III. INTRODUZIONE ALL'ASTRODINAMICA

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1 III. INTRODUZIONE ALL'ASTRODINAMICA

2 III.1. Obite kepleiane III.1.1. Equazioni del moto La Tabella III.1.1 elenca e definisce i paameti fondamentali dell'obita ellittica schematizzata in Figua III.1.1. Tabella III.1.1: Paameti del moto obitale vettoe posizione del satellite (S ) elativamente al cento della Tea (T ) v vettoe velocità di S elativamente a T a semiasse maggioe dell'ellisse b semiasse minoe dell'ellisse c semidistanza fa i fuochi e p p eccenticità: e= c / a= a b / a semi-latus ectus: p= a( 1 e ) aggio del peigeo, la distanza fa T ed il punto più vicino dell'obita ellittica a aggio dell'apogeo, la distanza fa T ed il punto più lontano dell'obita ellittica ϑ angolo polae dell'ellisse; si chiama anche anomalia vea e si misua in diezione del moto dalla diezione del peigeo al vettoe posizione ϕ anomalia eccentica (vedi Figua III.1.) L'equazione del moto del satellite nel campo di foza della gavitazionale della Tea si ottiene, in pima appossimazione, dall'analisi del moto dei due copi. Pe la tattazione del poblema dei due copi si fanno due assunzioni semplificatici: a) i copi sono a simmetia sfeica in modo che la masse possano consideasi concentate nel cento, b) non ci sono foze intene o estene che agiscono sul sistema; l'unica foza è quella gavitazionale che agisce lungo la linea che unisce i centi dei due copi. L'equazione del moto elativo dei due copi si detemina nella seguente maniea: si consideino i due copi di massa M e m e due sistemi di ifeimento definiti da coodinate catesiane otogonali: (X',Y',Z') e (X, Y, Z). Il pimo è un sistema ineziale, il secondo è paallelo al pimo e non otante. L'oigine del secondo sistema è al cento del copo di massa M. Se i vettoi posizione dei due copi, elativamente al sistema ineziale, sono M e m ispettivamente, il vettoe posizione elativa della massa m ispetto la massa M è: = (III.1) m M 49

3 Figua III.1.1: Satellite in obita ellittica. Applicando le leggi di Newton nel sistema di ifeimento ineziale si ottengono le acceleazioni delle masse m e M ispettivamente: Sottaendo la (III.) dalle (III.3) si ottiene ɺ GM m = (III.) ɺ Gm M = (III.3) ɺ G M m ( + ) = (III.4) 3 Si noti che, pe le ipotesi fatte sui sistemi di ifeimento, ɺ ɺ e sono gli stessi nei due sistemi. Quindi, dopo ave postulato l'esistenza di un sistema di ifeimento ineziale pe deivae l'equazione (III.4), si è in gado di misuae i vettoi posizione, velocità, e acceleazione del sistema non otante che ha l'oigine nel cento del copo di massa M. La massa m di satellite atificiale obitante attono la Tea, un pianeta o il Sole è sempe molto minoe di M. La (III.4), con buona appossimazione, si può scivee come segue: GM ɺ + = ɺ + µ = 0 (III.5) dove µ = GM = km / s pe la Tea e Sole. L'equazione del moto in coodinate polai diventa: 11 3 µ = km / s pe il µ ɺ ɺ ɺ θ = (III.6) 50

4 L'acceleazione tasvesale è nulla in quanto, dalle ipotesi iniziali, isulta che il sistema è soggetto alle sole foze gavitazionali e che il moto è centale: 1 d a = ( ɺ T θ ) = 0 (III.7) dt ɺ θ =h (III.8) dove h è il modulo del momento angolae specifico che è una costante del moto. Ponendo = 1/ u e deivando ispetto al tempo 1 du ɺ = ɺ θ (III.9) u dθ dθ dɺ ɺ = (III.10) dt dθ si ottiene l'equazione (III.11) che ha come soluzione geneale la (III.1): d u µ dθ + u= (III.11) h µ u= [1+ ecos( θ B)] h (III.1) Assumendo le condizioni iniziali su θ in modo che B=0, si ottiene la h 1 = (III.13) µ 1+ ecosθ La (III.13) è l'equazione polae di una sezione conica; se e< 1 la (III.13) è l'equazione polae di un ellisse di eccenticità e e con fuoco in T (Figua III.1.1). La (III.13) si scive anche, in foma più iconoscibile, come segue: a( 1 e ) = = p 1+ e cosθ 1+ e cosθ (III.14) Pe dimostae che h / µ = p basta calcolae l'equazione (III.13) pe θ=0 e θ= π e compiee semplici opeazioni algebiche icodando che p + a = a. Le componenti tasvesale e adiale della velocità sono ispettivamente: 51

5 µ ɺ θ = ( 1+ ecosθ ) (III.15) p µ ɺ = esenθ (III.16) p La velocità totale al quadato è: ɺ 1 = ɺ + ɺ θ = µ ( ) a (III.17) III.1.. Enegia meccanica e momento angolae specifici Pe un'obita non petubata l'enegia meccanica (specifica) si conseva: E v µ = (III.18) µ = a Nella (III.18) si è indicato con v il quadato della velocità ( ɺ ). Con la condizione al contono che l'enegia potenziale all'infinito è zeo, l'enegia meccanica specifica è sempe negativa pe un'obita ellittica. Se l'enegia aumenta e tende a zeo, l'ellisse diventa sempe più gande e l'obita tende a diventae paabolica (a, e 1). Con l'equazione dell'enegia, si deiva che la velocità di un satellite in un'obita cicolae di aggio 0 è: µ v= (III.19) 0 mente la velocità di fuga dall'attazione teeste da una stessa distanza 0 è: µ v esc = (III.0) 0 Un'alta gandezza associata con l'obita di un satellite è il momento angolae specifico definito come: h = µ pn (III.1) 5

