Fisica Generale B. Potenziale elettrostatico. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico Maurizio Piccinini

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1 Fisica Geneale B otenziale elettostatico Scuola di Ingegneia e Achitettua UNIBO Cesena Anno Accademico 4 5

2 Euazioni del campo elettostatico Riepilogo Legge di Gauss Legge della cicuitazione S E ds Q S ε Foma integale l E d l E ρ ε Foma diffeenziale E

3 otenziale elettostatico NB.: attenzione al diveso uso delle denominazioni potenziale ed enegia potenziale, ispetto alla meccanica. Il campo elettostatico è consevativo V potenziale elettostatico Foza agente su una caica posta in : E V NB.: È una enegia potenziale pe unità di caica F E V Enegia potenziale della caica in : U ( ) V ( ) Unità di misua del potenziale nel SI: Volt (V) Analisi dimensionale: J C Nel mondo delle paticelle elementai x -3 ev.6 x C x V.6 x J ; MeV/c.78 x Kg 6 9 x 3

4 Gadiente - campi adiali x z l f A d l x iˆ y ˆj z kˆ + + ˆ y f ˆ f i f ˆ + j + f kˆ B x y z f f f f dl dx + dy + dz df x y z Se f f() f f df f df df ˆ df ˆ df ˆ df f i + j + k x d x d y yd yd z d d z f df d ˆ Nel caso f / n : n ˆ n n + Se f /: ˆ 4

5 otenziale elettostatico otenziale elettostatico di una caica puntifome E ˆ ˆ E E V V + k otenziale elettostatico geneato da una distibuzione (disceta o continua) di caica x z O dv ' ρ ( ') ' y V d ρ d V d dv ( ) ρ ( ') d V dv ( ) k 4 4 πε ' + + k πε ρ ( ') V ( ) d V K 4 πε + ' V 5

6 L AB B F d l otenziale elettostatico Lavoo delle foze elettostatiche E dl V dl dv B B B A L U U AB A B L T T AB B A A A A Enegia potenziale elettostatica della caica (o ρ dv) immesa nel campo elettostatico descitto dal potenziale V(). V A A A B B V ( ) U + T U + T costante U V ( ) du B E V ρ ( ) V ( ) d V N.B.: Il potenziale elettostatico non è univocamente definito in un punto dello spazio in uanto definito a meno di una costante abitaia. Lo è invece la diffeenza di potenziale (d.d.p.) ta due punti. Ta due punti A e B dello spazio c è la d.d.p. di V uando il lavoo compiuto dalle foze elettostatiche pe spostae la caica di C dal punto A al punto B vale J. 6

7 otenziale elettostatico Fomulazione dell elettostatica mediante V E V V V E ρ ε x y z + + V ρ ε Euazione di oisson L euazione di oisson implica una fomulazione dell elettostatica basata sulla funzione potenziale (V), del tutto euivalente a uella fondata sul campo elettico. La caica elettica genea nello spazio un campo scalae, il potenziale elettostatico,deteminato punto pe punto dall euazione di oisson. Il potenziale V può essee appesentato gaficamente da supefici di livello caatteizzate da Vcost, dette euipotenziali. 7

8 E V otenziale elettostatico Fomulazione dell elettostatica mediante V E dl V V V V dx + dy + dz x y z Se dv dl E E dv dl dl Se dl E concodi dv E dl V x V y E d l V z,, ( dx, dy, dz) dv Il campo elettostatico in un punto è caatteizzato da:. diezione nomale alla supeficie euipotenziale passante pe ;. veso coispondente ai valoi decescenti del potenziale al passae da una supeficie euipotenziale ad un alta; 3. modulo uguale al valoe assoluto della deivata del potenziale in lungo tale diezione. 8

9 Esempi di Supefici Euipotenziali otenziale elettostatico Caica singola Due caiche opposte Se una caica unitaia si tova nel punto A, dove il campo elettico vale E, isente di una foza F tangente alla linea di campo. e le supefici euipotenziali tacciate vale la disuguaglianza Due caiche uguali V > V > V 3 9

10 otenziale elettostatico Definizione opeativa del potenziale L E d V V B el AB l A B A V V ( ) A B L el AB Se, mediante foze alte (non dovute al campo elettostatico), spostiamo una caica esploatice inizialmente fema in A, fino a potala a iposo in un alto punto B L L + L el al AB AB AB Teoema delle foze vive al LAB V ( A ) V ( B ) ; V ( B) V ( A) L al AB

