Prova scritta finale 22 giugno Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico

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1 ova scitta fiale giugo 006 Istituzioi di Fisica della Mateia of. oezo Maucci ao accademico Tempo a disposizioe: 3 oe Uso degli apputi o di libi: NON AMMESSO uso della calcolatice: AMMESSO Nota: pe lasciae u magie di ecupeo, il totale dei puti a disposizioe è fissato a 3 ivece che a 30. ) U elettoe si tova i ua buca di poteziale D ifiita di laghezza = Å, ed al tempo iiziale t = 0 occupa uo stato quatistico ψ() o stazioaio, dato dalla seguete fomula: N pe 0 < < / ψ ( ) = (ovviamete si ha ψ = 0 fuoi dalla buca), dove N è U(), 0 pe / < < ψ(,0) ua costate e l oigie dell asse è posta sull estemità siista della buca. Questa fuzioe d oda è ache appesetata i osso ella figua a fiaco. Detemiate: (a) le pobabilità di tovae l elettoe ispettivamete ella metà N siista della buca (itevallo [0, /]) e ell itevallo cetale [/4, 3/4], se la misua della posizioe dell elettoe avviee al medesimo istate iiziale t = 0; (b) l espessioe di tutti i valoi che possoo isultae da ua misua dell eegia dell elettoe, calcolado ache il valoe umeico dei te livelli di eegia più 0 bassi espesso i ev; (c) la pobabilità che ua misua di eegia estituisca ciascuo di questi te valoi; (d) l itevallo di tempo t che bisoga attedee affiché la fuzioe d oda itoi ad essee esattamete uguale a quella iiziale. [puti: a = ; b = ; c=3; d=] ) U elettoe che si muove i D el piao (ad esempio sulla supeficie piaa di u metallo) è soggetto ad ua foza descitta dalla seguete eegia poteziale U = ke( + ) = ke dove k e =.095 µn/m, dovuta ad u ceto di attazioe posto ell oigie delle coodiate (ad esempio, u difetto della supeficie). Risolvedo il poblema pe sepaazioe di vaiabili, detemiate (a) l espessioe dei livelli di eegia possibili pe l elettoe, calcolado ache il valoe umeico dei te livelli più bassi i ev. Oa, suppoiamo che ivece di u solo elettoe ce e siao 7; tascuado le iteazioi ta gli elettoi, detemiate: (b) la cofiguazioe elettoica dello stato fodametale del sistema e la coispodete eegia (teedo coto dei due stati di spi), e (c) la più gade lughezza d oda della adiazioe elettomagetica che può essee assobita dal sistema. Toado ifie al caso di u sigolo elettoe, combiado oppotuamete gli stati quatistici coispodeti ai due livelli di eegia più bassi, costuite (d) te divese fuzioi d oda che coispodoo ad u valoe be detemiato della compoete z del mometo agolae (cioè la compoete omale alla supeficie). [puti: a = ; b = ; c = ; d = ] omemoia (solo pe la domada d). Gli stati stazioai di u oscillatoe amoico quatistico D di fequeza caatteistica ω hao la seguete espessioe geeale: φ( ) = N H( α) e α dove α = mω, N è ua costate di omalizzazioe e le fuzioi H ( ) soo i poliomi di Hemite. I pimi due poliomi di Hemite soo i segueti: H0( ) = ; H( ) =. bis) ATERNATIVO A ESERCIZIO E ENSATO SOO ER CHI NON SA RISOVERE ESERCIZIO NEANCHE IN MINIMA ARTE: Rispodete alle stesse domade (a), (b), e (c) dell esecizio, ma sostituedo l eegia poteziale data ell esecizio co quella di ua buca di poteziale ifiita di foma quadata, come quella mostata i figua ( = m). I puteggi soo tutti dimezzati [a = ; b = ; c = ]. ROIBITO isolvee sia l esecizio che il bis: fate ua scelta iiziale e seguitela! U = 0 U = 3) I o più di ua pagia tattate uo dei segueti due agometi, a scelta (MA NON IÙ DI UNO) [puti: 8]: a. Euciate e discutete, ache co esempi, la elazioe di idetemiazioe eegia-tempo e il suo sigificato fisico. b. Euciate e discutete il postulato di simmetizzazioe elativo a sistemi di due paticelle idetiche e le sue picipali cosegueze, i paticolae el caso di due femioi. Caica dell elettoe e =, C Costate di lack idotta ħ =, J s Massa dell elettoe m = 9, 0 3 kg ATTENZIONE: la pova cotiua alla pagia seguete...