6 dove n è la nomale al piano dell'obita. Pe un sistema a due copi, il momento angolae si conseva sia in modulo che in diezione. Il piano di un'obita definita dai vettoi posizione e velocità imane fisso nello spazio ineziale. Poichè il aggio vettoe "spazza'' aee uguali in tempi uguali, il tempo impiegato a spazzae l'aea dell'ellisse (peiodo dell'obita), è dato dal appoto aea su velocità "aeeolae": e la velocità angolae media del satellite è: 3 πa 1 e a τ = = π (III.) µ p / µ π µ ω = = (III.3) 3 τ a III.1.3. Equazioni del moto in temini di anomalia eccentica Si definisce anomalia eccentica l'angolo ϕ indicato in Figua III.1.; lo si ottiene cicoscivendo un cechio di aggio a attono l'ellisse e tacciando una linea pependicolae all'asse maggioe che passa pe il punto P (satellite). La linea inteseca il cechio nel punto Q. Dalla figua isulta immediatamente: cosϕ e cosϑ= 1 ecosϕ a 1 e senϑ= senϕ (III.4) L'equazione del moto in temini di anomalia eccentica diventa: = a( 1 ecos ϕ ) (III.5) 53

7 P a S b ϕ θ O Q a e T V Figua III.1.: Anomalia eccentica, ϕ Un'alta gandezza impotante è l'anomalia media che è definita da: M = µ ( t t a 3 P ) (III.6) dove t P è l'istante di passaggio del satellite al peiapside. L'equazione (III.6) si ottiene dalla seconda legge di Kepleo: il appoto fa l'aea VST di Figua III.1. ed il tempo impiegato a pecoela (t t P ) è uguale al appoto fa l'aea dell'obita ellittica ed il peiodo. Se indichiamo con A l'aea VST si ottiene la seguente elazione: A t t P πab 1 µ = = ab 3 τ a (III.7) Il valoe di A si calcola come diffeenza fa l'aea VSQ e l'aea TSQ. Quest'ultima è un tiangolo di base ae a cosϕ e di altezza b a ( a sen ϕ ); l'aea VSQ è data da b a (aea VPQ). In definitiva A= ab e ( ϕ sen ϕ ) (III.8) t t = M P = ϕ e 3 a ( e χ ϕ sen ϕ ) (III.9) sen ϕ (III.30) L'equazione (III.30) è l'equazione di Kepleo; tamite essa si può calcolae l'anomalia vea, θ, e quindi l'equazione del moto. L'equazione di Kepleo è 54

8 tascendente in ϕ; non cè quindi la possibilità di calcolae analiticamente ϕ. Bisogna deivae soluzioni appossimate (gafiche o analitiche). M si può ottenee dalla χ M = ( a t t k M P) π (III.31) con k una costante intea. Una volta deteminata l'anomalia eccentica, combinando le equazioni (III.4) e (III.5), si ottiene l'anomalia vea: e cosϕ cosϑ= ecosϕ 1 (III.3) III.1.4. Elementi obitali Si definiscono gli elementi di un'obita, cioè 5 paameti necessai pe specificae le caatteistiche di un'obita ellittica (Tabella III.1.) ed un sesto paameto necessaio pe localizzae con pecisione la posizione di un satellite lungo la sua obita ad un dato istante. Tabella III.1.: Paameti del moto obitale Due paameti che definiscono l'oientazione del piano obitale: i, l'angolo di inclinazione del piano obitale elativamente al piano dell'equatoe teeste, e Ω, l'ascensione etta del nodo ascendente 1 Un paameto pe l'oientazione del moto del piano obitale: ω, l'angolo fa il nodo ascendente ed il peigeo, misuato attono l'obita nella diezione del moto Un paameto che pe la dimensione dell'obita: a, il semiasse maggioe Un paameto di foma dell'obita: e, l'eccenticità Un paameto tempoale: t P, istante di passaggio al peiapside 1 Nodo ascendente è il punto dell'obita dove un satellite attavesa il piano equatoiale muovendosi da sud a nod; l'ascensione etta del nodo ascendente, Ω, è l'angolo nel piano equatoiale, misuato veso est dalla diezione dell'equinozio di pimavea (punto γ) al nodo ascendente dell'obita. Il punto γ è il nodo ascendente dell'obita teeste attono il Sole. 55

9 Esistono alti paameti che definiscono l'obita di un satellite: ta questi icodiamo 1) l'agomento della latitudine u, cioè l'angolo, misuato sul piano dell'obita, fa il nodo ascendente ed il aggio vettoe del satellite all'istante t 0, e ) la longitudine del satellite, cioè l'angolo, misuato sul piano dell'obita, fa la diezione dell'equinozio di pimavea (punto γ) ed il aggio vettoe del satellite. In Figua III.1.3 sono appesentati tutti i paameti menzionati sopa. III.1.5. Equazioni del moto di un satellite in pesenza di foze estene L'equazione del moto del satellite S nel campo di foza della gavitazionale della Tea, assumendo m= 1, la pesenza di foze estene f e che queste ultime siano piccole ispetto le foze gavitazionali, si scive in foma vettoiale nella seguente maniea: ɺ µ + = f 3 (III.33) Figua III.1.3: Paameti obitali In questo caso il piano dell'obita non è più fisso ma vaia nel tempo. Istante pe istante l'obita su cui si muove il satellite coincide con un'obita di ifeimento lungo cui un satellite si muoveebbe se a quell'istante si annullasseo tutte le acceleazioni che petubano il moto; tale obita di ifeimento si dice "osculante". Osculae è il temine scientifico pe baciae. Il temine dà il senso del contatto; nel nosto caso il contatto avviene fa l'obita vea (petubata) e quella di ifeimento o osculante. Si definisce piano osculante il piano che contiene T, S ed il vettoe velocità v ad ogni istante. Si nota che i vettoi posizione e velocità del satellite, v e, sono gli stessi che nell'obita osculante; ɺ ɺ è diffeente. Dopo un tempo δt, il satellite giace su una nuova obita osculante data dal vettoe posizione + ɺ δt e dal vettoe velocità ɺ + ɺ ɺ δt. Poichè ɺ ha un valoe diveso da quello dell'obita non petubata, gli elementi dell'obita osculante al tempo t+δ t saanno divesi da quelli al tempo t. Si espime il cambio di elementi obitali in temini di f ( f, ft, fn). 56