11 .E. casi notevoli Dipolo elettico V + k V ( d ) d d d d d d + - θ d d cosθ d p d ˆj NB.: si assume V ( ) ), uindi k. Ciò è possibile solo pe distibuzioni di caica confinate in uno spazio finito. d cosθ V d V p ˆ

12 .E. casi notevoli l Filo unifomemente caico di lunghezza l V ˆk oviamo ancoa ad assumee k. z λ V l dz + z λ ln + + πε ( z z ) l O î V λ πε ln l + + l l! -z V λ πε l ln V V λ πε ( ) l ln -l

13 l ˆk z O -z.e. casi notevoli Filo unifomemente caico di lunghezza infinita î V V E d Assumiamo V( ). V E λ πε i ˆ x λ dx λ λ + ln ln πε x πε πε V ( ) ln V λ πε -l Cft. caso l finito, << l V ( ) ln V λ πε 3

14 .E. casi notevoli Supeficie piana infinitamente estesa V V E d E ε x x iˆ x x V ( x) V ( ) dx ' x x ε x ε x ε A B î x V ε d V A V B d A d ε ( ) B 4

15 O V() O + V O d V(O) d ε d î V ( ).E. casi notevoli Doppio stato piano V ( ) V ( O) ( d d ) V+ ( ) V+ ( O) ( x ) ε V V O x d d ε ε ( ) V V O V+ V+ O + V V O ( x d d x ) ε x x > d V ( O) + x d d x ε V ( O) O d ε x d V ( O) + d x d x V O x ε ε x < V ( O) + ( d x d + x ) V ( O) ε 5

16 .E. casi notevoli Sfea R Supeficie sfeica caica con caica totale Q Q > R; V V ( ) < R; V V ( R) E d Sfea unifomemente caica con caica totale Q R Q V ; R R Q V ( ) ; > R Q V ( ) 3 ; R R R R 6

17 Enegia Enegia potenziale della caica in : U ( ) V ( ) Enegia totale di una caica in un campo elettostatico: E mv + V aticelle caiche inizialmente feme in un punto A si muovono veso posizioni in cui il potenziale è minoe (e l enegia potenziale è minoe), se la loo caica è positiva, oppue veso posizioni in cui il potenziale è maggioe (ma l enegia potenziale è comunue minoe!) se sono caiche negativamente. E mv A + V mv + V A A B B U A U B ( VA VB ) mvb ev: elettonvolt. Enegia cinetica acuistata da una paticella avente caica pai a uella di un elettone, acceleata dalla diffeenza di potenziale di V. 9 ev.6 J 7

18 Euilibio In un campo elettostatico, pe una paticella caica, non esistono posizioni di euilibio stabile in zone non occupate dalle sogenti del campo. φ S ε 8

19 Euazioni di oisson e di Laplace Euazione di oisson Euazione di Laplace V ρ ε ρ V Soluzione pe una distibuzione finita di caiche : Si applica uando non si conosce ρ ma sono note le posizioni di alcuni conduttoi e i potenziali sulle loo supefici, o le posizioni di alcuni conduttoi e il campo nelle loo vicinanze. V ρ 4 πε ' V ( ') dv oblema di Diichlet oblema di Neumann 9

20 Ancoa il dipolo elettico p d kˆ V p ˆ n ˆ n n + d + - θ d d d cosθ E ˆ 3 3 p z p V ( ) z z πε 3p ˆ p p 3 E ( ) V ( ) z ˆ k ˆ 4 3 E x y E p p πε (,,) 3 (,, z) 3

21 Sviluppo in seie di multipoli i V θ n i - i i V ( ) i i V V n i i + i i cosθi n i i i cosθi i + / i i i i 3 i i i i + cosθ + cosθ + 4 cos θ 8 n i i i 3cos θi + cos θi i n Q i i n i i p V ( ) i n Q p ˆ 3cos θi ii + i

22 .E. casi notevoli d + - θ p d ˆj Dipolo elettico d E V 4 πε d cosθ d V p ˆ p ˆ p ˆ py py iˆ py ˆ j py kˆ x y z py x p py y py z iˆ 6 3 ˆj 3 k ˆ p ˆ p E 3 ˆ 3 3