Moto di un satellite: problema kepleriano e perturbazioni orbitali Marco Giancola

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1 Maco Giancola Moto di un satellite 1 Moto di un satellite: poblema kepleiano e petubazioni obitali Maco Giancola Si deinisce satellite un qualsiasi oggetto, natuale o atiiciale, obitante attono ad un copo celeste. La stessa Tea è un esempio di satellite, in quanto obita attono al Sole; così come la Luna, che obita attono alla Tea. Il moto dei satelliti atiiciali segue le stesse leggi isiche del moto dei satelliti natuali, con la dieenza peò che mente questi ultimi si muovono su obite elativamente semplici e totalmente pedeteminate, le obite dei satelliti atiiciali possono essee pogettate e sono soggette a contollo ed eventuali mutazioni. Lo Sputnik 1, il 1 satellite atiiciale ( NSSDC, NASA) Consideiamo il moto di un satellite (natuale o atiiciale) di massa m in possimità di un copo celeste di massa M molto maggioe di m, ovveo tale che m sia tascuabile ispetto a M. Supponiamo che il copo celeste sia seico ed omogeneo (oppue a stati seici omogenei), in modo da potelo consideae puntiome (inatti il campo gavitazionale che un tale copo genea è uguale a quello che veebbe geneato da una massa pai a M posta nel cento del globo). Ipotizziamo inolte che sul satellite (il quale, essendo di dimensioni tascuabili ispetto a quelle del copo celeste, può essee consideato anch esso puntiome) agisca esclusivamente l attazione gavitazionale del copo di massa M. In queste ipotesi, studiae il moto del satellite equivale a isolvee il poblema istetto dei due copi, detto anche poblema kepleiano, che è un caso paticolae del poblema dei due copi. La soluzione del poblema dei due copi, che venne posto e isolto da Newton, onisce la posizione e la velocità di due copi, le cui masse sono note, che si muovono sotto l azione della loo mutua oza di attazione gavitazionale, quando sono note le posizioni e le velocità che assumono ad un ceto istante. Tale poblema è d impotanza basilae pe due motivi pincipali: innanzitutto esso è l unico poblema di dinamica gavitazionale del quale si abbia una soluzione completa e geneale; secondaiamente molti poblemi patici iguadanti il moto obitale di un qualsiasi veicolo spaziale possono essee tattati in modo appossimato con il poblema istetto dei due copi. Consideiamo un sistema di ieimento concentico e solidale con il copo celeste di massa M, il cui moto è supposto tale da pote consideae tale sistema ineziale. Sia il aggio vettoe che individua la posizione del copo di massa m nel ieimento scelto (come illustato nel disegno sottostante); indicheemo con ˆ il suo vesoe. 1

2 Maco Giancola Moto di un satellite m M Pe la legge di gavitazione univesale, la oza che agisce sul satellite è F GMm m ˆ ˆ dove = GM, ossia il podotto della costante di gavitazione univesale pe la massa del pianeta, pende il nome di costante gavitazionale planetaia. Dalla omula pecedente e dalla seconda legge della dinamica icaviamo: d F m d ˆ (1) che è la pima equazione ondamentale dell astodinamica. Pe deteminae il moto del satellite, occoe integae la (1) la quale, essendo un equazione vettoiale dieenziale del odine (equivalente quindi ad un sistema di te equazioni scalai dieenziali del odine), necessita di sei condizioni iniziali. Se le condizioni sono note tutte all istante iniziale, ad esempio la velocità iniziale e la posizione iniziale (due condizioni vettoiali equivalenti a sei condizioni scalai), otteniamo un classico poblema di Cauchy, che ammette un unica soluzione. Se invece le condizioni sono note in pate all istante iniziale ed in pate ad un alto istante, otteniamo quello che si chiama poblema di Lambet o poblema dei due punti, il quale non è sempe isolvibile. Pemoltiplicando vettoialmente la (1) pe, otteniamo: d ˆ 0 Inatti il campo gavitazionale è un campo centale: l acceleazione è dietta sempe come il vettoe posizione. Aggiungendo al 1 membo della pecedente equazione il temine

