I concetti della relativita generale

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1 Buchi Nei

2 I concetti della elativita geneale In elativita speciale: Invaiante: ds = c dt =c dt -dx -dy -dz dt : tempo popio (tempo misuato da un ossevatoe solidale con il copo in moto) Legge di moto di una paticella: m d X dt = F Nel sistema di ifeimento della paticella: d X ds =0

3 I concetti della elativita geneale Tempo popio in elativita geneale: g µ : coefficienti della metica ds = g µ x µ x In elativita speciale: g µ = Poblema fondamentale: in pesenza di massa-enegia, la metica dello spazio - tempo e divesa in ogni punto. Quindi nel calcolae la vaiazione di una gandezza spostandosi da un punto A ad un punto B, e necessaio consideae anche il cambio di metica da A a B. 3

4 I concetti della elativita geneale PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: Vai enunciati: - Massa gavitazionale = massa ineziale - Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi unifomemente acceleati - In un labatoio in caduta libea (che occupi una egione piccola dello spaziotempo) le leggi della fisica sono quelle della elativita speciale. Conseguenze geneali: - La gavita non e consideata una foza estena, ma una cuvatua dello spazio tempo. (La cuvatua e indotta dalla pesenza di mateia-enegia) - Una paticella libea in un campo gavitazionale si muove lungo una geodetica dello spazio-tempo cuvo Conseguenza paticolae : i fotoni isentono della pesenza di un campo gavitazionale 4

5 I concetti della elativita geneale Esempio: la deivata di un vettoe spostamento, e la vaiazione del vettoe in un intevallo infinitesimo di tempo. In alte paole, devo misuae il vettoe al tempo t, misualo ancoa al tempo t+dt, e poi calcolae la diffeenza. Ma al tempo t+dt il vettoe si tova in un alto punto dello spazio-tempo, quindi con un alta metica. Quale metica uso pe misuae la vaiazione? Soluzione: devo calcolae la vaiazione dopo ave ipotato il vettoe all istante t+dt nello stesso punto dello spazio-tempo del vettoe all istante t. Nel fae questo, la misua del vettoe cambiea pe effetto della vaiazione della metica. In patica: Posso ottenee l equazione che descive il moto di una paticella in un campo gavitazionale dalla (banale) equazione geodetica nel sistema solidale con la paticella mediante un cambio di coodinate nel sistema dell ossevatoe. 5

6 I concetti della elativita geneale Sistema della paticella: coodinate Sistema dell ossevatoe: coodinate µ x µ d µ ds =0= d ds ( d µ dx dx k dx ds )= d µ dx d x µ ds + dx x x k ds dx k Moltiplicando pe e usando l identita d µ si ottiene l EQUAZIONE GEODETICA: dx = k dx k ds d x k ds + k µ dx µ ds dx ds =0 k µ : coefficienti della connessione affine, o simboli di Chistoffel : contengono l infomazione sulle vaiazioni dovute alla metica. 6

7 I concetti della elativita geneale Nota: finoa abbiamo solo accennato ad un fomalismo: l equazione geodetica e semplicemente un modo pe fattoizzae tutta la dipendenza dalla metica nei coefficienti di Chistoffel. Passaggi fondamentali: - Calcolo tensoiale: espessione dei simboli di Chistoffel in funzione dei coefficienti della metica - Fisica : calcolo dei coefficienti della metica in base alle equazioni del campo gavitazionale. - Calcolo delle equazioni di moto in uno spazio-tempo cuvo: nei calcoli patici si sfuttano 1) le equazioni di Euleo-Lagange; ) L integale pimo dell equazione geodetica 7

8 I concetti della elativita geneale Lagangiana in elativita geneale: L = g µ ẋ µ ẋ (in assenza di potenziali esteni) Equazioni di Euleo-Lagange: d du ( L ẋ ) L x µ =0 u: paameto ispetto a cui si espime la taiettoia della paticella. Pe geodetiche non-nulle (cioe pe paticelle con massa) la scelta natuale pe paametizzae la taiettoia e il tempo popio. Pe geodetiche nulle ds=0 pe definizione, e deve essee scelta un alta paametizzazione. Integale pimo dell equazione geodetica: g µ ẋ µ ẋ =0 (fotoni) g µ ẋ µ ẋ = c (paticelle con massa) 8

