GRAVITAZIONE Giro della morte. Il binario in figura 1.1 ha un raggio di 7.2 m.

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1 GRAVITAZIONE Sommaio. In questa seie di poblemi vengono toccati tutti i concetti fondamentali dell ultima pate del coso. 1. Poblemi 1.1. Moto cicolae Gio della mote. Il binaio in figua 1.1 ha un aggio di 7.2 m. Figua 1.1. Il motociclista deve aggiungee la velocità minima necessaia pe completae il gio della mote (1) Scivi l equazione della dinamica lungo l asse z pe il copo nella posizione indicata in figua (il punto più alto del cechio). (2) Detemina la velocità minima necessaia affinché il motociclista completi il gio senza cadee Centifuga. Il blocchetto (m = 2.4 kg) viene mantenuto in posizione gazie alla otazione del cilindo. (1) Scivi le equazioni della dinamica pe il blocco lungo gli assi x e z. (2) Si sa che il cilindo ha un aggio di 54 cm e compie la popia otazione in 1.2 s. Detemina le foze di sostegno e di attito subite dal blocchetto Moto cicolae e gavità appaente. 1

2 GRAVITAZIONE 2 Figua 1.2. Il blocchetto di massa m adeisce alla paete intena del cilindo otante Base spaziale otante. Una settoe di una base spaziale ha la foma di un cilindo in otazione (vedi fig. 1.3). Nella zona dello spazio in cui si tova questa base la gavità è del tutto tascuabile. Al suo inteno il cilindo è diviso in due sezioni, una intena di aggio 1 = 40 m e una estena di aggio 2 = 90 m. Figua 1.3. (1) Stabilisci il peiodo di otazione del cilindo, sapendo che il sostegno su una pesona che si tova nella sezione estena è pai a metà di quello che avvetiebbe la stessa pesona sulla supeficie teeste. (2) Detemina, nelle stesse condizioni, il sostegno su una pesona di massa m = 62 kg che sta in piedi nella sezione intena Jogging in un cilindo in otazione. L anello in figua 1.4 si tova in una zona dello spazio in cui la gavità è completamente tascuabile. La velocità peifeica del cilindo è v. Entambe le pesone affiguate si muovono ad una velocità pai a v/5.

3 GRAVITAZIONE 3 Figua 1.4. Una palesta in una ipotetica base spaziale ha la foma di un anello in otazione, e le pesone svolgono esecizi ginnici muovendosi sulla supeficie intena dell anello. (1) Scivi l equazione della dinamica (lungo il aggio) pe entambe le pesone. (2) Mosta, isolvendo le equazioni, che la agazza si tova in una situazione favoevole, peché avvete un peso minoe di quel che avvetiebbe se si muovesse in veso opposto Gavitazione univesale. Pe ispondee alle possime domande si tenga pesente che il campo di gavità di un pianeta è deteminato dalla fomula g () = G m P 2 e che la foza di gavità ta il pianeta ed un copo di massa m è deteminata dalla elazione F (gavità) = G m Pm Gavità ed effetto centifugo. Una pesona di massa pai a 100 kg si tova all equatoe del pianeta, in piedi su una bilancia. Che massa indica la bilancia? Massa, foza di gavità e peso. Le possime domande si ifeiscono alla figua 1.6 (1) Quanto vale il campo di gavità sulla sommità della toe? (2) Qual è il peiodo obitale dell astonave? (3) Una pesona di massa m = 100 kg si tova sulla sommità della toe; quanto pesa? (4) Quanto peseebbe la stessa pesona se fosse sull astonave?

4 GRAVITAZIONE 4 Figua 1.5. Il aggio del pianeta è pai a 0.95 volte il aggio della Tea, la sua massa è pai a 0.92 volte la massa della Tea e la duata del suo giono è pai a 20.8 oe. Figua 1.6. Una toe eetta sull equatoe di un pianeta ha un altezza pai a metà del aggio del pianeta (si tatta di un esempio molto ipotetico). Si sa che la gavità del pianeta alla supeficie è pai a 9.5 N/kg ed il aggio è pai a 1.02T (non si tatta, ovviamente, della Tea). Un astonave obita attono al pianeta sfioando ad ogni gio la sommità della toe. Il peiodo di otazione del pianeta è pai a τot = 23.2 h Obite e masse centali. Il pianeta in figua 1.7 ha aggio pai a 0.95Tea. (1) Detemina l acceleazione obitale di un satellite sulla pima obita, sapendo che ha aggio 1 = 1.5 P ed è pecosa in 2.64 oe. (2) Detemina il campo di gavità del pianeta sulla pima obita. (3) Detemina il campo di gavità del pianeta alla supeficie. (4) Detemina la massa del pianeta.

