Momento Angolare Fisica Mattia Natali. Momento Angolare. = r ' O. ( r a ) a = r a

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1 Momento di un vettoe: Momento Angolae Il momento di un vettoe è seme dato isetto a un dato unto geometico detto olo M a con vettoe osizione del nosto vettoe isetto ad M sinα e definizione del modulo di un odotto vettoiale M è lo stesso e tutti i unti di alicazione di a aatenenti alla etta su cui giace a 'sinα ' sinα d quindi M è lo stesso M a ' + a ossia aggiungiamo un vettoe ' che ha la stessa diezione della M ' ' a etta su cui giace a ' a M ' ( a ) a a a a a M ', siccome i vettoi a ed a sono aalleli e quindi a a 0 Momento di una foza: τ F con P essendo P il unto di alicazione di F τ si misua in N m, ossia si misua come un lavoo, ma non lo è in ealtà: quindi il momento di una foza e il lavoo non vengono mai sommati, e tale agione continueemo a mantenee come unità di misua N m e non i Joule Il momento di una foza è utile e distinguee le foze anche in base al loo unto di alicazione (Esemio: due foze uguali hanno etti divesi se alicati in unti divesi di una leva) Il momento della foza è intodotto e descivee gli etti di otazione del sistema F d ( ) d mv (1^ equazione cadinale della dinamica del unto mateiale, inciio di Newton) e τ vaiazione di qualche gandezza dinamica associata in qualche modo all etto di τ (otazione) Momento della quantità di moto (momento angolae): L con quantità di moto del unto mateiale ( mv ) e P è eendicolae sia a che a (questo è nomale eché il odotto vettoiale ta due L vettoi è seme un vettoe eendicolae ad entambi) Sia il moto di P iano ( è costante in { } iano), alloa scelto (olo) nel iano si ha che L { } (iano del moto) e diezione (eendicolae al iano del moto) infatti se il moto è iano v dovà essee eendicolae al { } (iano del moto) quindi essendo e comlanai L iano di e che è unico 1

2 Se L è costante in diezione alloa il moto è iano e tale iano è il iano otogonale a L e assante e L diezione costante moto iano (nel iano di eendicolae a L ) Esemi: Moto cicolae: È un moto iano, L Moto iano non cicolae: mv m ω ( ) m ω x Ci sono divesi modi e descivee questo moto: con le coodinate catesiane oue con y le quelle olai actan y, utilizziamo le seconde x Definiamo v v u + v u, dove v u d u è il vettoe aallelo ad e v u d il vettoe eendicolae seme ad v v u + v u d u d + u L d mv m u d + u m d u d + m u m d u u (NB: m d u 0 eché sono dei vettoi aalleli) L m d u z icodando che ω d u z L m ω con ( t) Moto vaio (non iano): ( ) Localmente (lungo un tatto di taiettoia infinitesimo) ogni moto è iano Quindi ci saà seme un cechio che aossima bene la taiettoia del nosto unto nel tatto infinitesimo (cechio osculatoe) L m c ω con c il aggio del cechio osculatoe, c c (t) anche in diezione nel moto vaio in geneale ( ) e ω ω ( (t)) ω vaia Saendo che F d, τ F (momento di una foza) e onendo che il olo sia fisso isetto al sistema di ifeimento utilizzato, deivando ambo i membi dell equazione L otteniamo d L d ( ) dl d + d dl F (NB: d v ( mv dl ) 0 eché sono vettoi aalleli) τ, questa equazione viene chiamata ^ equazione cadinale della dinamica del unto mateiale

3 Moto in un camo di foze centali: τ F scelgo (oigine del sistema di ifeimento) coincidente con il cento del sistema (o camo) di foze centali, alloa τ F()u 0 siccome la foza è centale e quindi i vettoi sono aalleli Quindi in base alla ^ equazione cadinale della dinamica del unto mateiale dl τ 0 L è costante (in modulo, diezione e veso) Il moto di un unto mateiale sotto l azione di sole foze centali gode delle seguenti oietà: E costante (le foze centali sono consevative) costante (alloa il moto è iano in base a una ecedente ossevazione L diezione L costante moto iano) L costante si ha o eché le foze sono centali oue eché non ci sono foze (moto ettilineo unifome) Enegia meccanica in un sistema di foze centali: E E c + E 1 mv + E ( ) 1 m d + E ( ) Scelgo un sistema di ifeimento nel iano del moto centato nell oigine cento del camo di ( ) foze: sistema olae, E 1 m ( v + v ) + E ( ) 1 m d E + 1 m d + E ( ) E 1 m d ( ) + E ( ) E + 1 m d, l enegia otenziale icace è davveo solo in funzione di? L m d u d + u d m u ( u ) d L m u z costante (unto oosizione ecedente) L m 1 m d ( ) ( E ) ( E ) () E () + L solo in funzione m di! L m E centifuga () E centifuga () coisonde all enegia otenziale della foza aatenente centifuga eceita nel sistema di ifeimento mobile che uota insieme al unto mateiale F a mat con at ω ω ω u F a mω u e quindi è centifuga 3

