Fisica Generale- Modulo Fisica II Esercitazione 2 Ingegneria Meccanica POTENZIALE ELETTRICO ED ENERGIA POTENZIALE

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1 Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione OTNZIL LTTRICO D NRGI OTNZIL Ba. Una caica elettica mc si tova nell oigine di un asse mente una caica negativa 4 mc si tova nel punto di ascissa m. Sia il punto dell asse dove il campo elettico si annulla e il punto di ascissa positiva dove il potenziale elettico si annulla. Il appoto / vale () /3 (B) / (C) (D) () 3 Soluzione. La situazione dei campi elettici è schematizzata nella figua. desta di (ascisse positive) i due campi ed hanno veso opposto e la loo somma si può annullae. Ta le due caiche, i due campi hanno lo stesso veso e non si possono annullae. sinista di, è sempe maggioe di. uesta discussione consente di pevedee che il punto in cui il campo elettico si annulla dovà avee ascissa positiva e di impostae il poblema eguagliando semplicemente i moduli dei due campi, cioè: 4 ( ) Come stabilito, si considea solo la soluzione positiva m. m / 3 m Imponiamo oa l annullamento del potenziale elettico, possibile in uanto la caica dà sempe un contibuto positivo mente uno negativo. oiché nell espessione del potenziale compae una distanza, in uesto caso espimibile come valoe assoluto di una diffeenza di ascisse, cioè V k e V k possiamo eguagliae i due contibuti al potenziale elevati al uadato ottenendo ( ) ( ) / 3 m 6 / 5 m ottenendo due valoi pe l ascissa di. Come ichiesto dal poblema pendiamo la soluzione positiva ottenendo / 3 Ba. Un dipolo elettico, inizialmente oientato lungo l asse, è costituito da uno ione monovalente positivo, e.6( 9 ) C, e uno negativo alla distanza d/ ϕ d 3( ) m. e ed Il dipolo viene posto in un campo elettico unifome ed e dietto veso la diezione positiva dell asse di modulo ( 5 ) V/m. Se il dipolo può oientasi nel campo elettico la sua enegia potenziale diminuisce di () ed (B) ed (C) ed/ (D) ed/3 () ed/4 Soluzione. In uesto caso il poblema potebbe essee isolto notando che la caica positiva si sposta di d/ nella diezione del campo elettico il uale peciò compie su uesta un lavoo e d/; il campo elettico compie lo stesso lavoo movendo la caica negativa in diezione opposta; il lavoo compiuto da, ed 9.6( 4 ) J, è pai alla pedita di enegia potenziale

2 Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione del dipolo (Soluzione B). iù in geneale, l enegia potenziale del dipolo si può scivee come podotto scalae ta il campo elettico e il momento di dipolo d cambiato di segno: enegia potenziale ed ed cosϕ. Tale enegia è minima uando il campo elettico e il momento di dipolo sono paalleli (ϕ ), massima uando sono antipaalleli (ϕ 8 )e nulla uando sono pependicolai (ϕ 9 ). Ba3. Una molecola tiatomica (ad esempio l idossido di sodio NaOH) è schematizzata come l insieme delle te caiche della figua, consideate puntifomi. Sia 3 e, e,.5 nm, 3. nm; l enegia potenziale totale del sistema è pai a cica (e.6( 9 )C; ev.6( 9 )J) B C () 4 ev (B) 3 ev (C) 4 ev (D) 48 ev () 98 ev Soluzione. Si deve immaginae di costuie la molecola potando in posizione i te ioni dall infinito (dove l enegia potenziale è nulla). Si inizia mettendo in posizione una delle te caiche, ad esempio la caica nel punto, senza compiee lavoo. Si pota uindi la caica in B. L enegia potenziale acuisita dal sistema delle due caiche è uguale al lavoo della foza estena ichiesto pe potae dall infinito al punto B, dove il potenziale V k e / è uello geneato da. Tale lavoo è petanto L p V. Sia V 3 il potenziale dovuto a nel punto C e V 3 il potenziale in C dovuto alla sola caica. Il lavoo della foza estena pe potae la caica 3 dall infinito al punto C è L 3 L 3 3 (V 3 V 3 ). L enegia potenziale totale del sistema è uindi la somma dei lavoi di costuzione della molecola, cioè: 3 3 p V 3V3 3V3 ke ke ke che in uesto caso vale: 9 9 p 9( )(.6) ( ).5( 9 ) 3.5( ( )J 4 ev Il segno negativo dell enegia potenziale, e uindi del lavoo della foza estena, significa che pe disgegae la molecola e ipotae gli ioni a distanza infinita, dove l enegia potenziale è nulla, una foza estena deve compiee un lavoo positivo di 4 ev. Tale lavoo è intepetabile come enegia di legame della molecola, cioè legame p ; tanto maggioe essa è in valoe assoluto, tanto più stabile è la molecola. 9 3 ).( 9 J ) e calcolae più apidamente l enegia potenziale di un sistema di N caiche puntifomi si possono consideae tutte le coppie di caiche senza la necessità di pecisae l odine con cui le caiche sono collocate in posizione e sommae tulle le enegie associate a ciascuna coppia, N i j cioè: p tot ke dove il fattoe tiene conto del fatto che, ad esempio, la i j j ij coppia,3 compae una volta come,3 e una come 3,.