2 secoda pagia - ova scitta fiale /6/006 - Istituzioi di Fisica della Mateia - of. oezo Maucci 4) TEST (vale puto pe ogi domada, 8 puti i totale) COGNOME: NOME: MATRICOA: a) Nomiate due ossevazioi speimetali che fuoo spiegate pe la pima volta dal modello atomico di Boh. b) Scivete le due elazioi di de Boglie (pe il caso D): c) Scivete l equazioe di Schoedige dipedete dal tempo D pe ua paticella soggetta ad eegia poteziale U(): d) Qual è la lughezza d oda della fuzioe d oda (o di de Boglie) di u elettoe libeo di eegia E = 5 ev? e) Euciate la codizioe di validità fisica delle soluzioi da affiacae all equazioe di Schoedige idipedete dal tempo pe tovae gli stati stazioai di u sistema quatistico D: f) Come è fatto qualitativamete lo spetto eegetico di ua buca di poteziale di altezza fiita (ad esempio; è disceto o cotiuo, c è u umeo fiito o ifiito di livelli, ecc.)? g) Quali soo i valoi possibili del modulo e della compoete z del mometo agolae di u elettoe i u atomo di idogeo che occupa il livello eegetico 3d? h) Il caboio è u atomo coteete 6 elettoi. Nel suo stato fodametale, la cofiguazioe elettoica è (s) (s) (p). Quale saà pesumibilmete la pima cofiguazioe elettoica eccitata, ossia quella di eegia più bassa possibile dopo quella dello stato fodametale?

3 Soluzioi degli esecizi Esecizio Domada (a). e la codizioe di omalizzazioe si ha / ψ( ) d= ψ( ) d= N = () 0 da cui N = () a pobabilità che la paticella sia ella metà siista della buca è data da isposta a, pima pate: / (0 < < / ) = ψ ( ) d= = 00% 0 dove abbiamo usato la (). Questo isultato è i ealtà ovvio fi dal picipio e o ichiede calcoli, peché la fuzioe d oda si aulla ella egioe al di fuoi della metà siista della buca, pe cui la pobabilità di tovavi la paticella è ulla, e quidi quella di tovae la paticella ella metà siista della buca è la cetezza. a pobabilità di tovae la paticella ell itevallo cetale è isposta a, secoda pate: 3 /4 / ( / 4 < < 3 / 4) = ψ ( ) d= Nd= N = 0.5 = 50% 4 /4 /4 dove abbiamo usato la (). Ache qui, comuque, i calcoli soo supeflui, peché l itevallo [/4, 3/4] iclude la egioe [/, 3/4] i cui ψ = 0 e quidi o cotibuisce alla pobabilità, e la egioe [/4, /], che taglia esattamete a metà l aea totale sottesa alla cuva costate della ψ, pe cui il cotibuto alla pobabilità è pai alla metà dell aea totale che deve essee uitaia, ossia al 50% di pobabilità. Domada (b). A pioi ci aspettiamo che tutti i livelli di eegia della buca di poteziale i cui si tova la paticella siao possibili, peché la ψ data el poblema o è uo stato stazioaio e quidi ha u eegia idetemiata, e o è eache ua combiazioe lieae di pochi stati stazioai (comuque ci iseviamo di veificae più avati se alcui di questi livelli hao poi pobabilità ulla, pe cui di fatto o soo valoi possibili). I livelli di eegia della buca di poteziale ifiita soo dati dalla solita fomula dell eegia cietica, ossia E = p /(m) = ħ k /(m), i cui peò il umeo d ode k può assumee solo i valoi cosetiti dalle codizioi al cotoo del isoatoe, ossia k = π/. Combiado queste due elazioi si ottiee la solita espessioe: isposta b, pima pate: E π = m Il valoe dei pimi te livelli è quidi il seguete: isposta b, secoda pate: π E = = = m E = E = 4E = 38 ev J 9.4 ev E = E 3 = 9E = 85 ev

