Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate Tema di matematica

Transcript

1 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità Esame di stato di istuzione secondaia supeioe Indiizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate Tema di matematica Il candidato isolva uno dei due poblemi e isponda a quesiti del questionaio POBLEMA Il piano taiffaio poposto da un opeatoe telefonico pevede, pe le telefonate all esteo, un canone fisso di euo al mese, più centesimi pe ogni minuto di convesazione Indicando con i muniti di convesazione effettuati in un mese, con f) la spesa totale nel mese e con g) il costo medio al minuto: individua l espessione analitica delle funzioni f) e g) e appesentale gaficamente; veifica ce la funzione g) non a massimi né minimi elativi e dai la tua intepetazione dell andamento delle due funzioni alla luce della situazione conceta ce esse appesentano Detto il numeo di minuti di convesazione già effettuati nel mese coente, detemina tale ce: Taccia il gafico della funzione ce espime in funzione di e discuti il suo andamento Ce significato a il suo asintoto veticale? Sul suo sito web l opeatoe telefonico a pubblicato una mappa ce appesenta la copetua del segnale telefonico nella zona di tuo inteesse: La zona è delimitata dalla cuva passante pe i punti A, B e C, dagli assi e y, e dalla etta di equazione =; la pozione eticettata con la Z, appesenta un aea non copeta dal segnale telefonico dell opeatoe in questione

2 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità appesenta il magine supeioe della zona con una funzione polinomiale di secondo gado, veificando ce il suo gafico passi pe i te punti A, B e C Sul sito web dell opeatoe compae la seguente affemazione: nella zona appesentata nella mappa isulta copeto dal segnale il 9% del teitoio ; veifica se effettivamente è così L opeatoe di telefonia modifica il piano taiffaio, inseendo un sovappezzo di centesimi pe ogni minuto di convesazione successivo ai pimi minuti 4 Detemina come cambiano, di conseguenza, le caatteistice delle funzioni f) e g), iguado agli asintoti, alla monotonia, continuità e deivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g) e della sua deivata e spiegane il significato nella situazione conceta

3 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità SVOLGIMENTO a cua di Nicola De osa Punto La spesa totale in un mese è f ) con mente il costo medio al minuto è f g con La funzione g è una funzione omogafica ipebole) con asintoto veticale ed asintoto oizzontale y Non a massimi e minimi in quanto una funzione omogafica non a estemanti elativi, o altenativamente notando ce la deivata pima è g' si deduce ce g è stettamente decescente in tutto il suo dominio Di seguito il gafico La funzione f appesenta il costo in minuti dato da un costo fisso più un costo vaiabile in base ai minuti stessi, quindi è una funzione lineae con i minuti di convesazione e cesce al cescee dei minuti tascosi a telefono f La funzione g appesenta il costo medio pe minuto ce decesce con l aumentae dei minuti passati a telefono, al limite pe tendente all infinito il coso medio si iduce al costo di un minuto in quanto il costo fisso saà tascuabilissimo nullo o comunque quasi nullo)

4 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità Punto g La funzione g a senso pe in quanto è una quantità intinsecamente non negativa, ed inolte è una ipebole con asintoto veticale in Di seguito il gafico La funzione appesenta il numeo di minuti ce un utente dovebbe stae a telefono pe pagae un costo medio pai alla metà di quello calcolato sui minuti effettivi Pe, il costo medio saebbe g, euo/minuto ovveo centesimi a minuto, mente la metà del costo medio saebbe petanto in coispondenza di costo pe minuto Punto La paabola a equazione g, euo/minuto ovveo centesimi a minuto; g veebbe a coincidee con il, la metà del costo medio y a b c e deve passae pe A,), B, 7/) e C4,4) Poicé C4,4) è il punto di massimo ed il vetice della paabola si deduce subito ce b 4 b 8a quindi l equazione diventa y a 8a c Imponendo il passaggio pe A a si ottiene c mente imponendo il passaggio pe C si ottiene 4 a a, pe cui 8

5 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità l equazione diventa y Pe ispezione si tova subito ce la paabola passa ance pe 8 B Il teitoio Z è un tiangolo ettangolo isoscele di aea /, mente l aea sottesa dalla paabola in [,] è S d 4 4 Petanto l aea copeta dal segnale è pai in pecentuale a 97,%, coeente con quanto ipotato sul sito web Punto 4 Di seguito le espessioni analitice delle nuove funzioni di spesa e costo medio a seguito dell intoduzione del costo aggiuntivo dopo i minuti: f f - 4 f g 4 Di seguito i gafici delle due funzioni La nuova funzione f è continua in tutto il dominio non è deivabile in ce è ascissa di punto angoloso in coispondeza del quale il salto è f ' f '

