effettuato una rotazione di 60 ; c) la velocità angolare quando il sistema ha effettuato una rotazione di 180.

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1 CORPO RIGIDO EX Un pofilo igido è costituito da un tatto ettileo AB e da una semiciconfeenza di aggio R=0cm come figua. Dal punto A viene lanciata una moneta di aggio =cm. Calcolae la mima velocità che bisogna impimee afché aivi nel punto più alto del pofilo otolando senza stisciae. EX Un cildo omogeneo di massa M e aggio R è vcolato a otolae senza attito attono al suo asse. Una coda estensibile di massa tascuabile è avvolta attono al cildo e al suo estemo libeo sono appesi due copi di ugual massa m uniti da una fune. Si lasciano i due copi libei di cadee. Calcolae: ) il modulo dell acceleazione angolae del cildo; ) la tensione della fune che lega le due masse. EX 3 Una sbaa leae omogenea di massa M e lunghezza L posta veticalmente può uotae senza attito attono a un asse fisso passante pe il cento. Un poiettile di massa M/3 che si muove a velocità costante v colpisce la sbaa pependicolamente un estemo imanendo agganciata. Calcolae: a) la velocità angolae con cui si mette otazione il sistema; b) il lavoo compiuto da una foza che fena il sistema 3.5 gii. EX 4 Un sistema è composto da una sbaa omogenea di lunghezza l=m massa m s =kg e sezione tavesa tascuabile e un disco omogeneo di aggio R=0.m massa m d =kg collato al cento ad una estemità della sbaa. Il sistema può uotae senza attito un piano veticale attono a un asse fisso passante pe l alto estemo della sbaa. Inizialmente il sistema tenuto femo oizzontalmente viene lasciato libeo. Detemae: a) l acceleazione angolae del sistema quando la sbaa ha effettuato una otazione di 60 ; b) il momento angolae del sistema quando la sbaa ha

2 effettuato una otazione di 60 ; c) la velocità angolae quando il sistema ha effettuato una otazione di 80. EX 5 Due punti mateiali di ugual massa m=0.5kg sono fissati agli estemi di un asta igida di lunghezza l=50cm e massa tascuabile collocata su un piano oizzontale pivo di attito. L asta è soggetta nel punto O distante d=0cm da un estemità a un vcolo ideale che le consente di uotae solo lungo l asse veticale passante pe O. Il punto mateiale fissato all estemo più possimo ad O subisce un uto elastico da pate di un poiettile di massa m 0 =m, che pima dell uto si muove con velocità v=m/s dietta otogonalmente veso l asta. Detemae: a) la velocità del poiettile dopo l uto; b) la velocità dell asta dopo l uto. EX 6 Un sistema è fomato da un disco di aggio R=m e massa M D =M sulla cui supeficie è collata una sbaa di lunghezza R e massa M S = M D /3. Attono al disco è aotolata una coda estensibile di massa tascuabile al cui estemo è appesa una massa puntifome M 3. Il disco è fissato ad un piano veticale mediante un chiodo passante pe il suo cento ed è libeo di uotae attono ad esso. Nell ipotesi che il sistema sia condizioni statiche con la sbaa posizione oizzontale (vedi figua) detemae: a) la massa M 3, b) il momento d ezia del sistema. Ad un ceto istante la coda viene tagliata, detemae l acceleazione angolae del sistema. Risolvee pe R=m; M=6kg.

3 SOLUZIONI EX Siccome non ci sono attiti e siccome la eazione vcolae non compie lavoo (foza e spostamento sono pependicolai), possiamo impoe la consevazione dell enegia meccanica fa punto A e il punto più alto C dove isce al semiciconfeenza. Da icodae due aspetti: ) siamo pesenza di un copo igido che uota senza stisciae sul pofilo qudi la sua enegia cetica ha una pate otazionale e una pate taslazionale (teoema di Koenig); ) pe le popietà dei copi igidi possiamo pensae tutta la massa come concentata nel cento di massa e scivee le equazioni che sevono come applicate quel punto. Pe la consevazione dell enegia meccanica: A E mecc C = E mecc A " E c,tasl A + E c,ot A + # E pot C = E c,tasl mv A + I A + mg = mv C + I C + mg(r ) C + E c,ot C + # E pot NB: pe il calcolo dell enegia potenziale si considea il cento di massa come punto cui valutae l altezza dal sistema di ifeimento che scegliamo con l asse x cocidente col pofilo igido e l asse y veticale. Occoe oa tovae una elazione fa velocità di taslazione e velocità angolae che viene pe esempio dalla consideazione che la moneta è un oggetto otondo pe cui i punti lungo il suo aggio si muovono con velocità v legata alla velocità angolae dalle equazioni del moto cicolae: " = v # v = ",a = ". Ricodiamo olte il momento d ezia pe un disco: I = m Mettiamo tutto nell equazione della consevazione dell enegia e otteniamo: mv A + m v A + mg = mv C + m v C + mg(r " ) v A + v A + 4g = v C + v C + 8gR " 4g # 3v A = 3v C + 8gR " 8g # v A = v C + 8 g(r " ) 3 Pe tovae la velocità A devo pima tovae la velocità C. Si può utilizzae la pima equazione cadale della damica nel punto C applicata al cento di massa della moneta. In geneale lungo la semiciconfeenza del pofilo agiscono la foza

