Soluzione degli esercizi dello scritto di Meccanica del 09/09/2019 ESERCIZIO 3

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1 Esecizio 1 Soluzione degli esecizi dello scitto di Meccanica del 09/09/2019 ESERCIZIO 3 Un copo igido è costituito da un anello cicolae (omogeneo e con spessoe tascuabile) di aggio = 10 cm e massa M = 10 g e da due aste sottili identiche (omogenee e con spessoe tascuabile), Un copo igido è costituito da un anello cicolae (omogeneo e con spessoe tascuabile) di aggio = 10 ciascuna di massa m = 3/4 M e lunghezza 2, passanti pe il cento dell anello (v. figua). Si calcoli: cm e massa M = 10 g e da due aste sottili identiche (omogenee e con spessoe tascuabile), ciascuna di a) il momento massa m = 3 di inezia IC del copo igido ispetto all asse di otazione pependicolae al 4M e lunghezza 2, passanti pe il cento dell anello (v. figua). Si calcoli: a) il momento piano in di figua inezia e passante I C del copo pe il igido punto ispetto C di contatto all asse con di il otazione piano; pependicolae al piano in figua e passante Il copo igido pe il punto è inizialmente C di contatto mantenuto con ilfemo pianoe inclinato il punto di su contatto cui poggia. C si tova ad un altezza h0 = 80 Il cm copo dal igido suolo. èall istante inizialmente t0 = mantenuto 0 s il copo femo igido eè ilasciato punto di libeo contatto di muovesi C tova e inizia ad un altezza a otolae hsenza 0 = 80 cm dal suolo. All istante t 0 = 0 s il copo igido è lasciato libeo di muovesi e inizia a otolae senza stisciae stisciae lungo un piano inclinato, con angolo di inclinazione θ = 25. Calcolae: lungo un piano inclinato, con angolo di inclinazione θ = 25. Calcolae: b) il modulo α dell acceleazione angolae del copo igido; b) il modulo α dell acceleazione angolae del copo igido. c) c) l enegia l enegia cinetica cinetica K K1 1 del del copo copo igido igido una una volta volta che che il punto il punto CC aggiunge aggiunge la la quota quota hh1=10cm. 1 = 10 cm. Risultato Algebico Risultato Numeico a) Il copo igido è costituito da due aste sottili e omogenee e da un anello sottile e omogeneo. Il cento di massa (CM) del copo igido coincide con i CM dei te copi che lo costituiscono, petanto il momento di inezia totale ispetto ad un asse di otazione passante pe il CM (e pependicolae al foglio) è dato dalla somma dei te momenti di inezia I CM = 2I asta + I anello : I CM = m(2)2 + M 2 = 3 2 M2. (1) e calcolae il momento di inezia del copo igido ispetto ad un asse di otazione passante pe il punto di contatto C, utilizziamo il teoema di Huygens-Steine, sapendo che la massa totale del copo igido è M tot = 2m + M = 5 2 M: a) I C = I CM + M tot 2 = 4M 2 = kg m 2. (2) b) Consideando il diagamma delle foze appesentato in figua e scegliendo come polo il punto di contatto C, il momento totale delle foze ispetto a C è dato solo dal momento della foza peso: : M (C) tot = M tot g sin θû z. Infatti, la eazione vincolae N e la foza di attito statico f as hanno come punto di applicazione popio il punto di contatto C e, quindi, danno momento nullo. Scegliendo, inolte, una tena 1 COMITO A pagina 5

