Flusso del campo elettrostatico. Teorema di Gauss

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1 Flusso del campo elettostatico d supeficie elemetae ell itoo del geeico puto P del campo Teoema di Gauss θ d vesoe della omale a d oietata positivamete i uo dei due possibili vesi d vettoe avete pe modulo l aea d e pe diezioe e veso uelli della omale oietata a d campo el puto P θ agolo ta la omale ed il campo

2 Si defiisce flusso elemetae dφ di attaveso la supeficie oietata d dφ d d dcosθ d Flusso attaveso ua supeficie fiita : si suddivide la supeficie i elemeti d ifiitesimi e si sommao i cotibuti dφ Ε Φ d Φ d d cosθθ Uità di misua del flusso Volt [Φ ][] [] m Volt m m

3 Valutiamo il flusso del campo elettico attaveso supefici chiuse (supefici che acchiudoo u volume) Pe covezioe omale alla supeficie positiva è oietata i modo che sia uscete da uesta cosθ > pe liee di foza usceti θ cosθ θ < pe liee di foza etati ti Q i Quidi flusso uscete dalla supeficie positivo flusso etate egativo θ

4 Flusso del campo elettico geeato da ua caica putifome attaveso ua supeficie sfeica cocetica co essa, di aggio Diezioe di adiale Modulo di costate t su tutti tti i puti della supeficie i u // cos θ 1 1 u 4πε dφ d d

5 Φ d d 4πε 4π ε Φ, idipedete da1 aggio, dipede dalla caica coteuta ella sfea Dimostiamo che uesto isultato è valido pe ua supeficie chiusa di foma ualsiasi, che cotega la caica

6 Defiizioe di agolo solido sotto cui è vista ua supeficie d da u puto dω d cosθ d d 1 1 d 1 θ d 1 d P

7 Il flusso dφ attaveso la supeficie d vale 1 dφ d 4π u d ε 1 dcosθ 4π dω ε 4πε Il flusso del campo elettico geeato da p g attaveso d dipede solo dall'agolo solido dω sotto cui d è vista da Flusso attaveso ua supeficie chiusa Φ dφ dω Ω 4πε 4πε

8 Detemiiamo Ω ei due casi: 1) è itea ad : Ω agolo solido sotto cui è vista da agolo solido sotto cui è vista ua supeficie sfeica di aggio ualsiasi e ceto i d Ω d d 1 4π t t Ω d 4 st π costate

9 ) è estea ad S: ogi coo elemetae itecetta tt due supefici i ds, ds 1 θ ds1 cos θ1 ds cos θ ds 1 1 ds Pe ogi coo elemetae θ ds 1cosθ 1 ds cosθ + d Ω 1

10 Ω peché somma di cotibuti a due a due uguali ed opposti Φ 4πε Ω 4πε 4 πε 4π ε se è itea se è estea Campo elettico geeato da più caiche putifomi i u puto P pe il picipio di sovapposizioe Pe il picipio di sovapposizioe i i

11 Il flusso elemetae di attaveso d vale dφ ( ) d i d ( ) Φ i i i d d i i Quidi Φ dφ d i dφ i dφ i i Φ i 1 Φ iφ i i i ( itea ) ε i i

12 i i itea ( ) somma algebica di tutte le caiche coteute eto la supeficie chiusa Teoema di Gauss I1 flusso del campo elettico attaveso ua supeficie i chiusa ualsiasi i è dato dalla caica totale i essa coteuta, divisa pe ε Dalla validità della legge di Coulomb si deiva il teoema di Gauss Vicevesa si può deivae da1 teoema di Gauss la legge di Coulomb Legge di Coulomb e teoema di Gauss Legge di Coulomb e teoema di Gauss soo fomulazioi divese di ua stessa legge

13 Applicazioi del teoema di Gauss Campo geeato da ua distibuzioe supeficiale uifome di caica Q distibuita su ua supeficie sfeica di aggio R e ceto O S P Valutiamo il campo i P ii dip vettoe posizioe di P R O La simmetia sfeica della distibuzioe di caica e l isotopia dello spazio vuoto pe i feomei elettici è dietto come ()

14 ha la stessa itesità i puti euidistati dal ceto Vl Valutiamo ilflusso attaveso ua supeficie fii sfeica di ceto O e aggio P Pe il teoema di Gauss QINT Φ d d 4 π ε Q 4πε Pe i puti estei alla sfea, è uguale al campo che avebbe podotto ua caica putifome pai a Q posta el ceto Q ε

15 I u geeico puto P' iteo alla sfea caica Q Φ INT O R Discotiuità del campo elettico attaveso la supeficie sfeica Δ ST INT Q σ 4 πε R ε R 1

16 Campo elettico geeato da ua distibuzioe ib i lieae uifome di caica Campo i P R distaza di P dalla liea La simmetia della distibuzioe di caica e l isotopia i dello spazio vuoto pe i feomei elettici alla liea (R) ha la stessa itesità i puti euidistati dalla liea R P

17 Flusso attaveso ua supeficie cilidica di aggio R e altezza h P + Flusso attaveso le basi + P h ( ) + R Flusso attaveso la supeficie lateale: //, modulo di costate Pe il teoema di Gauss Φ d d π λ π Rh ε R + Q λh INT ε ε