Proprietà fondamentali dei vettori

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1 Popietà fondamentali dei ettoi 1. Gandezze scalai e ettoiali lcune gandezze fisiche sono completamente descitte da un singolo aloe numeico (la loo misua). Tali gandezze sono dette scalai. Esempi: a) la massa; b) l inteallo di tempo ta due eenti. lte gandezze fisiche ichiedono, pe una descizione completa, che siano specificati anche una diezione e un eso. Tali gandezze sono dette ettoiali. Esempi: a) lo spostamento di un punto mateiale; b) la foza. Le gandezze ettoiali possono essee appesentae da un segmento oientato. La lunghezza del segmento è appesentatia del aloe numeico che dà la misua della gandezza (detta ampiezza, modulo o intensità): a segmenti di lunghezza doppia associamo un ampiezza doppia, ecc. La diezione e il eso del segmento appesentano oiamente la diezione e il eso della gandezza fisica. Simboli utilizzati nel coso: a, a, Vettoi a, a, Moduli Gandezze scalai ttenzione! La lunghezza del segmento che appesenta un dato ettoe è deteminata in elazione ad un unità di misua peassegnata. Se in una appesentazione gafica coesistono gandezze fisiche diese (come foza e spostamento) le lunghezze dei segmenti oientati sono deteminate in base a diese unità di misua (anche se di solito ciò non iene menzionato esplicitamente). F s Quindi, con ifeimento alla figua, non possiamo confontae i due ettoi concludendo che la foza ha modulo maggioe dello spostamento! nche pe i ettoi, i confonti si possono fae esclusiamente ta gandezze omogenee.

2 2. Segmenti oientati come ettoi Nozione geometica di ettoe Due segmenti oientati si dicono equipollenti se hanno uguale lunghezza, e sono paalleli e concodi. Pe completae la definizione, affemeemo che i segmenti con estemi coincidenti sono ta loo equipollenti. L equipollenza gode delle popietà iflessia, simmetica e tansitia; dunque è una elazione di equialenza. Ogni elazione di equialenza diide l insieme di definizione in sottoinsiemi disgiunti, detti classi di equialenza. d ogni classe di equialenza appatengono elementi equialenti ta loo. Segmenti equipollenti Nel caso della elazione di equipollenza, ad ogni classe appateanno tutti i segmenti di uguale lunghezza, paalleli e concodi. Diemo che ciascuna classe è un ettoe. In sintesi: un ettoe è appesentato da un segmento oientato; due segmenti oientati che abbiano la stessa lunghezza, e siano paalleli e concodi indiiduano lo stesso ettoe. L oigine di un segmento oientato è detta punto di applicazione (in figua, e sono i punti di applicazione dei segmenti e ispettiamente). In base a quanto detto, due segmenti equipollenti che abbiano diesi punti di applicazione indiiduano lo stesso ettoe. Diemo peciò che un ettoe è indiiduato dalla lunghezza del segmento (modulo), dalla diezione e dal eso, ma non dal punto di applicazione. Nota: il fatto che più segmenti distinti coispondano allo stesso ettoe non dee sopendee. In modo analogo, fazioni distinte come ; ; ecc. coispondono allo stesso numeo azionale Modulo di un ettoe Si dice modulo di un ettoe (e si indica con ) la misua della lunghezza del segmento ispetto ad una pefissata unità di misua. Poiché il modulo è una misua di lunghezza, si ha sempe 0

3 Il ettoe nullo Il modulo è nullo solo nel caso in cui il segmento abbia estemi coincidenti. Il ettoe coispondente iene detto ettoe nullo e indicato con il simbolo 0 oppue 0. Il ettoe opposto Dato un ettoe, chiamiamo ettoe opposto il ettoe. Si scie: = Dunque il ettoe opposto ha lo stesso modulo, la stessa diezione e eso opposto del ettoe dato. Vettoi opposti ngolo (non oientato) ta un ettoe e una etta oientata. Si consideino il segmento, appesentatio del ettoe, e la etta oientata. Si costuisce il segmento, equipollente ad, con giacente su. Si indiidua così l angolo conesso (cioè minoe di 180 ) acchiuso ta il segmento e la semietta. Pe definizione, è l angolo (non oientato) ta il ettoe e la etta. ttenzione ai esi della etta e del ettoe! a) < 90 (acuto) b) > 90 (ottuso) a) b)