3 Maco Giancola Moto di un satellite 3 d d 0 si ottiene: d d d 0 d d d 0 cos t h (con cos t indichiamo una geneica costante vettoiale). Quindi il momento angolae (pe unità di massa), che abbiamo chiamato h, è un integale pimo del moto del satellite. Il piano del moto è quello individuato, all istante iniziale, dal vettoe posizione e dalla velocità d ; petanto è il piano passante pe il cento del copo celeste ed otogonale ad h. Poiché h è costante (in modulo, diezione e veso), se ne deduce che anche il piano del moto è costante; quindi il moto kepleiano è un moto piano. Si può dimostae che h dove è la velocità angolae con cui il aggio vettoe uota ispetto al ieimento scelto. Quest ultima espessione ci sevià pe icavae un alto integale pimo del moto del satellite. Pemoltiplichiamo vettoialmente la (1) pe h : d h h ˆ ˆ Gazie alla omula di Poisson ˆ dˆ possiamo scivee: d dˆ h dh d Aggiungendo al 1 membo il podotto vettoiale nullo, abbiamo: dh d d dˆ d d dˆ d 1 d h h ˆ h 0 1 d ˆ h cos t e Il vettoe e pende il nome di eccenticità. Oa, gazie ai due integali pimi tovati, siamo in gado di deteminae la geometia della taiettoia del satellite. Moltiplicando scalamente l eccenticità pe il aggio vettoe, otteniamo: 3

4 Maco Giancola Moto di un satellite 4 1 d 1 d 1 d 1 e ˆ h ˆ h ˆ h h h e e ˆ 1 Ponendo: la pecedente equazione diventa: p h p p 1 e ˆ 1 ecos v () h h dove v è l angolo omato da e ed e pende il nome di anomalia vea, mente la costante p si chiama paameto. La () è l equazione paametica di una conica avente uno dei uochi nell oigine del sistema di ieimento concentico e solidale con il copo celeste che genea il campo gavitazionale. La taiettoia di un satellite sul quale agisce l attazione gavitazionale di un unico copo celeste è dunque una conica di cui il cento del globo occupa uno dei uochi. Ricodiamo che l eccenticità e è il paameto geometico che distingue le coniche in ciconeenza (e = 0), ellisse (0 < e < 1), paabola (e = 1) e ipebole (e > 1). Coniche kepleiane Pendiamo oa in esame l enegia associata a tale moto. Moltiplichiamo scalamente l equazione (1) pe la velocità d del satellite: d d d ˆ 4

5 Maco Giancola Moto di un satellite 5 Ponendo: V d il 1 membo dell equazione può essee scitto nel seguente modo: mente il membo è uguale a d 1 d d d 1 d V d dˆ d dˆ d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Petanto abbiamo: 1 d V d d V d d V V 0 cos t E E è l enegia meccanica totale (pe unità di massa) del satellite, pai alla somma dell enegia cinetica e dell enegia potenziale gavitazionale, le quali dipendono ispettivamente dalla velocità e dalla posizione del satellite. L enegia E imane costante duante il moto e petanto, pe il teoema di consevazione dell enegia meccanica, il campo gavitazionale è un campo consevativo. Si può dimostae che E a essendo a la lunghezza del semiasse ocale della conica descitta dal moto dell oggetto obitante, deinita dalla omula p a 1 e Quindi l enegia E dipende da tale semiasse (olte che da ). Osseviamo che, essendo p > 0 (e ovviamente anche > 0), si ha: e a E < 1 > 0 < 0 = 1 = + = 0 > 1 < 0 > 0 Petanto, la conica kepleiana è un ellisse (o una ciconeenza), una paabola o un ipebole a seconda che E sia minoe, uguale o maggioe di zeo. Dalla omula E = -/a e dall equazione dell enegia, ottenuta poc anzi, icaviamo: 5

