I tre principi della dinamica

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1 I te pincipi della dinamica Definizione opeativa di foza e pincipio zeo della dinamica La definizione opeativa di foza è data su base speimentale. Si tatta della cosiddetta definizione statica, basata cioè sulle ossevazioni condotte su un sistema femo. A titolo di esempio, si supponga di vole misuae la foza applicata da una fune a un piccolo oggetto. Si icoe all uso di un oppotuno stumento di misua, il dinamometo, montato come in figua. L estensione del dinamometo (schematizzato come una molla), valutata su una scala gaduata, indica l intensità della foza. Si nota tuttavia che la foza applicata è caatteizzata anche da una diezione e da un veso, che sono deteminati ossevando l oientazione assunta dal dinamometo. In definitiva, si può associae alla foza un segmento oientato, caatteizzato da una lunghezza popozionale all intensità della foza. Pima di concludee che è coetto descivee la foza come un vettoe, si deve peò effettuae una veifica speimentale. Consideiamo queste due situazioni: a) su un piccolo oggetto 1 agiscono due distinte foze, F 1 ed F ; b) sullo stesso oggetto agisce un unica foza, F. Sotto quali condizioni tutti gli effetti delle foze (cioè, tutti gli effetti dinamici) sono equivalenti? L espeimento (condotto già da Newton) pova che il sistema di foze ( F 1, F ) è equivalente a F popio se vale la egola di somma dei vettoi: F F 1 + F 1 Cioè, su un punto mateiale.

2 Questa cicostanza è nota come pincipio zeo della dinamica, o anche pincipio di sovapposizione. Il pincipio zeo della dinamica affema dunque che: a) un sistema di foze F i che agiscono su un piccolo oggetto è equivalente a una sola foza, detta isultante; b) la isultante si calcola con la egola della somma vettoiale: F F i F 1 + F +... i Quando si consideano oggetti di dimensioni non tascuabili, è evidente che gli effetti dinamici dipendano anche da dove le foze sono applicate. Pe studiae gli effetti di un sistema di foze agenti su un copo esteso, non è quindi sufficiente valutae la isultante, ma si dovà tenee anche conto dei punti di applicazione. D altonde, un vettoe non è caatteizzato dal punto di applicazione del segmento oientato. Pe questo motivo, si suole die che una foza è caatteizzata completamente se è assegnato un vettoe F e il suo punto di applicazione P: foza ( F, P) I diagammi nei quali vengono ipotati i vettoi foza agenti su un copo si chiamano diagammi di copo libeo. In base alle ossevazioni pecedenti, nei diagammi di copo libeo pe piccoli oggetti non è impotante consideae il punto di applicazione; spesso i vettoi foza sono disegnati come applicati tutti allo stesso punto, ad esempio il cento. Una impotante conseguenza di questa appossimazione è che non saà possibile discutee le possibili otazioni del copo come effetto delle foze applicate.

3 I legge della dinamica: enunciato di Galileo (pincipio di inezia) L enunciato classico del pincipio di inezia affema che: Un copo pemane nel suo stato di quiete o di moto ettilineo unifome finché su di esso non agiscono foze. Tuttavia, in natua è impossibile tovae condizioni nelle quali la foza su un punto mateiale sia nulla. Il pincipio di inezia vale peò anche pe i punti sui quali agiscano più foze, a condizione che la isultante sia nulla. In conclusione, il I pincipio stabilisce (su base speimentale) una elazione biunivoca: se e solo se la isultante delle foze agenti su un punto mateiale è nulla, l acceleazione del punto è nulla. F F + F a 0 F i 1 i

