PREMESSA ALLA SOLUZIONE DEL QUESITO E ESAME STATO 2010

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1 PREMESSA ALLA SOLUZIONE DEL QUESITO E ESAME STATO 00 Relazione ta un aco di paallelo e l aco di equatoe compesi ta due meidiani Siano PAP e PBP due meidiani; essi deteminano sull equatoe l aco LM e su un paallelo, di latitudine, l aco AB. Le ampiezze dei due aci sono uguali ta loo pecé ampiezze di sezioni ette dell angolo diedo fomato dai piani meidiani PAP e PBP ; e, se l ampiezza è minoe dell angolo piatto, espimono la diffeenza di longitudine ce esiste ta i due meidiani. Pe conto, non sono uguali le lungezze, espesse in una stabilita unità lineae, dei due aci. Ci poponiamo di deteminae una equazione ce consenta di deteminae la lungezza di uno dei due aci conoscendo la lungezza dell alto. Dalla pima figua ileiamo ce nel tiangolo AC C si a: l angolo in C è etto pecé il piano del paallelo è nomale all asse polae e quindi isulta pependicolae a tale asse il lato AC ce è il aggio del paallelo consideato, l ipotenusa CA è il aggio R della sfea, il cateto C A è il aggio del paallelo, l angolo C CL è la colatitudine c del paallelo. Con queste pecisazioni, abbiamo:

2 Rsin c Rcos R cos ; () ma, dalla geometia è noto ce: il appoto di due aci di ciconfeenza simili (appatenenti a ciconfeenze di aggi diesi) è uguale al appoto fa i ispettii aggi (edi NOTA, alla fine). Osseando la seconda figua, possiamo sciee: aco( AB) aco( LM) dal confonto della teza delle () con la (), abbiamo: R ; () aco( AB) cos, (3) aco( LM ) OSSERVAZIONE. Essendo aco(lm) =, in itù della definizione di miglio maino, abbiamo: aco(lm) = ' mg, pe cui, dalla (3), abbiamo: ' cos aco(ab) = Indicato con m la lungezza, espessa in miglia maine, abbiamo l equazione: mg. ' cos m. (4) Viceesa: data la lungezza m di un aco di paallelo, ad una latitudine, l equialente aiazione di longitudine in pimi d aco è: QUESITO E m ' (5) cos Due nai e Y naigano pe paallelo in senso opposto. La nae pate dal punto A 300' N; 4930' W con elocità 8nodi e R 090. alle La nae Y pate dal punto B 5006' N; 53' W con Y nodi e R 70. alle t 30 m f 05 del 3 giugno 00 t 30 m f 07 del 3 giugno 00 Il candidato detemini il t f al passaggio al meidiano contempoaneo delle due nai. SOLUZIONE

3 Le due nai e Y naigano pe paallelo, in senso opposto, ma su latitudini diese. Pe isolee il poblema cominciamo a tasfomae i ispettii tempi fuso di patenza nei coispondenti simultanei tempi medi Tm (oggi UT): pe la nae pe la nae Y Dai isultati emege T T m m Y pe cui è compoata la patenza simultanea (come pensaamo ce così fosse) delle due nai. OSSERVAZIONE. Ricodae ce: la tasfomazione della longitudine espessa in gadi alla equialente longitudine espessa in oe e iceesa si ottiene con la popozione : 80 : il passaggio dalla longitudine locale alla longitudine f del fuso al quale appatiene la data si ottiene aotondando la longitudine, espessa in oe, all oa più possima. Nella seguente poiezione otogafica sono ipotati: --- il punto ce appesenta la nae A sul paallelo 300' N e sul meidiano di patenza, --- il punto ce è il piede sull equatoe del meidiano passante pe, --- il punto Y ce appesenta la nae B sul paallelo 5006' N e sul meidiano di patenza --- il punto Y ce è il piede sull equatoe del meidiano passante pe Y, --- il meidiano P n I ce è il meidiano contempoaneo di passaggio delle due nai

4 La soluzione del poblema saebbe stata più facile se le due nai aesseo naigato, in conto cosa, sullo stesso paallelo. Poo a fae un esempio con un poblema ce gli alliei conoscono fin dalla scuola pimaia: pe addizionae due fazioni aenti denominatoe dieso bisogna pima idule allo stesso denominatoe; pe comodità, scelgo il più piccolo dei denominatoi comuni oeo il minimo comune multiplo dei denominatoi. Ebbene qui succede una cosa simile: è necessaio pensae a due nai fittizie ce naigino su uno stesso paallelo, con le stesse ispettie elocità angolai. Ta tutti i possibili paalleli comuni, pe la (5) della PREMESSA, scelgo l equatoe (edi NOTA, alla fine). Consideiamo petanto due nai fittizie e Y ce pecoono, in conto cosa l aco Y. Dalla (5), abbiamo: mente la nae pecoe l aco I con elocità equatoe I con elocità x x cos mente la nae Y pecoe l aco YI con elocità YI con elocità Y Y cos. Y Y x, la nae pecoe l aco di la nae Y pecoe l aco di equatoe Petanto l inteallo i di tempo iciesto si detemina con: cioè: ' i Y ' i (6) Y cos cos Y

5 Sostituiti i dati nella (6), essendo ' 038', ottengo: i m s. Nell inteallo di tempo i la nae pecoe il cammino I : a cui coisponde la aiazione di longitudine I' i mg (7) I ' E 3 cos300' ' 4' ' E OSSERVAZIONE. Veifico le dimensioni dei due membi della (7): --- dimensione membo = mg mg --- dimensione membo = nodi mg Calcolo la longitudine al passaggio al meidiano contempoaneo da cui: f I W Calcolo il tempo medio al passaggio al meidiano contempoaneo: ' Calcolo infine i tempo fuso in I :

6 NOTA. Siano C e C due ciconfeenze ispettiamente di aggio e ; si penda, su ciascuna di esse, un aco di ampiezza : si anno le due popozioni A B 80 A B 80 (*) (**) i secondi membi delle (*) e (**) sono uguali e quindi isultano uguali (popietà tansitia dell uguaglianza) i pimi membi: A B = A B, da cui semplificando pe e icodando ce in una popozione si possono scambiae i medi ta loo, si ottiene l asseto: A B A B. NOTA. Ce cosa è la elocità nel linguaggio scientifico? E la apidità con cui una gandezza aiabile aia in funzione della aiabile da cui dipende. Nel nosto caso la gandezza aiabile è un pecoso e la aiabile da cui dipende è il tempo. In ifeimento all ultima figua, è: mg 8 ce possiamo sciee 8mg, ed alloa: 8mg cos 8mg (c..d.) cos cos