Il moto circolare uniforme

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1 Il moto cicolae unifome Il moto cicolae unifome: peiodo e fequenza Un copo che i muoe lungo una taiettoia cicolae con elocità calae cotante ipaa pe la poizione iniziale a intealli fii di tempo. Definiamo il peiodo del moto come il tempo neceaio a completae un gio (indicato olitamente con il imbolo ). Il numeo di gii completi fatti nell unità di tempo è la fequenza del moto cicolae e i indica con il imbolo f; ea è data dall ineo del peiodo: f = (e pe eempio il peiodo del moto è 3 in il mobile faà 3 di gio). L unità di miua della fequenza nel SI è l ineo del econdo ( - ), chiamata anche Hetz (Hz), in onoe del fiico tedeco Heinich Hetz. La miua degli angoli I gadi non ono l unica poibile unità di miua degli angoli. Nel SI l unità di miua degli angoli è il adiante, definito nella eguente maniea: un adiante (ad) è quell angolo che u una ciconfeenza ottende un aco di lunghezza pai al aggio della ciconfeenza tea. Ciò ignifica che pe ottenee la miua in adianti di un ceto angolo biogna fae il appoto ta la lunghezza dell aco che l angolo ottende u una qualiai ciconfeenza e il aggio della ciconfeenza. Con ifeimento alla figua la miua in adianti dell angolo al cento della ciconfeenza è data da: α = = miua in adianti è. Poiché l aco otteo dall angolo gio è tutta la ciconfeenza, la ua =. Analogamente l angolo di 80 (che è metà angolo gio) coiponde a, 90 coipondono a e coì ia. In geneale i paa dalla miua in gadi a quella in adianti e iceea mediante la popozione: o α gadi : α adianti = 360 :. Eempio afomazione della miua di un angolo da gadi eageimali a adianti e calcolo delle ue funzioni tigonometiche Calcolae la miua in adianti dell angolo di 30 e eificae mediante la calcolatice cientifica che le ue funzioni tigonometiche ono quelle dell angolo di 30. Analii e oluzione o 360 Poiché 30 o = la coipondente miua in adianti aà la dodiceima pate di, cioè. Pe 6 calcolae le funzioni tigonometiche dobbiamo pima pedipoe la calcolatice a laoae in adianti. Cambiamo quindi la modalità, ul diplay doà appaie la citta ad anziché deg. La cotante i ottiene mediante un oppotuno tato, calcoliamo dunque 6 e poi applichiamo le funzioni eno e coeno. oiamo i aloi 0,5 e 0,866 che come abbiamo ito in pecedenza ono quelli dell angolo di 30. La elocità e la elocità angolae La elocità calae cotante di un moto cicolae unifome i calcola a patie dal aggio della taiettoia e dal peiodo, tenendo conto che in un peiodo il mobile pecoe un gio completo: =. Conideiamo i caallini di una giota; in un peiodo il caallino più inteno pecoe una