4 peso e la eazione vcolae. Nel punto C che coisponde al punto di massima altezza la eazione vcolae si annulla mente imane solo la foza peso. L acceleazione è quella centipeta tipica di un moto cicolae. Qudi: F ext = P + R = ma cm " (C) P = ma centipeta " mg = m v C (R # ) " v C = g(r # ) Sostituendo questo isultato nell equazione della velocità A otteniamo il isultato cecato: v A = v C g(r " ) = g(r " ) g(r " ) = # & ( g(r " ) ) v A = # & ( g(r " ) = # & (*9.8*(0. " 0.0) =,54m /s EX In figua sono mostate le foze gioco sui divesi copi. Il cildo è un copo igido pe cui le foze gioco su esso possono essee pensate come applicate al suo cento di massa. ) Pe tovae l acceleazione angolae devo utilizzae la seconda equazione cadale M ext = K che lega il momento delle foze estene alla deivata del momento angolae totale che compende sia il momento della quantità di moto dovuto a taslazione sia il momento angolae dovuto a otazione. Le foze agenti sul cildo sono il peso, la eazione vcolae e i pesi delle masse e. Scelgo come cento di iduzione pe il calcolo dei momenti il cento di massa del cildo. In questo modo sia il peso che la eazione vcolae del cildo hanno baccio nullo. Le uniche foze che contibuiscono al momento sono qudi i pesi degli oggetti e. Qudi calcolo il momento delle foze estene: M ext = R " R + c " P c + " P + " P = 0 " R + 0 " P + (Rˆ k ) " (#mgˆ j ) + (Rˆ k ) " (#mgˆ j ) = mgrˆ i

5 Il momento angolae totale è dato da due contibuti: ) il momento della quantità di moto K tasl = " mv dato dalle due masse e che scendono legate alle coda con velocità v ( come pe il calcolo del momento di una foza è il baccio della quantità di moto, ovveo la distanza della etta che passa pe il vettoe velocità dal cento di iduzione); ) il momento angolae del cildo K ot = I" con momento d ezia I = MR che uota con velocità angolae ω. Velocità angolae del cildo e velocità di discesa delle masse sono legate dalla elazione del moto cicolae v = "R poiché le masse sono vcolate a muovesi all unisono con la otazione del cildo tamite la coda. Qudi il momento angolate totale diventa: K = K ot + K tasl = I" + # mv = MR " + (Rk ˆ ) # (m"rˆ j ) = MR "ˆ i + mr "ˆ i Unendo le due espessioni del momento delle foze estene e del momento angolae totale nella II equazione cadale si ottiene: mgr = d # MR dt " + & mr "( ) mgr = MR 4mg " + mr " ) 4mg = (M + 4m)R" ) " = (M + 4m)R ) pe tovae la tensione T che lega i due copi e si impone l equazione della damica sui copi sepaatamente e poi la si poietta lungo l asse veticale. L acceleazione delle masse è legata alla velocità angolae di otazione del cildo pe lo stesso motivo descitto pima pe le velocità: a = " R. Qudi si ha: " ) T + T + P = ma ) T + P " # = ma & T T P = m( R # T P = m( R 4mg T = mg mr (M + 4m)R & T = Mm (M + 4m) g & T mg = m( R & EX 3

