Il Problema di Keplero

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1 Il Poblema di Kepleo Il poblema di Kepleo nel campo gavitazionale Intoduzione Con Poblema di Kepleo viene indicato il poblema del moto di un copo in un campo di foze centali. Nel caso specifico gavitazionale che tatteemo, abbiamo in paticolae che la foza centale è diettamente popozionale all inveso del quadato della distanza. Gadi di libetà del poblema e invaianti Ipotizzando che il moto avvenga su un piano, abbiamo due gadi di libetà, e necessitiamo quindi di due gandezze invaianti pe isolvee il poblema. Queste due gandezze sono l enegia totale del sistema e il momento angolae (ispetto, pe esempio, al cento del campo di foze). Definiamo oa alcune enegie: En. Potenziale U() = GMm Potenziale Centifugo U cent () = m En. Cinetica Radiale: T() = 1 m L L enegia totale è quindi: Potenziale efficace: U Eff () = U() + U cent () = E = U() + U cent () + T() = L m GMm L m GMm + 1 m Il temine potenziale indica l enegia potenziale del sistema, il potenziale centifugo indica l enegia cinetica dovuta alla componente velocità otogonale al vettoe distanza, l enegia cinetica adiale indica invece l enegia cinetica dovuta all alta componente della velocità, quella paallela al vettoe distanza. Disegniamo oa il gafico del potenziale efficace in funzione di :

2 La funziona ha un asindoto veticale in =0 e un asindoto oizzontale pe infinito. Se disegnassimo sul gafico anche una etta y=e toveemmo che questa può intesecasi con la funzione del potenziale efficace in 0, 1 o punti. Ma quale è il significato fisico di queste intesezioni? Poiché l enegia cinetica adiale è sempe maggioe o uguale a 0, il moto è possibile solo quando la etta y=e sta sopa alla funzione potenziale. Quindi quando non ci sono intesezioni, vuol die che la etta y=e sta sotto alla cuva del potenziale, e quindi il moto non è possibile. Se y=e è tangente alla cuva nel suo punto di minimo vuol die che il moto è possibile solo pe quel deteminato aggio in cui sono tangenti: abbiamo quindi un obita a foma cicolae. Se Y=E inteseca il potenziale in punti di ascissa a e b abbiamo che il moto è possibile pe tutte le distanze compese fa a e b: abbiamo quindi un obita ellittica. Se Y=E inteseca il potenziale in solo punto di ascissa ed è asindoto oizzontale della cuva del potenziale, il moto saà possibile pe tutte le distanze maggioi di vedemo che l obita saà di foma paabolica (pe essee asindoto E=0). Se y=e inteseca il potenziale in un sol punto di ascissa e non è asindoto oizzontale (E>0), il moto saà possibile pe tutti le distanze maggioi di e l obita avà foma ipebolica.

3 Equazioni Polai delle Taiettoie Le obite dei copi possono essee scitte in foma polae nel seguente modo: Dove definiamo l: Ed epsilon (eccenticità dell obita): (θ) = l 1 εcos(θ) L l = GMm ε = 1 + EL G M m 3 1 Obita Cicolae Raggio dell obita Cicolae Il aggio coisponde all ascissa del minimo della funzione potenziale: d U Eff d = GMm c L m c 3 = 0 L c = GMm Momento angolae dell oggetto nel moto su obita Cicolae Si icava dalla fomula pecedente: L = GMm c Enegia del sistema nel moto su obita Cicolae E = U Eff ( c ) = GMm + GMm c c m c Peiodo nel moto su obita Cicolae L = GMm c = (mv c ) v = GM c = GMm c T = π c v = π 3 c GM Che non è alto che l equazione della 3 legge di Kepleo scitta pe le obite cicolai.

4 Equazione Polae dell Obita Cicolae Quindi, come ci aspettavamo: l = c ε = 0 (θ) = c Obita Ellittica Peielio, Afelio e Momento angolae dell oggetto nel moto su obita Ellittica Indichiamo con a il peielio e con b l afelio. E = U Eff (a) = U Eff (b) E + GMm GMm c m = 0 me + GMm L = 0 = GMm ± G M m 4 + mel me a = GMm E G M m 4E + L me L = 1 GMm b = GMm E + G M m 4E + L me a + b = GMm E (b a) = 4 G M m 4E + L me a + b (b a) + G M m 3 GMm L = GMm GMm (b a) (a + b) = (a + b) (a + b) 4ab a + b = ab GMm a + b

5 Potenziale Efficace dell oggetto nel moto su obita Ellittica U Eff () = GMm + GMm Enegia del sistema nel moto su obita Ellittica ab a + b Definendo questa quantità Detta semiasse maggioe dell ellisse. E = U Eff (a) = U Eff (b) = GMm a + b = GMm = GMm a + b m m = a + b Da notae il fatto che l enegia pe l obita ellittica ha la stessa fomula di quella dell obita cicolae se definiamo Nel caso dell obita cicolae. m = c Peiodo nel moto su obita Ellittica E = GMm a + b = GMm + GMm = GM + (a + b) ab (a + b) ab a + b + 1 m (b )( a) = GM (a + b) b T = d = a a b 1 GM (a + b) (b )( a) d = (a + b) GM (b )( a) d T = GM 1 (a + b) a + b ((a )(b ) (a + b) b aactan( (b )( a) b a )) a a b b T = GM lim b E sostituendo a+b con m otteniamo: F(x) lim a F(x) = GM π 4 (a + b)3 + π 4 (a + b)3 = π GM (a + b)3

