Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Esame di Meccanica Razionale Appello del 5 settembre 2002 Soluzioni

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1 Univesità di Pavia Facoltà di Ingegneia Esame di Meccanica Razionale Appello del 5 settembe 2002 Soluzioni D1. Una lamina quadata omogenea Q di massa 2m e lato di lunghezza l viene divisa in due lungo una diagonale ed i tiangoli così ottenuti vengono disposti in modo da fomae un tiangolo T. Detti I (Q) ed I (T ) i ispettivi momenti di inezia ispetto ad un asse passante pe e dietto lungo e z, quanto vale la diffeenza := I (Q) I (T )? Q e y T e x Il momento centale di inezia di Q ispetto ad un asse dietto lungo e z IC z = ml2 e dunque, gazie gazie al teoema di Huygens-Steine, è I (Q) = I z C + ml 2 = 4ml2. Quanto a T, esso equivale a metà di un quadato Q di lato l 2, massa 4m, avente come cento di massa. Dunque I (T ) = 1 2 I (Q ) = 2 ml2 e = 2 ml2. D2. In un piano, un asta omogenea di lunghezza l e massa 2m ha il cento vincolato a muovesi lungo una etta. Sull asta scoe un punto mateiale P di massa 2m. Calcolae l enegia cinetica del sistema in funzione delle coodinate lagangiane x, s e ϑ indicate in Figua. 1

2 x s P ϑ L enegia cinetica consta di due contibuti, uno dovuto all asta, l alto al punto mateiale P. Pe il pimo è sufficiente applicae il teoema di König pe ottenee T a = mẋ 2 + m 12 l2 ϑ2. Pe icavae il contibuto di P è sufficiente deivae ispetto al tempo il suo vettoe posizione (x + s cos ϑ)e x + s sin ϑe y pe avee l espessione della velocità e quindi isalie a v = [ẋ + ṡ cos ϑ s ϑ sin ϑ]e x + [ṡ sin ϑ + s ϑ sin ϑ]e y T P = mv 2 P = m[ẋ2 + ṡ 2 + s 2 ϑ2 + 2ẋ(ṡ cos ϑ s ϑ sin ϑ)]. In conclusione, l enegia cinetica complessiva è T = m[2ẋ 2 + ṡ (1 6 l2 + s 2 ) ϑ 2 + 2ẋ(ṡ cos ϑ s ϑ sin ϑ)]. D. Tovae la tosione τ della cuva P = t 2 e x + t(t 2 1)e y 2(t + 2 sinh t)e z nell oigine. La tosione τ della cuva si icava dalla fomula Nel nosto caso, in t = 0 abbiamo τ = P P P P P 2. P (0) = e y 4e z P (0) = 2e x P (0) = 6e y 16e z da cui icaviamo che P (0) P (0) = 2(e z 4e y ) e dunque τ(0) = D4. Si considei il seguente sistema di vettoi applicati: 2

3 v 1 = e x + 4e y applicato in P 1 (2, 0), v 2 = e x + 2e y applicato in P 2 (0, 1), v = βe x e y applicato in P (0, ). Tovae pe quale valoe di β l asse centale ha la diezione della etta y = x. Il isultante del sistema è R = (β 2)e x + 5e y ; poiché l asse centale ha la diezione di R e vogliamo che sia anche paallelo alla etta y = x, dobbiamo impoe che cioè β = 7. β 2 = 5, E1. In un piano veticale, un disco omogeneo di massa m e aggio è sospeso in un punto posto sulla sua peifeia tamite una ceniea fissa; un punto mateiale di massa m è vincolato a muovesi lungo una scanalatua diametale dello stesso disco, passante pe P, ed è attatto veso il cento del disco da una molla di costante elastica k = mg e lunghezza a iposo nulla. Deteminae la massima fequenza delle piccole oscillazioni in un intono della configuazione di equilibio stabile. g C P ccoono due coodinate lagangiane pe individuae la posizione del sistema: ad esempio, l angolo ϑ che il aggio C foma con la veticale e l ascissa s di P lungo il diameto su cui è vincolato, valutata patendo da C e itenuta positiva quando C è ta P ed. In questo modo, l enegia potenziale delle foze attive, tutte consevative, è V = mg cos ϑ mg( + s) cos ϑ + mg 2 s2 e le posizioni di equilibio si icavano isolvendo il sistema { Vs = mg cos ϑ + mgs = 0 V ϑ = mg[2 + s] sin ϑ = 0.