10 Le componenti del vettoe f si ifeiscono ad un sistema di coodinate che ha l'asse pincipale R lungo il aggio vettoe istantaneo,, l'asse T è uotato di 90 in diezione di anomalia vea cescente. R e T giacciono sul piano osculante. Il tezo asse N, indi-cato da un vesoe n, è pependicolae a R e T. Dall'equazione dell'enegia (III.18), diffeenziando si ottiene: 1 ɺ a ɺ ɺ ɺ = + 3 µ a (III.34) Da qui si deiva a aɺ = µ ɺ f (III.35) e, tamite le componenti adiali e tangenziali della velocità (III.15 e III.16), si ottiene la pima equazione delle obite petubate: aɺ = a [ f esenϑ f (1 ecos ϑ + t + )] µ p (III.36) Alte due equazioni si ottengono patendo dal momento angolae specifico che è un vettoe paallelo a n ; la diezione di n è deteminata da Ω e da i. h = ɺ = µ pn (III.37) Diffeenziando l'equazione pecedente ispetto il tempo si ottiene: dh pɺ = f = µ p( nɺ + n) (III.38) dt p Si indichi con B la velocità angolae di n e si considei il vettoe nɺ = B n. B ha come componenti Ω ɺ in diezione dell'asse di otazione teeste (asse z) e didt in diezione della linea dei nodi che a sua volta è pependicolae all'asse z (vedi Figua III.1.3). Se si chiama K il vesoe lungo l'asse z e I quello lungo la linea dei nodi e J quello che completa la tena catesiana otogonale e che identifica la diezione dell'apice, il punto di massima latitudine nod dell'obita, si ottiene: di nɺ = B n=ωɺ senii J (III.39) dt Indicando con u l'angolo ω+ θ, si deivano le componenti di f nel piano obitale: 57

11 f n pependicolae a fn sen u, lungo I f cos n u, lungo J. Poiettando l'equazione (III.38) lungo le diezioni I e tovano la seconda e teza equazione delle obite petubate: J ispettivamente si 1 Ω ɺ seni= fnsenu (III.40) µ p di dt 1 = fn cosu (III.41) µ p Poiettando la stessa equazione lungo n si ottiene: p pɺ = ft (III.4) µ e, icodando 1) che pɺ = aɺ (1 e ) aeeɺ e ) la elazione (III.5) che dà l'equazione del moto espessa in temini di anomalia eccentica, si deiva la quata equazione delle obite petubate: p eɺ = [ fsenϑ+ ft (cosϑ+ cosϕ)] (III.43) µ L'ultima (quinta) delle equazioni delle obite si deiva icodando che la velocità angolae del satellite che si muove nel piano osculante dell'obita è data dalla ( ω+ ɺ ɺ ϑ) n, mente il piano ha una sua velocità angolae attono l'asse teeste con componente Ω ɺ cosi in diezione di n. Alloa si ha: h = µ pn = ( ɺ ω+ ɺ ϑ+ωɺ cosi) n (III.44) L'equazione pecedente si può scivee, in temini scalai, come: ɺ ω ɺ µ p Ω cosi = ɺ ϑ (III.45) + ϑ ɺ si può deivae diffeenziando ispetto il tempo l'equazione del moto (III.13): 58

12 ɺ 1 eɺ p 1 pɺ p ɺ ϑ = [ ( 1) + ( )] (III.46) senϑ e e Ricodando l'espessione (III.16) pe la componente ɺ della velocità, l'equazione delle obite (III.13), l'equazione (III.43) che calcola eɺ, la (III.4) che dà pɺ, e deivando senϑ e cosϑ in temini dell'anomalia eccentica, si ottiene la quinta equazione delle obite: 1 p ɺ ω + Ω ɺ cosi = f cos ϑ+ ft 1 + sen ϑ (III.47) e µ p III.1.6. Effetti della tiassialità della Tea Nella deivazione dell'equazione del moto pe obite impetubate si ea assunto che la Tea fosse sfeica ed omogenea. In ealtà la Tea non è sfeica nè omogenea. Le deviazioni più impotanti sono dovute alla otazione teeste; alti effetti, come la leggea foma a pea e le vaiazioni del aggio equatoiale sono meno impotanti ma sufficienti ad influenzae un satellite in un'obita equatoiale (vedi schema in Figua III.1.4). In Tabella III.1.3 si dà una schema iassuntivo. Rotazione teeste Foma a pea Vaiazione del aggio equatoiale Rigonfiamento equatoiale e appiat-timento ai poli: aggio polae è 1 km più coto del aggio medio equatoiale Cento di massa a sud dell'equatoe Recente scopeta della fisica spaziale; poduce asimmetia gavitazionale nel piano equatoiale ( 70 m). Tabella III.1.3: Tiassialità della Tea Dato il potenziale gavitazionale della Tea, si può calcolae l'acceleazione Φ Φ Φ pendendone il gadiente: a = Φ= i + j+ k. Le deivate sono calcolate x y z ispetto un sistema di ifeimento geocentico in un sistema di ifeimento di coodinate equatoiali. La funzione geopotenziale si può scivee nella seguente foma: µ Req n Φ = [1 Jn ( ) Pn ( senλ)] (III.48) n= dove il pimo temine è il potenziale della tea supposta sfeica, il secondo 3 temine (n=) tiene conto dell'appiattimento della Tea (J = è una costante adimensionale, R eq è il aggio equatoiale della Tea, P è il polinomio di Legende del secondo odine con agomento il seno della latitudine geocentica, λ, i 6 temini di odine più alto appesentano l'asimmetia all'equatoe (J 3 = , etc.) 59

13 Il potenziale geneato dalla non sfeicità della Tea poduce vaiazioni peiodiche in tutti gli elementi obitali. Gli effetti dominanti sono vaiazioni secolai nell'ascensione etta del nodo ascendente, e dell'agomento del peigeo. Nel pimo caso il piano obitale uota attono l'asse teeste in diezione opposta al moto del satellite; il igonfiamento dell'equatoe poduce la foza aggiuntiva dovuta all'aumento di attazione gavitazionale. Lo spostamento è una specie di effetto gioscopico; il cambio di diezione del moto è pependicolae sia alla diezione oiginale del moto che alla diezione della foza petubante. Il fenomeno si chiama egessione dei nodi. Figua III.1.4: Pe dae un'idea visiva dell'effetto si appesenta la Tea come una sfea cicondata da una fascia equatoiale di mateia in eccesso che appesenta il igonfiamento all'equatoe. Si noti che i nodi si muovono veso ovest pe obite pogessive o diette e veso est pe obite etogade Se i< 90, Ω diminuisce continuamente mente i imane costante: R eq.5 Ω ɺ 9.97( ) 3 (1 e ) cosi gadi/giono (III.49) a Pe quanto iguada l'agomento del peigeo, l'asse maggioe dell'obita uota nel piano obitale in modo che l'agomento del peigeo aumenta secondo la seguente elazione: R eq ωɺ ( ) (1 e ) (5cos i 1) gadi/giono (III.50) a L'effetto della vaiazione di ω è ilevante nella posizione della linea degli apsidi, cioè la linea che congiunge il peigeo con l'apogeo: il satellite accelea o decelea a 60