4 Domada (c). a pobabilità di otteee il valoe di eegia E coispodete allo stato stazioaio φ () i ua misua sullo stato quatistico descitto dalla fuzioe d oda ψ() è data dal modulo-quado del coefficiete c dato dal podotto scalae ta le due fuzioi, ossia: = c (3) dove * φ, ψ φ( ) ψ( ) c = = d (4) Sostituedo i questa espessioe la fomula della φ () della buca ifiita, ossia ( ) si π φ = (5) e l espessioe data el testo della ψ, e usado ache la (), otteiamo: c / π π = si d cos = π (6) 0 Questa espessioe può essee esplicitata ulteiomete sfuttado il fatto che quado è dispai, il coseo si aulla, quado è pai il coseo vale o a secoda che sia divisibile pe 4 oppue o. eciò si ha alla fie 4 = π se è dispai 6 = π se è pai ma o è divisibile pe 4 = 0 se è divisibile pe 4 (7) il che mosta che i ealtà, di tutti i livelli di eegia calcolati pima, solo quelli i cui o è divisibile pe 4 possoo effettivamete isultae da ua misua di eegia. I paticolae, i pimi te livelli di eegia avao le segueti pobabilità: isposta c: = 4/π = = 40.5%; = 6/(4π ) = = 40.5%; 3 = 4/(9π ) = = 4.5% Domada (d). e valutae l itevallo di tempo t dopo il quale lo stato quatistico e quidi la fuzioe d oda toa ad essee la stessa, bisoga scivee u espessioe della fuzioe d oda i fuzioe del tempo, ossia la ψ(,t). Questo si può fae scivedo la ψ(,t) come combiazioe lieae degli stati stazioai (co i coefficieti c calcolati pima), ossia: ie t / ie t / = = ψ ( t, ) = cφ ( e ) = cφ ( e ) (8) eché la fuzioe d oda toi esattamete uguale a quella iiziale (cioè quella data dalla medesima espessioe co t = 0) è ecessaio che tutti gli espoeziali complessi ep( ie t/ħ) idivetio uguali a, il che si veifica se

5 Et Et = = multiplo iteo di π pe qualsiasi (9), I paticolae, è evidete che la codizioe (9) si veifica la pima volta pe l istate di tempo dato dalla seguete elazioe: isposta d: π h t = t = = = = E E s 0.44 fs [NOTA: i ealtà lo stato quatistico itoeebbe lo stesso ache se la fuzioe d oda o toa esattamete uguale a quella iiziale, ma si ipete a meo di ua fase abitaia, ossia si ha ψ(,t)=ψ(,0) ep(iϕ). Questa codizioe più debole ichiede solo che tutti gli espoeziali ep( ie t/ħ) divetio uguali ta loo, ma o ecessaiamete che siao uguali ad uo. I ogi caso, ua aalisi appofodita mosta che o esiste u tempo diveso da t e i suoi multipli itei i cui gli espoeziali divetao tutti uguali, pe cui la isposta esta la stessa]. Esecizio Domada (a) eegia poteziale del poblema può essee scitta come la somma di u eegia poteziale che dipede solo da ed ua che dipede solo da, ossia: U = U ( ) + U ( ) (0) co U U = ke = ke () Quidi il poblema di tovae le autofuzioi e i valoi dell eegia è effettivamete isolubile pe sepaazioe di vaiabili, ossia cecado soluzioi stazioaie della foma φ(, ) = φ ( ) φ ( ) () ocededo aalogamete a come descitto egli apputi del coso, si dimosta che ciascua delle due fuzioi φ e φ soddisfa alla stessa equazioe dell oscillatoe amoico quatistico, co la medesima costate k ω = e (3) m eciò le eegie elative a ciascua coodiata saao: ( ) E = ω + = 0,,,... ( ) E = ω + = 0,,,... (4) e l eegia totale saà isposta a, pima pate: ω( ) ω( ) E = E + E = + + = + = + = 0,,,... dove ell ultima espessioe abbiamo defiito il umeo quatico totale = + (5)

