CASO 2 CASO 1. δ Lo. e N. δ Lo. e L. PROBLEMA A Corso di Fisica 1- Prima provetta- 22 maggio 2004 Facoltà di Ingegneria dell Università di Trento

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1 PROBEMA A Coso di Fisica 1- Pima povetta- maggio 004 Facoltà di Ingegneia dell Univesità di Tento Un anello di massa m= 70 g, assimilabile ad un copo puntifome, è infilato in una asta igida liscia di lunghezza a=1.5 m. anello è inolte attaccato tamite una molla ideale di costante elastica =1.7 /m e lunghezza a iposo =0.60 m ad uno dei suoi estemi (vedi figua. asta è inclinata di un angolo = π/3 ispetto alla veticale del laboatoio. Rispondee alle domande elative ai due casi qui di seguito descitti. CASO 1: asta è fema ispetto al laboatoio e sull anello agisce anche una foza costante F inclinata di un angolo β=π/5 ispetto all asta e di modulo pai a disegnae il diagamma delle foze agenti sull anello quando esso si tova nella posizione mostata in figua;. scivee l espessione analitica delle loo componenti lungo gli assi mostati in figua, pe una posizione geneica x dell anello; 3. scivee l uazione del moto dell anello specificando l espessione analitica delle sue componenti lungo x e y; 4. calcolae la posizione di uilibio dell anello; 5. calcolae la foza applicata dall asta all anello; 6. tovae la legge oaia del moto dell anello assumendo che a t=0 esso sia femo nella posizione x(t=0 = 0.80 m ; 7. calcolae il peiodo delle oscillazioni; 8. calcolae la velocità v quando passa pe la posizione di uilibio la pima volta; 9. calcolae la distanza massima aggiunta dall anello, duante il moto oscillatoio di cui al punto 6, dall asse veticale a cui è attaccata l asta. CASO : Consideiamo oa invece il caso in cui F non c è e l asta sta uotando intono alla veticale con velocità angolae Ω =.67 ad/s ( è mantenuto costante e quindi l asta descive una supeficie conica. el sistema di ifeimento solidale all asta: 10. disegnae il diagamma delle foze eali e fittizie agenti sull anello assumendo che, ispetto all asta, esso sia istantaneamente femo nella posizione mostata in figua; 11. scivee l espessione analitica delle componenti delle foze lungo i vesoi e e e (vedi figua; 1. calcolae la fuenza di oscillazione; 13. calcolae la posizione di uilibio dell anello; 14. calcolae la foza applicata dall asta all anello quando esso è femo ispetto all asta nella posizione CASO 1 y CASO Ω F e x e di uilibio.

2 SOUZIOE CASO 1 1. Vedi figua. e foze indicate sono: F: foza data dal poblema. Fel: foza elastica applicata dalla molla all anello (il veso è deteminato dal fatto che la molla è estesa. P: foza peso dell anello. : eazione vincolae dell asta sull anello (pe deteminane il veso occoe calcolala, vedi più avanti. CASO 1 x F β P Fel y. F = F ( cosβ xˆ + sin β yˆ P = P (cos xˆ sin yˆ = yˆ Fel = ( x xˆ 3. ma = F + + Fel + P mx && = ( x + mg cos F cosβ my && = + F sin β mg sin 4. Imponendo che la componente lungo x della isultante delle foze agenti sull anello sia nulla quando esso si tova in x=x : 0 = ( x + mg cos

3 si icava mg cos x = m. 5. Dalla componente lungo y dell uazione del moto = F sin β + mg sin 0.07 = 0.07 yˆ 6. a legge oaia si icava tovando la soluzione geneale dell uazione diffeenziale appesentata dalla componente lungo x dell uazione del moto, e imponendo le condizioni iniziali x( t = 0 = 0.80m. x& ( t = 0 = 0 a soluzione geneale x(t dell uazione non omogenea è data dalla somma della soluzione geneale dell omogenea associata ( A sin( ω t + ϕ dove ω = omogenea (x : mg cos x( t = + + Asin( ωt + ϕ. m ad 4.9 e di una soluzione paticolae della non s Pe tovae A e φ imponiamo le condizioni iniziali: π x& ( t = 0 = 0 = ωacos( ϕ cos( ϕ = 0 ϕ = mg cos x( t = 0 = 0.80m = + + Asin( ϕ A 0.10m 0.80m mg cos = + + A Quindi la legge oaia è: ad π x ( t = 0.70m m sin 4.9 t + s Si tatta di un moto oscillatoio, di ampiezza pai a 0.10 m, attono alla posizione di uilibio 0.70 m. 7. Il peiodo π T = 1. 3 s ω 8. Dato che la posizione iniziale si tova a sinista della posizione di uilibio, la pima volta che l anello passa pe tale posizione si sta muovendo da sinista veso desta. Inolte nel moto amonico semplice, in coispondenza del punto di uilibio si ha il massimo del modulo della velocità, che è dato dal podotto della pulsazione pe l ampiezza di oscillazione. Quindi il vettoe velocità, quando l anello m passa pe la pima volta pe la posizione di uilibio, è dato da: v = 0.49 xˆ s 9. a coodinata x dell anello ha valoe minimo x min = x -A=0.60m quando la sua distanza D max dall asse veticale è massima. D max =(a-x min sin(= 78 cm

4 CASO 10. e 11. Si assume il sistema di ifeimento otante solidale all asta poposto nella figua (individuato dai vesoi e e e e avente l oigine sull asse di otazione; indicheemo con x e y le coispondenti coodinate dell anello ispetto a questo sistema. Visto che la velocità dell anello ispetto all asta otante è istantaneamente nulla (la foza di Coiolis è istantaneamente nulla, nel sistema di ifeimento solidale all asta l unica foza appaente divesa da zeo è la foza centifuga CASO Ω R Ω Fel e F cent F cent e P espessione analitica delle componenti delle foze sono (le pime te sono foze eali: P = mg (cos ˆ sin e = Fel = ( x' ( a F = mω R( sin cos = mω ( x'sin ( sin cos cent 1. Sciviamo la componente lungo e dell uazione del moto dell anello ispetto al sistema otante: ma' = P + + F + F el cent mx &&' = ( x' ( a + mgcos mω che posso scivee anche ( x'(sin m & x&+ ' ( mω (sin x' = ( a + mgcos Questa uazione diffeenziale descive un moto amonico la cui pulsazione ω si detemina come al solito pendendo la adice della costante che moltiplica il temine in x divisa pe la costante che moltiplica la deivata seconda di x: mω (sin ω = m a foza centifuga dipende lineamente dalla posizione dell anello (come la foza elastica! e dunque influisce sulla fuenza di oscillazione ν iducendola:

5 1 mω (sin ν = π m 13. Pe calcolae la posizione di uilibio si impone l uilibio di tutte le foze: 0 = P + + F el + F cent condizione vettoiale che scitta pe componenti si taduce in un sistema di due uazioni che ci pemette di icavae sia la posizione di uilibio che la eazione dell asta quando la paticella è fema in tale posizione (Coiolis è nulla! 0 = ( x ' ( a + mgcos mω ( x '(sin 0 = mgsin + mω ( x Si icava: 'sin cos mgcos a + ' x = 0.66m mω (sin 1 ' = mgsin mω x sin cos 0.74

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