4 Relatività del moto Il eale contenuto del pincipio di inezia può essee appezzato solo tenendo conto del fatto che il moto è un concetto elativo: ci si muove sempe ispetto a qualcosa. In fisica, si intende genealmente che il moto sia descitto ispetto a un ceto sistema di ifeimento. In linea di pincipio possiamo pensae a un numeo illimitato di sistemi di ifeimento. Alcuni saanno femi l uno ispetto all alto. Questi sistemi, che diffeiscono solo pe una taslazione dell oigine e pe una otazione degli assi, sono sicuamente tutti equivalenti. Poi ci sono i sistemi che si muovono gli uni ispetto agli alti. Evidentemente, le gandezze cinematiche (velocità, acceleazione) che caatteizzano il punto P potanno avee valoi divesi a seconda del ifeimento scelto. Il poblema della elatività classica (di Galileo) è tovae come questi valoi sono collegati ta di loo. A questo scopo, si considei una situazione semplificata. 1. Il pimo sistema di ifeimento Oxy, che saà chiamato sistema di laboatoio sia fisso ispetto al suolo.. Il secondo sistema, che saà indicato come O x y, si muova di moto taslatoio ispetto al laboatoio.nel moto taslatoio, gli assi coispondenti si mantengono sempe paalleli gli uni agli alti. Si sta escludendo dunque la possibilità, impotante ma più difficile da tattae, che il ifeimento O x y sia in otazione ispetto a Oxy. Si può immaginae, pe fissae le idee, una situazione ealistica come quella poposta da Galileo. Il laboatoio Oxy è il sistema di ifeimento solidale alla Tea; il secondo sistema O x y è una nave in movimento; il punto P un insetto che vola nella cabina della nave. Convenzionalmente, si associa a ciascun sistema di ifeimento un ossevatoe collocato nell oigine; si dià peciò che l ossevatoe O si tova nell oigine O del ifeimento Oxy, ecc. Allo stesso moto, dunque, l ossevatoe O e l ossevatoe O assegneanno distinte leggi oaie ( ( t) e ' ' ( t ) ), divese velocità ( v e v' ), divese acceleazioni ( a e a' ). Tuttavia, è facile tovae la elazione che esiste ta le divese descizioni usando le tasfomazioni galileiane ta sistemi di ifeimento in moto elativo.

5 Dalla figua si evince la elazione geometica + '. Deivando ispetto al tempo ambo i membi dell equazione e usando le definizioni date a sinista, si ottengono i isultati elencati a desta : + ' d v ; v dt dv a ; a dt d dt dv dt ; ; d' v' dt dv' a' dt + ' v v + v' a a + a' Limiti di validità della elatività galileiana; cenni alla elatività istetta di Einstein Implicitamente, nel calcolo sopa ipotato si suppone che gli intevalli di tempo misuati da O e da O abbiano la stessa duata (cioè, O e O concodano sul valoe dell intevallo di tempo ta due dati eventi). In ealtà, ciò non è veo, come dimostato da Einstein all inizio del secolo scoso. I isultati della elatività galileiane sono peciò appossimati. Si può dimostae che gli eoi sono tascuabili finchè tutte le velocità in gioco siano molto minoi della velocità della luce nel vuoto ( c o m s -1 ). Consideiamo un poblema unidimensionale. La elatività di Galileo affema che vale la egola di somma delle velocità: v v o + v A velocità elevate, Einstein mostò che invece: vo' + v' v vo' v' 1 + c Questa egola pota a un isultato non molto intuitivo, ma coetto: se v c, anche v c! Effettivamente, la velocità della luce è una costante univesale e il suo valoe non cambia mai, neppue passando da un ifeimento a un alto che si muova ispetto al pimo. con i simboli O ', v, a sono indicate la posizione, velocità e acceleazione di O come viste da O.

6 Un applicazione della elatività di Galileo: moto di un oggetto in caduta libea Supponiamo che O x y sia un vagone che si muove a velocità costante ispetto al sistema di laboatoio Oxy. Alloa la velocità del vagone è v e, se all istante t 0 il vagone si tova in O, la sua legge oaia è: O ' v t Pe semplicità, suppoemo che v sia oizzontale, e che cioè v O x v O ; v O y 0 Supponiamo oa che il punto P cada libeamente in O. Pe esempio uno speimentatoe, che fino all istante t 0 eggeva in mano P nella posizione '( 0) 0, lo lascia cadee senza impimee alcuna spinta. Lo speimentatoe in O assegneà a P la legge oaia di caduta dei gavi: ' 1 g t che coisponde alla taiettoia veticale in osso in figua. Al tempo stesso, uno speimentatoe in O egista la legge oaia di P in modo diveso. In base t data dalla elazione: all equazione della elatività, egli toveà la legge oaia ( ) + ' da cui, sostituendo, si ha: v t + 1 g t Alcune ossevazioni: a) Sia in O che in O, il moto è unifomemente acceleato (le leggi oaie sono polinomi di II gado), e le acceleazioni sono uguali e pai a g. Questo è agionevole, peché O si muove ispetto a O con velocità costante, e quindi, secondo la teoia, si deve avee a a'

