Capitolo 12 CRITERI PER LA SCELTA DELL ONDA DI PROGETTO. f C = n

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1 Capitolo CRIERI PER LA SCELA DELL ONDA DI PROGEO f c 9/ 8/ m f C m f C f C m m f C 7/ 6/ umeosità del campioe m umeo d odie del dato del campioe pe magitudii decesceti (m: eveto massimo) 5/ 4/ / / / Magitudie Diagammi delle fequeze cumulate supeioi f C delle magitudii di ua seie auale di accadimeti pe alcui dei divesi modi di defiie tali fequeze

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3 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 55. SERIE ANNUALI E SERIE LIMIAE INFERIORMENE Gli eveti di oigie meteoica che iteessao le ifastuttue civili, siao esse dighe, poti, poti o alto, vegoo accolti i seie auali di dati o i seie limitate ifeiomete. Pe seie auali si itedoo gli isiemi dei valoi ossevati di umeosità pai al umeo di ai di ossevazioe. I paticolae, le seie dei massimi (miimi) auali cotegoo i valoi massimi (miimi) auali, e solo i massimi (miimi), estatti dalla popolazioe dei dati accolti i u dato aco tempoale. Natualmete, fissata l attezioe sui massimi, può capitae che il secodo, il tezo eveto,... ecc. i odie di magitudie di qualche ao sia supeioe al massimo di alti ai, cosicché, tascuae tali dati, può compotae ua pedita di ifomazioe sulle caatteistiche degli eveti estemi visti i temii di vaiabile aleatoia. Pe imediae a questo icoveiete si icoe, specialmete quado si dispoe di pochi ai di ossevazioe, all estazioe di tutti i dati o ifeioi ad ua assegata magitudie. La seie così otteuta è ota col ome di seie limitata ifeiomete. I paticolae, ua seie limitata ifeiomete, composta da u umeo di dati pai al umeo di ai di ossevazioe, si dice seie auale di eccedeza ed è, i geeale, ua seie diffeete dalla coispodete seie dei massimi auali. Se si dispoe di ua seie di massimi auali di N ai abbastaza estesa e si cosidea u eveto di magitudie H, la pobabilità P (H) di avee come massimo i u dato ao u eveto di magitudie uguale o supeioe ad H è data dalla elazioe appossimata, valida i teoia pe N pn P ( H ), (.) N essedo pn il umeo degli eveti o ifeioi ad H, e p ua fazioe popia (p < ). L iveso dell eq. (.) è l itevallo di tempo medio che itecoe ta due eveti di magitudie o ifeioe ad H ( H ) P R ( H ). (.) R è l itevallo di tempo che itecoe i media ta due eveti o ifeioi ad H. tale itevallo tempoale è detto tempo di itoo ed è misuato i ai peché la seie da cui deiva è composta dai soli massimi auali. La validità dell eq. (.) saà dimostata el.. Aalogamete a quato oa detto pe la seie auale, se si dispoe di ua seie limitata ifeiomete di N L elemeti e si cosidea acoa u eveto di magitudie uguale o supeioe ad H, la pobabilità P L (H) di icotae u eveto di magitudie o ifeioe ad H è data dalla elazioe appossimata, valida i teoia pe N L pl N P L ( H ) N L L, (.) essedo p L N L il umeo degli eveti supeioi ad H e p L ua fazioe popia (p L < ) L iveso dell eq. (.) è il umeo medio di eveti che itecoe ta due eveti di magitudie o ifeioe ad H

4 56 Capitolo I ( H ) P R L ( H ). (.4) I R viee detto itevallo di icoeza di ua seie limitata ifeiomete. Il tempo di itoo e l itevallo di icoeza hao sigificati diffeeti: il pimo, essedo deivato da eveti massimi auali, foisce il umeo di ai che i media itecooo ta due eveti di data magitudie; il secodo, essedo pivo del ifeimeto auale, ha solo il sigificato di icoeza dell eveto di assegata magitudie. Ad esempio, se pe u eveto di magitudie H si è tovato I R sigifica che, i media, u eveto ogi si peseta co magitudie H. Nodimeo, ta i due paameti esiste u legame stetto (Chow, 964). Se P L (H) è la pobabilità di u eveto di magitudie uguale o supeioe ad H di ua seie limitata ifeiomete composta da λn eveti, essedo λ il umeo medio di eveti pe ao ed N il umeo degli ai (λ se si adotta l accogimeto di compedee ella seie tutti i massimi auali), alloa λ P L ( H ) è il umeo medio di eveti di magitudie uguale o supeioe ad H ossevati i u ao (i λ pove o estazioi mediamete effettuate i u ao). Il suo iveso è quidi il umeo medio di ai ta due eveti, ossia, pe defiizioe, il tempo di itoo dell eveto dedotto dalla seie limitata ifeiomete: λ P L L ( H ) La pobabilità di ossevae u eveto di magitudie mioe o uguale ad H (i ua pova-estazioe ) saà petato P L ( H ) P ( H ) P ( H ). L Il umeo medio di eveti di magitudie mioe o uguale ad H ossevati i u ao è λ P L [ ] L λ λl ( H ) λ P ( H ) Nel coso di u ao, la pobabilità di o ossevae alcu eveto di magitudie maggioe o uguale ad H (che si idicheà come eveto di o supeameto) coicideà co la pobabilità di ossevae, mediamete, ogi ao, λ eveti tutti di magitudie ifeioe ad H. Assumedo che i λ eveti mediamete ossevati i u ao siao stocasticamete idipedeti, tale pobabilità saà espimibile come podotto delle pobabilità dell eveto di o supeameto i ciascua delle λ pove auali. Come agometato el capitolo 9 i sede di valutazioe della distibuzioe di pobabilità delle ode di altezza massima i ua seie di umeosità N, l eveto il valoe massimo di H è maggioe del valoe H ma equivale all eveto uo o più valoi di H soo maggioi di H ma. Petato, la pobabilità di ossevae i u ao u valoe di altezza massima maggioe del valoe H fissato è data da P [ ] ( H ) P ( H ) L λ λ L. L λ λ L λ L L. (.5)

