CENNI DI CINEMATICA CAPITOLO 2

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1 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti CENNI DI CINEMATICA.1 GENERALITÀ La cinematica studia il moto dei copi in elazione allo spazio ed al tempo indipendentemente dalle cause che lo poducono. Un copo si muove quando la sua posizione elativa ad un punto di ifeimento fisso vaia nel tempo. Si considei un copo, supposto puntifome (punto mateiale), che si sposta nello spazio ispetto ad un sistema di coodinate catesiane, secondo la cuva appesentata in figua (taiettoia). Il copo si tovi nel punto A in un ceto istante τ 1, la sua posizione è individuata dal vettoe 1 = OA. All'istante τ il copo si tova in B, dopo ave pecoso la taiettoia appesentata in figua. La sua posizione è oa individuata dal vettoe = OB. Lo spostamento del copo = AB è evidentemente pai a OB OA, ed è definito da: un valoe numeico popozionale alla lunghezza del segmento AB; una diezione coincidente con la etta a cui appatiene il segmento AB; un veso (da A a B). Lo spazio pecoso isulta pai alla lunghezza dell'aco di taiettoia compeso ta A e B.. VELOCITÀ La velocità di un copo è definita come la vaiazione della sua posizione nel tempo: consideando il vettoe spostamento AB, si definisce come velocità media del copo ta A e B il seguente appoto: w m = AB τ

2 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti dove τ = τ - τ1 appesenta l' intevallo di tempo impiegato pe andae da A a B. La velocità così definita coisponde alla velocità media tenuta nell'inteo pecoso ta A e B, in quanto essa non tiene in alcun conto le eventuali vaiazioni di velocità che si possono essee veificate nel pecoso stesso. La velocità è una gandezza vettoiale (appoto di un vettoe pe uno scalae) caatteizzata da: modulo: pai alla lunghezza dello spostamento AB diviso l intevallo di tempo; diezione: uguale a quella del vettoe AB; veso: da A a B. La velocità è dimensionalmente espessa come una lunghezza diviso un tempo; se si espime la lunghezza in meti ed il tempo in secondi (sistema S.I.), l'unità di misua della velocità è il meto al secondo [m/s]. Si consideino oa, in ifeimento alla figua a fianco, le posizioni intemedie del copo sull taiettoia B1, B,.., Bn sempe più possime ad A.. Si ossevi come i coispondenti vettoi ABn tendano ad assumee la diezione della tangente alla taiettoia nel punto A pe B A o (lo stesso pe τ ). Si definisce quindi come velocità istantanea w su una taiettoia qualsiasi: AB ds w = lim = τ τ dτ dove ds appesenta lo spazio infinitesimo pecoso nell' istante dτ. Si noti che la diezione di w saà eguale a quella della tangente alla taiettoia nel punto A; il veso saà quello secondo il quale la taiettoia è pecosa..3 ACCELERAZIONE Quando la velocità di un copo vaia in modulo o in diezione, o veso, si ha un'acceleazione. L'acceleazione media di un copo che si muove da A a B con velocità iniziale w 1 in A e w in B (ispettivamente al tempo τ1 e τ) appesenta la apidità di vaiazione della velocità nel tempo e può essee espessa nel modo seguente:

3 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti a m = w w1 w = τ τ τ 1 Anche l' acceleazione, come la velocità, è un vettoe e la sua diezione è uguale a quella di w. L' acceleazione è dimensionalmente espessa come una velocità diviso un tempo; in unità S.I. l'unità di misua dell'acceleazione è il meto al secondo quadato [m/s] che coisponde all'acceleazione media di un copo che vaia la sua velocità di un meto al secondo nell'intevallo di tempo di un secondo. L'acceleazione istantanea è definita come la vaiazione di velocità ta due istanti molto vicini, e quindi: w dw a = lim = τ τ dτ.4 MOTO RETTILINEO UNIFORME Sulla base delle pecedenti definizioni, si può ossevae che nel caso di moto su una taiettoia cuva, si veifica sempe una vaiazione di velocità, anche se il modulo di essa imane costante; ciò in quanto il vettoe velocità cambia continuamente in diezione. Il solo moto in cui non si ha vaiazione di velocità, nè in modulo, nè in diezione e veso è detto moto ettilineo unifome. Esso è un caso paticolae del moto ettilineo vaio, che è caatteizzato da velocità divese ad istanti di tempo divesi. Nel moto ettilineo unifome, qualunque sia l'intevallo di tempo elativamente al quale si valuta la velocità media, questa isulta sempe costante e pai alla velocità istantanea. s ds Consideando solo i moduli si può scivee: w = wm = = τ dτ integando nell' intevallo x1 - xo = s (w = cost) l'espessione ds = w dτ isulta: x x 1 τ ds = w dτ si ottiene: x1 - xo = s = w (τ1 - τ) posto τo = (istante iniziale) e τ1= τ si può scivee anche: s = w τ τ 1.5 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