3 Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione Ba4. Calcolae la diffeenza di potenziale ta due punti a distanza R ed R dall asse di un filo infinitamente lungo. L asse del filo coincide con l asse, e sul filo vi è una densità lineae di caica ρ (in C/m). Soluzione. Le supefici euipotenziali sono cilindi che hanno pe asse il filo. La diffeenza di potenziale ta una supeficie cilindica a distanza R e una a distanza R è V ( R) V ( R ) R R ( )d In ualunue punto il campo elettico è dietto nomalmente all asse del filo e il suo modulo è: ρ ( ) πε Sostituendo tale valoe e calcolando l integale pecedente si ottiene: R R ρ d ρ R V ( R) V ( R ) ( )d ln R πε πε R R e R, la diffeenza di potenziale V(R)V(R ) diventa infinita; non ha peciò senso, in uesto caso, assumee come ifeimento il punto all infinito. h Ba5. Un guscio sfeico metallico di aggio esteno pai a 8 cm e aggio inteno pai a cm contiene una sfea metallica di aggio cm. La sfea intena ha una caica di nc mente sul guscio esteno viene posta una caica di 4 nc. Il potenziale elettico nel punto () ad una distanza cm vale () 65 V (B) V (C) 7 V (D) V () 9 V Soluzione. Il potenziale elettico in un punto () è uguale al lavoo del campo pe potae una caica unitaia da () all infinito. Se si suddivide il pecoso in modo oppotuno e cioè da ad, da a B e da B all infinito, si può calcolae il lavoo sommando i contibuti elativi a ciascun tatto. Il campo elettico nella zona da ad è pai a uello di una caica puntifome int posta nel cento; nel guscio da a B in uanto si tatta di un conduttoe; all esteno del guscio(feccia tatteggiata da B all infinito), il campo è pai al campo elettico di una caica puntifome int et posta nel cento. Si ha peciò: int int () V ke d B et.8 d k 65 V. int int e. et.8 B Ba6. Nei dintoni del punto O (oigine degli assi catesiani) dove si annulla, un campo elettico è descitto in ogni punto dalla elazione vettoiale ( ) O con 5 kv/m. Se e sono due punti dell asse delle con ascisse cm ed 3 cm la diffeenza di potenziale V( ) V( ) vale () 6.5 V (B).5 V (C) V (D) 6.5 V ().5 V 3

4 Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione Soluzione La foza elettica in O è di tipo elastico e lungo ualunue diezione ( in paticolae), il potenziale si scive V ( ) d d V ( ) V ( ) ( ) 6.5 V Ba7. Le caiche e e e (e.6( 9 ) C) sono poste nei te vetici di un uadato di lato l ( ) m come in figua. Il potenziale elettico del uato vetice vale: () 7. V (B) 9.3 V (C) 4.65( ) V (D).48 ( ) V ().( ) V e e e. nm Ba8. Se nel punto della figua dell esecizio pecedente si pota una caica e,l enegia potenziale del sistema fomato dalle uatto caiche vale: () 9.3 ev (B) 9.3 ev (C) ev (D) 7. ev () 8.8 ev Ba9. Due potoni (m p.67 ( 7 ) kg,.6( 9 ) C) in un nucleo di nickel sono distanti cica 4( 5 ) m. La loo enegia potenziale vale (in MeV) () 3.9 (B).576 (C).44 (D).36 ().57 Ba. Te elettoni sono collocati ai vetici di un tiangolo euilateo di lato. nm. Il potenziale elettico nel baicento del tiangolo vale ().6 V (B) 37.4 V (C) 43. V (D) 4.9 V () 49.9 V Ba. Una caica è al cento di un guscio sfeico conduttoe il cui aggio inteno vale.55 m e uello esteno.75m. Se il campo elettico alla distanza di m vale in modulo 345 N/C (dietto veso l esteno) il potenziale elettico a.65 m dal cento vale (in V) () (B) 46 (C) 53 (D) 98 () 5 Ba. Un lungo cavo coassiale ha come conduttoe inteno un cilindo di aggio R. cm e come conduttoe esteno un cilindo cavo di aggio inteno R.3 cm ed esteno R 3.5 cm. Il conduttoe inteno pota una caica di densità lineae λ 5( 6 ) C/m mente uello esteno pota una caica di densità λ 5 ( 6 ) C/m. La diffeenza di potenziale ta un punto a distanza d.3 cm dall asse del cavo e un punto sull asse del cavo vale ()98.9 kv (B)6.4 kv (C) (D)3.4 kv () Ba3. Una caica.75 ( 6 ) C è nell oigine di un sistema di ifeimento e una caica 8.6 ( 7 ) C è nel punto di ascissa.75 m. Nel punto dell asse a metà ta le due caiche il potenziale elettico vale ().4 ( 4 ) V (B) V (C) V (D).74 3 V () V Ba4. Due caiche puntifomi 7 C e 7 C sono poste alla distanza di cm. Il modulo del vettoe momento del dipolo vale () 7 Cm (B) 9 Cm (C) 7 Cm (D) 5 Cm () 6 Cm 4