5 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 57 ab.. I. empi di itoo della stessa vaiabile aleatoia, desuti da seie di massimi auali e da seie limitate ifeiomete. R (ai) L 5 5 (ai) L Δ R.%.% 5.%.5%.%.5%.5% R Pe valoi di H o toppo piccoli (ossia di pobabilità P L sufficietemete piccola), al posto del temie ta le paetesi tode all ultimo membo può posi il suo valoe limite e. Iolte, icodado che ell eq. (.5) il pimo membo è pe defiizioe la pobabilità di ossevae u massimo auale di magitudie uguale o supeioe ad H, si ha P ( H ) ep( ) L. (.6) euto coto dell eq. (.), l eq. (.6) dà luogo alla seguete espessioe che lega i tempi di itoo defiiti sulla base della seie limitata ifeiomete e della seie dei massimi auali L ( H ) l. (.7) R ( H ) l[ ( H ) ] Nella ab.. I soo ipotati i tempi di itoo dedotti da ua seie auale di eveti e da ua seie limitata coteete la seie auale. Si può otae che al cescee del tempo di itoo della seie auale, R, il tempo di itoo della seie limitata ifeiomete, L, tede, umeicamete, ad avviciasi sempe più a tempo di itoo R, estadoe peò sempe ifeioe. Ifatti, se il tempo di itoo R è di soli ai, il coispodete valoe di L è di.4 ai, ossia del % ifeioe, mete se il tempo di itoo R è di ai, L è pai a 9.5 ai, ossia del 5% ifeioe; ifie, se il peiodo di itoo è di ai, L è pai a 99.5 ai, che è appea ifeioe dello.5%. All atto patico, questa costatazioe pota a cocludee che se si idetifica il tempo di itoo di u dato eveto dedotto da ua seie limitata ifeiomete co il tempo di itoo dello stesso eveto come massimo auale o si commette alcu eoe impotate, puché l eveto sia elativamete ao, ossia la sua pobabilità di ossevazioe ella sigola pova-estazioe, P L (H), sia sufficietemete piccola, ovveo, acoa i alti temii, che il tempo di itoo stesso sia abbastaza gade. Si imaca che l eq. (.7) vale qualoa le seie siao composte da eveti statisticamete idipedeti. Allo scopo di veificae l esisteza di tale equisito, occoe etae el dettaglio della seie dei dati dispoibili pe cotollae l idipedeza statistica ed evitae di iseie dati appateeti allo stesso eveto fisico, come ad esempio valoi misuati i due ai cotigui detemiati da u uico eveto meteoico potattosi a cavallo della fie d ao, che, ovviamete, o soo statisticamete idipedeti. R. CONSIDERAZIONI SUI CAMPIONI DI DAI I dati di oigie meteoica possoo essee accolti i cotiuo oppue, pe poteli gestie adeguatamete e coteeli, ad oe covezioalmete pestabilite (le oe siottiche pi-

6 58 Capitolo cipali e itemedie: :, :, 6:,..., :). Dal puto di vista dell acquisizioe si distiguoo feomei vaiabili co gadualità, quali ad esempio le maee (che peò o soo eveti soltato meteoici), la tempeatua, la pessioe atmosfeica, le potate dei cosi d acqua i ua data sezioe ecc. e feomei vaiabili apidamete che, pe essee accolti compiutamete, ichiedoo u ceto tempo di esposizioe dello stumeto di misua. Dopo u adeguata elaboazioe di questi dati si ottiee u dato sitetico che, covezioalmete, viee poi attibuito ad ua ceta oa. Ad esempio, u dato di moto odoso, pe essee accolto, ecessita di u esposizioe dello stumeto pe u itevallo miimo dell odie dei miuti pimi. La egistazioe così accolta, ua volta elaboata e tadotta quidi i spetto di fequeza o diezioale, viee attibuita allo stato del moto odoso dell istate i cui è stata ultimata. Di solito l oa di attibuzioe è u oa siottica e quidi il ilievo del moto odoso ha sempe iizio cica miuti pima di tale oa. L isieme dei dati esi sitetici e achiviati costituisce la accolta stoica dei dati. Come si è detto el.6, la accolta stoica RON del moto odoso dei mai italiai, iiziata el luglio 989, è composta dai dati degli spetti diezioali o, più siteticamete, da altezza sigificativa, peiodo di picco, peiodo medio e diezioe, ifeiti alle oe siottiche. Pe uo studio degli eveti estemi, che bisoga affotae pe le veifiche delle ifastuttue, occoe estae dalla accolta stoica gli eveti eccezioali che, molto siteticamete, saao appesetati dalle massime altezze sigificative e associate diezioi, peiodi di picco e medi. Estaedo le sole altezze sigificative massime auali e i elativi peiodi pe le diezioi di pestabiliti settoi di poveieza, si ottegoo tate seie auali quato soo i settoi. La seie auale, che si può estae dalla accolta RON fio a tutto l ao 4, è composta di soli 5 elemeti pe ciascu settoe. Due massimi auali, appateeti a settoi molto divese, o possoo essee cosideati omogeei i quato podotti da codizioi meteoologiche divese e quidi o possoo essee itodotti etambi i ua stessa elaboazioe di iceca degli eveti estemi, ma ciascuo di essi dovà essee esamiato uitamete ai dati appateeti ad aaloghe codizioi meteoologiche. La scelta dei settoi di appateeza degli eveti è ecessaia pe otteee l omogeeizzazioe dei dati. Molto spesso, essedo idotto il umeo di ai di ossevazioe, le seie auali possoo essee possoo essee poco appesetative pe la valutazioe degli eveti estemi. Si può alloa icoee all uso delle seie limitate ifeiomete la cui scelta può essee giustificata cosideado che esistoo ai i cui il secodo, il tezo eveto,...etc., i odie di magitudie decescete, sia supeioe al massimo ossevato i alti ai, pe cui, se si accettao come eveti eccezioali questi ultimi, a maggio agioe si devoo accettae quelli di più alta itesità, ache se secodi o tezi,...etc. di alti ai. Iolte, come si è visto, la seie limitata ifeiomete foisce tempi di itoo che si avviciao tato più al tempo di itoo otteuto co la seie auale quato più detto tempo è gade. L aalisi delle seie campioaie compota la ecessità di cotollae l idipedeza statistica dei dati. Se pe le seie auali di massimi la possibilità di icludee eveti statisticamete o idipedeti è limitata al caso della tempesta di fie ao i cui il massimo dell ao pecedete appatiee alla stessa tempesta di quello dell ao successivo, pe le seie limitate ifeiomete la valutazioe è meo semplice e iclude i sé, i effetti, il poblema stesso di defiizioe del valoe da assumee come appesetativo della tempesta. È ifatti evidete che il secodo dato di u ao, i odie di itesità, può essee popio quello ossevato dopo sole oe dal massimo auale di quell ao. I tal caso l idipedeza statistica dei due dati o sussiste. Pe ovviae a questo icoveiete occoe stabilie u citeio di scelta dei dati da itodue ella seie. Due dati appateeti a