9 Geometia di Schwazschild Caso inteessante: spazio-tempo isotopo e STATICO : 1) i coefficienti della metica non dipendono dal tempo ) la metica e invaiante pe tasfomazioni t --> -t (se e veificata solo la 1) si pala di spazio-tempo STAZIONARIO) In patica: descizione dello spazio-tempo all esteno di una distibuzione di massa statica con simmetia sfeica Dalla ichiesta di isotopia e staticita si ottiene: ds = A()dt B()d (d + sin d ) dove i coefficienti A() e B() devono essee icavati dalle equazioni del campo gavitazionale. 9

10 Geometia di Schwazschild Si ha: A() =c (1 GM c ) B() = (1 GM c ) 1 La Metica di Schwazschild (1917) e quindi: g µ = c (1 ) (1 ) dove µ = GM c Si nota immediatamente che i coefficienti metici divegono pe ( aggio di Schwazschild ) 10

11 Geometia di Schwazschild Spostamento veso il osso (edshift) gavitazionale: consideiamo un emettitoe (E) ed un icevitoe (R) fissi in un campo gavitazionale isotopo e statico, che emettono due impulsi: d = 0; d = 0; d = 0; ds = c (1 )dt I fotoni si muovono su geodetiche nulle, pe cui ds=0 e: c (1 )dt =(1 ) 1 d + d + sin d D alta pate, le coodinate spaziali imangono costanti (peche E ed R sono fissi). Quindi consideando due impulsi a due istanti divesi, la diffeenza fa la coodinata tempoale nel sistema dell emettitoe e la stessa che nel sistema del icevitoe: t E = t R ds R ds E = 1 / R 1 / E 11

12 Geometia di Schwazschild Il tempo popio ds/c e identificabile come il peiodo della adiazione emessa. Quindi la fequenza della adiazione emessa misuata dal icevitoe e minoe di quella misuata dall emettitoe. In geneale, pe ogni spazio-tempo STAZIONARIO: R E = s g 00 (~x E ) g 00 (~x R ) dove la notazione sottolinea l indipendanza della metica dalla coodinata tempoale (pe l ipotesi di stazionaieta ) NOTA: Il edshift gavitazionale deiva diettamente dal pincipio di equivalenza: se una adiazione di lunghezza d onda l e emessa dalla paete di un laboatoio che si sta spostando nella stessa diezione con moto acceleato, essa vea misuata alla paete opposta con una lunghezza d onda modificata pe effetto dopple: Dl/l ~ Dv/c 1

13 Geometia di Schwazschild CALCOLO DELLE ORBITE: Equazioni di Euleo: L = c 1 ṫ 1 ṙ ( + sin ) d d L ẋ µ L x µ =0 Si ottiene: 1 ṫ = K µc ṫ 1 µ ṙ ( + sin )=0 + ṙ sin cos =0 sin = h 13

14 Geometia di Schwazschild Posso consideae obite sul piano equatoiale e assumee q=p/ µc ṫ 1 1 ṫ = K µ ṙ =0 = h Questo e il set di equazioni che definiscono le obite. K = enegia totale h = momento angolae La seconda equazione e complessa. Conviene, pe semplicita di calcoli, usae al suo posto l integale pimo dell equazione geodetica 14

15 Geometia di Schwazschild g µ ẋ µ ẋ = c da cui: 1 ṫ = K c 1 ṫ 1 1 ṙ = c = h Sostituendo la teza e la pima equazione nella seconda: ṙ + h 1 GM c GM = c (k 1) Temine aggiuntivo ispetto al caso Newtoniano 15

16 Geometia di Schwazschild Stabilita delle obite: L equazione pecedente puo essee iscitta, in analogia al caso Newtoniano, come: 1 d dt + V e () =E Veff() e il potenziale efficace. Nel caso Newtoniano: V e = GM + h In elativita geneale: V e = µc + h µh 3 --> Facile studio di funzione 16