4 centifuga F a F mω u L m con L m ω e con ω d 3 E centifuga L () m d L 3 m L che è in etti l enegia otenziale di una foza m aaente centifuga eceita dal unto mateiale nel sistema di ifeimento mobile in otazione con il aggio vettoe ( Quindi E ) () E P ( ) + L è l enegia otenziale del unto m ( mateiale nel sistema di ifeimento mobile e E E ) 1 m d ( mateiale nel sistema di ifeimento mobile E E ) E ' c è l enegia cinetica del unto ( In a e in ho che E E ) 1 m d d 0 v ( a, ) 0 a, ( ) 0 eché E E quindi ( Caso 3: con E 0 ho solo una sola intesezione ta E ) () e E E 3 e quindi il moto non è limitato La coodinata adiale ha un minimo uguale a z ma non un massimo taiettoia aeta che si dimosta essee una aabola 1 m d si annulla in z finito e z ( Caso 4: con E E 4 > 0 ho seme un solo unto di intesezione ta E ) () e E E 4 quindi il moto non è limitato e la taiettoia è aeta: iebole Conclusione: gazie all intoduzione dell enegia otenziale centifuga E centifuga () e quindi ( E ) () la descizione del moto di un unto mateiale in un sistema di foze centali si uò ettuae mediante una sola coodinata, la coodinata adiale Esecizio: deteminazione di a (afelio) e (eielio): E ( a ) K + a L E (dovendo annullasi il temine cinetico) E m a, ( ) E dovà avee soluzioni m E mk + L m E mk + L 0 1, mk ± m K ml E m E, K γ Mm e la foza di gavità a γ Mm E γ Mm E L m E, γ Mm E + γ Mm E Esecizio: deteminazione di 0 ( E > 0, caso moto iebolico): L m E E ( ) E ( > 0), 0 γ Mm E + L me γ Mm E 4

5 Leggi di Keleo del moto dei Pianeti: Raccolgono e sintetizzano in leggi matematica accuate delle ossevazioni dell astonomo Tycho Bahe (fine del 500) 1^ legge: gni ianeta descive un obita ellittica ed il Sole occua uno dei due fuochi dell ellissi ^ legge: Il vettoe osizione di ogni ianeta isetto al Sole descive aee uguali in temi uguali 3^ legge: Il quadato del eiodo di ivoluzione di ciascun ianeta intono al Sole è oozionale al cubo del semiasse maggioe dell obita Secondo la ^a legge: da costante da 1 d sinα 1 ( d ) 1 d da 1 d 1 ω 1 L m costante, L m ω costante (essendo il moto soggetto a foze centali) Dimostazione 3^ legge di Keleo e il moto cicolae: T da A con T eiodo del moto A 1 L 0 m T ma LT mπ R LT Moto è cicolae, quindi F centieta K R u R mac mω Ru R mkr ( mr ω ) L L mkr T 4π m K Con K γ Mm tovo T 4π R3 dove m diende dal ianeta e K diende dal Sole e del Pianeta γ M R3 Esecizio: velocità di fuga da un ianeta E,i γ Mm (γ G è la costante gavitazionale univesale) enegia otenziale alla R T sueficie teeste nel sistema di ifeimento fisso E c,i 1 mv i enegia cinetica al lancio dalla sueficie teeste E i E,i + E c,i γ Mm R T + 1 mv i Condizione di fuga: E f 0 (finale all infinito) Pe la consevazione dell enegia meccanica E f E i γ Mm R + 1 mv i 0 v fuga v i γ M R T Caso di foze centali attattive tio F K u : E ( ) K, ( E ( ) K u dalle condizioni iniziali v i e i d K 1 K ) E ( ) K + L Con L dato m ( z è tale che E ) ( z ) K + L z m 0 z z L Km, min L Km z 5

6 ( ) ( min ) E ( ),min K m < 0 (seme, comunque scelti K e L) L E E 1 m d ( ) Se E E,min ( + E ) ( ) ( ) () E,min, E c > 0 Esiste un minimo valoe dell enegia ai a E,min min costante nel temo quindi il moto è cicolae di aggio R min L Km ed avviene con velocità angolae costante ω L m min ( ) E E 1 > E,min ma E 1 < 0 sono in una situazione in cui ho unti e i quali 1 m d annulla ( unti di invesione del moto adiale) si Eccenticità: e a b 1 b a a Luna: e 0,05 Tea: e 0,0167 6