7 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 59 tempeste divese soo idubbiamete idipedeti; si tatta quidi di stabilie u citeio di distizioe delle tempeste. A tale poposito, i pimo luogo si può stabilie u altezza sigificativa di soglia, al di sotto della quale il moto odoso o è da cosideasi di tempesta, ma semplicemete come umoe di fodo del mae. ale soglia pe il Mediteaeo è stata idividuata i H soglia.5 m (Boccotti, 997). Valoi ossevati di altezza d oda supeioi all altezza di soglia appategoo, duque, ad ua tempesta. Iolte, la tempesta cotiua ache se l altezza dell oda si iduce a valoi ifeioi della soglia, puché la duata di tale iduzioe sia ifeioe ad u tempo massimo pestabilito che pe il Mediteaeo può essee fissato i oe. Nella Fig.. soo ipotati te esempi di tempeste del Mediteaeo aalizzate co i citei oa esposti. Ua volta idividuate le tempeste, pe essee ceti che tutti i valoi di altezza d oda itodotti ella seie limitata ifeiomete siao statisticamete idipedeti, basta itodue i essa solo i valoi massimi di tali tempeste. Resta da stabilie il citeio di omogeeità dei dati da utilizzae ella elaboazioe degli eveti estemi. Ciò è ecessaio peché, se i dati che si adopeao pe passae alla distibuzioe degli eveti estemi o soo omogeei, ache supposto di ave scelto la distibuzioe ottimale, si ischia di detemiae i elativi paameti i modo eato i quato codizioati apputo dall asseza di omogeeità. Nella scelta del limite di sepaazioe di due settoi ci si può oietae, i pima battuta, icoedo alle coosceze di tipo climatico. Come si è detto a poposito del egime dei veti, co ifeimeto al Mediteaeo si può affemae che ciascuo di questi veti poduce sul mae lo stesso egime di tempesta, duque, pe veificae l omogeeità dei dati basta che essi vegao agguppati pe settoi di poveieza dei veti che li geeao. I cosideazioe del fatto che ceti egimi di veti soo più fequeti e itesi di alti, si può veificae se ciò ha u iscoto ache sul moto odoso agguppado i dati della seie stoica pe diezioe di appateeza e tacciado u gafico che i ascisse ipota le diezioi e i odiate il coispodete umeo di volte che il dato della seie stoica viee ossevato, poedo ache ua codizioe sulle altezze d oda: ad esempio, cosideado solo le ode di altezza supeioe a.5 m. Il gafico così tacciato, che potà essee chiamato delle fequeze assolute delle altezze d oda supeioi ad u limite fissato, i geeale, peseta massimi e miimi: i massimi potao appesetae le diezioi picipali del moto odoso, i miimi i limiti di sepaazioe dei settoi di tempeste omogeee. H S (m) ua tempesta ua tempesta due tempeste a) b) c) < oe > oe duata tempesta H Soglia,5 m duata tempesta duata duata empo (oe) Fig... e esempi di tempeste di mae: a) tempesta ad u solo picco; b) tempesta a due picchi; c) due tempeste ad u picco.

8 6 Capitolo Nella Fig.. è ipotato il gafico delle fequeze assolute della seie stoica di moto odoso egistata ad Algheo dalla stazioe RON fio al 997. L esame è esteso al settoe 8 N compedete le diezioi veso le quali, secodo la covezioe alloa i uso della ete RON, è dietto il moto odoso. Nella figua si idividuao due massimi, coispodeti alle diezioi di Maestale (585 N) e di Libeccio (65845 N). Come si è ossevato el 4.5, le fequeti afflueze di masse d aia fedda che etao i Mediteaeo, pevaletemete icaalate attaveso le pote della Gaoe e del Rodao, geeao il Maestale, veto spesso molto iteso, da cui la massima fequeza e altezza d oda egistata ad Algheo i questa diezioe. I veti di Libeccio, associati a ceti depessioai di cicolazioe cicloica el ma Ligue, elle coste occidetali della Sadega si pesetao di assai più modesta itesità e fequeza del Maestale. La Fig.. pemette di idividuae due egimi omogeei di moto odoso sepaati dalla diettice compesa ta 8 e 9 N (88 6 N; 98 7 N). Si ossevi, peò, che detto limite di sepaazioe ta i settoi omogeei iguada solo le diezioi delle tempeste al massimo di itesità. Può, ifatti, capitae che le sigole tempeste abbiao iizio patedo da diezioi estee a tale limite e solo ella loo evoluzioe assumao diezioi appateeti ai suddetti settoi omogeei. Comuque le tempeste saao omialmete attibuite al settoe di appateeza della massima altezza sigificativa. Duque, voledosi assicuae l idipedeza e l omogeeità delle tempeste, ella detemiazioe delle seie limitate ifeiomete, o è sufficiete assumee semplicemete i valoi delle altezze d oda supeioi ad u dato limite, ma occoe esamiae le divese tempeste e assumee le massime altezze di queste. H>5 cm H> cm H>6 cm fequeze assolute diezioe ( N ) Fig... Fequeze assolute delle ossevazioi ella stazioe odametica di Algheo. Ai di ossevazioe ( ).

9 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 6. PERIODO DI RIORNO, DISRIBUZIONE DI PROBABILIÀ E FRE- QUENZE CUMULAE. Data ua seie auale (il campioe), ad esempio di ai, di ua vaiabile aleatoia, ci si popoe di detemiae la distibuzioe di pobabilità della vaiabile e, secodo quato e- sposto el., il peiodo medio di itoo di sigoli eveti. L eveto di massima magitudie si è veificato ua volta egli ai. uttavia, questa costatazioe o autoizza a cocludee che il peiodo di itoo dell eveto di tale magitudie è ai o, equivaletemete, che la pobabilità di ossevae il dato eveto sia pai a /. Ifatti, è compesibile che i u alta seie auale della stessa vaiabile aleatoia, sempe di ai, u eveto della stessa magitudie si possa veificae più di ua volta o ache essua. È del esto evidete che la detemiazioe della fuzioe di distibuzioe di pobabilità, oppue la fuzioe di desità di pobabilità, o può eseguisi che sulla base dello studio delle fequeze di u campioe estatto dalla seie stoica, ella cetezza che la fequeza ossevata di u eveto coicide co la sua pobabilità soltato al limite pe. Si tatta, i defiitiva, di detemiae i quale elazioe stao la pobabilità di u eveto di assegata magitudie ed il peiodo di itoo, iteso come peiodo di itoo medio. Allo scopo, si cosidei tale peiodo come ua vaiabile casuale idipedete che può assumee tutti i valoi t, essedo questo u iteo, misuato i ai, compeso ta e. Se p è la pobabilità che u eveto di assegata magitudie ha di veificasi pe ogi dato ao, la pobabilità che il peiodo di itoo di tale eveto sia uguale a t, ossia che u solo eveto si veifichi el tempo t, è data dalla pobabilità composta di t valoi di pobabilità idipedeti: uo di pobabilità di accadimeto pai a p, e t valoi di pobabilità di o accadimeto, ciascuo pai a p. Nell ipotesi di eveti statisticamete idipedeti si ha petato ( ) ( ) t t p p P R. (.8) Il valoe medio del peiodo di itoo isulta quidi t E[ R ] t p( p). (.9) p t L eq. (.9) mosta che, se il tempo a disposizioe pe l ossevazioe è ifiitamete lugo, il peiodo di itoo medio di u dato eveto cui compete la pobabilità di accadimeto p coicide co l iveso di p. Ma, pe come è stato defiita la pobabilità di u e- veto che ha il peiodo di itoo R, deve essee duque vale la elazioe P ( H ) p P, (.) E [ R ] R (.) p P ( H ) La fuzioe P P(H), che come si è detto è il complemeto ad uo della fuzioe H, ossia ( ) P ( H ) P ( H ),