2 F as C θ CM N y z x catesiana con asse ẑ entante nel foglio (come appesentato in figua) e consideando che, pe definizione, il punto di contatto C è istantaneamente femo, possiamo scivee il teoema del momento angolae applicato al nosto poblema come: M (C) tot = I C α M tot g sin θ û z = 4M 2 α û z. (3) Semplificando e invetendo questa equazione, otteniamo il modulo dell acceleazione angolae del copo igido: b) α = 5 g sin θ 8 = ad/s 2. (4) c) In ifeimento al diagamma delle foze in figua, il lavoo della eazione vincolae è nullo, in quanto essa è pependicolae alla diezione del moto e il lavoo della foza di attito statico è nullo, in quanto, pe definizione, essa non fa compiee spostamento al copo. L unica foza che compie lavoo è la foza peso che è una foza consevativa e, petanto, l enegia meccanica del copo igido si conseva. Sapendo che il copo igido pate da femo e scegliendo un ifeimento veticale con lo zeo dell enegia potenziale in coispondenza della quota h 1, sciviamo la consevazione dell enegia meccanica: K 0 + U 0 = K 1 + U 1 U 0 = K 1. (5) Ricodando che l enegia potenziale della foza peso di un sistema di punti è appesentata dall enegia potenziale del cento di massa e che il copo è inizialmente femo, l enegia cinetica acquisita dal copo igido quando il punto di contatto C si tova a quota h 1 è: c) K 1 = M tot g[(h 0 + cos θ) (h 1 + cos θ)] = 5 2 Mg(h 0 h 1 ) = 0.17 J. (6) 2

3 Esecizio 2 Un copo di massa m = 2 kg si muove lungo una guida cicolae di aggio R = 0.8 m posta nel piano veticale. All istante t 0 = 0 s, il copo m si stacca dalla guida con velocità in modulo pai a v 0 = 3 m/s dopo ave spazzato un angolo θ 0 = 55 (v. figua). Giunto al punto più alto della taiettoia paabolica, m aggiunge un piano oizzontale scabo (coefficienti di attito statico e dinamico µ S = 0.5 e µ D = 0.2) e si muove su di esso fino ad incontae una molla di costante elastica k = 200 N/m, compimendola. Il copo m si fema quando dopo ave la molla spazzato èun compessa angolo θ 0 = 55 di (v. un figua). tatto Giunto x al punto = 3più cm. alto della Calcolae: taiettoia a) il modulo N A della eazione vincolae della guida cicolae nel punto A, dopo che il copo m ha spazzato un angolo θ A = 25 ; ESERCIZIO 2 Un copo di massa m = 2 kg si muove lungo una guida cicolae di aggio R = 0.8 m posta nel piano veticale. All istante t 0 = 0 s, il copo m si stacca dalla guida con velocità in modulo pai a v 0 = 3 m/s paabolica, m aggiunge un piano oizzontale scabo (coefficienti di attito statico e dinamico μ S=0.5 e µ D = 0.2) e si muove su di esso fino ad incontae una molla di costante elastica k=200n/m, compimendola. Il copo m si fema quando la molla è compessa di un tatto x = 3 cm. b) lo spazio Calcolae: totale D pecoso dal copo m sul tavolo; a) (pima del distacco dalla guida) il modulo N A della eazione vincolae della guida cicolae nel c) si veifichi che una volta femo il copo m temina il popio moto e si calcoli la foza di attito statico punto A, dopo che il copo m ha spazzato un angolo θ A = 25 ; F as agente su m. b) (dopo il distacco dalla guida) l istante t 1 in cui il copo m aggiunge il bodo del tavolo; c) lo spazio totale D pecoso dal copo m sul tavolo; d) si veifichi che una volta femo il copo m temina il popio moto e si calcoli la foza di attito statico F AS agente su m. Risultato Algebico Risultato Numeico a) Il diagamma delle foze pe il copo che si muove lungo una guida cicolae, è così appesentato θ A N A (d) (d) COMITO A pagina 4 Scegliendo un oppotuno sistema di ifeimento catesiano solidale con il moto del copo (diezione nomale u n e tangenziale u t ), scomponiamo la seconda legge della dinamica applicata al copo: u t : u n : mg sin(θ A ) = ma t N A mg cos(θ) = ma n = m v2 A R. e tovae N A, dobbiamo tovae l espessione pe va 2 e lo faemo con consideazioni enegetiche. Consideato che la eazione vincolae N A non compie lavoo pechè sempe pependicolae allo spostamento cicolae 3 (7) (8)