7 b) La taiettoia vista da O è una paabola. Questo si vede poiettando la legge oaia sugli assi: 1 v t + g t x v t 1 y g t ed eliminando t ta le due equazioni: g y v x c) La legge oaia in O è popio quella di un poiettile che venisse lanciato con velocità oizzontale v O x. Con le paole di Galileo, alloa, diemmo che la taiettoia di un tale poiettile si ottiene con una composizione di due moti, uno ettilineo unifome sull asse x, l alto ettilineo unifomemente acceleato (veso il basso) sull asse y. x' (m) y (m) ' y' (m) x (m) -50 Il gafico ipota in neo le coodinate x y del punto P, come viste in O, e in blu le coodinate x O, y O. Le coodinate x y di P, come viste in O, sono ipotate in osso (e ifeite agli assi con etichette in osso). E stato posto v O 0.5 m s -1 ; i punti sono segnati a intevalli t 0.0 s. Le fecce indicano, a titolo di esempio, i vettoi,, ' all istante t 0.5 s, dimostando gaficamente la egola di somma, e mostando come il moto di P in O possa essee visto come composizione di moti.

8 Sistemi ineziali In base alle tasfomazioni di Galileo, si nota come non tutti gli ossevatoi siano d accodo nel valutae l acceleazione di un punto mateiale. In geneale, infatti, a a + a' a a' Una conseguenza impotante di questa cicostanza è che il pincipio di inezia non vale in tutti i sistemi di ifeimento, ma solo in sistemi di ifeimento paticolai, detti sistemi ineziali. Un sistema adatto è il cosiddetto sistema di laboatoio, cioè un sistema con assi solidali al suolo teeste. In alcuni espeimenti (pendolo di Foucault, etc.) si notano tuttavia gli effetti della otazione della tea. In questi casi si può icoee ai sistemi di ifeimento astonomici: a) cento nel cento della Tea, assi ivolti veso le stelle fisse; b) cento nel cento del Sole, assi ivolti veso le stelle fisse. Nessuno di questi ifeimenti è pefetto. La elatività geneale di Einstein ha povato che non esistono ifeimenti pefetti, ma solo ifeimenti più o meno adatti a descivee deteminati espeimenti. Nel coso di Fisica Geneale si adotteanno comunemente, a seconda dei casi, i te ifeimenti citati. Alti sistemi ineziali Dato un sistema ineziale (ad esempio il sistema di laboatoio) se ne possono costuie infiniti alti. Infatti, tutti i sistemi che si muovono di moto taslatoio, a velocità costante, ispetto a un sistema ineziale dato, sono ineziali. Pe dimostalo, supponiamo che il sistema Oxy sia ineziale, e che Alloa, 0 e le equazioni della elatività di Galileo diventano: a O ' v cost. v v a a' + ' + v' Petanto, l acceleazione del punto P ha lo stesso valoe in O e in O. In paticolae, se non agiscono foze, O affemeà che l acceleazione a è nulla; ma alloa, anche O concodeà affemando che a ' è nulla, e dunque vaà anche pe O la legge di inezia: il punto P, in assenza di foze, non subià acceleazioni e dunque pemaà nel suo stato di moto ettilineo unifome. Si noti che O e O non concodano invece sulla valutazione della velocità del punto P.