14 secondo del valoe di i. Il igonfiamento all'equatoe causa, pe piccoli i, una maggio cuvatua dell'obita ispetto al caso di massa centale a simmetia sfeica; il isultato è che l'obita imane nello stesso piano ma la posizione dell'apogeo cambia continuamente. Lo spostamento è nella diezione del moto del satellite se i è minoe di 63.4 gadi o maggioe di gadi; altimenti è opposta al moto del satellite. In Tabella III.1.4 si danno alcuni esempi di effetti della tiassalità su Ω e ω pe alcune obite scelte. Dalla suddetta tabella isulta che l'obita detta Molniya è molto eccentica ed ha un peiodo di cica 1 oe ( ivoluzioni al giono). L'inclinazione obitale è i = cos 1 ( 1 5 ), cioè è scelta in modo tale che ω=0. Pe le obite Molniya il peigeo è nell' emisfeo sud e quindi il satellite imane nell'emisfeo nod (attono all'apogeo) pe cica 11 oe. Tipiche altezze del peigeo vaiano da 00 a 1000 km. Paameti obitali Shuttle: a=6700 km e=0; i=8 a=6600 km e=0 i=60 Obita geosincona a=4160 km e=0; i=0 Obita ellittica Molniya: a=6600 km e=0.75; i=63.4 Ω ( /giono) Tabella III.1.4: Esempi di Ω ɺ e di ωɺ ω ( /giono) Nelle obite sincone con il Sole, in cui Ω ɺ è uguale alla velocità angolae della Tea attono al Sole ( gadi/giono), il piano obitale del satellite imane appossimativamente fisso elativamente al Sole. Pe dati valoi di a ed e, si usa la III.47 pe deteminae l'inclinazione dell'obita sincona con il Sole. Olte le vaiazioni secolai di Ω e ω i J n causano petubazioni peiodiche di alcuni elementi obitali. La più impotante è un'oscillazione della distanza del peigeo causata dalla teza amonica. 6. 8senisenω km (III.51) p pe dove pe è il valoe equatoiale (cioè quando ω= 0 ). Ci sono alte petubazioni (in genee piccole) causate dalla vaiazione della gavità con la longitudine; di queste non ce ne occupiamo. III.1.7. Effetto dell'attito atmosfeico 61

15 Poichè la densità dell'aia diminuisce apidamente con l'altezza, un satellite avente un'obita altamente eccentica subià gli effetti della esistenza dell'aia soltanto attono al peigeo dove, in pima appossimazione, pedeà velocità. Ciò fa sì che il satellite non aggiungeà la stessa distanza dell'obita pecedente all'apogeo. La distanza dell'apogeo viene idotta mente quella al peigeo imane essenzialmente costante. Un satellite che si muove con velocità v a ispetto l'aia (cioè elativamente all'atmosfea otante) è soggetto a foze aeeodinamiche che possono essee identificate in due componenti: la foza d'attito in diezione opposta a v a che ha modulo m ɺ 1 = ρ v a SC D (III.5) dove ρ è la densità dell'aia, S la sezione d'uto del satellite pependicolae alla diezione del moto, C D un coefficiente adimensionale di attito; una foza L che giace sul piano pependicolae a v a e che poduce un momento M attono al cento di massa. L si chiama "spostamento aeeodinamico attono il cento di massa'' ed include effetti dovuto al gadiante di gavità, al campo magnetico della tea, etc. Nella maggio pate dei satelliti si applicano foze di contollo (con piccoli sistemi a getto, o sistemi a tosione magnetica ("magnetic toques''), o sistemi a uote ("otating wheels''). Pe satelliti non contollati L e M sono gandezze destabilizzanti pe l'assetto del satellite. In quanto segue ignoeemo tali tipi di foze o momenti. Il valoe di C D, pe un'altezza che eccede 180 km è di cica.. Pe un'obita di eccenticità fa 0 e 0. ed un'altezza del peigeo da 180 a 500 km il valoe di vaia da.1 a. se il satellite è sfeico, da.1 a.5 se il satellite è cilindico ed inclinato elativamente al vettoe velocità, è. se la base piana è pependicolae al vettoe velocità. Le vaiazioni appossimate di a ed e pe ivoluzione, nel caso di obita cicolae (e=0), sono: CDS a m a ev π( ) ρ (III.53) e 0 (III.54) Il coefficiente m C S D è chiamato coefficiente balistico ed è calcolato come una costante pe ogni satellite. La vita media in numeo di ivoluzioni di un satellite obitante è data dalla seguente elazione: υ= H a ev (III.55) dove H è l'altezza di scala della densità dell' atmosfea. 6

16 III.1.8. Foze gavitazionali del Sole e della Luna Le foze gavitazionali del Sole e della Luna poducono vaiazioni peiodiche su tutti gli elementi obitali, e vaiazioni secolai su Ω, ω e sull'anomalia vea. Le vaiazioni secolai sono causate dalla pecessione dell'obita attono il polo dell'eclittica: i valoi di θ vaiano molto poco mente sono più impotanti, specialmente pe obite alte, le vaiazioni di Ω e ω. Pe obite quasi cicolai le vaiazioni secolai appossimate dovute alla Luna ed al Sole sono (in gadi/giono; n è il numeo di ivoluzioni pe giono). 3 cosi Ωɺ L = n 3 cosi Ωɺ S = n 3 4 5sen i ɺ ωl = n 3 4 5sen i ɺ ωs = n (III.56) III.1.9. Petubazioni dovute alla pessione di adiazione solae Queste petubazioni poducono vaiazioni peiodiche di tutti gli elementi obitali. Gli effetti sono maggioi pe satelliti con basso coefficiente balistico, di piccola massa e gande supeficie fontale. L'acceleazione della pessione di adiazione è S a= m/s (III.57) m dove S è la sezione dell'aea del satellite esposto alla luce solae e m la massa del satellite in kg. Pe satelliti su obite più alte di 800 km l'effetto della pessione di adiazione è pevalente ispetto quello dovuto all'attito atmosfeico. L'opposto è veo pe obite più basse. 63