17 Geometia di Schwazschild Newton GR Estemi: dv e d = µc h 3 + 3µh 4 =0 µc h +3µh =0 = h c (h ± h 1 c ) 17

18 Geometia di Schwazschild All ultima obita stabile: V e c =1 3 =5.7% Una paticella che pate da R>> m e aiva all ultima obita stabile puo iadiae fino al 5.7% della sua massa a iposo (eazioni nucleai: 0.7%) Esempio: paticella che pate da =0GM/c e h=3.5 GM/c (pe avee un obita stabile seviebbe un momento angolae maggioe: esecizio 18

19 Geometia di Schwazschild TRAIETTORIE DEI FOTONI - stesso tattamento, ma con equazione geodetica g µ ẋ µ ẋ =0 1 ṫ = K c 1 ṫ 1 1 ṙ =0 = h da cui: ṙ + h 1 GM c = c k 19

20 Geometia di Schwazschild Esiste un obita cicolae, a =3m ma e instabile. Nota: questo non vieta a un fotone di avee una taiettoia che passa da <3m NON cicolae, puche >m 0

21 Geometia di Ke Genealizzazione: metica STAZIONARIA assisimmetica ds = Adt B(d dt) Cd Dd Risolvendo le equazioni del campo gavitazionale: ds = c 1 dt + 4µac sin dtd d d + a + a sin = + a cos = + a sin d a: momento angolae. La metica si iduce al caso di Schwazschild pe a-->0 1

22 Geometia di Ke = + a =0 ± = µ ± µ a Ci sono due oizzonti degli eventi. Nota: se a > m non ci sono oizzonti. In questo caso =0 e una singolaita visibile all esteno (singolaita NUDA) Caatteistica nuova : consideiamo un fotone emesso da un punto fisso (,q,f) in diezione ±f. Dunque q=costante; =costante - essendo un fotone: ds=0 g tt dt +g t dtd + g d =0 d dt = g t g ± g t g g tt g Due soluzioni, a seconda che il fotone si muova nella diezione di otazione del BH o in quella contaia.

23 Geometia di Ke Situazione inteessante: se gtt=0 d dt 1 = g t g ; d dt =0 Si puo dimostae facilmente che la pima soluzione e pai a w (fequenza di otazione del BH) La seconda soluzione e sopendente: il fotone imane inizialmente femo, pe l effetto di tascinamento delle obite. Dato che qualsiasi paticella massiva si muove piu lentamente di un fotone, se ne deduce che saa impossibile pe essa avee obite stazionaie. Esiste cioe una ERGOSFERA, egione in cui non e possibile avee ossevatoi a iposo ispetto ad un sistema di ifeimento all infinito. 3

24 Geometia di Ke Dalla metica di Ke: g tt = c + a cos g tt =0 S = µ ± µ a cos Stuttua dello spazio-tempo intono a un buco neo otante: - + Egosfea 4

25 Geometia di Ke Moto cicolae (paticelle massive e fotoni): stesso appoccio del caso non otante (piu calcoli) ṙ = c (k 1) + c o: 1 ṙ + V e = 1 c (k 1), V e = µc + a c (k 1) h + + h a c (k 1) µ(h ack) 3 Stessa stuttua del potenziale efficace del caso a=0. Studio della funzione Veff: (h ack) 6µ 3a ± µ =0 a = µ = µ; =9µ (obita otante / contootante) 1 V e (a = µ; = µ) =0.43c 3 5

26 Effetti Ossevabili 1) Effetto Blandfod-Znajek: estazione dell enegia otazionale del BH, tamite campi magnetici poloidali ancoati all egosfea L EM <B µ a µ c 6

27 Effetti Ossevabili ) Emissione dalle egioni intene di un disco di accescimento Effetti facilmente ossevabili: iga di emissione. La iga di emissione piu intensa attesa dalle egioni intene del disco e la Ka del feo a ~6.4 kev 7