6 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità non pesenta asintoti essendo una composizione di funzioni lineai ed è stettamente cescente nel dominio pesenta un minimo assoluto pe = e vale f)= ovveo euo La nuova funzione g è continua in tutto il dominio -{} non è deivabile in ce è ascissa di punto angoloso in coispondeza del quale il 4 salto è g ' g' pesenta = come asintoto veticale, y come asintoto oizzontale è stettamente decescente in,) e stettamente cescente pe > non pesenta minimi e massimi elativi pesenta un minimo assoluto pe = e vale g)=, ovveo centesimi

7 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità POBLEMA La funzione deivabile a, pe, il gafico Γ disegnato in figua Γ pesenta le tangenti oizzontali pe =-, =, = Le aee delle egioni A, B, C e D sono ispettivamente,, e Sia g) una pimitiva di f) tale ce g)=- Nel caso f) fosse espimibile con un polinomio, quale potebbe essee il suo gado minimo? Illusta il agionamento seguito Individua i valoi di, pe cui g) a un massimo elativo e detemina i valoi di pe i quali g) volge la concavità veso l alto Calcola g) e, se esiste, il 4 Sia, detemina il valoe di SVOLGIMENTO Il gado di f ) nell ipotesi ce sia una funzione polinomiale è almeno quato Infatti a te punti a tangente oizzontale, dunque la sua deivata deve annullasi in te punti e quindi è un polinomio di gado non infeioe al tezo A confema, una etta oppotunamente scelta inteseca il gafico della cuva in quatto punti La pimitiva g ) a monotonia stabilita dal segno di f ) secondo il seguente scema: segno di f ) monotonia di g ) quindi g ) a un massimo elativo in gli alti due zei di coispondono ad un minimo in ed un flesso a tangente oizzontale in )

8 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità Il veso della concavità di g ) è fissato dal segno di g ) f ) ; in paticolae, la concavità è veso l alto dove f ) è positiva, quindi dove f ) è cescente Dal gafico si desume ce ciò avviene negli intevalli, e, Detta g ) la pimitiva di f ) ce si annulla pe, ovveo: g ) f t) dt, la funzione iciesta g ) è data da: g ) g ) K, con K oppotuna costante Dai dati foniti sulle aee delle egioni e dal segno degli integali definiti coispondenti si tova: g ), pe cui dalla iciesta ce sia: g ) si ottiene: K K, quindi è: g ) f t) dt Di conseguenza: g ) f t) dt ; il limite iciesto si calcola con la egola di De L Hospital: g ) lim H ) g ) lim lim f ), dove si è sfuttato il fatto ce g ) f ) e ce dal gafico di isulta f ) 4 Si a: ) d f ) d ; con la sostituzione: z d dz si a: 9 ) d ) ) f z dz

9 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità QUESTIONAIO Deteminae l espessione analitica della funzione y=f) sapendo ce la etta y=-+ è tangente al gafico di f nel secondo quadante e ce f )=- + Dimostae ce il volume del tonco di cono è espesso dalla fomula:, dove e sono i aggi e l altezza Lanciando una moneta sei volte qual è la pobabilità ce si ottenga testa al più due volte? Qual è la pobabilità ce si ottenga testa almeno due volte? 4 Di quale delle seguenti equazioni diffeenziali la funzione è soluzione? Deteminae un espessione analitica della etta pependicolae nell oigine al piano di equazioni +y-z= Sia f la funzione, definita pe tutti gli eali, da, deteminae il minimo di f 7 Detta An) l aea del poligono egolae di n lati inscitto in un cecio C di aggio, veificae ce e calcolane il limite pe 8 I lati di un tiangolo misuano, ispettivamente, cm, cm e cm Peso a caso un punto P all inteno del tiangolo, qual è la pobabilità ce P disti più di cm da tutti i te vetici del tiangolo? 9 Data la funzione deteminae il paameto in modo ce nell intevallo [,] sia applicabile il teoema di Lagange e tovae il punto in cui la tesi del teoema assicua l esistenza Il gafico della funzione divide in due pozioni il ettangolo ABCD avente vetici A,), B4,), C4,) e D,) Calcolae il appoto ta le aee delle due pozioni

