Lezione 27 - Torsione nelle sezioni circolari ed ellittiche

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1 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche ü [A.a : ultima evisione 7 agosto 11] In questa lezione si applicano i isultati della lezione pecedente allo studio di alcune sezione di foma geometica semplice, a patie dalla sezione cicolae. Pe essa, come accennato nell'intoduzione della lezione pecedente, la teoia di Coulom fonisce isultati coetti, poiche' gli ingobbimenti sono nulli. Si studia poi la sezione ellittica, la cui impotanza deiva sia da motivi stoici che dalla possibilita' di ottenee semplici fomule appossimate e valide pe qualsiasi sezione. La tosione nelle tavi a sezione cicolae Si considei una tave di lunghezza l, a sezione cicolae di aggio R, e si ipotizzi di vole paticolaizzae ad essa i isultati della lezione pecedente. L'oigine del sistema di ifeimento, che finoa e' imasto abitaio, pota' essee convenientemente spostato nel baicento della sezione etta, sicche' una semplice similitudine geometica pemette di scivee (cf. Figua 1): dx 1 dx = x 1 x (1) x R x 1 dn dx dx 1 X Figua 1 - La sezione cicolae e di conseguenza la deivata nomale (cf eqn() della Lezione pecedente) della funzione di tosione dova' essee pai a: Ψ n = x 1 dx dn + x dx 1 dn = ()

2 38 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb La funzione di tosione pota' quindi essee assunta pai ad una qualsiasi costante, e conseguentemente la sezione etta si mantea' piana, l'integale di Diichlet si annulla, e quindi il fattoe di tosione saa' pai ad 1. Le tensioni saanno fonite dalle (3) della Lezione pecedente: σ 13 = x σ 3 = x 1 ed il vettoe t delle tensioni tangenziali ava' intensita' pai a: (3) τ = σ 13 + σ 3 = Ix 1 + x M = = πr Nota - Ed infatti il momento di inezia polae di una sezione cicolae puo' calcolasi come: () = Ix 1 + x π M dx 1 dx = R θ = π R Σ = πr Quindi la tensione tangenziale assume valoe costante su ciascuna ciconfeenza concentica al contono, assumendo il suo valoe massimo sul contono esteno, dove si ha: (5) τ max = R = πr 3 (6) R P σ 3 τ σ 13 X Figua - Lo stato tensionale su una sezione cicolae soggetta a tosione Si considei il geneico punto P, di coodinate Hx 1, x ), e si calcoli il podotto scalae ta il vettoe t = Hs 13, s 3 ) ed il vettoe OP = Hx 1, x ): τ OP = σ 13 x 1 + σ 3 x = (7) Ne segue che il vettoe t dello stato tensionale e' otogonale al vettoe OP, come illustato in Figua.

3 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb 39 Infine, l'angolo specifico di tosione, in base alla (1) della Lezione pecedente, puo' scivesi: θ' = G = GπR (8) à La sezione a coona cicolae Si considei oa una sezione cicolae cava, con aggio esteno R e e aggio inteno R i, illustata in Figua 3. Pe ambedue i contoni vale ancoa la condizione (), e quindi anche in questo caso puo' scegliesi una funzione Y costante. Ne segue che il fattoe di tosione esta unitaio, e che esta valida l'ipotesi di planeita' delle sezioni ette. Le tensioni sono fonite dalle (3), ed il vettoe t ava' intensita': τ = σ 13 + σ 3 = Ix 1 + x M = = aggiungendo il suo valoe massimo sul contono esteno, dove vale: π IR e R i M (9) τ max = R e π IR e R i M (1) R e R i P σ 3 τ σ 13 X Figua 3. La sezione a coona cicolae ed il suo stato tensionale Infine, l'angolo specifico di tosione vale: θ' = G = Gπ IR e R i M (11) La sezione ellittica Nello spiito del metodo semi-inveso si ipotizzi oa che la funzione di tosione Y sia fonito dalla funzione, sicuamente amonica:

4 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb Ψ Hx 1, x L = K x 1 x (1) dove K e' una costante da deteminae. Con questa assunzione, la condizione al contono G fonita dalla (19) della Lezione pecedente pota' essee scitta, utilizzando anche le (3) della stessa Lezione: ed ancoa: HK x x L dx ossia : x 1 dx 1 ds + 1 K 1+K x d ds ed integando, infine: ds HK x 1+ x 1 L dx 1 ds = dx ds = x K 1+K x = (13) (1) (15) (16) x K (17) 1+K x = cost. E' questa un'equazione che deve valee in ciascun punto del contono, e come e' immediato vedee, essa e' l'equazione di una ellisse. Ed infatti, un'ellisse di semiassi a e b ava' equazione, in un ifeimento con oigine nel baicento ed assi coodinati oientati secondo i semiassi, fonita da: x 1 a + x b = 1 e dal paagone ta la (18) e la (17) puo' icavasi la costante K: (18) K = b a a + b (19) Si puo' alloa concludee che la funzione di tosione pe una tave a sezione ellittica, di semiassi a e b, e' fonita da: Ψ Hx 1, x L = b a a + b x 1 x + cost. Si calcoli l'integale di Diichlet, cosi' come definito dalla (35) della pecedente Lezione: DHΨL = Σ b a Ψ x Ψ x 1 x 1 x a + b HI x I x1 L = b a a + b Ne segue che il fattoe di tosione e' pai a: dσ = b a a + b Ix x 1 M da = Σ π ab Ib a M () (1)

5 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb 1 q = DHΨL = πab πab Ia + b M Ia + b M b a a +b π ab Ib a M = Ia + b M a b = 1 come puo' contollasi utilizzando il comando "Simplify" di Mathematica: a b + b a () SimplifyB π a b π a b Ia + b M b a Ia + b M F π a b Ib a M a +b Ia + b M a b Nota - Si voglia calcolae il momento di inezia I, ossia l'integale: I = x 1 dx 1 dx (3) Σ esteso all'aea ellittica S definita dall'equazione (18). A cio' fae si utilizzano le fomule di iduzione, scivendo: I = b b a 1 x ëb dx x 1 dx 1 = a3 b a 1 x ëb 3 1 x b Pe calcolae l'ultimo integale si adotti il cambio di vaiabile: b 3ê dx () η = x b da cui dx = b dh. Inolte gli estemi di integazione diventano -1 ed 1, e quindi infine: (5) I = a3 Del tutto analogamente si ha: I 11 = π b3 a ed anche: 1I1 η M 3ê b dη = a3 b π = π a3 b (6) (7) = I 11 + I = π a3 b + π b3 a = πab Ia + b M L'angolo specifico di tosione e' fonito, secondo la (5) della Lezione pecedente, da: θ' = G Ia + b M π a 3 b 3 come puo' contollasi utilizzando Mathematica: (8) (9) = π a b Ia + b M; q = 1 a b + b a ;

6 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb θ = SimplifyBq G F Ia + b M a 3 b 3 G π ü Lo stato tensionale Lo stato tensionale e' fonito dalle (3) della Lezione pecedente. Si ha: σ 13 = σ 3 = a b 3 π x = Σ b x a 3 b π x 1 = Σ a x 1 con S = p ab aea dell'ellisse. La tensione tangenziale isultante ava' isultante: (3) τ = σ 13 +σ 3 = Σ x 1 a + x b E' possibile contollae le semplificazioni attaveso le semplici linee seguenti: (31) Ψ = b a x a + b 1 x ; = π a b Ia + b M; q = 1 a b + b a ; σ 13 = SimplifyB q x a b 3 π H x + D@Ψ, x 1 DLF σ 3 = SimplifyBq x 1 a 3 b π Si puo' dimostae la seguente: Hx 1 + D@Ψ, x DLF Poposizione - Sia P = Hx P1, x P L un punto della sezione ellittica di equazione: f Hx 1, x L = x 1 a + x b 1 = (3) e sia AB il diameto contenente P. Sia n = Hn 1, n L la nomale al contono in A. Il vettoe t delle tensioni tangenziali in P e' dietto secondo la tangente t al contono in A, come illustato in Figua 5. Dim. Basta dimostae che il podotto scalae ta il vettoe t delle tensioni tangenziali, valutato in P, ed il vettoe n della nomale al contono in A e' nullo. Si ha alloa:

7 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb 3 B b A P τ b n t a a X Figua. L'andamento della tensione tangenziale τ n = σ 13 Hx P1, x P L n 1 + σ 13 Hx P1, x P L n (33) E' d'alto canto noto che i coseni diettoi della nomale n al contono in A sono popozionali alle deivate della funzione fhx 1, x ) in A, e quindi: n 1 = k f x 1 n = k f x e quindi la (33) diviene: A A = k x A1 a = k x A b (3) τ n = e poiche' (cf. Figua 5): si ha l'asseto. x P1 x P = x A1 x A a b 3 π x P k x A1 a + a 3 b π x 1 k x A b (35) (36) Su tutti i punti del geneico diameto AB, quindi, il vettoe t delle tensioni tangenziali e' dietto secondo la tangente al contono in A, o in B, ed ha andamento lineae lungo il diameto, annullandosi nel baicento O, come schematizzato in Figua 6. Il valo massimo - elativamente al geneico diameto AB, si attinge agli estemi del diameto stesso, ossia in A ed in B.

8 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb B x P x A P x 1 P A x 1 A X Figua 5. Similitudine geometica pe dimostae la (36) Ne segue ancoa che la tensione tangenziale massima si ha agli estemi del diameto minoe. Assumendo ad esempio che sia a > b si ha, dalla (31): τ max = Σ a + b b = Σb = πab (37) B A n t X Figua 6 - Lo stato tensionale lungo il geneico diameto ü Gli spostamenti da ingobbimento La (5) della Lezione pecedente poge i seguenti spostamenti da ingobbimento: u 3 = q G Ψ Hx 1, x L = b a π a 3 b 3 π G x 1 x e quindi la sezione etta di equazione x 3 = k si tamuta nella supeficie di equazione: (38)

9 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb 5 x 3 ' = k + b a π a 3 b 3 π G x 1 x k + b a π a 3 b 3 π G x 1 ' x ' = k σ x 1 ' x ' dove s e' una costante positiva pe a > b. E' questa la supeficie di un paaboloide ipebolico, le cui cuve di livello sono ipotate in Figua 7. In pesenza di un momento tocente positivo, e nell'ipotesi in cui a > b, gli spostamenti u 3 sono positivi nei quadanti in cui x 1 ed x sono di segno diveso, negativi altove. Figua 7 - Gli spostamenti da ingobbimento della sezione ellittica à Alcune consideazioni patiche Patendo dall'espessione (9) dell'angolo specifico di tosione, che qui si iscive: θ' = G Ia + b M π a 3 b 3 e icodando che l'aea dell'ellisse e' pai ad A = pab ed il momento polae = π a b iscivee la () come: θ' = π A G da cui subito pota' scivesi l'espessione della igidita' tosionale della sezione ellittica: C t = θ' = 1 π GA.53 GA La fomula () puo' essee genealizzata ad alte fome di sezione etta, scivendo: () Ia + b M, si pota' (1) () C t = k GA (3)

10 6 Lezione 7 - Tosione nelle sezioni cicolai ed ellittiche.nb ed il coefficiente numeico k vaia, pe le pincipali sezione compatti, in un intevallo abbastanza limitato. Secondo De Saint-Venant, infatti [Su une fomule donnant appoximativement le moment de tosion, Comptes Rendus, 88, 1-17 (1879)] si ha:.8 k.6 e quindi puo' accettasi la fomula appossimata, valida pe tutte le sezioni compatte: () C t =.5 GA Analogamente, moltiplicando e dividendo la (1) pe il momento di inezia, si ha: θ' = π A G = q G da cui subito l'espessione del fattoe di tosione pe la sezione ellitica: (5) (6) I q = π p (7) A Nello stesso odine di idee che ha condotto alla fomula appossimata (5), pota' accettasi la fomula appossimata del fattoe di tosione, valida pe qualsiasi sezione compatta: q = A (8) Gafici

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