9 II pincipio della dinamica e definizione di massa ineziale Il pimo pincipio spiega cosa accade se su un punto mateiale non agisce alcuna foza. Il secondo isponde invece alla domanda: cosa accade invece, se la foza è divesa da zeo? Su base speimentale, Newton mostò che: se su un punto mateiale agisce una foza, esso subisce un acceleazione popozionale alla foza applicata, e di pai diezione e veso. L equazione che condensa queste affemazioni è la seconda legge di Newton: F m a In questa equazione, F è la isultante delle foze agenti sul punto mateiale: F F i F 1 + F +... i Il coefficiente m è detto massa ineziale del punto mateiale. Pe compendee il significato fisico di m, si considei la seguente situazione. Sullo stesso punto mateiale, in espeimenti successivi, sono applicate foze divese e si misua l acceleazione impessa. Risulteà che modulo della foza e dell acceleazione sono diettamente popozionali; il coefficiente di popozionalità è la massa ineziale m. Ripetendo le ossevazioni con un diveso oggetto, si toveà un diveso valoe pe il coefficiente di popozionalità. Se ne deduce che la massa ineziale è una popietà caatteistica di ciascun copo. Unità di misua della massa e della foza Nel SI, l unità di misua della massa è il kilogammo: [m] kg L unità di misua della foza è deivata; dall equazione F m a si ottiene l equazione dimensionale [F] [m] [a] da cui: [F] kg m s -

10 In un simbolo compatto, l unità è indicata col simbolo N (Newton): kg m s - N Sistemi non ineziali In un sistema non ineziale non vale il pincipio di inezia. Anche la seconda legge di Newton va coetta come segue. L equazione che lega le acceleazioni a a + a' a, a ' è: Moltiplicando ambo i membi pe m, e tenendo conto del fatto che F m a, si ha: F m a + m a' Alloa l ossevatoe O, valutando a sua volta il podotto m a ' F m a m a ', toveà: Dunque pe O non agisce solo la foza F, ma anche la foza m a O '. Non esistendo una causa estena pe tale foza, O dià che m è una foza appaente. a O ' Si supponga che il punto P non sia soggetto all azione di alcuna foza eale. Alloa, O sciveà l equazione del moto: m a ' m a da cui a ' a Quindi il punto mateiale appae a O in moto acceleato, con un acceleazione pai popio a quella del sistema non ineziale, ma cambiata di segno. Inolte, tutti i punti mateiali su cui non agiscono foze estene appaianno in O soggetti alla stessa acceleazione. Questo è un elemento caatteistico delle foze appaenti.

11 III legge della dinamica. Pincipio di azione e eazione Il tezo pincipio della dinamica dà due pescizioni distinte ed indipendenti pe le leggi di foza: a) se il copo 1 esecita una foza F 1 sul copo, alloa il copo esecita una foza sul copo 1 uguale e opposta : F 1 F1 ; cioè, le foze hanno stesso modulo, uguale diezione e veso opposto; b) Le foze F1, F1 giacciono sulla stessa etta di applicazione. F 1 F 1 Pemesso 1 (foze attattive) F 1 F 1 Pemesso 1 (foze epulsive) F 1 1 F 1 Vietato (le foze non giacciono sulla stessa etta di applicazione, pu essendo i vettoi uguali e opposti). Commenti sul III pincipio della dinamica Limiti della legge di azione e eazione. Il tezo pincipio è coettamente veificato da molte leggi di foza; esistono peò impotanti eccezioni, ta le quali la foza magnetica. Il poblema è che la fomulazione del tezo pincipio in temini di azione e eazione è basata sulla concezione di azione a distanza, intodotta da Newton, ma inadatta a descivee alcuni tipi di foza, ta i quali le foze elettomagnetiche. La descizione modena di inteazione è data invece in temini di campi (campo gavitazionale, elettico, magnetico, ecc.). Pe tenee conto dell esistenza dei campi è necessaio modificae l enunciato del tezo pincipio. In patica, esso è sostituito dalle leggi di consevazione della quantità di moto e del momento angolae. Nelle applicazioni della meccanica classica (inclusi i poblemi di gavitazione univesale), la legge di azione e eazione è equivalente ai pincipi di consevazione della quantità

12 di moto e del momento angolae. Risultante delle foze e pincipio di azione e eazione. A titolo di esempio, consideiamo due copi a contatto. Se il copo 1 spinge il copo con la foza F, il copo espinge il copo 1 con la foza F' F. Attenzione a non fae confusione: a) la somma delle due foze F, F ' è nulla, visto che si tatta di vettoi uguali e opposti: F + F' 0 b) tale somma non appesenta la isultante delle foze applicate a un copo: F e F ' sono applicate a due copi distinti! Natualmente i due copi possono avee acceleazioni divese da zeo, sebbene F + F' 0, come ad esempio nel caso in cui l uno imbalzi sull alto.