10 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità SVOLGIMENTO Integando si ottiene: C d f ) ) ; la condizione di tangenza con la etta data impone ce sia: m f ) in un punto del II quadante, da cui: 4 la soluzione positiva è da scatae); il punto di ascissa sulla etta a odinata: 9 ) y ; il punto ),9 appatiene alla cuva ) f y se: C ) 8) 9, da cui: 47 C La funzione iciesta petanto è: 47 ) f Consideiamo il tonco come il solido geneato dalla otazione del tapezio delimitato dal segmento e dall asse in figua intono all asse La etta passante pe i punti ), ed ), a equazione: y ; il volume si calcola con: d d y V, ce con la sostituzione: d dz z diventa: ) ) ) dz z V, da cui l asseto Vaiabile aleatoia a distibuzione binomiale n n q p n p,, con: p, p q, n L evento: si ottiene testa al più due volte coisponde indicando con il numeo di volte ce esce Testa) alla pobabilità: ) ] [ 4 P La seconda pobabilità iciesta è: ) ] [ ] [,, p p P P y

11 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità d ln 4 Deivando si ottiene: y ) ln ) ln, ce pemette subito di d scatae, veificando tamite sostituzione nell equazione, la teza ipotesi Deivando ulteiomente otteniamo: y ) d d [ ln ln )] ln ) sostituendo si veifica ce soltanto nella quata poposta si ottiene un identità: ; ln ln ln ln ln, cvd L equazione: y z coisponde a poe uguale a zeo il podotto scalae ta il vettoe OP, y, z) ed il vettoe v,, ) ; il piano in oggetto passa pe l oigine ed è quindi otogonale a v ; la etta iciesta è l insieme dei punti Q, y, z) tali ce: OQ t v t, t ce equivale al sistema: y t z t La funzione è un polinomio di secondo gado; il suo temine in a evidentemente coefficiente positivo a ), quindi il gafico coispondente è quello di una paabola a concavità veso l alto Si veifica facilmente opeando la sostituzione: ) ce l equazione y f ) è y y invaiante pe simmetia ispetto alla etta, ce petanto appesenta l asse di simmetia della paabola, ove quindi si tova il vetice ce è il punto di minimo iciesto, ed è: f ) 7 Il poligono è l unione di n tiangoli isosceli di lato obliquo ed angolo al vetice di ciascuno di questi vale: sin ; l inteo poligono a aea: n sin n n L aea n Il limite: lim n sin con la sostituzione: diventa: n n n sin sin lim sin lim, avendo fatto uso del limite notevole: lim

12 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità 8 I punti distanti più di cm da ciascun vetice si possono evidenziae nel seguente modo: si tacciano le te ciconfeenze di aggio cm centate nei te vetici A, B,C del tiangolo; la egione ce si ottiene eliminando dal tiangolo i te settoi cicolai in esso contenuti è l insieme dei punti distanti più di cm da ciascun vetice La pobabilità ce un punto scelto nel tiangolo cada in questa egione è data dal appoto dell aea della stessa con l aea del tiangolo Indicate con, e le ampiezze dei te angoli e posto cm, la somma dei te settoi cicolai vale: C A B S A S B Inolte è: aea: S S ABC C ) BC / cos, quindi: sin AB AB BC sin 9 cm 4 cos cm 9, ed il tiangolo petanto a S ABC S A SB SC ) La pobabilità iciesta vale: p 9 S ABC 9 Le ipotesi del teoema di Lagange iciedono continuità in, e deivabilità in, Pe la continuità dev essee: lim f ) lim f ) f ) lim lim ), da cui:, il ce è veo pe Pe la deivabilità: Petanto è: lim f ) lim f ) f ) se se lim L ascissa pevista dal teoema è quella pe cui: lim ) f ) f ) f ), dove: da cui: f ) f ) Pendendo la deivata del pimo tatto di funzione, si ottiene: accettabile soltanto la soluzione tova: di cui è ; opeando in modo analogo sul secondo tatto, si, non accettabile in quanto non compesa nell intevallo ],] 4

13 wwwmatematicamenteit Nicola De osa matuità L aea del ettangolo vale ; di questo, la pate compesa ta la cuva assegnata e l asse delle ascisse a aea data da: d ; la imanente pate di ettangolo a dunque aea: 4 4 ed il appoto iciesto vale petanto 7