5 GRAVITAZIONE 5 Figua 1.7. (5) Un satellite di massa m = 280 kg si tova su un obita di aggio 2 = 2.5 P. (a) Detemina il suo peiodo obitale. (b) Detemina la coppia azione-eazione ta satellite e pianeta. 2. Soluzioni 2.1. Moto cicolae Gio della mote. Oientiamo l asse z dal basso veso l alto. (1) Indichiamo con N il sostegno del binaio sulla moto.l equazione ichiesta è 2 v m = N mg 2 I segni si possono semplificae e si ottiene m v = N + mg. (2) La condizione affinché la moto non cada è N 0 e quindi 2 v m g 0 la soluzione del poblema è petanto v g; a questo punto basta sostituie i valoi del campo di gavità e del aggio Centifuga. L idea è che tanto più velocemente uota il cilindo tanto più è gande l attito disponibile pe sostenee il blocchetto; indichiamo con A la foza di attito e con N la foza di sostegno. Oientiamo l asse x da sinista veso desta e l asse z veso l alto. (1) Le equazioni ichieste sono m 4π 2 2 = N τ 0 = A mg (2) A questo punto basta sostituie nelle equazioni i dati del poblema.

6 GRAVITAZIONE Moto cicolae e gavità appaente. L idea alla base di questi poblemi è che in assenza di gavità un ambiente cilindico in otazione detemina un sostegno centipeto popozionale alla massa dei copi, simulando così la pesenza di gavità. L equazione della dinamica pe un copo appoggiato alla supefice intena del cilindo è ( m 4π 2 ) τ 2 = N (l asse di ifeimento è oientato dal cento veso l esteno), e così si dimosta il sostegno (centipeto) è popozionale alla massa, popio come la foza di gavità. N = m 4π 2 τ 2 (1) Basta sostituie i dati nell equazione m 4π 2 2 τ 2 = 1 2 mg Tea (2) L acceleazione nella sezione intena è a 1 = 1 2 a 2 (veifica!) dove a 2 è l acceleazione nella sezione estena. Il sostegno ichiesto petanto è N 1 = m 1 a 2 = mg Tea = 2 9 mg Tea A questo punto basta sostituie il valoe dato della massa Jogging in un cilindo in otazione. L uomo pecoe un obita cicolae con velocità v 1 = v v = 6 5 v mente la donna pecoe un obita cicolae con velocità v 2 = v 1 5 v = 4 5 v (peché si muove nel veso opposto). Se fosseo femi ispetto al cilindo staebbeo pecoendo un obita cicolae a velocità v. (1) Le equazioni sono ) m uomo ( v2 = N 1 ) m donna ( v2 = N 2 (2) Dato che il peso coincide con il sostegno, l uomo avvete un peso pai ai 36/25 di quello che ha da femo (e quindi supeioe), mente la donna avvete un peso pai ai 16/25 di quello che ha da femo (e quindi infeioe) Gavitazione univesale.

7 GRAVITAZIONE Gavità ed effetto centifugo. L equazione della dinamica pe la pesona è ( ) m uomo v2 = N mg P La gavità del pianeta si detemina così: g P = G m P 2 P = G 0.92m T (0.95 T ) 2 = = Gm P = P g T («T» sta pe «Tea»); pe deteminae l acceleazione centipeta si noti che τ = s e si usi la fomula a = 4π 2 P τ Massa, foza di gavità e peso. (1) Usiamo la legge dell inveso del quadato, tenendo pesente che la sommità della toe si tova a distanza P P = 3 2 P. ( ) ( ) 2 3 g P 2 P P = g P = 4 9 g P 3 2 P (2) Basta isolvee l equazione 3 m ( 4π 2 2 ) P τ 2 che può essee anche semplificata così: = m 4 9 g P π 2 P τ 2 = 2 27 g P e a questo punto occoe sostituie i dati del poblema (l incognita è il peiodo obitale τ). (3) Se la pesona si tova in piedi sulla sommità della toe si muove di moto cicolae con peiodo τ ot e l equazione che egola la sua dinamica è 3 m ( 4π 2 2 P τ 2 ot ) = N m 3 2 g P e a questo punto basta sostituie i dati; il peso è infeioe a quello che avvetiebbe sulla supeficie del pianeta. (4) Il peso saebbe pai a zeo (come discusso in aula) Obite e masse centali. (1) 1 = m = m; τ 1 = 9504 s; si tova immediatamente che l acceleazione obitale (segno a pate) vale a 1 = 3.97 m s 2 (2) Come già visto in pecedenza il campo sull obita vale quanto l acceleazione obitale g P ( 1 ) = 3.97 N kg

8 GRAVITAZIONE 8 (3) Usiamo la legge dell inveso del quadato: g P ( P ) = N kg = 8.93 N kg (4) Usiamo la legge di gavitazione univesale: m P 11 Nm kg }{{ 2 } ( m) 2 = 8.93 N kg G (5) Indichiamo solo il pocedimento. (a) Bisogna isolvee l equazione ( m S 4π ) P = τ 2 m S N kg (b) La foza è data da F = m S g P (2.5 P ) = G m Pm S (2.5 P ) 2