4 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti Un alto caso paticolae di moto ettilineo vaio è appesentato dal moto in cui la vaiazione della velocità nel tempo è unifome; in questo caso si dice che il moto è unifomemente acceleato. Risulta quindi costante il appoto: l'acceleazione istantanea è anch'essa costante: ed ha la stessa diezione di w. w a m = = cos t. τ dw a = = cos t. dτ dw Consideando solo i moduli isulta: a = a dτ = dw d τ ed integando ta τo= e τ1 = τ e le coispondenti velocità wo e w, si ha: Lo spazio pecoso s è espimibile come: a τ w τ = d w dw a τ = w - wo s = x - xo = wm τ ove con wm si è indicata la velocità media del moto: Si può scivee, alloa: e poichè la velocità istantanea è: wm= (w + wo) / s = τ wm = τ (w + wo)/ w = wo + a τ isulta: w + aτ + w 1 s = τ = wτ+ aτ e cioè lo spazio pecoso è una funzione di wo, a, τ : s = f (wo, a, τ) Sostituendo nell' espessione τ = (w - wo)/a si ottiene anche: s = 1 ( ) a w w w = wo + a s che espime la velocità w del punto mateiale come w = f (wo, a, s). Un esempio di moto unifomemente acceleato è appesentato dalla caduta libea di un oggetto almeno fino a quando sono tascuabili gli effetti dovuti alla esistenza dell'aia.

5 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti Sulla supeficie teeste l'acceleazione di un copo che cada libeamente isulta pessochè costante; questa acceleazione è detta acceleazione di gavità e viene usualmente indicata con il simbolo "g" che assume un valoe numeico (modulo) pai a: g = 9.81 m/s. ESEMPIO Un oggetto viene lasciato cadee dal tetto di un palazzo. Se la duata della sua caduta è pai a te secondi, si valuti l'altezza del palazzo e la velocità finale dell'oggetto espessa in km/h. Soluzione Ponendo l'oigine dell'asse x coincidente con il tetto dell'edificio, l'altezza h del palazzo coincide con lo spazio pecoso nel tempo τ = 3 s ; si ha quindi: h = w τ + gτ = gτ = 9.81 (3) = 44 essendo la velocità iniziale wo = Pe valutae la velocità finale si può utilizzae l espessione: w = w + gτ = gτ = = 9.4 (m / s) (m) icodando che: 1 (km) = 1 (m) => 1 m = 1-3 (km) 1 ( h) = 36 (s) => 1 (s) = 1/36 (h) isulta: 3 1 km w = 9.4 = /36 h (km/h) Acceleazione su taiettoia cuvilinea Se un copo si muove su taiettoia cuvilinea, la velocità cambia continuamente diezione e quindi, consideando il vettoe w, questo non imaà costante, e di conseguenza neppue l'acceleazione. Anche nel caso che la velocità si mantenga costante in modulo, non si può affemae che il vettoe velocità sia costante. Si ha quindi comunque un'acceleazione, già definita come vaiazione nel tempo del vettoe velocità, che, dalla definizione, saà dietta come w. Si può quindi ealizzae la situazione ipotata in figua ove l'acceleazione a isulta oientata in una diezione che non coincide con la diezione della taiettoia.