5 Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione Ba5. Il dipolo del poblema pecedente è posto in un campo elettico unifome di modulo ( 5 ) V/m dietto veso la diezione positiva dell asse ed è mantenuto nella diezione che foma un angolo di 3 con l asse. L enegia potenziale del dipolo vale ().73( 4 )J (B) 4 J (C).73( 4 )J (D) 4 J () Ba6. Un dipolo elettico è costituito da uno ione monovalente positivo e.6( 9 ) C, e da uno negativo e alla distanza d m. Il dipolo viene posto in un campo elettico unifome dietto veso la diezione positiva dell asse di modulo ( 5 ) V/m dove si oienta paallelamente al campo. e oientae il dipolo in modo che fomi un angolo di 6 con la diezione positiva dell asse il campo in cui è immeso il dipolo deve compiee un lavoo pai a ().77( 4 )J (B).6( 4 )J (C).77( 4 )J (D) 3.( 4 )J () Ba7. Il potenziale elettico in una egione dello spazio in possimità dell oigine catesiana vaia in funzione della posizione secondo la legge: V ( ) a b c dove le costanti hanno i seguenti valoi: a 3 V, b V/m, c 5 V/m. Il bastoncello B della figua è lungo m e pota ai B suoi estemi due caiche di segno opposto e di uguale valoe assoluto mc. Il punto medio di B è vincolato nel punto di ascissa 5 m dell asse. Il momento ispetto a delle foze elettiche agenti sulle caiche del bastoncello in N m vale () 3.8 (B) 3. (C) 34. (D) 35.7 () 46. Ba8. Con ifeimento al poblema pecedente, se il bastoncello è lasciato libeo di uotae attono al punto fisso e iesce a aggiungee la posizione di euilibio, in tale posizione la isultante delle foze elettiche agenti sul bastoncello vale in modulo () 8.4 N (B) 8. (C) 6. N (D) 5.6 N () 4. N DL OTNZIL LTTROSTTICO L CMO LTTRICO Bb. Te caiche con il segno mostato in figua e con 6 C sono fisse sull asse. La caica centale è a una distanza d m dalle caiche lateali. Un copo puntifome, di caica e massa m libeo di muovesi nomalmente all asse, si tova inizialmente nel punto di odinata m. La caica mobile () si muove veso la caica centale fino a aggiungela. (B) si allontana indefinitamente lungo l asse. (C) sta fema. d (D) si allontana inizialmente dall asse delle ma poi tona nella posizione iniziale compiendo un moto oscillatoio. 5

6 Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione () si avvicina inizialmente all asse delle ma poi tona nella posizione iniziale compiendo un moto oscillatoio. Soluzione. uando la caica è molto vicina all'asse delle (<<d) pevale la epulsione della caica negativa centale; uando è molto lontana (>>d), pevale l attazione essendo complessivamente la caica sull asse positiva. oiché il campo elettico cambia diezione, vi è cetamente un punto lungo l asse delle dove si annulla e in tale punto si ha euilibio. La componente del campo elettico è la deivata, cambiata di segno, ispetto a del potenziale elettico geneato dalle caiche cioè: V p Si ha peciò: d V ( ) d dv d dv d ( d ) d 3/ 3 d / 3 ± d ±.35d / 3 eciò il copo puntifome si allontaneà inizialmente dall asse ; aggiungeà e oltepasseà il punto di euilibio. oiché l enegia potenziale iniziale p V( ) è negativa e l enegia potenziale all infinito è nulla, il copo caico non ha sufficiente enegia pe allontanasi indefinitamente e toneà indieto compiendo un moto oscillatoio non amonico (il potenziale dovebbe pe uesto avee un andamento paabolico). Il poblema si poteva isolvee anche in modo sintetico. Si veifica tacciando i vettoi delle foze sul copo caico mobile geneate dalle caiche fisse; pe d la isultante è dietta veso l'alto. La caica non può peciò stae fema, né può allontanasi indefinitamente peché l enegia potenziale iniziale (immediatamente calcolabile in modo numeico) è minoe di uella all infinito. Bb. Il potenziale elettico lungo la etta a di un piano è descitto dalla funzione ( ) 9 V ( ) ( ) V a a La componente del campo elettico nel punto (, a ) vale (tutte le coodinate sono espesse in meti) ().57 V/m (B).569 V/m (C).6V/m (D) 6.36 V/m () 8. V/m Bb3. Lungo l asse del piano il potenziale elettico è descitto dalla funzione V V ( ) a con V 5 V e a m. La componente del campo elettico nel punto 4 m vale ().45 V/m (B).89 V/m (C).68V/m (D).36 V/m () V/m 6