4 ngolo (oientato) ta due ettoi. Si consideino il segmento, appesentatio del ettoe, e il segmento CD, appesentatio del ettoe CD. Si costuisce il segmento D, equipollente a CD, e aente il pimo estemo coincidente con il pimo estemo di. Si indiidua così l angolo conesso acchiuso ta (pimo lato) e D (secondo lato). Pe definizione, è l angolo oientato ta il ettoe e il ettoe CD. ttenzione al segno dell angolo! Nella definizione di angolo oientato, si uota il pimo lato fino a soappolo al secondo. Se la otazione aiene in senso antioaio, l angolo è positio; altimenti, è negatio. Poiché nel nosto caso il pimo lato dell angolo è, si ha: a) < 0 b) > 0 a) b) C D D Notiamo dunque che l angolo ta il ettoe e il ettoe CD è opposto all angolo ta il ettoe CD e il ettoe : a) è l angolo ta ettoe e il ettoe CD ; > 0. b) ' è l angolo ta ettoe e il ettoe CD ; < 0 ; = -. a) b) ' D D ttenzione alla situazione nella figua accanto! L angolo ta i ettoi e D non è θ ma. Non si dee mai dimenticae di taslae il segmento D e potane l oigine nel punto di applicazione da pe indiiduae l angolo ta i ettoi! θ Sbagliato! D Coetto! D

5 Componente di un ettoe secondo una etta oientata. Si consideino il segmento, appesentatio del ettoe, e la etta oientata. Si costuisce il segmento, equipollente ad, con giacente su. Si poietta otogonalmente il punto sulla etta, indiiduando così il punto C. Il ettoe 'C' è detto ettoe componente di secondo la etta. Si dice anche: 'C' è il ettoe componente (o semplicemente il componente) di su. La componente di su pe definizione è pai a: 'C', se l angolo è acuto; - 'C', se l angolo è ottuso. ttenzione a non confondee i temini: il componente è un ettoe; la componente è un numeo (scalae). a) C b) C Sia =. Detta la componente di su, si ha, osseando che il tiangolo C è ettangolo in C (figua a): = cos = cos Questa elazione è coetta anche nel caso b). Infatti, essa tiene conto del segno negatio di pe il fatto che cos < 0 se è un angolo ottuso. La elazione peede coettamente che = 0 quando il ettoe è pependicolae alla etta.

6 Componenti catesiane di un ettoe Supponiamo che sia fissato nel piano un ifeimento catesiano otogonale O. Sia dato il ettoe =. E possibile deteminae, secondo la definizione appena data, i componenti di sulla etta O e sulla etta O ispettiamente. O Tali ettoi pendono il nome di: componente di sull asse, o semplicemente componente di componente di sull asse, o semplicemente componente di Nel caso in figua, le componenti del ettoe sugli assi e e ispettiamente sono pai alle lunghezze di. Siano (, ) e (, ) le coodinate degli estemi e del ettoe. In base alla definizione, si ede facilmente che le componenti di sono date da: = = - - Si noti che le elazioni algebiche sopa ipotate hanno alidità geneale; sono cioè coette anche quando una o entambe le componenti siano negatie. Nel caso in figua, ad esempio, si ha: = - > 0 = - < 0 O

7 Coispondenza biunioca ta ettoi e componenti catesiane Dalla definizione, segue che dato un ettoe è possibile deteminae le sue componenti catesiane in modo unioco (cioè, tutti i segmenti oientati equipollenti hanno le stesse componenti). Una costuzione che talolta isulta utile pe deteminae le componenti di un ettoe è la seguente: dato il segmento oientato, si indiidua il segmento oientato OP ad esso equipollente, e con il punto di applicazione coincidente con l oigine O. Le componenti del ettoe = sono alloa uguali alle coodinate catesiane del punto P: P O P P = = P P E eo anche il iceesa: assegnata una coppia di numei (a, b), si indiidua uno e un solo ettoe le cui componenti siano: = a = b In conclusione, la elazione che ad ogni ettoe associa le sue coodinate catesiane in un ifeimento assegnato è biunioca:, ( ) In patica, diemo che è assegnato un ettoe se è assegnato un segmento oientato che lo appesenta, o anche se sono assegnate le sue componenti catesiane in un dato ifeimento. d esempio, se in un poblema è chiesto di deteminae un ettoe foza, possiamo die di ae isolto il poblema se sappiamo disegnae un segmento oientato che appesenti la foza (cioè, conosciamo modulo, diezione e eso della foza); oppue conosciamo le componenti del ettoe in un dato ifeimento. Dae il solo aloe del modulo non è sufficiente! Visto che un ettoe è identificato in modo unioco dalle sue coodinate catesiane in un ifeimento assegnato, si scie talolta: =, ( ) identificando il ettoe con la coppia delle sue componenti.

8 Relazioni ta modulo e diezione di un ettoe, e componenti catesiane Sia = OP, e siano (, ) le componenti catesiane in un ifeimento. Il modulo di è pai alla lunghezza del segmento OP ; inolte la componente è la lunghezza del segmento O, la componente la lunghezza del segmento P. pplicando il teoema di Pitagoa al tiangolo ettangolo OP si ha alloa: 2 2 ( ) = OP = + Inolte, si ha: = cos θ = sen θ O P θ Si noti che queste elazioni sono coette anche nel caso in cui una o entambe le componenti siano negatie.