6 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti Moto cicolae unifome Una paticolae taiettoia cuvilinea è quella cicolae; se si considea il moto di un copo in movimento con velocità unifome su una taiettoia cicolae (vedi figua) si avà comunque un'acceleazione dovuta alla vaiazione della diezione della velocità. Pe tovae la diezione del vettoe acceleazione si icoda che: w dw a = lim = τ τ dτ Come si può facilmente ossevae in figua pe τ il vettoe w dw e cioè tende a essee pependicolae al vettoe velocità w che è tangente alla taiettoia. Consideando infatti, in ifeimento alla figua, intevalli τ pogessivamente minoi, si ha che il coispondente vettoe w tende ad oientasi veso il cento della ciconfeenza e quindi in una diezione pependicolae alla taiettoia. Poichè il vettoe acceleazione è caatteizzato dalla stessa diezione e veso (veso il cento), si usa palae in questi casi di acceleazione centipeta. Il modulo di a può essee valutato facilmente in ifeimento alle figue. Nel punto 1, all'istante τ1, la velocità è appesentata da w 1, all'istante τ, è w. Il copo ha pecoso una distanza s sulla ciconfeenza maggioe del segmento z.

7 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti Poichè il modulo dei vettoi velocità è unifome il tiangolo fomato dai due aggi R e da z è simile al tiangolo fomato da w 1, w e w. z w Risulta quindi: = w = w z R w R w w z w z Il modulo dell' acceleazione è: a = lim = lim = lim τ τ τ R τ R τ τ e poichè pe τ il segmento z tende all'aco s, isulta: w z w s w a = lim = lim = R τ τ R τ τ R Pe descivee il moto cicolae unifome sono fequentemente utilizzate espessioni della velocità e dell'acceleazione in funzione dell'angolo"spazzato" dal punto mateiale sulla ciconfeenza. Consideando un punto di patenza O sulla ciconfeenza, (oigine) la posizione angolae del punto P ispetto a tale punto sia, ad esempio, definita dal valoe dell' angolo. In geneale, si misua l'angolo α in adianti e cioè come appoto, adimensionale, ta l'aco x ed il aggio R: isulta, quindi, α = x/r. L'angolo α' che coisponde ad un aco pai all'intea ciconfeenza, e cioè l'angolo gio, vale: α' = πr/r = π ad Si considei oa un copo in moto lungo la taiettoia cicolae il quale occupi all'istante τo la posizione angolae αo e all'istante τ1 la posizione α1. Si può definie una velocità angolae media ωm: α1 α α ωm = = [1/s] oppue [ad/s] τ τ τ 1 Supponiamo di consideae un moto cicolae unifome e cioè ω = cost. Se conveniamo di misuae gli angoli e i tempi a patie da αo= e τo= si può scivee: ω = α α τ τ α = τ [ad/s] e quindi, indicando con T il tempo necessaio pe compiee un gio completo '= ω = α'/t =π/t

8 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti Il tempo T è definito peiodo del moto; si definisce inolte la fequenza f del moto (numeo di gii nell'unità di tempo) come l'inveso del peiodo: f = 1/T. Se un oggetto si muove con velocità angolae unifome lungo una taiettoia cicolae, il modulo della velocità lineae w è espimibile nel modo seguente: πr w = = ωr [m/s] π / ω Mente pe il modulo dell' acceleazione, isulta: w ω R a = = = ω R [m/s] R R ESEMPIO Un oggetto si muove con velocità lineae costante pai ad 8 (km/h) lungo una pista cicolae di km di diameto. Deteminae la velocità angolae ed il peiodo del moto. Soluzione Tasfomando pe pima cosa i dati nel sistema S.I. si ha: w = 8 km/h = 8 1/36 (m/s) =. (m/s) R = 1 km = 1 m La velocità angolae ω ed il peiodo del moto T, isultano: w. m / s ω = = =. 1/s oppue ad/s T = π/ω = 83 (s) R 1m In geneale, se si considea un moto cuvilineo in cui la velocità imane costante in modulo, a è sempe pependicolae a w e dietta veso l'inteno della taiettoia. Nel caso di moto cicolae unifome, come già visto, il modulo di a è costante, mente in geneale questo non si veifica più nel caso di un geneico moto cuvilineo con velocità lineae unifome (w = cost). In questo caso infatti il modulo di a vaia, isultando minoe nei tatti a minoe aggio di cuvatua e maggioe nel caso opposto, come appesentato in figua.

9 Coso di Fisica Tecnica a.a. 1/11 - Docente: Pof. Calo Isetti In geneale, pe un moto cuvilineo qualuque con velocità lineae vaiabile l'acceleazione potà essee sempe scomposta in due componenti: una tangenziale ed una adiale (o nomale) dietta secondo il aggio di cuvatua della taiettoia; la pima è legata alla vaiazione del modulo della velocità lineae (sulla taiettoia), la seconda è legata alla vaiazione della diezione della velocità stessa.