10 6 Capitolo è la distibuzioe di pobabilità itodotta el capitolo 9, che appeseta la pobabilità che hao di veificasi, cumulativamete, tutti gli eveti di magitudie o supeioe ad H (pobabilità di o supeameto). A seguito di queste pecisazioi, itoducedo ell eq. (.) il peiodo di itoo medio dato dall eq. (.), si ottiee la elazioe che lega detto peiodo di itoo al valoe coispodete della fuzioe di distibuzioe di pobabilità R P (.) P o, geealizzado al caso di ua seie limitata ifeiomete e vicevesa λp L P λ R ( P) (.) R. (.4) Natualmete, la seie auale dispoibile è sempe fiita e quidi, pe detemiae il peiodo di itoo medio di u dato eveto, occoe idividuae la fuzioe teoica che meglio itepeta la seie auale, o quella limitata ifeiomete. ale fuzioe, che è da icecae ta le vaie fome dispoibili, è la fuzioe distibuzioe di pobabilità P P( H ) della vaiabile aleatoia H, o la coispodete fuzioe di desità di pobabilità, legata alla fuzioe di distibuzioe di pobabilità dalla elazioe dp p ( H ). (.5) dh Ache pe appesetae gli eveti estemi, soo dispoibili, come si è già detto i geeale el 9., umeose fome di fuzioi utilizzabili pe descivee la desità di pobabilità, o la distibuzioe. L adattameto di ua di queste fuzioi alla seie dei dati dispoibile avviee mediate la detemiazioe dei elativi paameti. ale adattameto deve fasi utilizzado le fequeze cumulate dei valoi coteuti ella seie. Si distigua la fequeza cumulata supeioe f C dalla fequeza cumulata ifeioe f C che è legata alla pima dalla elazioe f C f C e che, pe aalogia co la distibuzioe di pobabilità (pobabilità cumulata) di cui essa è ua stima, saà chiamata semplicemete fequeza cumulata. La fequeza cumulata dell eveto di assegata magitudie è solo ua stima appossimativa della pobabilità cumulata. Azi, el caso degli eveti eccezioali, l isieme delle fequeze otteibili è spesso costituito da u umeo molto limitato. Gumbel (958) ha stabilito alcui equisiti pe la detemiazioe delle fequeze cumulate supeioi dei dati della seie: a) le fequeze cumulate supeioi devoo essee detemiate utilizzado tutti i dati della seie; b) le fequeze cumulate supeioi devoo essee itee all itevallo ( m ) m, essedo m il umeo d odie decescete dei dati ed il umeo dei dati della seie (m pe l eveto massimo); c) il peiodo di itoo dell eveto massimo ossevato, o maggioe del massimo, deve avviciasi ad ;

11 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 6 d) le ossevazioi devoo essee equispaziate ella scala delle fequeze cumulate supeioi; e) la foma della fequeza cumulata supeioe deve avee u sigificato ituitivo e deve essee aaliticamete semplice. Ua foma semplice della fequeza cumulata supeioe è data dall espessioe m f C. (.6) Essa è peò difettosa i quato pe m foisce f C che è i cotasto co la codizioe di seie limitata e quidi icapace di appesetae tutti i possibili eveti, come ivece la codizioe f C poteebbe a cocludee. D alta pate la codizioe m f C, (.7) pu supeado l icoveiete evideziato, cade i difetto el caso di m che coispode all eveto massimo della seie, pe il quale si avebbe f C, ossia, cotaiamete all evideza dell ossevazioe, ua stima ulla della pobabilità di supeameto di questo eveto. Gli icoveieti delle eq. (.6) e (.7) possoo essee supeati facedo la media delle due, ossia assumedo come fequeza cumulata supeioe l espessioe m f C, (.8) che peò o ispetta la codizioe c) di Gumbel i quato pota alla coclusioe che il peiodo di itoo dell eveto massimo saebbe di, pai ad u tempo di itoo doppio della popolazioe di dati della seie. Nella Fig.. è ipotato uo schema gafico della distibuzioe delle fequeze cumulate supeioi estatte da ua ipotetica seie auale di ai. Si ota, i paticolae, la iduzioe dei dati utili che compota la iucia al valoe miimo della seie i quato pe tale dato è f c, el caso i cui si adotti la defiizioe dell eq. (.6), o la iucia al massimo della seie, el caso i cui si adotti la defiizioe dell eq. (.7), i quato pe tale dato è f c. Nella figua è ipotata ache la posizioe della fequeza cumulata supeioe otteuta mediate l equazioe m f C. (.9) Quest ultima defiizioe della fequeza cumulata soddisfa a pieo le cique codizioi di Gumbel. Ifatti, le fequeze cumulate supeioi isultao ipatite uifomemete, co il passo ( ), ell itevallo ; il valoe miimo delle fequeze cumulate è maggioe di zeo ed il valoe massimo è mioe di uo; il peiodo di itoo medio dell eveto massimo della seie di dati è di ai, che ispetta tato meglio la codizioe c) quato più è gade. Esistoo alti modi di defiie la fequeza cumulata supeioe, ma l ultimo citeio e- sposto, godedo più degli alti della semplicità dell espessioe-codizioe e) di Gumbel, è quello più diffusamete adottato e veà usato ache el seguito.

12 64 Capitolo.4 SCELA DELLA DISRIBUZIONE E CALCOLO DEI PARAMERI Nella veifica di u ifastuttua esposta al moto odoso è fodametale la coosceza dell eveto di massima itesità (espesso siteticamete come altezza e peiodo dell oda sigificativa e oto co il ome di oda di pogetto) cui detta ifastuttua potà essee esposta ell aco tempoale del suo esecizio. Questo aco tempoale, cui si da il ome di vita di pogetto e si misua i ai, può essee stabilito, come si vedà più avati, i fuzioe del tipo di opea, del livello di sicuezza el quale essa si dovà tovae pe assolvee alle sue fuzioi e, cosideato il livello di ischio pe la vita umaa, della pobabilità di daeggiameto che pe essa si potà accettae. Stabilita la vita di pogetto si tatta di stimae quale potà essee l eveto di moto odoso citico cui l ifastuttua potà essee e- sposta, avedo a disposizioe ua seie stoica di dati ossevati da cui si potà estae la seie auale o ua seie limitata ifeiomete. Natualmete, più la seie degli eveti statisticamete idipedeti è estesa, più saà affidabile la fuzioe di distibuzioe di pobabilità o la elativa desità che la itepeta. Soo dispoibili divese fome della fuzioe pobabilità e delle elative distibuzioi, cotiue e discete. a le fuzioi cotiue, pe defiie la magitudie dell eveto i fuzioe della pobabilità di accadimeto, soo molto usate elle costuzioi maittime quella di Gumbel e quella di Weibull. a le distibuzioi discete è molto usata quella di Poisso, che è adatta pe la valutazioe del ischio che l eveto si veifichi duate la vita di pogetto. f c 9/ 8/ 7/ Eq. (.6) Eq. (.7) Eq. (.8) Eq. (.9) 6/ 5/ 4/ / / / Magitudie Fig... Fome divese assute dalla fequeza cumulata delle magitudii di ua seie auale di eveti estemi pe alcui dei possibili modi di defiie tale fequeza.