17 III.. Genealità sulle obite III..1. Obite pogessive e etogade Obite diette o pogessive sono quelle in cui il satellite è lanciato da ovest veso est. L'enegia otatoia della Tea contibuisce all'enegia del veicolo di lancio e quindi si ha bisogno di mino enegia da pate del lanciatoe. Obite etogade sono quelle pe cui il lancio avviene da est veso ovest; bisogna dae al lanciatoe enegia supplementae pe vincee l'enegia otazionale della Tea. Si noti che c'è una dipendenza del guadagno (pedita) di enegia dalla latitudine. È massimo all'equatoe dove è maggioe la velocità di otazione teeste e diminuisce con l'aumentae della latitudine. Inolte c'è una dipendenza da i, l'angolo di inclinazione del piano obitale elativamente al piano dell'equatoe. Più gande è l'inclinazione, minoe è l'effetto. Pe un'obita polae non c'è contibuto della otazione teeste, indipendentemente dalla latitudine della base di lancio. III... Velocità obitale dei satelliti Pe la consevazione del momento angolae, la velocità di un satellite in un'obita ellittica diminuisce continuamente finchè non aggiunge l'apogeo, dove è minima, pe poi aumentae continuamente finchè non aggiunge il peigeo, dove è massima. Dalla III.17 che dà il quadato della velocità totale si deivano le velocità al peigeo e all'apogeo: v v p a = = χ( a ) a p χ p p a( a ) p (III.58) Pe un satellite che ha un'altezza di obita al peigeo di 490 km ( P = 6860 km) e all' apogeo di 1790 km ( A = 8160 km) la velocità al peigeo è di 7.95 km/s e quella all'apogeo è di 6.68 km/s. III..3. Peiodo sideale e sinodico Si definiscono peliminamente il "giono solae appaente" ed il giono "sideale". 64

18 A A t 1 Sole Stelle fisse t Φ B B LEO Figua III..1: Peiodi sideali (sinista) e sinodici (desta). Il pimo è l'intevallo di tempo fa due tansiti del Sole sopa il meidiano locale. La Tea compie un po' più di un gio completo attono il suo asse elativamente alle stelle fisse a causa del moto obitale attono al Sole che è, gionalmente, di 1/365 dell'obita. Il giono sideale (che è di 4 oe sideali) è definito come l'intevallo di tempo in cui la Tea compie una otazione attono il suo asse elativamente alle stelle fisse. Il giono sideale è di 3h 56m 4s; quello solae appaente è di 4 oe. Il peiodo sideale è il tempo di ivoluzione di un satellite elativamente alle stelle fisse. Il peiodo sinodico è il peiodo di ivoluzione di un satellite elativamente al Sole. In Figua III..1 vengono schematizzati i due casi. Pe illustae il calcolo dei peiodi sinodici dei satelliti atificiali si usa un sistema geocentico. Pecedentemente si è definito peiodo sinodico di un satellite il tempo fa due successivi passaggi del satellite sopa un meidiano teeste. Richiamandosi al gafico di Figua III.. dove è appesentato schematicamente il cento della Tea (C), la posizione di un meidiano (M), ed il satellite (S). Sia t 1 l'istante del passaggio del satellite sopa un dato meidiano e t l'istante in cui il satellite passa nuovamente sopa lo stesso meidiano. Le posizioni di M e S nei due istanti sono indicate con gli indici 1 e ispettivamente. Pe la definizione data, il peiodo sinodico è l'intevallo di tempo t t1. Poichè la velocità angolae del satellite (in un'obita LEO) è maggioe di quella della Tea, il satellite avà descitto un'angolo di π+φ mente la Tea avà descitto un angolo Φ. π π+ Φ = ( t t1) τs π Φ = ( t t1) τm (III.59) dove τ S è il peiodo obitale (sideale) del satellite e τ M τ T quello della Tea; eliminando Φ, si ottiene: = τ τ t t1 S M (III.60) 65

19 Pe un satellite in obita bassa (LEO) ed equatoiale, il peiodo sideale è di cica 90 minuti mente quello sinodico è di cica 5 minuti maggioe (si noti che se il satellite ha un'obita etogada, è veo il contaio). All'aumentae dell'altezza dell'obita, entambi i peiodi aumentano, ma quello sinodico aumenta più apidamente. Pe un satellite geostazionaio in obita cicolae a km di altezza, il peiodo sideale è di 4 oe; il peiodo sinodico è infinito. Ad obite più alte il peiodo sinodico diminuisce e può, ad obite altissime, diventae minoe di quello sideale pu senza mai diventae minoe di 4 oe. Pe la elazione fa peiodo sideale e sinodico della Luna e dei pianeti valgono elazioni simili. Nell'ipotesi che un pianeta P abbia una distanza eliocentica maggioe di quella della Tea, T, e ifeendosi alla Figua III.. (ci mettiamo in un sistema in cui il Sole è al cento, l'obita della Tea è appesentata dal cechio inteno e quella di un pianeta da quello esteno) valgono le equazioni III.. e III..3 con τ T al posto di τ S (essendo la velocità angolae della Tea maggioe di quella del pianeta pe la teza legge di Kepleo) e con τ P al posto di τ M. Si dice che la Tea ed il pianeta sono in congiunzione quando i punti S, T, P sono allineati; sono in opposizione quando il pianeta giace sempe sulla linea Sole-Tea ma dalla pate opposta al Sole. Poichè l'intevallo fa due successive congiunzioni è il peiodo sinodico del pianeta e poichè il peiodo obitale della Tea è 1 anno, si ottiene la seguente elazione fa peiodo obitale, τ P, e sinodico, TP = t t 1, del pianeta: 1 1 τ P = 1 (III.61) T P Le fomule che abbiamo deivato pe descivee il moto di un pianeta attono il Sole sono applicabili anche pe descivee il moto della Luna attono alla Tea. Si usa un sistema geocentico e si definisce peiodo sinodico l'intevallo fa due successive "lune nuove" (congiunzione Tea, Luna e Sole). Si ha "luna nuova" quando le longitudini geocentiche del Sole e della Luna sono le stesse. Adesso si usa un sistema geocentico ed il Sole come "satellite esteno" (τ S = 365 gioni). Essendo il peiodo sideale della Luna, τ L = 7. 3 gioni, dalla III.60 sideale deiva che il peiodo sinodico della Luna è di 9.5 gioni. M S C M 1 S 1 Figua III..: Si appesentano il cento della Tea (C) e le posizioni di un meidiano (M) e di un satellite (S). 66

