TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTROSTATICO. Premessa:

Transcript

1 TORMA DI GAU PR IL CAMPO LTTROTATICO Pemessa: Fio ad oa abbiamo studiato le caiche feme, seza coeti. La paola stessa elettostatiche pesume che le caiche siao statiche. Defiizioe di flusso di u vettoe attaveso ua supeficie: cosideiamo ua supeficie su cui agisce u campo vettoiale A A = vettoe che appeseta il campo vettoiale. = vettoe paticolae, chiamato vesoe* = agolo che si foma ta i due vettoi Defiizioe flusso s ( A) A cos( ) s (A) si legge flusso del vettoe A attaveso la supeficie. A = modulo del vettoe del campo. = supeficie La fomula i ealtà cotiee ache il fattoe (appesetate il modulo del vesoe), ma dato che questo è 1, o si scive. *vesoe: è u paticolae vettoe che viee sempe cosideato avete modulo uo e pepedicolae alla supeficie sempio di flusso. Cosideiamo ua sezioe di ua tubatua d acqua. Possiamo facilmete immagiae che i ogi paticella d acqua ci sia u vettoe velocità. Cosideiamo i paticolae il vettoe velocità sulla supeficie, co il vettoe coispodete. Dato che il vesoe è sempe pepedicolae alla supeficie come lo è ache il vettoe V, V ed coicidoo L agolo che si viee a fomae ta i due vettoi è quidi ullo. =

2 uidi sostituedo ella fomula del flusso: ( A ) V cos() V s Notae che la fomula otteuta è uguale alla potata. V Teoema di Gauss (pe il campo elettostatico) Cosideiamo ua supeficie sfeica al ceto del quale è acchiusa ua caica positiva che geea u campo, che viee appesetato (pe defiizioe) co dei vettoi usceti dalla sfea. Come si può calcolae il flusso i questa situazioe? Immagiiamo di dividee l itea supeficie della sfea i tate piccole pati (el disego pe comodità e soo state disegate ). Chiamiamo ogi pate oa facile immagiae che il flusso complessivo è dato dalla somma di tutti i sigoli flussi calcolati pe ogi, secodo la fomula: ) ( ) ( ) ( )... ( 1 samiiamo oa il flusso di ua sigola supeficie. Cosideiamo il vettoe come se patisse dalla supeficie (cioè pe agioi algebiche pepedicolae alla supeficie) Disegiamo il vesoe, che essedo pe defiizioe pepedicolae alla supeficie coicide co il vettoe. L agolo ta i due vettoi è quidi ullo. Da queste cosideazioi possiamo dedue che il flusso di ua sigola supeficie seguete: è la ( ) cos() Fatte queste cosideazioi, isciviamo la fomula del flusso totale, sostituedo ogi sigolo flusso co la fomula appea icavata: ( )... ( ) Raccogliedo il fattoe, è facile otae come all iteo della paetesi ci sia la somma di tutte le sigole supefici, che sommate soo i ealtà l itea supeficie della sfea.

3 Risciviamo quidi la fomula scivedo al posto della somma la fomula pe la supeficie di ua sfea, e al posto di la fomula del campo. 1 ( ) 4 4 Abbiamo icavato il teoema di Gauss: ( ) Ossevazioi: Il teoema vale sempe, ache se la supeficie o è sfeica, l impotate è che sia chiusa. compoedo la K i 1 4, si iescoo ad eseguie impotati semplificazioi. Il teoema di Gauss, al cotaio della legge di Coulomb, è di facile speimetazioe e misuazioe. Dato lo stetto legame che queste due fomule hao (legge Coulomb campo elettostatico teoema di Gauss), automaticamete speimetado l esattezza del teoema di Gauss, dimostiamo ache la coettezza della legge di Coulomb. Teoema di Gauss geealizzato: ( ) i Il teoema di Gauss può ache essee scitto come sommatoia algebica di tutte le caiche peseti all iteo della supeficie. CONGUNZ DL TORMA DI GAU 1) All iteo di u coduttoe caico i equilibio elettostatico ( caiche feme) il campo elettico è zeo i ogi puto. N.B. i cosidea sempe ua supeficie tidimesioale (di qualuque foma) chiusa. ulle caiche itee o agiscoo foze, peciò il campo è ullo.

4 ) I u coduttoe caico i equilibio elettostatico le caiche si tovao solo sulla supeficie estea. i I fomule: se s ( ) quidi: i. Ciò vuol die che se la somma delle caiche itee è ulla, alloa se ci soo caiche queste si tovao solo sulla supeficie estea. ) Tutti i puti del coduttoe si tovao allo stesso poteziale: la sua supeficie è quidi equipoteziale. poiché all iteo =, ache il lavoo ta A e B vaà. Ricodiamo che sulla supeficie è sempe pepedicolae alla stessa. L AB q ( V V ) V A B A V B uidi tutti i puti della supeficie soo allo stesso poteziale. Ossevazioi: caica Defiizioe di desità supeficiale di caica ( ) : i C dove è l aea aea m o la supeficie. e il coduttoe è sfeico. Il fatto che σ sia ivesamete 4 popozioale a vale sempe, qualuque sia la foma della supeficie che cosideiamo. Possiamo quidi distiguee due casi: σ GRAND σ PICCOLO Raggio () piccolo gade cuvatua gade piccolo Dato che il campo elettostatico è diettamete popozioale alla desità supeficiale di caica (σ), è più gade dove σ è più gade. Cosideazioi: k, ifatti: k 4 Abbiamo quidi dimostato 4 che esiste ua popozioalità dietta ta e σ. uidi ecco spiegato peché gli oggetti apputiti attiao i fulmii: avedo ua gade cuvatua, hao sulla loo supeficie ua gade quatità di caiche (σ gade), che attiao quelle del fulmie.