13 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 65 Ua volta che sia dispoibile la seie auale o la seie limitata ifeiomete, si poe il poblema di scegliee la distibuzioe più adatta, sempe che essa esista. Si tatta di u a- spetto delicato del poblema i quato i dati dispoibili soo sempe limitati e quidi istetti a peiodi di itoo piccoli, mete gli eveti che si cecao, i geeale, hao peiodi di itoo gadi (iteessa cioè cooscee quella distibuzioe la cui coda itepeti al meglio l eveto cecato). Molte distibuzioi hao fome aaloghe ella zoa cetale, ma diffeiscoo otevolmete ella coda. Può quidi capitae che il copo cetale della distibuzioe si adatti bee ai dati speimetali, ma che la coda se e discosti e, quidi, si stimio tempi di itoo ache molto divesi da quelli più adatti pe gli eveti estemi del sito. ests di adattabilità ottimale, tipo il test del chi-quado o simili, possoo essee usati pe scegliee la distibuzioe che meglio si adatta ai dati speimetali, ma co questo o si supea il poblema di base. Comuque, ua volta fatta la scelta della distibuzioe si poe il poblema di scegliee il citeio di stima dei suoi paameti. Ache questa opeazioe è fote di eoi i quato, appoggiadosi ai dati misuati, soffe degli eoi di questi, pe cui la ottimizzazioe della stima dei paameti della distibuzioe deve tedee a edee miimi gli eoi. Esistoo quatto metodi pe detemiae i coefficieti delle distibuzioi:. il metodo dei mometi;. il metodo della massima veosimigliaza;. il metodo dei miimi quadati; 4. il metodo gafico..4. IL MEODO DEI MOMENI Questo metodo cosiste el calcolae i valoi dei q paameti della distibuzioe i modo che i pimi q mometi ispetto all oigie, o quelli cetali (fatti ispetto al valoe medio), di ua data distibuzioe p() m' ( ) p d, (.) ( ) m' p ( ) m d, (.) isultio uguali alle coispodeti stime campioaie. I coceto, uguagliado il valoe medio m μ, dato dall equazioe (.) pe, al valoe campioaio medio ' i (.) i si ottiee ua pima equazioe co tate icogite quati soo i paameti. Ua secoda equazioe si ottiee uguagliado la vaiaza del campioe s ( i ) (.) i al mometo cetale del secodo odie (vaiaza) della distibuzioe s ( ) p ( ) m d. (.4)

14 66 Capitolo Alla stessa maiea, ua teza equazioe si ottiee calcolado il mometo cetale del tezo odie del campioe κ (.5) ( )( ) ( i ) i e uguagliadolo al mometo cetale del tezo odie della distibuzioe ( ) p ( ) m d, (.6) e così via, fio ad otteee u sistema di tate equazioi quate soo le vaiabili da stimae. Risolvedo il sistema si detemiao i paameti della distibuzioe..4. IL MEODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Più efficace, ma più complesso da applicae, è il metodo della massima veosimigliaza (Maimum Likelihood, ML) che assume come stima dei paameti la q-upla che ede massima la pobabilità di estazioe del campioe, itesa come pobabilità composta di eveti statisticamete idipedeti. Scelta la distibuzioe avete la desità di pobabilità p p( ;, β...), pe ogi valoe della seie, i, si può scivee la elativa desità p p ;, β... e quidi la desità di pobabilità di estazioe dell itea seie i ( ) i L i p ( ;, β ) i.... (.7) Il valoe massimo di tale pobabilità (codizioe di massima veosimigliaza) si ottiee deivado l eq. (.7) ispetto ai paameti, β... e uguagliado a zeo le deivate. Si ottiee così u sistema di tate equazioi quate soo i coefficieti della distibuzioe..4. IL MEODO DEI MINIMI QUADRAI Meo efficace dei pecedeti due è il metodo dei miimi quadati, il quale, stabilita la fuzioe di distibuzioe P P( ;, β...), si basa sulla codizioe di miimo della somma degli scati quadatici [ fc P( i ;, β...)] i Δ, (.8) i ove f C è la fequeza cumulata coispodete alla i- esima ossevazioe di magitudie i i. Deivado l eq. (.8) ispetto ad, β... e uguagliado a zeo, si ottiee acoa u sistema di tate equazioi quati soo i paameti icogiti. Noostate il suo lago uso, il metodo dei miimi quadati o sempe è efficace pe il calcolo dei paameti..4.4 IL MEODO GRAFICO Il quato metodo, defiito gafico, cosideato il meo efficace di tutti pe la sua soggettività, cosiste el tacciae i u diagamma, ove soo state pevetivamete ipotate le coppie di valoi magitudie-fequeza cumulata, la cuva che meglio itepola i dati. I paticolae, l impiego di cate statistiche cosete di utilizzae ua tasfomazioe delle vaiabili tale che la cuva di distibuzioe di pobabilità assuma ua foma elativamete semplice, tipicamete ua etta, dalla quale, ua volta tacciata sul diagamma, sia agevole detemiae i paameti della distibuzioe oigiaia.

15 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 67.5 FAORE DI FREQUENZA Ua volta detemiati i paameti, la distibuzioe è ota. La sua utilizzazioe patica, ella detemiazioe dell eveto di assegato tempo di itoo, si basa sull uso dell eq. (.) o (.) e pesuppoe che sia esplicitabile la fuzioe distibuzioe di pobabilità. ale caatteistica o è tuttavia sempe veificata, ache pe distibuzioi elativamete semplici o, comuque, di uso fequete, come la distibuzioe omale. Al fie di semplificae i calcoli delle aalisi degli eveti estemi, Chow (964) ha poposto ua semplice equazioe geeale che appeseta la magitudie dell eveto come la somma del valoe medio della distibuzioe e di uo scato dalla media popozioale alla deviazioe stadad della distibuzioe. ale equazioe ecita μ Kσ, (.9) essedo la magitudie di u eveto di peiodo di itoo, μ e σ ispettivamete il valoe medio e la deviazioe stadad della distibuzioe. K è il fattoe di fequeza che è fuzioe del peiodo di itoo e del tipo di distibuzioe. Pe ogi distibuzioe scelta, esiste cioè ua elazioe che lega il peiodo di itoo co il fattoe di fequeza. L equazioe (.9) può scivesi, i modo appossimato, utilizzado la media e la deviazioe stadad s campioaie K s (.) le quali, pealto, coicidoo co i coispodeti paameti stimati pe la distibuzioe se l aalisi è stata codotta co il metodo dei mometi impoedo l uguagliaza della media e della vaiaza co i coispodeti valoi campioai..6 ERRORE SANDARD E INERVALLO DI CONFIDENZA DELLA SIMA L eoe stadad è la deviazioe stadad delle magitudii degli eveti calcolate mediate la distibuzioe, i cui paameti soo otteuti i base ai valoi del campioe ispetto alla magitudie vea degli eveti. Esso espime la botà della stima opeata ella valutazioe dei paameti della distibuzioe, ma o espime alcuché sulla scelta della foma della fuzioe distibuzioe assuta. L eoe stadad è defiito dalla elazioe essedo δ ua fuzioe del fattoe di fequeza K ( δ δ ( ) S δ s, (.) K ). L eoe stadad è duque fuzioe del peiodo di itoo e pe mettee i evideza questo aspetto esso è stato idicato co S. Dato il tipo di distibuzioe utilizzata ell aalisi statistica, esso potà essee calcolato i fuzioe dei valoi dei paameti della distibuzioe, stimati co il metodo dei mometi o co il metodo della massima veosimigliaza. Sulla base del valoe dell eoe stadad detemiato, si può valutae i modo elativamete semplice l itevallo di cofideza ± Δ all iteo del quale il valoe veo *, associato al peiodo di itoo e calcolato co l eq. (.), icade ispetto al valoe calcolato co ua assegata pobabilità (livello di cofideza). Si dice livello di sigificatività della stima la metà del complemeto ad uo del livello di cofideza. Esso appeseta la C