20 III..4 Diagammi d'obita Un diagamma d'obita è la taccia dei punti fomati dell'intesezione del vettoe posizione del satellite con la supeficie della Tea. Il numeo di obite che un satellite fa in un giono è 1440 τ SAT (il peiodo del satellite è misuato in minuti). Duante ogni obita la tea uota di 360 τsat τsat = gadi (III.6) Ad esempio, duante un obita dello Shuttle, che è di cica 90 minuti, lo spostamento in gadi della Tea è di.5 gadi. Il coispondente diagamma d'obita è ipotato in Figua III..3. Figua III..3: Diagamma d'obita della ISS (Intenational Space Station) nella poiezione di Mecatoe. III..5. Obite Lagangiane Le obite che abbiamo tattato finoa sono obite kepleiane dedotte dalle leggi del moto dei due copi. C'è una classe di obite, semplici da tattae, che si deducono dalle leggi del moto dei te copi: le obite Lagangiane. Come si può vedee dalla Figua III..4, i "punti di Lagange" o di "libazione" fa due copi celesti che uotano l'uno attono l'alto (Tea e Luna) sono i cinque punti tali che un oggetto posto su uno di essi è in equilibio. I te punti di Lagange che giacciono sulla congiungente Tea-Luna sono punti di equilibio instabile; ogni piccola petubazione fa allontanae l'oggetto. Invece i punti L4 e L5 che fomano tiangoli equilatei con la Tea e la Luna sono punti di equilibio stabile. 67

21 Un satellite posto vicino un punto Lagangiano L4 o L5, se ha la coetta velocità, imane fisso nella stessa posizione ispetto la Tea e la Luna. Questi punti sono le possibili locazioni delle colonie pemanenti nello spazio. Un esempio di sistemi posti in punti Lagangiani sono 14 asteoidi chiamati "toiani" che sono situati in un punto Lagangiano stabile del sistema Giove-Sole. Figua III..4: Punti Lagangiani del sistema Tea-Luna e Sole-Tea. III..6. Sonde inteplanetaie Abbiamo visto che ogni oggetto che si muove su un'obita ellittica attono un pianeta è un satellite del pianeta. Se la velocità dell'oggetto è maggioe della velocità di fuga dal pianeta, alloa l'oggetto è una "sonda inteplanetaia" che viaggia con taiettoia ipebolica elativamente al pianeta e che, dopo avelo lasciato, viaggio con obita paabolica attono al Sole. Infine se tale oggetto acquista enegia sufficiente pe sfuggie all'attazione gavitazionale del Sole, esso diventa una "sonda intestellae". 68

22 III.3. Cambiamenti d'obita III.3.1. Ellissi di tasfeimento di Hohmann Si tatta di deteminae la taiettoia di minima enegia pe lo spostamento di un satellite da un'obita ad un'alta. Il poblema pe obite complanai fu studiato da W. Hohmann. Si considea dappima il caso di tasfeimento da un'obita teeste ad un'obita su un'alto pianeta. Si assume che le obite dei pianeti siano cicolai e complanai. Hohmann dimostò che la taiettoia che ichiede meno enegia è quella in cui il satellite lascia la Tea in diezione tangente all'obita teeste ed enta nell'obita dell'alto pianeta tangenzialmente all'obita di quest'ultimo. In Figua III.3.1 sono date appesentazioni di obite di tasfeimento da una obita LEO (Low Eath Obit) ad una GEO (GEOstationay obit) tamite una GTO (Geostationay Tansfe Obit). Figua III.3.1: Obite di Hohmann da una LEO ad una GEO tamite una GTO. Un fattoe non tascuabile pe il tasfeimento di obite è la scelta del peiodo di lancio. Nel caso di tasfeimento dall'obita teeste all'obita di un'alto pianeta bisogna calcolae esattamente le posizioni elative dei pianeti; il pianeta dove si vuole tasfeie l'obita deve aivae all'apside dell'obita di tasfeimento allo stesso istante del satellite. Pe esempio le posizioni elative della Tea e di Venee soddisfano questi equisiti ogni 19 mesi; quelle della Tea e Mate ogni 4 mesi. Gli stessi agomenti valgono pe il tasfeimento di un satellite ta due obite cicolai e complanai. In Tabella III.3.1 sono dati le equazioni ed i valoi numeici che si ifeiscono al tasfeimento di un satellite da un'obita cicolae bassa di aggio A=6570 km ad un'obita cicolae geostazionaia di aggio B=4160 km. 69

23 Paameti ed equazioni v v TA TB A B A + B a= v v A B A Valoi numeici 6570 km 4160 km 4365 km µ = 7.79km/s µ = 3.08 km/s B 1 = µ ( ) a 10.5 km/s A 1 = µ ( ) a 1.59 km/s B v v v A TA A =.46 km/s = 1.49 km/s = v + v 3.95 km/s v v v B TB B vtot A B 3 a tansfe = tt = π 315 min µ Tabella III.3.1: Tasfeimento di Hohmann Si possono avee anche taiettoie più cote e che ichiedono meno tempo pe il tasfeimento. Pe queste obite cote si ichiede un maggio consumo di enegia. L'enegia necessaia aumenta invesamente con il tempo impiegato pe il tasfeimento. Il vantaggio di un'obita cota è che è più facile guidae il satellite; lo svantaggio è che il caico di combustibile necessaio va ad occupae spazio che altimenti saebbe usato pe alti caichi come, ad esempio, la stumentazione scientifica. Le taiettoie più cote ichiedono che le obite di tasfeimento intesechino entambe le obite cicolai. In Figua III.3. sono schematizzate alcune obite possibili ed impossibili. Nelle obite possibili la distanza del peiapside dell'obita di tasfeimento deve essee minoe o uguale al aggio dell'obita cicolae intena e la distanza dell'apoapside deve essee maggioe o uguale al aggio dell'obita cicolae estene secondo le seguenti elazioni: p pei = e (III.63) p apo = 1 e 70