6 Maco Giancola Moto di un satellite 6 V a da cui si ottiene: V 1 (3) a Se la conica è una ciconeenza (a = ), la (3) diventa: V C 1 e onisce la velocità di un satellite che pecoe un obita cicolae di aggio intono ad un copo celeste il cui cento coincide con quello dell obita. Tale velocità pende il nome di velocità cicolae o pima velocità cosmica. Il limite supeioe delle velocità cicolai è dato dalla velocità (teoica) coispondente ad un obita cicolae a quota zeo ( è uguale al aggio del pianeta), detta pima velocità astonautica, che, nel caso della Tea, è pai a cica 7,9 km/s. Se, invece, la taiettoia è paabolica (a = +), la velocità del satellite è V P lim a 1 a e, a dieenza della velocità cicolae, non è costante, dato che, in questo caso, = (t), ossia non è costante nel tempo. Il valoe che V P assume al peicento è detto velocità paabolica o velocità di uga o anche seconda velocità cosmica, ed è il valoe minimo di velocità necessaio ainché il satellite iesca a sottasi al campo gavitazionale del copo celeste, allontanandosi indeinitamente da esso. La velocità paabolica a quota zeo viene chiamata seconda velocità astonautica e, pe la Tea, è uguale a cica 11, km/s. La etta intesezione del piano dell obita con un piano di ieimento, che solitamente è quello equatoiale, viene chiamata asse nodale o linea dei nodi. I due punti in cui l obita inteseca tale asse vengono detti nodi e si distinguono in: nodo ascendente: il punto in cui il satellite attavesa il piano di ieimento tansitando dall emiseo meidionale a quello settentionale; nodo discendente: il punto in cui il satellite attavesa il piano di ieimento tansitando dall emiseo settentionale a quello meidionale. Intoduciamo oa i seguenti te angoli: 1. i inclinazione dell obita: l angolo omato dai due suddetti piani;. ω (da non conondee con ) agomento del peicento: l angolo individuato dalla linea dei nodi (oientata veso il nodo ascendente) e da e ; 3. Ω ascensione etta del nodo ascendente: l angolo compeso ta la linea dei nodi (oientata veso il nodo ascendente) e la semietta avente oigine nel cento del copo celeste e oientata veso il punto venale (noto anche come 1 punto d Aiete o punto γ, è uno dei due punti equinoziali in cui l equatoe celeste inteseca l eclittica). Questi te angoli, insieme al semiasse maggioe a, l eccenticità e e l anomalia vea v, costituiscono i sei elementi (o paameti) obitali kepleiani, che sono i sei paameti necessai pe deteminae in maniea univoca l obita del satellite. 6

7 Maco Giancola Moto di un satellite 7 Gli elementi obitali kepleiani ( NASA) Noti, ad un geneico istante, gli elementi obitali a, e, i, Ω, ω e v, è possibile deteminae posizione e velocità del satellite in quell istante. Inatti, consideiamo un sistema di ieimento ineziale xyz come quello illustato nella igua pecedente: con l oigine nel cento del pianeta, l asse x dietto veso il punto γ e l asse z coincidente con l asse di otazione del pianeta e oientato veso il polo nod. Si può dimostae che il modulo del aggio vettoe dell oggetto obitante è icavabile dalla seguente omula: a1 ecosactg 1 e v tg 1 e 7

8 Maco Giancola Moto di un satellite 8 e che le componenti di ispetto al suddetto sistema di ieimento sono: x cos cos y sin cos z sinv v sin sinv v cos sinv sin i cos i cos i Obita del telescopio spaziale Hubble ( NASA) Le eali condizioni in cui si svolge il moto di un satellite, sia atiiciale che natuale (quindi ciò vale anche pe i pianeti e alti copi celesti), non sono peò igoosamente quelle postulate nella tattazione del poblema dei due copi, e quindi l obita eettiva di un satellite non è esattamente una conica kepleiana. Ciò è dovuto all esistenza di vai enomeni petubatoi, che, nel caso di oggetti obitanti attono alla Tea, sono: La non seicità e non omogeneità della Tea, che deteminano distosioni del campo gavitazionale teeste. Le oze gavitazionali petubatici geneate dai copi del Sistema Solae (il Sole, la Luna e i pianeti), i cui eetti sul satellite sono invesamente popozionali alla sua distanza dal copo petubante e diettamente popozionali alla massa di tale copo (quindi i più inluenti sono il Sole e la Luna). Il dag atmoseico, ossia l attito povocato dall atmosea (anche negli stati più esteni dove è molto aeatta), che è espesso dalla omula D CDAv, dove C D è il coeiciente di dag, ρ la densità atmoseica, v la velocità del satellite ispetto all atmosea e A l aea della sua sezione tasvesale. Si tatta di una oza avente la stessa diezione di v ma veso opposto: D Dvˆ. Il dag pesenta eetti molto ilevanti alle basse quote (in paticolae, sotto i 1000 km) e detemina una iduzione della velocità del satellite, e conseguentemente una diminuzione dell asse maggioe (e quindi anche della quota), e una cicolaizzazione dell obita. La pessione della adiazione solae, che, nonostante sia pessoché ininitesimale (4,57 milionesimi di pascal), a lungo andae può povocae eetti petubativi (vaiazioni della velocità del satellite e dell eccenticità dell obita) non tascuabili. Essa, inatti, detemina una oza, agente sul veicolo, pai a F = p(1+)s, dove p è la pessione della adiazione solae, S è la supeicie del satellite esposta al Sole e è la ilettanza di tale supeicie (0 1). 8