16 68 Capitolo pobabilità che il valoe veo * icada i ua delle due code della distibuzioe itee all itevallo di cofideza ispetto a. La detemiazioe dell itevallo di cofideza può eseguisi igoosamete mediate u metodo aalitico basato sulla detemiazioe della distibuzioe della vaiabile aleatoia i fuzioe della distibuzioe di pobabilità P() della vaiabile, detemiata co uo dei metodi descitti i pecedeza. Il pocedimeto è tuttavia piuttosto lugo e complesso. I alteativa, u metodo empiico speditivo pe la detemiazioe dell itevallo di cofideza Δ C, basato sull ipotesi che la distibuzioe degli eveti di peiodo di itoo sia ua distibuzioe omale, è dato dalla elazioe Δ C t S, (.) i cui t è il fattile della distibuzioe omale stadadizzata coispodete al livello di cofideza ichiesto. Detto * il valoe veo della vaiabile coispodete al peiodo di itoo si ha quidi co pobabilità pai al livello di cofideza. Δ Δ, C * C.7 LE DISRIBUZIONI CONINUE Si suppoga di dispoe di ua seie di dati ossevati co ua assegata fequeza, ad es. tioaia. Ogi ao della seie costituisce u campioe di u umeo fisso di ossevazioi, pai a N98B (B se l ao è bisestile; B se l ao o è bisestile) el caso di ossevazioi tioaie. Pe ai di ossevazioe si dispoe di ua popolazioe di N dati. La distibuzioe dei massimi auali ossevati, al cescee del umeo di ai di ossevazioe, tede asitoticamete ad ua foma limite. La foma dell adameto asitotico dipede dal tipo della distibuzioe della seie degli N dati. Fishe e ippett (99) hao mostato che esistoo te possibili soluzioi pe la distibuzioe dei massimi (o dei miimi): distibuzioe tipo I (illimitata); distibuzioe tipo II (limitata ifeiomete); distibuzioe tipo III (limitata supeiomete)..7. LA DISRIBUZIONE DI GUMBEL (ESREMALE IPO I) Pe la iceca degli eveti estemi è molto usata la distibuzioe tipo I, detta ache di Gumbel (958), che costituisce la foma asitotica di ua distibuzioe iiziale di tipo e- spoeziale, quale, ad esempio, la distibuzioe Nomale o Logomale. La sua foma è La coispodete desità di pobabilità è ( ) ep{ ep[ ( β )]} P. (.) ( ) ep{ ( β ) ep[ ( β )]} p. (.4) L iveso di è detto paameto di scala e β è detto paameto del posto (locatio paamete).

17 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 69 L eq. (.) espime la pobabilità cumulata degli eveti o supeioi ad ; essa è illimitata ( < < ): vale zeo pe e vale (cetezza dell accadimeto) pe. Itoducedo la vaiabile idotta y ( β ) si svicola la distibuzioe dalla cotigeza della paticolaità della seie cui le eq. (.) e (.4) soo vicolate. Si ha così p P( y) ep[ ep( y) ] ( y) ep[ y ep( y) ], (.5). (.6).7.. Stima dei Paameti della Distibuzioe di Gumbel Lowey e Nash (97) hao esamiato divesi metodi di stima dei paameti della distibuzioe estemale tipo I iscotado che il metodo della massima veosimigliaza è il più efficace; tuttavia, essi accomadao il metodo dei mometi pe la sua semplicità e pe la macaza di distosioe (bias). Pe questo, el seguito, ci si limita all applicazioe di questo metodo. Il mometo di odie della desità di pobabilità (.6) è dato dalla elazioe Poedo z ep( y) m' y,, essedo [ y ep( y) ]dy y ep. (.7) dz dy, l eq. (.7) diveta z ( l z) ep( z) m ' dz. (.8) y, Il mometo del pimo odie isulta duque ( z) m ' l z ep dz, (.9) y, che è la costate di Euleo-Mascheoi: γ E.577. Ritoado alla vaiabile oigiaia, si ha m' y, γ E m ', β β. (.4) Come è stato mostato da Gumbel (958), il mometo cetale del secodo odie è dato dalla elazioe m y, m, π 6. (.4) Sostituedo al pimo membo delle eq. (.4) e (.4) ispettivamete il valo medio e la vaiaza s campioaie, si ottiee u sistema di due equazioi elle due icogite e β che foisce i segueti isultati Uo stimatoe E(W ) di u paameto θ si dice coetto (ubiased, o distoto) quado E(W ) θ. I caso cotaio lo stimatoe si dice distoto e il elativo scato del valoe atteso dal valoe veo è detto eoe sistematico (bias).

18 7 Capitolo.85, (.4) s β. 45 s (.4) I coefficieti di asimmetia (skewess) e cutosi (mometi cetali del tezo e quato odie omalizzati ispettivamete co il cubo e la quata poteza della deviazioe stadad) della distibuzioe estemale del tipo I soo delle costati e valgoo ispettivamete m m4 γ.4 e γ 5.4. m m ( ) ( ).7.. Fattoe di Fequeza della Distibuzioe di Gumbel Sostituedo al pimo membo dell eq. (.5) l eq. (.4) ed esplicitado ispetto ad y si ottiee la elazioe R y l l, (.44) R ove il pedice della vaiabile idotta sta a sigificae che tale vaiabile è calcolata pe il peiodo di itoo R. I paticolae, data ua seie di elemeti disposti i odie decescete, co il pedice m che assume il valoe pe il massimo della seie ed il valoe pe il miimo, il tempo di itoo che compete all m-esimo temie, assimilado la pobabilità cumulata alla coispodete fequeza e assumedo pe questa l espessioe data dall eq. (.9), si ha R, (.45) fc f m C che, sostituita ell eq. (.44), foisce m y m l l, (.46) ove il pedice m della vaiabile idotta sigifica che tale vaiabile è calcolata pe l eveto la cui magitudie ha la m-esima posizioe. Mediate l eq. (.46) si può icostuie ua volta pe tutte la seie degli valoi della vaiabile idotta. Si può quidi calcolae la media di questa seie e la vaiaza y y m (.47) m s y ( ym y). (.48) m Itoducedo il valoe otteuto dall eq. (.48) ella pima delle eq. (.4) e calcolado la deviazioe stadad s della seie campioaia dei dati della vaiabile oigiaia, si ottiee la elazioe