2 ciconfeenza di aggio minoe ipetto a quello eteno e quindi uno pazio più bee: la ua elocità è dunque minoe di quella del caallino eteno. Se peò conideiamo gli angoli ottei dai due mobili nello teo inteallo di tempo ei iultano uguali. Quete conideazioni ci pingono ad intodue una nuoa gandezza fiica chiamata elocità angolae, definita come il appoto ta l angolo decitto dal mobile in un ceto inteallo di tempo e l inteallo teo. Ea i indica con adianti il imbolo ω (omega), i miua in e poiché duante un peiodo il mobile pecoe un econdo angolo gio ( ad) i calcola mediante la fomula ω =. Combinando ta loo in aio modo le definizioni di fequenza, elocità calae, elocità angolae poiamo toae alcune utili elazioni che coinolgono quete gandezze nonché il peiodo e il aggio: = ω ; ω = f ; = ; = ω f e natualmente quelle che i poono ottenee da quete inetendole in ai modi. L acceleazione nel moto cicolae unifome Duante un moto cicolae unifome il ettoe elocità mantiene inaiato il uo modulo, ma, eendo tangente alla taiettoia, cambia continuamente diezione, dando oigine coì a una acceleazione. Pe deteminae la fomula che pemette di calcolae tale acceleazione conideiamo due punti P e P ulla ciconfeenza e le elatie elocità itantanee: e ; pe deteminae la diffeenza ta le due elocità potiamo la coda di a coincidee con quella di. Secondo la egola del paallelogamma la diffeenza = è il ettoe che ha la coda nella punta di e la feccia nella punta di. Il tiangolo indiiduato da P, P e il cento O della ciconfeenza e quello fomato dalle due elocità e dalla loo diffeenza ono ioceli, con lo teo angolo nel etice fomato dai due lati uguali. I due tiangoli ono petanto imili. Detti alloa il modulo comune di e, la lunghezza della coda P P e il aggio della ciconfeenza, ale la popozione: : = :, da cui =. Diidiamo entambi i membi dell uguaglianza pe l inteallo di tempo duante il quale il mobile pecoe l aco P P : =. Aumiamo pe un aloe ufficientemente piccolo da pote conideae le quantità itantanee e la coda coincidente con l aco; iconociamo alloa in il modulo dell acceleazione itantanea e in il modulo della elocità. Otteniamo coì la fomula del l acceleazione nel moto cicolae unifome: a =. Queta acceleazione iene detta acceleazione centipeta; l aggettio centipeta ignifica dietta eo il cento. Ricapitolando: in un moto cicolae unifome con elocità è peente una acceleazione cotante, detta centipeta, che è dietta adialmente eo il cento e il cui modulo è dato dal quadato della elocità diio pe il aggio. Applicando la fomula = ω che mette in elazione la elocità con la elocità angolae poiamo icaae due alte utili epeioni pe l acceleazione centipeta: ( ω) a = = = ω ; oppue: a = ω = ω ω = ω.

3 Veifiche di compenione. Che co è il peiodo del moto cicolae unifome?. Come è definita la fequenza nel moto cicolae unifome? 3. Qual è l unità di miua della fequenza nel SI? 4. Come i ottiene la miua in adianti di un angolo? 5. Come i calcola la miua in adianti di un angolo conocendo il uo aloe in gadi? 6. Come i calcola la elocità calae in un moto cicolae unifome di cui i conoce aggio e peiodo? 7. Come è definita la elocità angolae? 8. Qual è l unità di miua della elocità angolae? 9. Che elazione intecoe ta elocità calae, aggio della taiettoia e elocità angolae? 0. Che elazione intecoe ta elocità angolae e fequenza?. Peché in un moto cicolae è empe peente una acceleazione anche e la elocità calae imane cotante?. Che coa ignifica l aggettio centipeto? 3. Quanto ale il modulo dell acceleazione centipeta epeo in temini della elocità e del aggio della taiettoia? 4. Quanto ale il modulo dell acceleazione centipeta epeo in temini della elocità angolae e del aggio della taiettoia? 5. Quanto ale il modulo dell acceleazione centipeta epeo in temini della elocità e della elocità angolae? 6. Quali ono la diezione e il eo dell acceleazione centipeta? Veifiche di conocenza. Il peiodo di un motoe elettico che in un econdo fa 5 gii ale: a. 5 Hz b. 5 c. 0,04 - d. 0,04. La fequenza di un motoe elettico che in un econdo fa 5 gii ale: a. 5 Hz b. 5 c. 0,04 - d. 0,04 3. Un angolo di ad equiale a: 3 a. 0 b. 90 c. 60 d Quale delle eguenti affemazioni è fala? a. In un moto cicolae unifome, fiato il peiodo la elocità aumenta all aumentae del aggio

