1) Assenza di 'poli magnetici' Flusso di B attraverso una superficie chiusa sempre nullo. teo. di Gauss per il magnetismo

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Giancarlo Palmisano
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1 Oigine campo magnetico: coenti elettiche Analogo a campo elettico: oigine nelle caiche elettiche Riceca delle elazioni matematiche che legano il campo B alle coenti Relazioni deteminate in base all evidenza speimentale: ) Assenza di 'poli magnetici' Flusso di B attaveso una supeficie chiusa sempe nullo B nˆ d, Usando il teo. della divegenza: teo. di Gauss pe il magnetismo B nˆ d BdV, V volume acchiuso da V Pe l'abitaieta' di V : B, teo.di Gauss pe il magnetismo (foma diffeenziale) B campo solenoidale ) C. magnetico di una caica in movimento : µ ˆ qv u B Espessione appossimata, valida pe v c

2 Poiche' quˆ E ε ( ε µ ) B v E Contibuto di un elemento di coente filifome: sezione S, lunghezza ds i js nqvs µ qv uˆ µ qv uˆ µ qv uˆ db dn ndv Sds qnv j µ ˆ j u db dv dv da ds jdv j da ds µ ids uˆ d ( ) ( ) ( ) j ds j da ds j da ds ids B, I legge elementae di Laplace

3 ) C. di un filo ettilineo indefinito pecoso da coente: Campo di Biot-Savat µ ˆ ids B γ ds ˆ dz sinϑ dz cosα +, ρ tanα ρ z z ρ ρ ( + tan α) cos α dz dα ρ ρ dz dα cos α + π cosα α + π i α π π µ d µ i µ i B sin ρ ρ ρ

4 ) Campo di un segmento di filo ettilineo Simmetia cilindica: B cost a distanza dal filo costante Punto P sull'asse x L tan θ, apetua angolae del filo visto da P ' e ( sin θ,,cosθ ) ds (,, dz ) µ Idz sinθ µ Idz cosα db 4 π ' cosα ' z 'tanα dz dα cos α µ Idz cosα µ I cos α ' µ I cosα db d dα 4 π ' cos α 4 π ' C. totale in P : θ 3 α µ I cosα µ I µ I B α α sin θ + θ d sin θ 4 π ' 4 π ' π ' θ

5 3) Spia cicolae (punti sull'asse di simmetia) Simmetia cicolae: C. totale contibuti elementai dalla spia Punti sull'asse: Componente ( elementi opposti danno contibuti opposti) B asse B B all'asse da' isultato quando integata sulla spia z db z µ I ds cosθ contibuto di un elemento di spia R + z R cosθ R + z µ I ds µ I ds R µ I R dbz cosθ 4 4 R + z R + z 4 R + z z π π π ds Rdφ elemento di spia db µ I R ( R + z ) µ I µ I B Bz dφ π R µ I B B z 3 dφ π R R µ µ π 3 ( R + z ) ( R + z ) mom. dipolo magnetico della spia ( R + z ) 3 3 ( ) 3 ds

6 Foza fa due fili paalleli: µ I B π df I dsb df ds µ I I π foza/unita' di lunghezza F. attattiva Coenti concodi F. epulsiva Coenti discodi Usata pe la definizione dell' ampee

7 Integale di linea di B lungo una ciconfeenza di aggio concentica al filo (spia ampeiana): C µ i µ i B s u s π d ˆ θ d π π C dθ µ i Estensione al caso in cui e' una cuva chiusa qualsiasi attono al filo: Elemento di linea in componenti cilindiche, asse z filo ds dθuˆ + duˆ + dzuˆ, θ B uˆ, B uˆ, uˆ ds dθuˆ θ z z B ds B uˆ dθ B dθ π B µ I θ π θ Se e' una cuva chiusa estena al filo (caso di una cuva piana): Angolo infinitesimo dθ dal filo sulla cuva intecetta due achi ds, ds Vesi opposti ispetto a B pe i due B ds B ds Contibuto totale B ds, cuva chiusa estena al filo Teo. di Ampee: B ds µ I, I coente totale concatenata a Teo. di Ampee valido anche pe cicuiti non ettilinei

8 Estensione al caso di coenti non filifomi: Iconc j nˆ d, sup. appoggiata su Integale indipendente da : j nˆ d j nˆ ' d ' j nˆ d j nˆ ' d ' ' ' Infatti: + ' sup. chiusa Punto pe punto, su ': nˆ nˆ ' j nˆ d j nˆ ' d ' j nd ' +' ρ j+ j, caso stazionaio ( solo campi statici) t jdv j nd j nˆ d j nˆ ' d ' V j nˆ d j nˆ ' d ' ' +' ' B ds µ j n ˆ d, teo. di Ampee in foma geneale

9 Teo. del otoe: ( ) B ds B nˆ d ( ) d µ B nˆ j nˆ d, abitaia B µ j, teo. di Ampee in foma diffeenziale Valido pe campi statici Riassunto delle popieta' del campo magnetostatico nel vuoto: Foma integale Foma diffeenziale B nˆ d B B ds µ I B µ j Nota: Teo. di Helmholtz Ogni campo vettoiale che abbia un buon compotamento all' e' completamente definito se sono dati la divegenza e il otoe

Applicazioni della legge di Ampee: Utile pe sistemi ad elevata simmetia (come legge di Gauss in elettostatica) ) Solenoide tooidale Linee di campo: cuve chiuse Simmetia del poblema ciconfeenze

10 Applicazioni della legge di Ampee: Utile pe sistemi ad elevata simmetia (come legge di Gauss in elettostatica) ) Solenoide tooidale Linee di campo: cuve chiuse Simmetia del poblema ciconfeenze concentiche al tooide B linea di campo, su cui cost B B Applicando la legge di Ampee: Spie ampeiane 3 e 3 : nessuna coente concatenata : coente entante coente uscente :, 3 ( ) coente concatenata totale B ds C. magnetico nullo fuoi dal solenoide Spia ampeiana B ds µ NI, N n. totale di spie : µ NI Bπ µ NI B, R < < R π R R R, R π lunghezza solenoide B µ ni, n n.spie/lunghezza

) Solenoide ettilineo Applicando la legge di Ampee alla spia : B d s BL µ nil, alti lati di danno contibuto B µ ni, unifome dento il solenoide Solenoide tooidale sottile 'apeto', lunghezza B µ ni

11 ) Solenoide ettilineo Applicando la legge di Ampee alla spia : B d s BL µ nil, alti lati di danno contibuto B µ ni, unifome dento il solenoide Solenoide tooidale sottile 'apeto', lunghezza B µ ni dento il solenoide, B fuoi [ ] [ ] Nota: ni I L, coente/lunghezza Avvolgimento Coente supeficiale attono alla sup. del solenoide Coente totale: Itot NI nil Jsup ni, densita' di coente supeficiale equivalente I J L tot sup Nei due casi consideati: B ha una discontinuita' fa esteno einteno del solenoide B J sup Campo eale:

12 3) Piano pecoso da coente supeficiale unifome, densita k Simmetia del poblema: linee di campo ette asse x (linee 'chiuse' attono alla coente - chiusua all' ) Spia ampeiana ettangolo in figua µ k B d s B L kl B ± µ, Nota: Discontinuita' B µ ke come al solito segni opposti nei due semipiani

13 Discontinuita /Continuita di B attaveso uno stato di coente Distinguendo le componenti nomale/tangenziale: Componente tangenziale: Teo. di Ampee - spia B ( ) ( ) Componente nomale: Teo. di Gauss - sup. A A B ds B P B P dl µ kdl B µ k ( ) ( ) B nda B P B P da

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