6 I te livelli più bassi soo quidi i segueti: isposta a, secoda pate: k e E0 = ω = = = m E = ω =.0 mev E = 3 ω = 3.0 mev.6 0 J.0 mev Domada (b) e ogi livello di eegia, il umeo di stati quatistici dispoibili pe ospitae elettoi è dato dal umeo di divese combiazioi degli itei ed la cui somma da lo stesso valoe di (e quidi la stessa eegia), moltiplicato pe pe teee coto dei due stati di spi (m s = +/ e m s = /). I paticolae: - Il livello = 0 coispode al solo stato (, ) = (0, 0) (quidi stati icludedo lo spi). - Il livello = coispode agli stati (, 0) e (0, ) (quidi 4 stati icludedo lo spi). - Il livello = coispode agli stati (, 0), (, ), e (0, ) (quidi 6 stati icludedo lo spi). Quidi, iempiedo dal basso gli stati co i 7 elettoi si ha la seguete isposta b, pima pate: cofiguazioe elettoica dello stato fodametale: SF = (=0) (=) 4 (=) mete l eegia si ottiee sommado le eegie degli elettoi, ossia isposta b, secoda pate: E SF = E 0 +4 E + E = (+8+3)ħω = 3ħω = 3 mev Domada (c) a più gade lughezza d oda che può essee assobita è otteuta cosideado il più piccolo salto eegetico E che può fae il sistema dei 7 elettoi a patie dallo stato fodametale (o ache da stati eccitati se il sistema è iizialmete eccitato). Il salto eegetico più piccolo possibile si ha spostado u elettoe qualsiasi da u livello al successivo (puché ci sia uo stato vuoto dove mettelo), ad esempio da = ad =, ed è quidi pai a E = ħω (6) da cui otteiamo la isposta c: λ = c = hc hc π c. mm ν E = = = ω ω Domada (d) I base alla (), le autofuzioi complessive del sistema D soo date dal podotto di ua autofuzioe elativa alla compoete ed ua elativa alla compoete, ossia α ( + ) α φ, (, ) = φ ( ) φ ( ) = NNH ( αh ) ( αe ) = NNH ( αh ) ( αe ) (7) dove è la coodiata adiale i D. I paticolae, le autofuzioi coispodeti ai due livelli più bassi di eegia soo le segueti te:

7 ( ) α + α φ (, ) = NH( αh ) ( αe ) = Ne (8) 0, α ( + ) α φ (, ) = NNH( αh ) ( αe ) = NNαe (9), α ( + ) α φ (, ) = NNH( αh ) ( αe ) = NNαe (0) 0, dove le costati di omalizzazioe N 0 ed N soo elative alle fuzioi d oda D, co umeo quatico = 0 e =. Oa, come discusso egli apputi, il mometo agolae compoete z assume valoi defiiti solo se la fuzioe d oda, espessa i coodiate polai e ϕ, assume la foma seguete: ψ (, ) = ψ(, ϕ) = R( ) e imϕ () dove m è u iteo qualsiasi (positivo o egativo). I coispodeti valoi del mometo agolae soo z = mħ () I paticolae, pe avee ua fuzioe co m = 0 basta che questa dipeda solo da (cioè abbia ua simmetia cicolae), peché ep(imϕ) = se m = 0. a (8) ha popio questa popietà pe cui, seza bisogo di combiazioi lieai, abbiamo già otteuto ua pima soluzioe: isposta d, pima pate: lo stato φ 0,0 ha u mometo agolae (comp. z) be defiito, z = 0 e tovae le alte due, ivece, isciviamo le fuzioi date dalla (9) e (0) i coodiate polai utilizzado le elazioi = cosϕ = siϕ e cui abbiamo,0 0 φ (, ) = NNαcosϕe α (3) 0, 0 φ (, ) = NNαsiϕe α (4) Queste due fuzioi o coispodoo all espessioe geeale () delle fuzioi d oda che posseggoo mometo agolae be defiito. Tuttavia, utilizzado la elazioe ep(imϕ) = cos(mϕ) + i si(mϕ), vediamo che le segueti due combiazioi lieai assumoo la foma (): ( ) α ± iϕ α,0 0, 0 0 ψ ± (, ) = φ ± iφ = NNα(cosϕ± isi ϕ) e = NNαe e, pe cui soo effettivamete fuzioi d oda che posseggoo ua compoete z del mometo agolae be defiita, coispodete a m = ±, ossia z = ±ħ. (il fattoe / seve solo pe cotiuae ad avee fuzioi d oda omalizzate dopo ave fatto la combiazioe lieae). Così abbiamo otteuto le alte due fuzioi ichieste: isposta d, secoda pate: ( ) i (, ),0 i 0, NN 0 e ϕ e α ± = ± = co z ψ φ φ α ± =±