4 del copo, l unica foza pesente che compie lavoo è la foza peso che è consevativa e, quindi, possiamo applicae la consevazione dell enegia meccanica dal punto A al punto di distacco dalla guida. Chiamando h 0 = R(1 cos(θ 0 )) e h A = R(1 cos(θ A )) le quote cui si tova il punto al momento del distacco e nel punto A, il bilancio enegetico si può scivee: 1 2 mv mv2 A + mgh 0 mgh A = 0 v 2 A = v gR [ cos(θ A ) cos(θ 0 ) ]. (9) La eazione vincolae nel punto A isulta, quindi, essee [ v 2 a) N A = m 0 R + g( 3 cos(θ A ) 2 cos(θ 0 ) ) ] = 53.3N. (10) b) Dal bodo del tavolo scabo alla distanza D a cui il copo si fema, agiscono sia la foza di attito dinamico F ad = µ D m g u x (non consevativa) sia la foza elastica della molla F el = k x u x (consevativa). La vaiazione di enegia meccanica lungo questo pecoso è E k + E p = E m = da cui otteniamo D F ad ds 1 2 mv2 0 cos 2 (θ 0 ) k( x)2 = m g µ D D, b) D = mv2 0 cos2 (θ 0 ) k( x) 2 2m g µ D = 0.73m (11) c) Supponendo che il copo esti femo, dalla seconda legge della dinamica, si ha necessaiamente che la foza elastica è equilibata dalla foza di attito statico: F el + F as = 0, da cui si ottiene c) Fas = k x u x = 6N u x. (12) Si veifica che F as F as,max = µ S mg = 9.8N, quindi il copo effettivamente imane femo. 4

5 Esecizio 3 La Mote Nea è un enome stazione spaziale costuita dall Impeo Galattico simile ad una piccola luna di foma sfeica e di immani popozioni (aggio R MN = 500 km). La Mote Nea si muove in obita geostazionaia 1 intono ad un pianeta di aggio R = 6300 km e di peiodo di otazione T = 17 oe sulla cui supeficie l acceleazione di gavità è pai a g = 8.5 m/s 2. Aiuta le foze ibelli a deivae infomazioni utili e calcola: a) La massa M del pianeta. b) La distanza obitale,, ta il cento della Mote Nea e il cento del pianeta. I pogetti della Mote Nea sottatti all Impeo indicano che cica il 10% del volume della stazione spaziale è occupato da leghe metalliche, possiamo dunque suppoe che la Mote Nea abbia una densità media ρ = 0.8 g/cm 3. Stimae: c) L enegia minima, E min, ichiesta ai motoi della Mote Nea affinchè questa possa abbandonae l obita geostazionaia e sottasi completamente al campo gavitazionale del pianeta. a) L acceleazione di gavità sulla supeficie del pianeta è data, consideato un geneico copo di massa m sulla supeficie, da mg = F G = G mm R 2 = R2 g G = M = kg (13) b) e essee in obita geostazionaia, la stazione deve uotae con lo stesso peiodo della otazione del pianeta, quindi T = 17 oe = s. Imponendo che la foza centipeta pe il moto cicolae sia data dalla foza di gavità esecitata dal pianeta, si ottiene: a c = GM 3 = ω 2 = 4π2 T T 2 = = 2 3 GM T 4π 2 = 3 2 R 2 g 4π 2 = m (14) c) L enegia della Mote Nea, in obita, è data dalla somma dell enegia potenziale gavitazionale U e di quella cinetica K: E T OT = U + K = G M MNM M MNv 2 (15) Dobbiamo quindi calcolae la massa della mote nea, patendo dalla sua densità: M MN = 4 3 πr3 MNρ = kg (16) GM Mente la velocità della Mote Nea in obita si ottiene con v =. A questo punto, icodandoci che pe sfuggie all obita l enegia ichiesta ai motoi E MOT è quella che ende nulla l enegia totale, otteniamo: E T OT + E MOT E MOT = E T OT = G M MNM 1 2 M MNv 2 = 1 2 GM MNM = J (17) 1 pe obita geostazionaia si intende un obita equatoiale, tale pe cui il peiodo obitale coincide con il peiodo di otazione del pianeta, cosicché la stazione stia sempe sulla veticale dello stesso luogo sulla supeficie del pianeta. 5