19 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 7 s y s. (.49) Aalogamete, itoducedo il valoe otteuto dall eq. (.47) ella pima delle eq. (.4) e calcolado la media dei valoi della seie campioaia dei dati della vaiabile oigiaia, si ottiee y β. (.5) Dalle eq. (.49) e (.5) si possoo quidi icavae i paameti e β s y, (.5) s y β s. (.5) s Ricodado che ta la vaiabile idotta y e la vaiabile aleatoia esiste la elazioe y β, (.5) y ( ) esplicitado ispetto ad e sostituedo i valoi di e β, si ottiee y y s, (.54) s ove y è dato dall eq. (.44). L eq. (.54) è fomalmete idetica all eq. (.) e quidi il fattoe di fequeza, el caso paticolae della distibuzioe di Gumbel, vale K y y y. (.55) sy Riassumedo, assegato il umeo dei temii della seie, mediate l eq. (.46) si può icostuie la seie delle vaiabili idotte e quidi calcolae la sua media (eq. (.47) e la sua vaiaza (eq. (.48)); assegato il peiodo di itoo R, utilizzado l eq. (.44), si calcola la coispodete vaiabile idotta y ; etado co questi valoi ell eq. (.55) si detemia il fattoe di fequeza K. L eq. (.54) assume la foma K s. (.) Si deve peò icodae che K è ache fuzioe del umeo dei dati della seie, pe via del valoe medio y e della deviazioe stadad s y. Nella ab.. II soo ipotati i valoi di K i fuzioe del peiodo di itoo R e del umeo dei dati della seie. U alto modo pe detemiae il fattoe di fequeza cosiste el sostituie el pimo membo dell eq. (.) il secodo membo dell eq. (.4). L equazioe così otteuta, esplicitata ispetto ad foisce R β l l, (.56) R

20 7 Capitolo ab.. II. Fattoe di fequeza K pe la distibuzioe estemale tipo I- Peiodo di itoo (ai) ove il pedice della vaiabile vuole appesetae acoa il legame di questa vaiabile co il peiodo di itoo R. Sostituedo ell eq. (.56) i valoi di e β delle eq. (.4) e (.4) si ottiee R l l s, (.57) R la quale, paagoata all eq. (.), pemette di foie u alta foma del fattoe di fequeza R K l l. (.58) R L espessioe di K dell eq. (.58) è svicolata dalla dimesioe del campioe, ma solo appaetemete i quato essa, pe come è stata icavata, è valida pe u campioe ifiitamete umeoso. Ifatti può essee otteuta come limite pe dell eq. (.55)..7.. Eoe Stadad Se il fattoe di fequeza o è fuzioe del coefficiete di asimmetia, come el pesete caso, l eoe stadad della stima della distibuzioe a due paameti, come quella di cui si tatta, assume la foma semplice: s K Kγ ( γ ), (.59) 4 S essedo γ (γ.96) il coefficiete di asimmetia e γ (γ 5.4) il coefficiete di cutosi.

21 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 7 Sostituedo ell eq. (.59) il valoi dei coefficieti γ e γ si ottiee S (.96 K.K ) s s δ. (.6) Il fattoe δ è ipotato ella ab.. III. Nota la vaiaza, é elativamete semplice calcolae il valoe dell eoe stadad. Ad es., sia il valoe, calcolato da ua seie auale di 55 eveti, della vaiabile casuale di u eveto co ai di peiodo di itoo. Dalla ab.. III isulta δ4.6, pe cui, calcolata la deviazioe stadad s dei dati della seie, è immediato calcolae S mediate l eq. (.6). L itevallo di cofideza del valoe calcolato al 95% isulta quidi C I ±.96 S. (.6) essedo il fattile di odie.975 della distibuzioe omale pai a LA DISRIBUZIONE DI WEIBULL (ESREMALE IPO III) Delle te fome di distibuzioe estemale stabilite da Fishe e ippett (98), la estemale tipo III, limitata supeiomete, è stata utilizzata i idologia pe l aalisi dei deflussi di maga, ei quali i valoi della vaiabile aleatoia soo tato più ai quato più soo piccoli. La distibuzioe di Weibull, deivata dalla estemale tipo III, è ivece limitata ifeiomete e può essee utilizzata pe l aalisi di eveti estemi quali le tempeste, ei quali i valoi alti della vaiabile soo associati a tempi di itoo elevati. La caatteistica della limitazioe ifeioe implica l esisteza di u valoe miimo della vaiabile aleatoia pe il quale la pobabilità di supeameto è pai ad uo. Nella sua espessioe più geeale la distibuzioe di Weibull ha la foma ( ) P ep, (.6) C ove è il valoe miimo della vaiabile statistica che è itepetabile co l eq. (.6) ed è detto paameto del posto (locatio paamete), C è il paameto di scala e il paameto di foma. Pe tutti gli >, l eq. (.6) appeseta la pobabilità cumulata di icotae u valoe della vaiabile aleatoia o ifeioe ad. Voledo applicae la distibuzioe di Weibull al calcolo delle ode esteme, occoe quidi cosideae la foma ( ) ( ) P P ep. (.6) C Il paameto di foma può vaiae di solito eto gli estemi.75. Co.75 si hao i valoi estemi più alti; pe compeso ta. e.4 si hao stime aaloghe a quelle della distibuzioe di Gumbel; co si ha ua distibuzioe fomalmete idetica a quella di Rayleigh. La desità di pobabilità dell eq. (.6) è data dalla elazioe ( ) p ep (.64) C C C

22 74 Capitolo ab.. III. Paameto δ pe il calcolo dell eoe stadad della distibuzioe estemale tipo I. Peiodo di itoo (ai) Sostituedo all espoete dell eq. (.6) la vaiabile idotta y C, (.65) le eq. (.6) e (.64) divetao ispettivamete p P ( y) ep( y), (.66) ( ) ( y) y ep( y) C. (.67).7.. Stima dei Paameti alvolta, pe semplicità di calcolo, ell eq. (.6) si poe, otteedosi così la iduzioe del umeo dei paameti a due. uttavia, a causa della tedeza dei valoi più piccoli di a deviae dalla etta el piao coodiato fequeze cumulate-vaiabile aleatoia, come è stato suggeito da Hombs (977), è bee mateee la foma completa della distibuzioe di Weibull, co i te paameti. Nella stima dei paameti ci si limita all adozioe del metodo dei mometi che, ispetto al metodo della massima veosimigliaza, è di più immediata applicazioe. L espessioe geeale del mometo di odie della distibuzioe di Weibull, ifeita al valoe miimo della vaiabile aleatoia, è data dall espessioe m, ( ) C C ( ) ep C d. (.68)