4 Visto che s [, ], la seconda equazione ha come soluzioni accettabili quelle tali che sin ϑ = 0, cioè ϑ = 0 oppue ϑ = π cui coispondono, ispettivamente, i valoi s = ±. La matice hessiana di V ha elementi V ss = mg V sϑ = mg sin ϑ V ϑϑ = mg(2 + s) cos ϑ da cui si desume che solo ϑ = 0, s = è stabile e = ( mg 0 7mg 0 L enegia cinetica del disco è T d = m 4 2 ϑ 2 mente quella T P del punto mateiale P si icava seguendo un pocedimento analogo a quello seguito nella domanda D2: T P = m 2 [( + s)2 ϑ2 + ṡ 2 ] pe cui, in definitiva T == m 4 2 ϑ2 + m 2 [( + s)2 ϑ2 + ṡ 2 ] e la foma quadatica A in coispondenza della configuazione di equilibio diventa ( ) m 0 A = m ( ). Sia A che sono diagonali ed il calcolo delle fequenze delle piccole oscillazioni isulta immediato g 42g ω 1 = ω 2 = 59 : g la massima fequenza è ω 1 =. ) E2. Una vega euleiana ettilinea di lunghezza l è caicata da una distibuzione unifome di foze con densità lineae 2pe y. L estemo è incastato, mente nell estemo è applicata una coppia concentata di momento pl 2 e z. Se la igidezza flessionale della vega (coefficiente di popozionalità ta cuvatua e momento flettente) è A = pl, qual è il pofilo di equilibio della vega, nell ipotesi di piccole deflessioni dalla configuazione indefomata? Sia s l ascissa cuvilinea della vega, misuata patendo da. Il vesoe tangente t si espime come t = cos ϑ(s)e x sin ϑ(s)e y = x (s)e x + y (s)e y, (1) 4

5 dove le coodinate (x, y) sono ifeite al punto, come indicato nella seconda figua, mente un apice indica la deivazione ispetto ad s. Le equazioni di equilibio pe la vega sono { Φ + f = 0 Γ + t Φ + g = 0 dove Φ è lo sfozo inteno all asta e Γ il momento flettente, mente f è la densità di caico distibuita e g la densità di coppia distibuita. L ipotesi di vega euleiana si taduce nella elazione Γ = Acb (2) che lega il momento flettente alla cuvatua c = ϑ della vega. Nel caso in esame dove b = e z, f = 2pe y e g = 0, le equazioni di equilibio sono { Φ = 2pe y Aϑ e z + t Φ = 0. Ricoiamo subito all ipotesi di piccole deflessioni dalla configuazione indefomata imponendo ϑ(s) 1. Riscivendo (1) nell appossimazione adottata, abbiamo x (s) = 1 e y (s) = ϑ(s). Integando x (s) = 1 otteniamo x = s: possiamo cioè confondee l ascissa cuvilinea s con la vaiabile x e le deivate ispetto ad s con quelle ispetto ad x. Dalla pima equazione di equilibio segue Φ(x) = 2pxe y + k, con k vettoe costante. Poiché l estemo non è soggetto ad un caico concentato abbiamo Φ(l) = 0 e dunque Φ(x) = 2p(x l)e y, che, sostituito nella seconda equazione di equilibio dà Aϑ + 2p(x l) = 0 ovveo, consideando il legame ta ϑ ed y pl y (x) + 2p(x l) = 0. Integiamo oa te volte quest equazione, indicando con a 1, a 2 ed a le costanti di integazioni ottenute nei singoli passaggi; abbiamo y(x) = 2 l [x4 24 lx 6 ] + a 1x 2 + a 2 x + a. 5

6 e y e x ϑ t Pe deteminae le costanti di integazione, seviamoci delle condizioni al contono. In deve essee y(0) = 0 ed y (0) = ϑ (0) = 0, dal momento che l asta pate con tangente oizzontale: dunque, abbiamo a = 0 ed a 2 = 0. Infine, in è applicata una coppia concentata pe cui Γ(l) = pl 2 e z o, sevendoci dell ipotesi costitutiva (2), y (l) = ϑ (l) = l e così abbiamo a 1 = 2 l e l equazione catesiana del pofilo dell asta è ( x ) ] 2 y(x) = l [ x2 l 12 + lx 2. E. Un asta igida A di lunghezza l e massa tascuabile è inclinata sulla veticale di un angolo α tale che cos α = 5. L asta è vincolata nell estemo A da una ceniea cilindica e in da un caello bilateo e su di essa agisce una coppia di momento 2ple z. Deteminae il valoe assoluto dello sfozo assiale N nel punto medio di A. A α Posto Φ = Φ e y, l equilibio dei momenti in A impone Φ = 2p sin α = 5p 2. Se l asta viene spezzata nel punto medio C e si ichiede l equilibio delle foze agenti su C, si ottiene T = 5p 2 e y 6

7 dove T è lo sfozo inteno in C. Poiettando lungo la tangente all asta icaviamo N = 2 p. E4. In un piano veticale, un asta di massa m e lunghezza l ha un estemo incenieato sul pianale di un caello, e l alto estemo A appoggiato a una paete veticale di quest ultimo, in modo che l angolo fa l asta e l oizzontale sia ϑ = π 6. A patie da un dato istante, il caello inizia a muovesi di moto amonico x(t) = αl cos ωt. Qual è il valoe limite di α compatibile con il contatto dell asta in A duante un oscillazione completa del caello? A g ϑ Poniamoci nel sistema di ifeimento che tasla con il caello. Il contatto dell asta con la paete veticale è gaantito finché la eazione vincolae Φ A = Φ A e x è tale che Φ A 0. La pesenza del contatto consente di studiae il poblema con i metodi della statica elativa, aggiungendo alle foze vincolai ed al peso, la foza fittizia f a = mẍ, applicata nel cento di massa dell asta. L equilibio dei momenti ispetto al polo impone Φ A 2 + mg + mẍ 4 4 = 0 e la condizione Φ A 0 diventa che è veificata t a patto di scegliee g ω 2 αl cos ωt α g ω 2 l. Il massimo valoe di α compatibile con il contatto duante l intea oscillazione del caello è α = g ω 2 l. 7