RICHIAMI DI MATEMATICA GENERALE

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1 RIHIAI DI ATEATIA GENERALE Le poteze co espoete iteo a co a a a Le poteze co espoete azioale a m m co a Le popietà delle poteze a : a y a y a a y a +y a a a a volte a a a co a, > a m a m a m co a >, m > a y a y a b (a b) a : b a: b co b Regole di deivazioe Popietà dei logaitmi a log ab b D[k f()] k f D f ± g log a f pecè ± g () a log D f a a g pecè f a a g + f g logf a b c log a b + log a c co b >, c > D g f g + f g log b g 2 () a c log ab log a c co b >, c > Regole di deivazioe pe le fuzioi composte log a b log a b co b > D f g f z g co z g log D[f a b] g() log [f ] ab g() co g b > lf + g() f () f() Deivate fodametali Limiti Notevoli utili lim + D k D e ma ace lim + f() e f() f() D[l ] ma ace D[l f()] f () f() lim ( + ) e ma ace lim [ + f ] f( ) e f() f () D ma ace D f() + [ + f ] f() lim ma ace lim f() f() D α α α ma ace D f() α α[f()] α f () lim lim e e f() ma ace lim D f() f() 2 ma ace D f() f () f 2 () a D a a la ma ache D lima f() a loga f () la ( + ) k D e e k ma ace D e f() e f () D[log a ] log a e APITALIZZAZIONE SPOSTAENTO DI APITALI VERSO IL FUTURO OPERAZIONE FINANZIARIA di INVESTIENTO (LE USITE PREEDONO LE ENTRARE): all istate t ivesto u capitale che possiedo e i u successivo istate t2 avò u ammotae pai a (maggioe di ). I questo caso il compeso coseguete all opeazioe attuata pede il ome di INTERESSE ed equivale a: I U opeazioe di ivestimeto può essee: i seso stetto: la scadeza dell ultima uscita pecede la pima etata i seso lato: la scadeza media dei costi pecede la scadeza del pimo icavo i seso geeale: la scadeza media fiaziaia dei costi è mioe della scadeza media dei icavi. LEGGI DI APITALIZZAZIONE: ipotizzado e t t 2 ua geeica fuzioe Φ, t, t 2 è ua legge di capitalizzazioe se ispetta queste popietà miime: ^Φ (, t, t2) se e t t2 Impiegado u otteò u ^Φ (, t, t) se e t t2 Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia

2 Se impesto il capitale i t e ello stesso istate t mi estituiscoo il capitale dato i pestito i otteò lo stesso capitale. 2^Φ (, t, t2) <Φ (, t, t3) se > e t t2 t3 Lo stesso capitale, positivo, impiegato all istate t dà oigie ad u motate tato maggioe quato è più luga la duata dell impiego. 3^Φ (, t, t2) <Φ (2, t, t2) se t t2 e 2 ) Negli esecizi pe veificae la popietà 2^ occoe veificae che la fuzioe data cesca al 2) cescee 3) di t2 e quidi veificae che la deivata ispetto t2sia positiva, cioè >. t 2 Pe 4) veificae la popietà 3^ ivece occoe veificae che la fuzioe data cesca al cescee 5) VDSFHFHJU di 6) e quidi veificae che la deivata ispettosia positiva,cioè >. LEGGI DI INTERESSE ONOSENDO, t, t2 si può TROVARE l iteesse: I LEGGI DI APITALIZZAZIONE ONOSENDO, t, t2 si può TROVARE il motate: + I Le leggi di capitalizzazioe possoo essee A PRONTIoppue A TERINE. LEGGI DI APITALIZZAZIONE A PRONTI: immagiiamo che oggi all istate s (co s) si ivesta il capitale e i cambio di alla scadeza futua, z, si iceva il capitale. Questa legge è a poti i quato è fatta OGGI. s z s z Dobbiamo tovae ua fuzioe Φ che abbia te vaiabili,s, z che coseta di calcolae. Duque: Φ s (, s, z) Oss: l idice Φ s idica che la legge è a poti ed iizia oggi. I modo aalogo possiamo icavae ua legge di iteesse a poti: I F s (, s, z) LEGGE DI APITALIZZAZIONE A TERINE: immagiiamo che oggi sia il tempo s (co s) e si cotatti u OPERAZIONE FINANZIARIA PER IL FUTURO. I cambio del capitale, si iveste all istate t (co t > s) e all istate t2veà estituito il motate. s t t2 s < t t 2 Ache i questo caso si possoo dae ua legge di capitalizzazioe a temie: Φ s (, t, t 2 ) ed ua legge di iteesse a temie: I F s (, t, t 2 ) Oss: teiamo l idicespe die che l opeazioe fiaziaia è stipulata oggi ma iguada il futuo ifatti s <t. Ipotizziamo di aivae all istate t e di fae u cotatto a poti Φ t (, t, t 2 ): questa legge o è detto che sia uguale a Φ s pechè il mecato potebbe essee cambiato. LEGGI DI APITALIZZAZIONE UNIFORI o STAZIONARIA NEL TEPO Φ, t, t 2 t t+ t2 t2+ Φ, t +, t 2 + Φ è UNIFORE O STAZIONARIA Φ, t, t 2 Φ, t +, t 2 + tale che t + t 2 + Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia

3 Ua legge è uifome el tempo se il motate dipede solo dal tempo impiegato t e o dagli istati t et 2. Negli esecizi DIOSTRO Φ, t, t 2 Φ, t +, t 2 +. Pe calcolae Φ, t +, t 2 + iseisco t + e t 2 + e le si devoo semplificae. LEGGI DI APITALIZZAZIONE ADDITIVE RISPETTO AL APITALE: se la legge di capitalizzazioe è additiva ispetto al capitale, il motate di ua capitale che sia somma di due capitali è pai alla somma dei motati di ciascuo dei due capitali. Φ è ADDITIVA RISPETTO AL APITALE Φ, t, t 2 + Φ 2, t, t 2 Φ + 2, t, t 2 co t t 2, 2 Le fuzioi che soddisfao la fomula di additività ispetto al capitale Φ, t, t 2 + Φ 2, t, t 2 Φ + 2,t,t2soo del tipo: Φ, t, t 2 f(t, t 2 ) Il fattoe f t, t 2 è detto FATTORE DI APITALIZZAZIONE DA t A t 2 PROPRIETA INIE DEL FATTORE DI APITALIZZAZIONE ^ f t, t t 2^ da f t, t 2 < f t, t 3 co t t 2 < t 3 e > si icava: f t, t 2 < f t, t 3 quado t t 2 < t 3 Dalle popietà ^ e 2^ segue che f t, t 2 > t, t 2 co t t 2 Nelle leggi di capitalizzazioe cotempoaeamete additive ispetto al capitale e uifomi el tempo k(t) è il FATTORE DI APITALIZZAZIONE pe UN IPIEGO DI APITALE DI DURATA t ANNI. LEGGI DI APITALIZZAZIONE SOPONIBILE Φ, t, t 2 t t z t2 I patica cosa faccio? Impiego da t a t2 e tovo i t2φ, t, t 2 poi capitalizzo fio a z e i seguito capitalizzo da z a t2 e alla fie tovo lo stesso isultato di quado ho impiegato da t a t2. Il motate it 2 del capitale ivestito it o muta se i qualuque istate z, t z t2 si disiveste il motate otteuto i z e lo si eiveste pe il peiodo estate che va da z a t2, sempe facedo ifeimeto alla legge di capitalizzazioe Φ. Φ è SOPONIBILE t, t 2, z co t z t 2 si ha Φ(Φ, t, z, z, t 2 ) Φ, t, t 2 LEGGI DI APITALIZZAZIONE SINDIBILE se è additiva ispetto al capitale e scompoibile. Pe veificae la codizioe impoemo al fattoe di capitalizzazioe (tipico della legge additiva) la codizioe di scidibilità. ONDIZIONE DI SINDIBILITA :f t, z f z, t 2 f t, t 2 >, t, t 2, z co t z t 2 Dal puto di vista fiaziaio: f t, t 2 t t z t2 f t, z f z, t 2 Si dimosta che ella classe delle fuzioi : f:, +, +, + [, + ) f è dotata di deivata pima cotiua ispetto ai suoi agometi, f soddisfa le segueti popietà: ^ f t, t t 2^ f t, t 2 < f t, t 3 quado t t 2 < t 3 Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia

4 e le sole fuzioi che soddisfao la codizioe di scidibilità soo del tipo: Possiamo quidi affemae che: t2 ρ z dz f t, t 2 e t, co ρ z > z [, + ) Φ è SINDIBILE Φ, t, t 2 e t 2 ρ s ds t ρ s, s [, + ) Ossevazioe: abbiamo visto che ua legge di capitalizzazioe che soddisfa la popietà Φ Φ, t, z, z, t 2 Φ, t, t 2 è detta scompoibile. Se è ache additiva ispetto al capitale, alloa è scidibile. ESISTONO TUTTAVIA LEGGI SOPONIBILI A NON SINDIBILI. Ad esempio la legge: Φ, t, t 2 ( + ) t 2 t - Soddisfa le popietà miime pe essee ua legge di capitalizzazioe, soddisfa la Φ Φ, t, z, z, t 2 Φ, t, t 2, ma o è additiva ispetto al capitale. Essa è scompoibile ma o è scidibile. REGIE DI INTERESSE SEPLIE: abbiamo ua legge di iteesse semplice quado l iteesse podotto dal capitale impiegato pe t ai è diettamete popozioale al capitale e alla duata. LEGGE DI INTERESSE SEPLIE SE i E OSTANTE: I, t i t LEGGE DI APITALIZZAZIONE SEPLIE SE i E OSTANTE:, t ( + it) Dove ( + it)è il fattoe di capitalizzazioe semplice pe ua duata di t ai al tasso i. LEGGE DI INTERESSE SE i NON E OSTANTE I s LEGGE DI APITALIZZAZIONE SE i NON E OSTANTE : + i (s) t s s i (s) t s I geeale se i vaia basta calcolae l iteesse i ogi itevallo e sommalo al capitale pe avee REGIE DI APITALIZZAZIONE OPOSTA ANNUA:il peiodo di impiego di ua capitale è diviso i itevalli, detti peiodi di capitalizzazioe, solitamete u ao, e al temie di ciascu peiodo gli iteessi soo aggiuti ai capitali e l impoto otteuto viee eimpiegato el peiodo successivo: si ealizza la capitalizzazioe degli iteessi. LEGGE INTERESSE OPOSTA se i costate: I, + i [ + i ] LEGGE DI APITALIZZAZIONE OPOSTA se i costate:, ( + i) Dove ( + i) è il fattoe di capitalizzazioe composta aua pe ua duata di ai al tasso i. Ossevazioe: la legge di capitalizzazioe composta, ( + i) è additiva ispetto al capitale ed uifome el tempo e scidibile. LEGGE DI APITALIZZAZIONE OPOSTA ANNUA SE i NON E OSTANTE : + i + i i s + i s s LEGGE DI INTERESSE IN APITALIZZAZIONE OPOSTA ANNUA SE i NON E OSTANTE: I geeale se i vaia ( + i ) ai i cui è i vigoe i I + i s s Se il peiodo di impiego o è u umeo iteo di ai: (pate itea) + pate o itea itea. Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia s ONVENZIONE ESPONENZIALE: pe tovae il motate utilizzo la capitalizzazioe composta ache se o è iteo.