6 a) duante l uto non agiscono foze estene qudi è nullo il momento delle foze estene e pe la II equazione cadale ( M ext = K ) il momento angolae totale si conseva: M ext = 0 " K = 0 " K = cost Impongo la consevazione del momento angolae pima e dopo l uto K = K dove pima dell uto si ha solo il momento della quantità di moto del poiettile K tasl = " mv mente dopo l uto si ha il momento angolae dell asta che uota K ot = I". Qudi icodando che è il baccio della quantità di moto si ha: K = " mv = (# L K = I = #I k ˆ MLv 6 = I = MLv 6I ˆ j ) " M (#vˆ i ) = # MLv 3 6 ˆ k Pe calcolae il momento d ezia del sistema dopo l uto si deve tene conto del momento d ezia della sbaa più quello del poiettile che esta conficcato a una distanza L/ dal cento della sbaa. Qudi: I tot = I asta + I massa = ML + M 3 " L # & = ML + ML = ML 6 La velocità angolae diventa qudi: " = MLv 6I = MLv 6 * 6 ML = v L b) se il sistema fena vuol die che siamo pesenza di attito qudi non vale la consevazione dell enegia meccanica. Si può usae il teoema delle foze vive: L tot = "T = T # T che pemette di calcolae il lavoo totale compiuto sul sistema da tutte le foze gioco dall enegia cetica del sistema. Dopo l uto l enegia cetica è solo di tipo otazionale e nel dettaglio la velocità angolae ale è nulla peché il sistema si fema. Il lavoo diventa: L tot = T " T = 0 " I# = " I#. Le foze gioco sul sistema sono la foza peso e la foza fenanate. La foza peso è di tipo consevativo qudi il lavoo compiuto sul sistema può essee calcolato dalla vaiazione di enegia potenziale. L unico contibuto alla foza peso pe come si è peso il sistema di ifeimento è dato dall oggetto che si conficca nella sbaa. Infatti il cento di massa della sbaa si tova lungo l asse x qudi a quota h=0. Il sistema si fema dopo 3.5 gii pe cui il poiettile si fema alto a distanza L/ dal cento lungo le y positive e pate da quota L/ lungo le y negative. Qudi si ha: L peso = U "U = mgh " mgh = " M 3 g L " M 3 g L = " MLg 3 Inseendo questo isultato nel teoema delle foze vive ottengo il lavoo che ceco

7 L tot = L peso + L fenante = " I# L fenante = " I# " L peso = " I# + MLg 3 = " * ML 6 * v L + MLg 3 = M 3 gl " v & 4 ( * ) EX 4 In figua sono segnate osso le foze agenti sul sistema che sono la foza peso della sbaa e la foza peso del disco. a) Pe tovae l acceleazione angolae si deve utilizzae la II equazione cadale M ext = K cui essendoci solo un moto otatoio il momento angolae è dato da K = I". Il momento d ezia si tova sommando il momento d ezia della sbaa e quello del disco pendendo come cento pe il calcolo il punto d oige del sistema di ifeimento. Qudi bisogna consideae il momento d ezia della sbaa non passante pe il cento ma pe un estemo e il momento del disco pe non asse non passante pe il cento qudi calcolato col teoema di Huygens-Stee: I tot = I sbaa + I disco = m s l 3 + " m d l + m d # l = & 3 ** + **0. +* =.35kg( m Le foze gioco sul sistema sono la foza peso della sbaa e quella del disco. Calcolo il momento delle foze usando come cento di iduzione il cento del sistema di ifeimento. I bacci delle foze possono essee calcolati con semplici consideazioni geometiche usando l angolo α: M ext = s " P s + d " P d = ( sˆ i ) " (#m s gˆ j ) + ( dˆ i ) " (#m d gˆ j ) = = # l m s gsen30 ˆ k # lm d gsen30 ˆ k = #0.5 ** 9.8 * sen30 ˆ k #** 9.8 * sen30 ˆ k = #7.35 ˆ k N m L acceleazione angolae qudi si ottiene:

8 M ext = K = I" # 7.35k ˆ =.35" k ˆ # " = = 5.44ad /s # " = 5.44k ˆ ad /s b)non essendoci foze dissipative l enegia meccanica si conseva. Impongo qudi la consevazione dell enegia meccanica totale ta il punto iziale cui il sistema è quiete oizzontalmente e il punto cui il sistema ha compiuto una otazione di 60 E mecc = E mecc " E c + # E pot = E c + # E pot Il sistema izialmente quiete non possiede né enegia cetica né enegia potenziale peché entambi i centi di massa dei due oggetti sono sull asse x e qudi a quota h=0 nel sistema di ifeimento scelto. Nel punto ale il sistema possiede enegia cetica di tipo otazionale e le due enegie potenziali delle foze peso calcolate ispetto ai due centi di massa = I" + m s gh s + m d gh d # 0 = I" m s g l sen60 m d glsen60i" = m s glsen60 + m d glsen60 # " = m s glsen60 + m d glsen60 I = *9.8* sen60 + **9.8 ** sen60.35 = 4.34ad /s Avendo calcolato la velocità angolae oa si può calcolae anche il momento angolae del sistema quando ha compiuto una otazione di 60 : K = I " =.35 *(#4.34 ˆ k ) = #5.86 ˆ k kg m /s c) si iutilizza la consevazione dell enegia meccanica pe tovae la velocità angolae quando il sistema ha compiuto una otazione di 80 notando che questo caso di nuovo i centi di massa dei due oggetti si tovano sull asse delle x pe cui anche l enegia potenziale gavitazionale ale è nulla. Rimane solo l enegia cetica ale di tipo otazionale. L equazione di consevazione diventa: E mecc = E mecc " E c + # E pot = E c + # E pot " = I + 0 " = 0ad /s EX 5 a)pe calcolae il momento d ezia si devono sommae due contibuti, uno pe ogni massa situata all estemità dell asta che piva di massa non dà contibuto. Come punto pe il calcolo del momento d ezia si considea il cento = del sistema di ifeimento: I = m(l " d ) + md = 0.5* *0. = 0.065kg# m