24 pei e apo sono le distanze del peiapside e apoapside ispettivamente. Nel diagamma eccenticità - latus ectus di Figua III.3.3, l'aea tatteggiata indica le coppie di valoi (p, e) che soddisfano le condizioni III.63 e che quindi pemettono il tasfeimento d'obita. I valoi di p ed e sulle linee di bodo coispondono a tasfeimenti tangenti alle obite cicolai. F 1 F 1 F 1 Figua III.3.: Obite di tasfeimento possibili ed impossibili. L'obita a sinista è possibile pechè pei < 1 e > apo ; l'obita in mezzo è impossibile pechè pei > 1 ; l'obita a desta è impossibile pechè < apo. e = p/1-1 e = 1 - p/ eccenticita', e 1 Hohmann 0 Figua III.3.3: Diagammi p-e. 1 semilatus ectus, p III.3.. Vaiazioni del piano dell'obita Pe vaiae l'inclinazione di un'obita bisogna modificae il vettoe velocità con una componente v pependicolae al piano dell'obita. In figua III.3.5 vengono appesentate due possibili diagammi vettoiali che coispondono ad una vaiazione del piano senza modifica della dimensione dell'obita ed una vaiazione sia del piano che della dimensione dell'obita ispettivamente. Cambiamenti di obita sono molto dispendiosi in temini di enegia ichiesta. Pe minimizzae l'enegia si cambia il piano nella fase di minima velocità del satellite, 71

25 cioà all'apogeo. In alti casi si lancia il satellite su un'obita più alta di quanto ichiesto dalla missione pe poi scendee all'obita voluta. θ v i v θ v f v f Figua III.3.5: Rappesentazione vettoiale di vaiazioni "semplici" ( i moduli delle velocità iniziali e finali sono gli stessi) e "combinate". Quest'ultime coispondono a vaiazioni sia di inclinazione che di dimensioni del piano obitale del satellite. Si dà di seguito un esempio di cambiamento sia di piano che di inclinazione di un'obita: da una LEO inclinata ad un'obita geostazionaia equatoiale. Si possono consideae due possibili stategie pe l'opeazione. La pima consiste nel fae il cambiamento in due passi successivi: un tasfeimento del tipo Hohmann pe cambiae altezza dell'obita ed una vaiazione di inclinazione del piano. La seconda consiste nel combinae assieme i due movimenti. Nel pimo caso, pendendo come esempio il caso descitto nel paagafo pecedente e quantificato in Tabella III.3.1, abbiamo visto che la vaiazione di velocità necessaia pe entae in un'obita geosincona è di 3.95 km/s. Dall'obita geosincona, pe vaiae i, si deve incementae il modulo della velocità di ulteioi 1.49 km/s. Questo valoe si ottiene da semplici elazioni geometiche illustate in Figua III.3.5, icodando che i deve vaiae da un valoe di 8 a 0. La vaiazione totale del modulo di velocità è alloa v tot = 5.54 km/s. Nel secondo caso, pe valutae la vaiazione di velocità nel caso di moto combinato si usa la seguente equazione che si deiva dalla Figua III.3.5: v i v = v + v vv cosθ (III.64) tot i f Usando i valoi di v i e v f dati in Tabella III.3.1 ed un valoe di θ= 8, si ottiene v tot = 4.9 km/s, un valoe più conveniente, in temini di enegia, del pecedente. i f v III.3.3. "Appuntamenti" in obita Il tasfeimento da un'obita ad un'alta diventa più complicato se bisogna "intecettae" un'alto oggetto. Bisogna che l'intecettoe ed il "besaglio" aivino contempoaneamente al punto di "endez-vous". Il caso di due obite cicolai e complanai è illustato in Figua III.3.6. L'intecettoe imane nell'obita iniziale (di aggio 1 ) finchè il moto elativo dell'intecettoe e del besaglio (che ha un'obita cicolae di aggio > 1 ) ha la geometia desideata. Il tempo necessaio si chiama "tempo di attesa", ed è definito dalla III.65: 7

26 t W = φ φ kπ i ω ω in f be (III.65) dove φ i è l'angolo di sepaazione iniziale fa intecettoe e besaglio, φ f è l'angolo di sepaazione necessaio pe il "endez-vous", k è il numeo delle oppotunità di "endez-vous" (pe la pima oppotunità, k= 0), ω in e ω be sono le velocità angolai di intecettoe e besaglio ispettivamente. L' angolo α L (vedi Figua III.3.6, φ in = 0) α = ω t (III.66) L be H è detto l'angolo di pecedenza (in inglese "lead angle"). Il tempo di volo pe un tasfeimento di Hohmann è indicato con t H. All'istante t 0 si fa patie l'intecettoe su un'obita di Hohmann. Il tempo totale di "endez-vous" è alloa dato da ttot = t0 + th (III.67) Il denominatoe della III.65 appesenta il moto elativo fa intecettoe e besaglio. Se le due obite sono poco diffeenti, il denominatoe diventa molto piccolo ed il tempo di attesa molto gande; al limite diventa infinito quando le due obite sono uguali. In quest'ultimo caso, i due satelliti non si possono mai intecettae e l'intecettoe deve cambiae obita pe centae il besaglio. Se l'intecettoe è dieto il besaglio; pe aggiungela deve immettesi in un'obita ellittica "intena" con peiodo uguale al tempo necessaio a aggiungee il punto di "endez-vous" da pate del besaglio. Pe un intecettoe situato davanti il besaglio il cambiamento d'obita deve avvenie "estenamente" con vincoli simili a quelli del pecedente caso. B α L Φ f P B F A A Figua III.3.6: Geometia di "endez-vous" fa due obite cicolai e complanai. 73