9 Maco Giancola Moto di un satellite 9 Tali enomeni petubatoi sono appesentabili matematicamente aggiungendo nell equazione (1) delle oze che si sommano vettoialmente alla oza d attazione gavitazionale. Ovveo, l equazione del moto diventa: d ˆ (4) dove con indichiamo la isultante di tutte le oze petubatici. Abbiamo visto che, se il moto avviene in condizioni kepleiane, i vettoi e e h imangono costanti nel tempo. Vediamo oa cosa accade se il moto è petubato. Pemoltiplichiamo vettoialmente l equazione del moto pe : Poiché si ha: d ˆ ˆ 0 d h d d d d d d la pecedente equazione assume la seguente oma: dh Abbiamo così ottenuto la 1 equazione delle petubazioni. Ricaviamoci oa, la velocità angolae con cui il aggio vettoe uota ispetto al ieimento scelto, che nel caso Kepleiano, come abbiamo visto, è pai a h. Consideiamo la omula ondamentale della cinematica: d d ˆ (5) e pemoltiplichiamo vettoialmente entambi i membi pe : d d h ˆ da cui si ottiene: h che, ponendo: 9

10 Maco Giancola Moto di un satellite 10 diventa: h ˆ (6) Riconsideiamo oa l equazione del moto (4) e pemoltiplichiamola vettoialmente pe h : d h h ˆ h (7) Consideando che e che h d d d h dh d (6) h h dˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ (5) dˆ la (7) diventa: d d h dh d dˆ h che si può anche scivee nel seguente modo: d h d 1 dh d 1 ˆ h Ricodando che 1 d e ˆ h otteniamo: de 1 dh d 1 h che è la equazione delle petubazioni. 10

11 Maco Giancola Moto di un satellite 11 I vettoi e e h, come sappiamo, individuano la geometia del moto del satellite, e quindi le due equazioni delle petubazioni ci dicono che, a causa di una oza petubatice, tale geometia vaia nel tempo. Ovviamente la conoscenza delle oze appesentative delle petubazioni obitali è essenziale pe pote conoscee la eale taiettoia dei satelliti. Uno dei pocedimenti utilizzati, noto come metodo delle coodinate, consiste nel omulae, pe ognuna delle suddette oze, un adeguato modello matematico da intodue nell equazione del moto (4), la quale veà poi integata numeicamente. L integazione numeica della (4) consente il calcolo delle coodinate della posizione del satellite a istanti egolamente intevallati, ottenendo in tal modo l eemeide del satellite. Tali coodinate andanno successivamente conontate con quelle ottenute mediante ossevazioni da tea (il cosiddetto tacking), pe pote stabilie se il modello matematico scelto sia soddisacente o vada oppotunamente modiicato. Pe ovviae al poblema appesentato da questi enomeni petubatoi, i satelliti atiiciali hanno in dotazione piccoli populsoi, denominati thuste, tamite i quali compiono peiodicamente delle manove che compensano gli eetti delle petubazioni, impedendo così all obita di deomasi. Pe appoondie Maco Giancola, SATELLITI ARTIFICIALI, e-book 4,99 11