9 b) c) non essendoci foze estene al sistema duante l uto si conseva il momento angolae totale dalla II equazione cadale ( M ext = K. Se M ext = 0 " K = 0 " K = cost). Inolte non ci sono foze dissipative pe cui si conseva l enegia meccanica totale. Impongo queste due equazioni e si ottiene un sistema di due equazioni nelle due cognite che sono la velocità del poiettile dopo l uto e la velocità angolae dell asta dopo l uto. Pe la consevazione del momento angolae si noti che pima dell uto si ha solo momento della quantità di moto del poiettile mente dopo l uto si ha momento della quantità di moto del poiettile che imbalza e momento angolae dell asta che izia a uotae. K = K " " # E mecc = E mv = mv + I( & # mecc E c + ) E pot = E c + ) E & pot " (*dˆ j ) (m 0 v ˆ i ) = (*dˆ j ) (m 0 v ˆ i ) + I( k ˆ # m v 0 * m 0 gd * mgd + mg(l * d) = m v 0 + I( * m 0 gd * mgd + mg(l * d) " dm 0 v ˆ k = dm 0 v ˆ k + I( k ˆ " # m v 0 = m v 0 + I( & dmv = dmv + I( " # & 0.v = 0.v # ( m 0 v = m 0 v + I( v = v ( v = " 0.35# v = " 0.35# # = 4 * 0.35 ( = 7.6ad /s & 4 = # " 4 * 0.35# # &#(#( ) " 4 *0.35) = 0 & ( v = "0.48m /s Avendo tovato la velocità del poiettile negativa vuol die che il poiettile imbalza dieto. EX 6 In figua sono segnate osso tutte le foze agenti sui vai oggetti del sistema. Pe tovae la massa 3 consideo le equazioni della statica cui olte alla isultante delle foze nulla deve essee nulla anche la isultante dei momenti quanto le foze hanno punti di applicazione divesi. Come cento di iduzione pe il calcolo dei

10 momenti pendo l oige del sistema di ifeimento; questo modo sia il peso del disco sia la eazione vcolae hanno baccio nullo. L equazione delle foze la poietto sull unica diezione che mi seve, cioè quella veticale. " F # = 0 " M P s + P d + R + # # P 3 = 0 ) M & = 0 & s ( P s + 3 ( P 3 g ) Mg ) M g + R = = 0 ( R i ˆ ) ( () M gˆ j ) + ()Rˆ i ) ( ()M 3 gˆ j ) = 0 & 3 ) MRg 6 k ˆ + RM 3 gˆ k = 0 M 3 = M 6 =kg b) il momento d ezia del sistema è dato dalla somma del momento d ezia del disco, della sbaa e della massa M3, tutti calcolati ispetto all oige del sistema di ifeimento. I tot = I sbaa + I disco + I 3 = M DR + M SR + M " R S # & = MR + MR * 3 + MR 4 * 3 + MR 6 + M 3 R = = MR = *6* = 4.67kg ( m c) pe tovae l acceleazione angolae dopo il taglio della coda devo utilizzae la seconda equazione cadale: M ext = K = I" dove il momento angolae è solo di tipo otazionale. Dobbiamo qudi calcolae le vaie quantità che mi sevono. Patiamo dal momento d ezia, che è composto da due contibuti, quello del disco e quello dell asta (M3 è stata tagliata qudi non contibuisce più), calcolati entambi ispetto all oige del sistema di ifeimento: I tot = I sbaa + I disco = M DR + M SR + M " R S # & = MR + MR * 3 + MR 4 * = MR = MR Oa calcolo il momento delle foze estene. Le foze che contibuiscono sono il peso del disco, il peso della sbaa e la eazione vcolae. Se calcolo il momento ispetto al cento del sistema di ifeimento il baccio del peso del disco e della eazione vcolae è nullo e imane solo il contibuto del peso della sbaa: M ext = S " P S = ( R i ˆ ) " (# M gˆ j ) = # MRg 3 6 Oa icavo l acceleazione angolae: M ext = I" # MRg k ˆ = 6 36 MR " # " = k ˆ MRg 6 36 MR k ˆ = 6g k ˆ =.67k ˆ ad /s R