5 + i + i +( 2 ) dove 2 è la pate o itea ONVENZIONE ISTA: il motate si tova i questo modo: impiego fio a i capitalizzazioe composta e poi il capitale che tovo i lo impiego i capitalizzazioe semplice. + i + ipate o itea NOTA BENE: a paità di valoi, il motate otteuto co covezioe mista è maggioe del motate otteuto co covezioe espoeziale. (p>) iteo + p + Dati,, i tovae ( + i) + i + i + i + ip Dati,, i tovae ( + i) ( + i) + i + ip Dati,, i tovae > Dati,, tovae i > ( + i) ( + i) l l( + i) l l ( + i) l l ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) + i + i + ip + i + ip + i + ip + i ip p + i i o è soluzioe poichè + p: ho usato la elazioe del motate pe tovae la pate o itea. ASO + i + ip + ip + ip ip p i i ASO + i + ip ( + i) + ip ( + i) + ip + ip + i + pi2 Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia

6 pi p i + ( + p) ± ( + p) 2 4p i,2 2p ASO 2,3, NON SIAO IN GRADO DI RISOLVERLO! ONVENZIONE DI / BANARIO I geee le bache calcolao gli iteessi podotti usado la legge di iteesse semplice e aggiugedo questi iteessi al capitale già sul coto coete a scadeze pefissate (come la fie di ogi ao solae, a fie semeste, ). I queste scadeze pefissate avviee quidi la capitalizzazioe degli iteessi che, aggiuti al già esistete capitale, vao a podue ach essi uovi iteessi. IPOTESI SEPLIFIATRII ao 2 mesi mese /2 di ao gioo /3 di mese tasso auo i costate pe il peiodo cosideato... mesi ai y mesi L iteesse podotto alla fie degli mesi iiziali (cioè i ) è calcolato i iteesse semplice ed è i 2 ; esso viee aggiuto al capitale i c/c. Alloa il capitale i c/c all iizio degli ai (cioè i ) è: + i 2 + i 2 Questo capitale esta impiegato pe ai al tasso i co la capitalizzazioe aua composta degli iteessi e quidi alla fie degli ai (cioè i ) diviee: + i + i 2 questo è il capitale che ei successivi y mesi poduà l iteesse + i 2 + i y i 2 questo iteesse peò saà aggiuto al capitale solo alla fie dell ao di cui gli y mesi fao pate. osapevoli di questa dispoibilità diffeita sciviamo ugualmete che IL ONTANTE PRODOTTO DAL NOSTRO APITALE IPIEGATO PER mesi, ai, y mesiè: + i 2 + i + + i 2 + i i y 2 + i 2 + i y + i 2 APITALIZZAZIONE ONTINUA: l iteesse si calcola el cotiuo, cosideata l itesità aua di iteesse ρ(s). osideo il motate podotto ell itevallo ds e il elativo eoe. Ne calcolo il limite pe ds che tede a zeo e mettedo a sistema e s ρ(s) faccio l itegale defiito ta e t e aivo a defiie la capitalizzazioe cotiua come: t ρ s ds t2 e t ρ(s)ds t2 dovee è il fattoe di capitalizzazioe cotiua e vale la seguete elazioe e e dove φ t 2 itegale ta o e t 2 mete φ t itegale ta o e t t ρ s ds t2 φ t 2 φ t Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia

7 Se devo tovae ρ s avedo alloa t ρ s ds t (s) ds (s) φ t ella patica calcolo l itegaleta e t e poi sostituisco ella fuzioe tovata t e t 2 e calcolo la diffeeza OSSERVAZIONI: ) la legge di capitalizzazioe cotiua è scidibile 2) se ρ s è costate?? ρ s δ l + i ottego u fattoe di capitalizzazioe composta aua al tasso i i covezioe espoeziale. TASSO ISTANTANEO EDIO: cechiamo l itesità costate equivalete a ρ s. e t t ρ(s)ds t2 e δ (t,t 2 ) alloa ρ(s)ds δ t, t 2 alloa δ φ t 2 φ t t 2 t t 2 TASSO ENTRALE ANNUO δ φ t 2 φ t Fomulaio atematica Fiaziaia fio alla capitalizzazioe- atia-ilaia