23 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 75 Sostituedo ell eq. (.68) la vaiabile idotta y [eq. (.65)], si ottiee ( ) ( ) C y C, dy e y m. (.69) Pe le ote popietà della fuzioe, se l agometo è u iteo, si ha! ; se l agometo >, si ha..., (.7) co iteo positivo ed <. Se l agometo <, si ha.... (.7) Calcolata la fuzioe, applicado la secoda eq. (.69), è immediato il calcolo del mometo di odie ; ad es. il mometo del pimo odie vale ( ) m C,, (.7) e quidi il mometo del pimo odie ispetto all oigie (valo medio) diveta ( ) ' m C. (.7) Il mometo del secodo odie ispetto al valoe miimo vale ( ) m C, (.74) e il mometo cetale del secodo odie (vaiaza) ( ),, m m s m da cui, sostituedovi le eq. (.7) e (.74), si icava ( ) s m C. (.75) Aalogamete, si ottegoo gli alti mometi ispetto all oigie (pe il successivo calcolo dell eoe stadad sevoo tutti i mometi fio al sesto odie)

24 Capitolo 76 ( ) ( ),,,, m m m m m, ossia, sostituedo le eq. (.7) e (.74) ( ) m C. (.76) ( ) m 4 4 C 4, (.77) ( ) m 5 5 mi C 5, (.78) ( ) m C 6. (.79) Si defiiscao oa due paameti s A C, (.8) s B C. (.8) Pe l eq.(.75) il paameto B vale B. (.8) Sommado al pimo e secodo membo dell eq. (.7) si ottiee ( ) ' m C. Sottaedo al pimo e secodo membo C, dopo ave diviso tutto pe s e teuto coto delle eq. (.8) e (.8), si ottiee la seguete espessioe del paameto A B A. (.8) Il coefficiete di asimmetia della distibuzioe ( ) m m γ,

25 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 77 dopo la sostituzioe al posto di m ed m delle elative espessioi (.75) e (.76), teuto ache coto dell eq. (.8), assume la foma γ B. (.84) L eq. (.84) è solo fuzioe di, duque, calcolado la stima campioaia del coefficiete di asimmetia ella foma ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ γ (.85) [ ] e sostituedo il valoe otteuto ell eq. (.84), si ottiee il valoe di i fuzioe di B. Noto si possoo detemiae B mediate l eq. (.8) ed A mediate l eq. (.8) e quidi C C A s, (.86) B s, (.87) C i cui e s soo le stime campioaie della media e della deviazioe stadad, date ispettivamete dalle eq. (.) e (.). U modo apido pe isolvee l eq. (.84) è foito dalla elazioe, (.88) a 4 a ˆ γ a ˆ γ a4 ˆ γ a5 ˆ γ co i segueti valoi dei coefficieti a a a.6774 a a L appossimazioe dell eq. (.88) è valida pe valoi di ˆγ compesi ta. e., itevallo pe il quale la fomula appossimata ha u coefficiete di coelazioe di.9999 e u eoe stadad di Nella ab.. IV soo ipotati i valoi del paameto della distibuzioe e dei paameti A e B i fuzioe di ˆγ. Se ella distibuzioe si può poe, il metodo di stima dei estati paameti C e diveta assai più semplice, ache se meo accuato. Pe C l eq. (.6) diveta ( ) e. 6 P C. (.89) Il valoe mediao della distibuzioe estemale tipo III, pe il quale la vaiabile aleatoia assume il valoe M, si ha pe P. 5. Pe questa coppia di valoi l eq. (.6) foisce

26 Capitolo 78 ( ) C l M. (.9) A questo puto, tacciato il gafico dei dati i fuzioe delle fequeze cumulate, i valoi di C ed M possoo essee icavati dal gafico pe i valoi di 5. P e di.6 P. Idi, la sostituzioe del valoe M tovato ell eq. (.9) pemette di icavae il valoe di..7.. Fattoe di Fequeza Esplicitado l eq. (.6) ispetto alla vaiabile e sostituedo al posto di P il peiodo di itoo R otteibile dalla pima delle eq. (.), si ha la elazioe valida pe ua seie auale ( ) ( ) [ ] R C l. (.9) Nel caso i cui l aalisi statistica vega eseguita su ua seie limitata ifeiomete la elazioe fa il tempo di itoo e la pobabilità di supeameto è data dalla eq. (.). Pealto, si è mostato che pe eveti abbastaza poco fequeti i due tempi di itoo stimati co la seie limitata ifeiomete o co la seie auale soo paticamete uguali (ab.. I). Sostituedo ell eq. (.9) i paameti A e B defiiti dalle eq. (.8) e (.8) si ottiee la elazioe s l B B A R, (.9) L eq. (.9) pemette di icooscee che il fattoe di fequeza K della distibuzioe e- stemale tipo III è dato dalla elazioe l B A K R. (.9) L eq. (.9) idica che il fattoe di fequeza K è fuzioe di γ, attaveso A, B ed, e di R. Nella ab.. V esso è ipotato pe alcui valoi di γ e del peiodo di itoo R..7.. Eoe Stadad della Stima L eoe stadad della stima, calcolato co il metodo dei mometi pe la distibuzioe coteete te paameti, ha la foma geeale ( ) K 5 K 6 K 4 K K m S 4 γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ. (.94)

27 Citei pe la scelta dell oda di pogetto 79 ab.. IV. Paameti, A e B i fuzioe del coefficiete di asimmetia γ. γ A B I coefficieti di asimmetia γ, di cutosi γ e gli alti due coefficieti γ e γ 4 si ottegoo facilmete facedo i appoti dei mometi di tezo (eq..76), quato (eq..77), quito (eq..78) e sesto odie (eq..79), ispetto alla poteza teza, quata, quita e sesta della adice quadata del mometo cetale del secodo odie (eq..75). Il fattoe di fequeza K si calcola mediate l eq. (.9). Resta da calcolae K γ che può otteesi i via aalitica o i via umeica.

28 8 Capitolo ab.. V. Fattoe di fequeza K della distibuzioe estemale tipo III. γ Peiodo di itoo (ai) Aaliticamete si ha K K ( ) γ ( ) γ ove K ( ) si ottiee deivado l eq. (.9) e ( ) γ (.84), otado che ( ) ( ) ( ) ψ ( ), (.95) deivado l eq., (.96) essedo ψ la fuzioe psi, detta ache fuzioe digamma che può essee calcolata co ua fuzioe asitotica (Abamowitz e Stegu, 965). Secodo quato ifeito da Codie e Ni (975) pe mateee l accuatezza ai bassi valoi della vaiabile, la fuzioe ψ si può calcolae mediate la seguete espessioe ψ ( z) l( z ) 4 6 ( z ) ( z ) ( z ) 5( z ) z z Idicado co y l( ), G ( ) e co ψ ( ) la foma R P. (.97), l eq. (.95) assume