6 T = 4π GM m 3 Che è nuovamente la 3 legge di Kepleo Equazione Polae dell Obita Ellittica l = ab a + b 1 ab b a ε = 1 4 (a + b) = a + b (θ) = ab (a + b) + (a b)cos(θ) Obita Paabolica Peielio e Momento angolae dell oggetto nel moto su obita Paabolica E = U Eff () = 0 L m GMm = 0 L = GMm Peiodo in cui l oggetto ha distanza <R dal cento del campo di foza nel moto su obita Paabolica 0 = E = GMm + GMm + 1 m = GM 1 = GM 1 Opeiamo oa una sostituzione: R T = d = R 1 GM ( ) d = R GM d x = ; = x + ; = => x = 0; = R => x = R ; d = xdx R T = GM (x + )dx = GM (x + )dx = GM 0 0 R x3 R 3 + x 0

7 T = GM 1 3 (R )3 + (R ) 1 = GM 1 3 d3 + d 1 Se definiamo d: d = R Quindi il tempo che dal punto di minima distanza impiega pe allontanasi dal cento delle foze di una distanza d patendo dal peielio è τ = GM 1 3 d3 + d 1 Equazione Polae dell Obita Paabolica l = (θ) = ε = 1 1 Cos(θ) Obita Ipebolica Peielio e Momento angolae dell oggetto nel moto su obita Ipebolica Pe le alte obite abbiamo due paameti con le quali definiamo bene la situazione fisica (Obita Cicolae: la foma stessa e il aggio dell obita; Obita Ellittica: a e b; Obita Paabolica: nuovamente la foma stessa e il peielio). Pe l obita ipebolica abbiamo un solo paameto di definizione, cioè il peielio. Abbiamo quindi bisogno di definie un alto paameto, in quanto c è più di un obita ipebolica con lo stesso peielio. Intoduciamo quindi il paameto che è un numeo puo tale che: Alloa E = GMm = E = GMm = GMm L ( + )GMm L = ( + )GMm + L m

8 Peiodo in cui l oggetto ha distanza <R dal cento del campo di foza nel moto su obita Ipebolica E = GMm = L m GMm + 1 m = GMm ( + )GMm m = GM + = GM + ( + ) ( + ) R T = d R = GM R d = + ( + ) GM + ( + ) d Stavolta la funzione da integae è molto più complessa dell alta volta, dopo molti passaggi algebici otteniamo: Dove Definendo Alloa il isultato è T = GM x (1 + ) x + Ln x 3 x 1 = 3 x = R + R ( + ) R σ = R + R ( + ) T = 3 GM σ R + (1 + ) + Ln( + R σ) + 1 Ln ( + 1) σ R x x 1 Equazione Polae dell Obita Ipebolica l = ( + ) ε = (1 + + ) 1 = + 1 (θ) = ( + ) 1 ( + 1)Cos(θ)

9 Asindoti dell Obita Ipebolica Li possiamo tovae usando la foma polae e ponendo (θ) = ( + ) 1 ( + 1)Cos(θ) 0 1 ( + 1)Cos(θ) 0 Cos(θ) = θ = ±AcCos Il poblema di Kepleo in alti tipi di campi di foze Possiamo oa passae a esaminae il poblema di Kepleo in due tipi di campi di foze centali più geneali: F A = α F R = β (nella tattazione del poblema indicheemo con una costante geneica, in quanto è ininfluente il valoe di questa costante pe lo svolgimento, basta sapee che è positiva). Vogliamo vedee in quali di questi campi di foze è possibile un moto peiodico senza il peicolo che l oggetto cada sul cento delle foze o vada all infinito. CASO 1 Definiamo nuovamente tutte le enegie: [α 1] En. Potenziale U() = (1 α) α 1 Potenziale Centifugo U cent () = L En. Cinetica Radiale: T() = Potenziale efficace: U Eff () = U() + U cent () = L + (1 α) α 1 Peché l oggetto non cada nel cento delle foze è necessaio che Quindi se vogliamo che non accada mai lim U Eff () > E 0 lim U Eff () = + 0

10 lim U L Eff () = lim = lim (1 α)α 1 0 L + 1 (1 α) α 1 Tale limite tende a + pe E a pe α < 3 α > 3 Mente nel caso α = 3 se l oggetto può cadee sul cento dipende dal valoe delle costanti e dall enegia dell oggetto. Contolliamo oa cosa succede a + pe i soli casi α < 3: lim U Eff () = lim L Che tende a 0 se α > 1. = lim (1 α)α 1 L (1 α) α 1 = lim + 1 (1 α) α 1 Quindi i campi di foze in cui avemo moti simili a quelli nel campo gavitazionale sono quelli con Mente quelli con 1 < α < 3 α < 1 Avanno anche senza una distanza massima e gli oggetti no potanno mai andae all infinito. CASO Possiamo fae un agionamento analogo a pima, ma oa le enegie vengono definite così: [β 1] En. Potenziale U() = (β 1) β 1 Potenziale Centifugo U cent () = L En. Cinetica Radiale: T() = Potenziale efficace: U Eff () = U() + U cent () = L + Peché l oggetto non cada nel cento delle foze è necessaio che Quindi se vogliamo che non accada mai lim U Eff () > E 0 (β 1) β 1

11 Tale limite tende a + pe lim U L Eff () = lim lim U Eff () = + 0 = lim (β 1)β 1 0 β > 1 β < 3 = β L + 1 (β 1) β 1 Quindi se la foza è epulsiva l oggetto non cade mai sul cento, come potevamo aspettaci. Contolliamo oa cosa succede a + : lim U Eff () = lim L = lim (β 1)β = lim (β 1)β 1 + (β 1) β 1 Che tende a se β < 1 e a 0 se β > 1 Quindi in nessuno di questi campi di foze avemo dei moti peiodici, e tutti gli oggetti andanno all infinito in quanto: d U Eff d = d L d L + (β 1) β 1 = β = β < 0, β