue applicazioni

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1 Il teoema di Gauss e sue applicazioi Cocetto di flusso Cosideiamo u campo uifome ed ua supeficie piaa pepedicolae alle liee di campo. Defiiamo flusso del campo attaveso la supeficie la uatità : = (misuata i Vm) (Itepetazioe: il flusso valuta il umeo delle liee di campo che attavesao la supeficie cosideata) i ota i figua seguete, che supeficie divese ma legate fa loo dalla elazioe = cos soo attavesate dallo stesso umeo di liee di campo ovveo hao lo stesso flusso. Possiamo geealizzae: = cos. Osseviamo che, agolo fa le due supefici, è ache l agolo che si foma fa la omale ad e la diezioe del campo. Data ua supeficie piaa, defiiamo vettoe supeficie come u vettoe di modulo pai alla supeficie e diezioe e veso uello della omale alla supeficie stessa: abbiamo cos e il campo o è uifome e/o la supeficie o piaa, possiamo pesae di suddividela i più pati co il citeio che: ciascua possa essee cosideata ua supeficie piaa, il campo elettico su ciascua possa essee iteuto costate è pai ad i,

2 i I tal caso, pe ogi possiamo calcolae il coispodete flusso:, i i cos i. Il flusso attaveso l itea supeficie, saà calcolabile come:.,i i Questo è u valoe appossimato, che diveta sempe più esatto al dimiuie ossia: d detto itegale di supeficie co d vettoe di supeficie lim,i associato ad elemeto ifiitesimo di supeficie. I paticolae la supeficie può essee ua supeficie chiusa e sciveemo: Ossevazioe impotate: il flusso può essee sia positivo che egativo d d d cos / cos flusso uscete cos / cos flusso etate

3 Il teoema di Gauss Il teoema di Gauss affema che il flusso del campo elettico attaveso ua supeficie chiusa dipede solo dalle caiche it itee alla supeficie ed è pai a it /. d it it d + - d it i icoda che il campo è detemiato, tamite il picipio di sovapposizioe, da tutte le caiche peseti mete il suo flusso attaveso ua supeficie chiusa solo dalle caiche al suo iteo! Questa o è ua cotaddizioe: il picipio di sovapposizioe dà ifomazioe i ogi sigolo puto dello spazio, il teoema di Gauss dà u ifomazioe mediata su ua supeficie. Il teoema si può dimostae igoosamete el caso più geeale, vediamo ui ua giustificazioe patedo da ua sola caica putifome +. cegliamo come supeficie chiusa ua sfea di aggio cocetica co la caica e calcoliamo il flusso attaveso essa. d 4 ˆ è paallelo ad ˆ 4 d 4 ˆ d 4 4 ˆ d idipedetemete dal aggio della sfea. 3

4 e la supeficie è geeica, saà sempe possibile tovae ua sfea completamete coteuta i. No essedoci alte caiche, il umeo delle liee di campo attaveso saà ecessaiamete uguale al umeo delle liee di campo attaveso alloa ' it Resta da vedee che el caso i cui la caica è estea alla supeficie, =. Data ua supeficie estea alla caica, cosideiamo le liee di campo i u piccolo coo co vetice. L itesezioe di uesto coo co la supeficie, detemia due piccole aee e attavesate dallo stesso umeo di liee di campo. Coo = + coo Questo è veo pe ogi piccolo coo co vetice i che iteseca la supeficie coo,i Pe il picipio di sovapposizioe, il isultato pecedete è geealizzabile a ualsiasi distibuzioe di caiche. 4

5 Coduttoi i euilibio. (cosegueza del teoema di Gauss) Diamo ua caica + ad u coduttoe C. Dopo u ceto tempo si aggiuge ua codizioe di eulibio che è caatteizzata dalle segueti codizioi: ) il campo elettico iteo al coduttoe è ullo mete il campo esteo è omale alla supeficie t C All euilibio su ua caica posta all iteo di C deve avesi: a ma F ma e F it it essedo it All euilibio su ua caica sulla supeficie di C deve avesi: a F ma e F, essedo t t t t ma ) La caica all iteo di C è ulla ed è distibuita solo sulla supeficie. e scegliamo ua supeficie chiusa tutta itea a C abbiamo pe il teoema di Gauss che it it it d ma poiché pe il puto pecedete it it d Poiché uesto è veo ualuue itea a C, deve essee ecessaiamete ache it =. La caica si toveà solo distibuita sulla supeficie A del coduttoe C co desità di caica supeficiale (i C/m ). A 3) Il campo elettico i possimità della supeficie è pai a /. Valutiamo tamite il teoema di Gauss il flusso attaveso u piccolo cilido etto di aea di base A co asse paallelo alla omale alla supeficie ella zoa cosideata. Il cilido ha ua base all iteo di C. cegliamo A sufficietemete piccolo e vicio alla supeficie di C, i modo da pote tascuae il flusso attaveso la supeficie lateale del cilido (caso b i figua) e di pote cosideae costate su A. A causa di uesta appossimazioe, il isultato che otteemo saà valido solo pe puti possimi alla supeficie. 5