27 III.3.4. Fineste di lancio Il poblema è simile a quello degli appuntamenti in obita: bisogna deteminae l'esatto istante di lancio (finesta di lancio) pe l'immissione del satellite nel piano obitale voluto. Poichè il piano obitale è fisso nello spazio ineziale, la finesta di lancio è l'istante in cui sito di lancio sulla supeficie della Tea uota attaveso il piano dell'obita scelto. Dalla Figua III.3.7 si vede che la finesta di lancio dipende dalla latitudine e longitudine del sito di lancio e dall'inclinazione dell'obita. Il fatto che il sito di lancio deve passae attaveso il piano obitale, pone estizioni sui valoi dell'inclinazione dell'obita possibili dalla latitudine del sito di lancio: non si hanno fineste di lancio pe λ>i pe obite diette o pe λ> 180 i pe obite etogade, si ha una finesta di lancio pe λ=i o λ= 180 i, si hanno due fineste di lancio pe λ < i o λ < 180 i. β i δ λ Figua III.3.7: Geometia della "finesta di lancio" pe lanci vicini al nodo ascendente.. L'azimuth di lancio, β, è l'angolo misuato in senso oaio da nod al vettoe velocità. Se esiste una finesta di lancio, la elazione che lega l'angolo di azimuth all'inclinazione dell'obita ed alla latitudine del sito di lancio è cosi senβ= (III.68) cosλ Definiamo adesso gli angoli δ fa il nodo dell'obita più vicino (ascendente o discendente) e la longitudine del sito di lancio, misuato sul piano equatoiale, e LST (local sideeal time) misuato all'istante del lancio fa il punto γ e la longitudine del sito di lancio. Valgono le seguenti elazioni (δ è positivo pe obite diette e negativo pe obite etogade, Ω è l'ascensione etta del nodo ascendente dell'obita): 74

28 cosδ= cosβ seni LST = Ω+ δ LST = Ω+ 180 δ (III.69) Resta da valutae con che velocità dobbiamo lanciae da Tea il satellite affinchè aivi in obita con la velocità giusta. Se si indica con v 0 la velocità a fine combustione (velocità di "bunout") e si adotta un sistema di coodinate topocentico sul piano dell'oizzonte si ha v = v cosφ cosβ sud 0 v = v cosφsenβ v est v = v z 0 0 senφ λ (III.70) dove φ è l'angolo della taiettoia al "bunout", β è l'azimuth di lancio e v λ = cos λ m/s è la velocità della Tea al sito di lancio. L'equazione (III.70) non include le pedite di velocità dovute agli attiti e alla gavità. Tali pedite sono di cica 1500 km/s. Si può calcolae la velocità di "bunout" dall'equazione dell'enegia se si conosce il semiasse maggioe dell'obita e il aggio dell'obita al "bunout". III.3.5 Aggiustamenti dell'obita Spesso è necessaio coeggee l'obita quando foze petubative ne hanno modificato i paameti. Si consideano due casi: il pimo è il caso di un satellite che deve avee tacce a tea ipetibili; il secondo è quello di un satellite in un'obita equatoiale geosincona. Pe avee "gound tacks" ipetibili, un satellite deve avee un numeo inteo di ivoluzioni pe numeo inteo di gioni. Il peiodo del satellite deve essee: τ= m k (III.71) dove m è il numeo di gioni sideali (1 giono sideale ha minuti) e k è il numeo di ivoluzioni. Ad esempio, un satellite che obita attono alla Tea 16 volte al giono (sideale) avà un peiodo di minuti ed un semiasse maggioe di 6640 km. Pe tene conto dello spostamento del piano obitale dovuto alla non sfeicità della Tea, si calcola la vaiazione, Ω, dell'ascensione etta del nodo ascendente. Il nuovo peiodo diventa: 75

29 τn = τ+ Ω (III.7) ω Se si usa l'esempio dato pecedentemente e si assume un'obita di altezza del peigeo di 10 km ed inclinazione di 45 gadi, il nuovo peiodo diventa di 88.0 minuti ed il semiasse maggioe è 6563 km. Si deve tene conto anche della otazione del peigeo attono l'obita sopattutto se l'obita è non-cicolae e la missione impone limiti di altezza del peigeo sopa punti specifici, Una possibilità è di scegliee l'inclinazione dell'obita in modo che l'inclinazione del peigeo sia fissa. Ciò si ottiene quando ωɺ = 0, cioè con i= pe un'obita dietta e i = pe un'obita etogada. Se alti vincoli endono questa scelta impossibile, alloa bisogna mantenee l'obita con manove obitali. Si può modificae la posizione del peigeo vaiando l'angolo della taiettoia di una quantità δϑ. Si agisce unicamente sulla diezione del vettoe velocità; si deiva il δv dall'equazione del cambiamento di piano di un'obita (III.64). Un ulteioe motivo di degadazione di un'obita LEO che deve avee "gound tacks" ipetibili è l'attito atmosfeico ("atmosfeic dag") che povoca la iduzione del semiasse maggioe. Poichè il peiodo diminuisce con a, la taccia appae spostata veso est. La coispondente vaiazione di peiodo è: Tea 3 3 a 3πδa a δτ = πδ ( ) = (III.73) µ a µ 3 dove µ a è la velocità angolae media di un'obita ellittica. In quest'ultimo caso bisogna tenee sotto contollo sia a che δτ fino al momento in cui è necessaia una coezione. Alloa si agisce sulla velocità tangenziale quando il satellite è al peigeo. Pe obite cicolai di aggio a, le vaiazioni pe obita sono: πρa a= C B 6π ρa τ= C v B (III.74) πρav v= C B dove v è la velocità cicolae e CB = m ( CDA) è il coefficiente balistico. Pe le obite equatoiali geosincone le sole petubazioni sono dovute alla non sfeicità della Tea ed all'inteazione gavitazionale con il Sole e la Luna. La pima poduce un'acceleazione tasvesale, cioè nel piano dell'obita, che isulta in un moto peiodico attono uno dei due valoi stabili di longitudine: a cica 76

30 75 e 5 di longitudine est. Se il satellite è posto ad una longitudine qualsiasi, tendeà a spostasi veso la longitudine stabile più vicina. Il moto si chiama "East- West dift" e può aggiungee anche i 180 gadi e peiodi di 900 gioni. Pe compensae tale effetto, se un satellite deve stae alla longitudine l, bisogna vaiae la velocità del satellite di v= l l S. sen( ) m/s/anno (III.75) dove l S è la longitudine del punto stabile più vicino. Il Sole e la Luna causano un'acceleazione pependicolae al piano dell'obita che poduce uno "Noth-South dift". Se α è l'angolo fa fa il piano delle obite della Luna e del satellite e γ l'angolo fa l'eclittica ed il piano dell'obita, le equazioni appossimate pe le coezioni in velocità (in m/s/anno) sono: v = cosα senα Luna v v Sole Luna , i= 0 = cosγ senγ (III.76) v Sole , i= 0 Dopo il completamento di una missione, si può vole fa ientae il satellite o lasciando decadee l'obita se si tatta di un'obita bassa, oppue vaiando la velocità pe acceleae il pocesso. Oppue si può tasfeilo in un'obita che non possa distubae alti espeimenti. 77