5 Defiizioe di cuvatua di ua cuva: o ). 1 ( è ua lettea geca che si legge Disegado u qualsiasi pecoso o ettilieo, possiamo, pe ogi puto, disegae ua cicofeeza che meglio appossimi l adameto cuvilieo di quel tatto. Nella figua, si può otae come i possimità di ua cuva molto stetta ( gade cuvatua ), la cicofeeza che meglio la appossima è molto piccola, ossia ha u aggio piccolo. Al cotaio se la cuva è molto laga ( piccola cuvatua ), la cicofeeza che meglio la descive avà u aggio molto gade. Dato che è possibile disegae ua cuva pe ogi puto di u pecoso qualsiasi, le cicofeeze soo ifiite. 4) calcolo del campo elettostatico geeato da ua lasta piaa uifomemete caica. Fio ad oa abbiamo studiato i campi elettici geeati da sigole caiche. Pediamo oa i cosideazioe u campo geeato o più da ua caica, ma da ua lasta uifomemete caica. (fig. 1) (fig. ) La pima immagie mosta la lasta ed alcui suoi vettoi campo. (fig. 1) Immagiiamo oa la lasta vista di pofilo, e pediamo i cosideazioe u vettoe campo qualsiasi. Attoo a questo vettoe disegiamo ua supeficie cilidica, come i fig..

6 Calcoliamo oa il flusso utilizzado sepaatamete le due fomule ote: Utilizziamo ( ) cos( ) s Il flusso totale è dato dalla somma del flusso delle basi co quello della supeficie lateale: cilido ( ) ( ) ( ) Il flusso delle basi è basi ( ) A 1 A Dove: peché le basi soo due A aea della base cos() = 1 l agolo ta il vesoe e il vettoe campo è basi lati Il flusso della supeficie lateale è poiché l agolo ta il vesoe e il vettoe campo i questo caso saebbe 9, il cui coseo è che aulla la fomula. uidi ( ) A cilido Utilizziamo ( ) Dato che questa fomula dipede solo dalle caiche e dalla costate dielettica, possiamo scivee subito la fomula del flusso el cilido: cilido ( ) Uiamo le fomule del flusso otteute: A Dato che A possiamo A scivee la fomula effettuado le oppotue semplificazioi: A A Abbiamo così otteuto la fomula del campo elettostatico i ua lasta uifomemete caica. uesta fomula vale solo elle situazioi vicie alla lasta.

7 N.B. Aalizziamo la situazioe i cui vi siao due laste di caica opposta, l ua di fote all alta come i figua. (i suppoe che le due laste abbiao la stessa desità di caica) Dato che vale il picipio di sovapposizioe, è facile otae come ell aea compesa ta le due laste i vettoi campo si sommio, mete all esteo si aullio. (Ricodiamo che i vettoi appesetati u campo si disegao etati se le caiche soo egative, usceti se soo positive). Il campo totale è dato dalla somma algebica dei due campi. tot

8 Piao di caiche La simmetia dello spazio è piaa. cegliamo come supeficie gaussiaa ua supeficie cilidica co asse pepedicolae al piao ( ) Il vettoe è pepedicolae al piao di caiche di desità supeficiale sigma e quidi il flusso di attaveso ogi piao di base del cilido è * mete è ullo attaveso la supeficie lateale

9 Liea etta di caiche La simmetia è cilidica La supeficie gaussiaa è u cilido co asse la liea di caica. Il campo ha diezioe pepedicolae alla liea di caiche Il flusso attaveso le basi è ullo. ( ) * * l * l Il flusso totale è quello attaveso la supeficie lateale.

10 fea piea di caiche La simmetia è sfeica. ( ) 4 4 R *4 q 4 4 R 4 4 R q 4 4 R La supeficie gaussiaa è ua supeficie sfeica cocetica di aggio. Il campo elettico all iteo della sfea è popozioale ad. Pe =R si iottiee l espessioe del campo elettico di ua caica. R e faccio u buco lugo tutto il diameto di ua sfea caica positivamete, quale saà il moto di ua caica egativa lasciata ad ua uscita del buco?

11 upeficie sfeica coduttice caica q ( ) 4 ( ) 4 R 1 4 La simmetia è sfeica. La supeficie gaussiaa è ua sfea. e e il aggio il aggio della della supeficie gaussiaa supeficie è >R gaussiaa è <R

12 Codesatoe piao caico U codesatoe è costituito da due amatue metalliche piae e paallele. La simmetia è piaa Il flusso del campo è ullo attaveso la base ell amatua e attaveso la supeficie lateale. Pediamo come supeficie gaussiaa u cilido co ua base paallela estea all amatua e ua base itea. Il flusso totale è dato da quello del campo elettico attaveso la base posta ta le amatue. ( ) *