Lezione 7 - Sistemi di punti materiali

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1 Lezione 7 - Sistemi di punti mateiali Il moto di oggetti estesi spesso appae assai complicato Se tuttavia si immagina che tali copi siano costituiti da un insieme di tanti punti mateiali si possono individuae delle egolaità che consentono di studiae il moto in maniea elativamente semplice illustazione tatta da: Halliday-Resnick-Walke, Fondamenti di Fisica, IV Ed., Ambosiana, Milano lancio matello 1

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8 Cento di massa Il cento di massa di un copo, o di un sistema di copi (punti mateiali) è un punto che si muove, secondo le leggi di Newton, come se tutta la massa fosse concentata in quel punto e tutte le foze estene fosseo applicate ad esso x cdm = 1 M tot y cdm = 1 M tot z cdm = 1 M tot i =1 m i x i n n i=1 n i =1 m i y i m i z i illustazione tatta da: Halliday-Resnick-Walke, Fondamenti di Fisica, IV Ed., Ambosiana, Milano x cdm m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 5

9 Cento di massa II In foma vettoiale, la definizione di cento di massa si scive: n cdm = 1 M tot i =1 m i i = x cdmˆ i + ycdmˆ j + xcdmˆ z Se, invece di un sistema di punti mateiali, si ha a che fae con un copo esteso, bisogna identificae i punti con elementi infinitesimi di massa e scivee x cdm = 1 M tot xdm ; y cdm = 1 tutto il copo M tot ydm ; z cdm = 1 tutto il copo M tot tutto il copo zdm Spesso gli oggetti posseggono popietà di simmetia che semplificano molto il calcolo del cento di massa 6

10 Dinamica del cento di massa L equazione qui sotto fa capie immediatamente l impotanza del cento di massa: F estene = M tot a cdm (pe un sistema di punti mateiali) essa stabilisce che il cento di massa obbedisce alla seconda legge di Newton come un qualsiasi punto mateiale Questa legge si chiama anche pima equazione cadinale della meccanica Notae che in assenza di foze estene, isulta che a cdm è sempe zeo, quindi il cdm si muove di moto ettilineo unifome, indipendentemente da quello che fanno i singoli componenti del sistema di punti sistema osc. lancio matello 7

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13 Dimostazione della I equazione cadinale Si pate dalla definizione di cento di massa d dt d ( M tot cdm ) = M tot dt cdm = 1 M tot n i =1 m i i cdm = M tot v cdm = M tot cdm = Deivando ambo i membi ispetto al tempo due volte si ha (1) n i =1 m i i n n d m i dt i = m i i=1 i =1 v i (2) d dt d ( M tot v cdm ) = M tot dt v cdm = M tot n n d a cdm = m i dt v = m i i i =1 i =1 a i Si applica infine la II legge di Newton al singolo punto: M tot a cdm = n i =1 m i a i pe la III legge di Newton M tot a cdm = n F i = i =1 F intene = 0 F intene + F estene M tot a cdm = F estene 9

14 Quantità di moto Spesso è comodo agionae in temini di quantità di moto (o momento) p = m v (pe un singolo punto mateiale) Newton fomulò oiginaiamente la sua II legge usando la quantità di moto: F = d p dt Infatti: dt dt dt v = m = = m m a v d d (vale pe sistemi in cui m è costante) E immediato definie la quantità di moto totale di un sistema di punti mateiali: n n P = p i = mv i i =1 i =1 d p P = M tot v cdm 10

15 Tabella di iepilogo Legge o Definizione II legge di Newton Quantità di moto II legge (con il momento) Teoema dell enegia cin. Singolo punto F = ma p = mv F = d p dt L tot = ΔK Sistema di punti F ext = m a cdm P = M tot v cdm F ext = d P dt L tot = ΔK 11

16 Consevazione della quantità di moto Se un sistema e isolato (cioè non inteagisce con il esto dell univeso) alloa la somma delle foze estene agenti su di esso è nulla Dalla II equazione cadinale si deduce: F est = 0 d P dt = 0 P = costante P finale = P iniziale Le ultime te equazioni a desta espimono il pincipio di consevazione della quantità di moto uto a 4 Notae che se solo una ceta componente (lungo un dato asse) della isultante della foza estena è nulla, alloa solo la coispondente componente della quantità di moto totale esta costante consevo solo Px 12

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21 Taslazioni e otazioni Finoa abbiamo palato sempe di copi puntifomi e ne abbiamo descitto il moto usando le leggi di Newton: si tatta di un moto puamente taslatoio Quando si vogliono studiae copi estesi bisogna tenee conto del fatto che detti copi, olte a taslae, possono anche uotae 15

22 Moto taslatoio e moto otatoio Moto taslatoio tutti i punti del copo hanno hanno la medesima velocità Moto otatoio i vai punti del copo hanno velocità divese illustazioni tatte da: Halliday-Resnick- Walke, Fondamenti di Fisica, IV Ed., Ambosiana, Milano 16

23 Foze e momenti delle foze I moti taslatoi possono essee associati anche and una sola foza attaveso Pe geneae un moto otatoio è necessaio avee almeno un coppia di foze applicate in punti divesi del copo esteso ( o anche una foza ed un punto fisso) F = ma Una coppia di foze genea un momento 17

24 Momento di una foza Se si immagina di avee un punto di un copo fissato in qualche modo ed una foza applicata ad un alto punto del copo si può definie il momento della foza illustazioni tatte da: Halliday-Resnick-Walke, Fondamenti di Fisica, IV Ed., Ambosiana, Milano 18

25 Momento di una foza II Il momento di una foza è un vettoe definito da τ = F Si può pensae che un momento applicato ad un ceto copo genei una otazione avente pe il momento stesso e diezione di otazione data dalla egola della mano desta illustazione tatta da: Halliday-Resnick-Walke, Fondamenti di Fisica, IV Ed., Ambosiana, Milano 19