6 cilido I itegale : II itegale : III itegale : uidi : base est d baseest d d it it it it base it d it base it A 4) il coduttoe è euipoteziale. (da dimostae i seguito) d ma poichè sup.lat. d d d ; A A base est pe come abbiamo scelto il cilidetto cos d =A a) b) d sup.lat. d è costate sulla base it d ; base est d base est Queste popietà dicoo che la egioe di spazio all iteo di u coduttoe i euilibio o isete di evetuali feomei elettostatici estei; ossia u ivoluco di mateiale coduttoe costituisce uo schemo elettostatico pe le agioi i esso coteute. A d; 6

7 Applicazioe del Teoema di Gauss Il teoema di Gauss pemette di calcolae il campo elettico di alcue distibuzioi di caiche sfuttado cosideazioi di simmetia. ) Distibuzioe piaa ifiita di caica co desità e dividiamo lo spazio omogeeo ed isotopo co u piao veticale, la codizioe che zoe a desta e a siista del piao devoo essee pe simmetia idistiguibili impoe che: a) le liee di campo devoo essee pepedicolai al piao caico b) ei puti ad uguale distaza, a desta e siista del piao,il campo deve avee lo stesso valoe Co uesto i mete, scegliamo come supeficie chiusa pe calcolae il flusso u cilido etto di aea di base A, co asse pepedicolae al piao e basi euidistati dal piao. egue: A A cilido d cilido (posto d d A d d d d A sup.lat. sulla supetficie lateale A d it ) A sup.lat. A cos d d cos d d it d d A A d d d A A A d d A A d A Coclusioe: Il campo è uifome e vale 7

8 8 ) Doppia distibuzioe piaa ifiita di caica di desità e. Questo isultato ci pemette di calcolae il campo elettico, usado il picipio di sovapposizioe, geeato da ua doppia distibuzioe piaa ifiita di caica co desità e. Coclusioe: Il campo è uifome ella zoa compesa fa i piai e vale mete è ullo all esteo. T co T T T T + T T = T =

9 3) Distibuzioe sfeica di caica. Cosideiamo ua sfea di aggio R caicata co ua caica. iamo i ua situazioi di simmetia sfeica i uo spazio omogeeo ed isotopo e petato tutto deve essee idistiguibile pe otazioi itoo al ceto della sfea. Questo impoe che: c) le liee di campo devoo avee la diezioe adiale d) ei puti ad uguale distaza dal ceto della sfea il campo deve avee lo stesso valoe. Co uesto i mete, scegliamo come supeficie chiusa pe calcolae il flusso ua sfea di aggio cocetica co la sfea caica. egue pe >R R it d dove it, sfea d d cosd d pe R 4 e pe ogi elemeto sfea d sfea d d della sfea abbiamo : sfea d 4 Coclusioe: Il campo ei puti a distaza dal ceto R è ˆ ovveo uguale a 4 uello che si otteebbe cocetado tutta la caica el ceto della sfea. I paticolae, se la sfea è coduttice, pe < R, il campo è ullo. 9

10 4) Doppia distibuzioe sfeica supeficiale di caica. Cosideiamo due sfee cocetiche di aggio R e R e co caica + e sulle ispettive supeficie. iamo acoa i ua situazioi di simmetia sfeica e valgoo le cosideazioi pecedeti. cegliamo come supeficie chiuse pe calcolae il flusso due sfee di aggio ed cocetiche co la sfea caica. R R Pe la sfea di aggio R < < R, la situazioe è assolutamete idetica alla pecedete e otteiamo u campo ˆ 4 Pe la sfea di aggio > R, pecededo come pima giugiamo a: it it d 4 dove it sfea Coclusioe: il campo ei puti a distaza dal ceto R R è ˆ pe puti >R è uguale a zeo. 4 I paticolae, se la sfea itea è coduttice, pe < R, il campo è acoa ullo e si ha la cofiguazioe i figua., mete pe = = R R R R