4 b. In un moto cicolae unifome, fiato il peiodo la elocità diminuice all aumentae del aggio c. In un moto cicolae unifome, fiato il aggio la elocità diminuice all aumentae del peiodo d. In un moto cicolae unifome, fiata la elocità il aggio aumenta all aumentae del peiodo 5. Sotituici al poto dei puntini il ocabolo adeguato celto ta quelli indicati: La elocità angolae è data dal ta un ceto pecoo dal mobile e il impiegato a pecoelo; petanto la i può calcolae pe il. (l angolo gio, appoto, tempo, peiodo, diidendo, angolo) 6. A paità di elocità tangenziale, la elocità angolae: a. è ineamente popozionale alla fequenza b. è ineamente popozionale al aggio c. aumenta all aumentae del peiodo d. diminuice all aumentae della elocità 7. Quali ta le eguenti affemazioni ono ee? a. in un moto con acceleazione zeo la elocità calae è cotante b. e la elocità calae è cotante l acceleazione è zeo c. e la elocità ettoiale è cotante l acceleazione è zeo d. e la elocità calae è cotante l acceleazione è cotante in modulo 8. L acceleazione centipeta: a. è l acceleazione media u un gio nel moto cicolae unifome b. è l acceleazione itantanea nel moto cicolae unifome c. è dietta lungo la coda che unice due punti icini d. è itantanea e dietta lungo la tangente alla taiettoia 9. Due caallini di una giota in moimento ono a ditanza uno doppia dell alto dal cento; l acceleazione centipeta del più ditante: a. è doppia di quella del più icino b. è quatto olte quella del più icino c. è la metà di quella del più icino d. è uguale a quella del più icino e. è un quato di quella del più icino 0. Sotituici al poto dei puntini il ocabolo adeguato celto ta quelli indicati: In un anche e non cambia è comunque peente una douta alla aiazione di del ; ea è empe dietta e eo ed è al della elocità e al. (ineamente popozionale, moto cicolae, acceleazione itantanea, diezione, quadato, il cento, la elocità calae, diettamente popozionale, aggio, ettoe elocità, adialmente) Poblema olto Calcolo del peiodo, della fequenza, della elocità angolae e dell acceleazione centipeta del moto della ea intono al Sole Relatiamente al moto della ea attono al Sole calcola: il peiodo, la fequenza, la elocità angolae, la elocità e l acceleazione centipeta. Sciiamo i dati del poblema La ea compie un gio completo intono al Sole in un anno Raggio della taiettoia (che toiamo ulle taole dei dati atonomici): =,496 0 m Incognite del poblema

5 Peiodo, fequenza, elocità angolae, elocità calae, acceleazione centipeta. Analii e oluzione econdi minuti oe Epimiamo il peiodo in econdi: = minuto oa giono 365 gioni anno = 3, da cui icaiamo la fequenza che ale: f = = = 3,70 0 Hz 7. Poiamo adeo 3, ad calcolae la elocità angolae mediante la elazione: ω = f = 3,70 0 =,993 0, da 7 ad 4 m cui otteniamo la elocità: = ω =,993 0,496 0 m =, Infine, pe calcolae l acceleazione centipeta applichiamo la fomula: a = ω = 7 ad,993 0,496 0 m = 5, m 7, Poblemi. Calcola la fequenza del moto della lancetta dei econdi, di quella dei minuti e di quella delle oe in un oologio.. Un dico gia a 33,3 gii al minuto. Quanto ale la ua elocità angolae? Che angolo (in adianti) decie in 0,8? 3. afoma i adianti i eguenti angoli: 36, 45, 30, 75, 8, Una uota di bicicletta ha il aggio di 34 cm. Quanto ale la elocità angolae della uota e fa,4 gii al econdo? Quanto ale l acceleazione centipeta di un punto poto ul copetone? 5. Un bambino che i toa u una giota eduto a m dal cento i ta muoendo a km 5. Quanto ale h la fequenza di otazione? 6. a le poe a cui engono ottopoti gli atonauti duante il loo addetamento c è una pecie di giota di 5 m di aggio a bodo della quale i poono peimentae acceleazioni fino a 5 olte quella di gaità. Quanto algono la elocità calae, angolae e la fequenza duante tale moto? km 7. Un automobile pecoe un emicechio lungo 570 m alla elocità di 90. Quanto ale la ua h acceleazione centipeta? m 8. Una bicicletta i muoe con una elocità cotante di 8 inizialmente eo oet. Dopo 6, eguendo la taiettoia di un aco di ciconfeenza la bicicletta è oientata a nod. Quanto algono il aggio della taiettoia e l acceleazione centipeta?