ESERCIZIO 1. a) si verifichi che il corpo m non si muove. Si determini la forza di attrito statico F r as

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1 ESERCIZIO Un copo di massa m e dimensioni tascuabili si tova inizialmente femo su un piano oizzontale scabo. I coefficienti di attito statico e dinamico ta il copo m e il piano sono ispettivamente μs μd. Ad un ceto istante, sul copo inizia ad agie una foza estena inclinata di un angolo θ ispetto alla veticale e in modulo pai a F. Sia F =F: a) si veifichi che il copo m non si muove. Si detemini la foza di attito statico F as agente sul copo m nel sistema di ifeimento appesentato in figua. Se invece F = F, si osseva che il copo si mette in movimento. In questo caso: b) si detemini il modulo a dell acceleazione del copo m sul piano. Dopo ave pecoso una distanza L, il copo m inconta una molla in condizioni di iposo. Duante la compessione della molla, la foza F continua ad agie e il copo m si fema dopo ave pecoso un ulteioe distanza Δ. c) Si detemini il valoe k della costante elastica della molla. e DATI NUMERICI COMPITO A: m=4g μs=.5 μd=.4 θ=75 F=N COMPITO B: m=8g μs=. μd=. θ=7 F=N COMPITO C: m=7g μs=.3 μd=. θ=65 F=N COMPITO D: m=6g μs=.5 μd=.4 θ=65 F=N F=.5N L=.5m Δ=7cm F=N L=.5m Δ=8cm F=3N L=.5m Δ=5cm F=4N L=.6m Δ=6cm SOLUZIONI N Diagamma delle foze (nelle condizioni iniziali). N.b. Fa indica il modulo della foza di attito statico o la foza di attito dinamico a seconda delle divese situazioni ichieste nel poblema. Fa θ F mg a) Il testo dice che il copo è femo. Fa in questo caso appesenta quindi il modulo della foza di attito statico. Impostiamo la II legge della dinamica in diezione e in diezione y pe il copo m (indichiamo con Fas il modulo della foza di attito statico e con g il modulo dell acceleazione di gavità): COMPITO A pagina

2 I: II legge dinamica lungo y: N + Fcosθ mg = II: II legge dinamica lungo : Fsenθ Fas = Si icava quindi immediatamente che: Fas = Fsen(θ), da cui si icava nel sistema di ifeimento assegnato: a) Fas = Fsen( θ) û. Con i dati assegnati si veifica che Fas μsn = μs(mg Fcos(θ)). b) Il testo dichiaa che nelle condizioni assegnate il copo è in movimento. F a in questo caso è la foza di attito dinamico. Indicando con Fad il modulo della foza di attito dinamico, la II legge della dinamica si iscive come: I-b: II legge dinamica lungo y: N + Fcosθ mg = II-b: II legge dinamica lungo : Fsenθ Fad = ma Ricodando che Fad = μdn e icavando N da I-b: N = mg Fcos(θ), inseendo in II si icava: b) a = m F (senθ + μdcosθ) μdg c) Facciamo consideazioni enegetiche. Lungo il moto agiscono la foza estena F, la foza di attito dinamico F ad, la nomale N, la foza peso m g (queste 4 foze agiscono lungo tutto il pecoso da = a f = D+Δ) e la foza elastica F el (agente solo fa L e L+Δ). Pe il teoema dell'enegia cinetica vale quindi: ΔK=WF+WFad+WN+Wmg+WFel. Ricodando la definizione di lavoo pe una geneica foza f : W= f d s = f cosϕds (dove φ è l'angolo ta i due vettoi coinvolti nel podotto scalae), notiamo che WN=Wmg = in quanto pependicolai allo spostamento (φ=π/), WF = Fsenθ(L+Δ), WFad = μd(mg Fcosθ)(L+Δ). Essendo la foza elastica consevativa, vale WFel = ΔUel = k(δ). Infine, poiché all'inizio e alla fine del moto il copo è femo, ΔK=. Vale quindi: ΔUel = WF + WFad, da cui: k ( ) = Fsenθ( L + ) μd(mg Fcosθ)(L+Δ), quindi L + c) k= ( F(senθ + µ d cosθ) µ dmg) SOLUZIONI NUMERICHE COMPITO A: Fas =.97 N û COMPITO B: Fas =.94 N û COMPITO C: Fas =.9 N û COMPITO D: F =.8N û as a =.76 m/s k = 57 N/m a =.45 m/s k = N/m a =.9 m/s k = 74 N/m a = 3.5m/s k = 75 N/m COMPITO A pagina

3 Esecizio Un asteoide di massa m si muove veso la Tea (M =6 4 kg) in diezione adiale. Pe evitae l impatto, si assuma che sia possibile intodue una caica esplosiva di massa tascuabile nell asteoide. Un istante pima dell esplosione l asteoide ha una velocità in modulo pai a v, dietta veso il cento della Tea. Immediatamente dopo l esplosione, l asteoide si sepaa in due fammenti m =/3m e m =/3m. Il fammento m ha una velocità pependicolae alla diezione adiale e pai in modulo a v (v. figua). a) Sapendo che il fammento di massa m segue un obita cicolae, calcolae il aggio R di tale obita. b) Tovae la velocità ~v del fammento di massa m immediatamente dopo l esplosione nel sistema di ifeimento y assegnato (v. figua). c) Assumendo l enegia potenziale gavitazionale nulla quando i due copi si tovano a distanza infinita, si detemini l enegia meccanica di m immediatamente dopo l esplosione. Alla luce del isultato, deteminae il tipo di taiettoia (apeta o chiusa) seguita da m dopo l esplosione. Compito A (Dati): m = 7 kg, v =3 3 m/s, v =6 3 m/s Compito B (Dati): m = 7 kg, v = 3 m/s, v =4 3 m/s Compito C (Dati): m =5 6 kg, v = 3 m/s, v =3 3 m/s Compito D (Dati): m =7 6 kg, v =. 3 m/s, v =3.5 3 m/s!! "! $ ' ' " % ) # # * a) Sapendo che il fammento di massa m segue un obita cicolae dopo l esplosione, esso saà sottoposto all azione di una foza centipeta pai alla foza di attazione gavitazionale con la Tea. In fomule: F G = G m M R = m v R ) R = GM v b) In assenza di foze impulsive estene la quantità di moto totale del sistema si conseva ta pima e dopo l esplosione (assunta di duata infinitesima), P ~ (i) tot = P ~ (f) tot : m~v = m ~v + m ~v ()

4 Scomponendo questa equazione vettoiale lungo le diezioni indicate in figua abbiamo: ( ~u : = m v + m v, () ~u y : mv = m v,y (3) da cui si ottiene 8 < : ~u : v, = m v =v m ~u y : v,y =3v. (4) (5) Il modulo della velocità del fammento di massa m è, petanto, v = p 4v +9v. c) L enegia meccanica del fammento di massa m è data da E m, = m v G m M = R m v m v = m apple v v >, che, essendo positiva, descive un obita apeta pe il fammento di massa m. Pe completezza, si tova che l enegia meccanica del fammento di massa m è : E m, = GmM 3R <, che, essendo sempe negativa pe ogni valoe dei paameti, descive un obita chiusa (cicolae nel nosto caso) pe il fammento di massa m. Compito A (Risultati): R =. 7 m, ~v =(. 4 m/s;9 3 m/s), E m, =.55 4 J Compito B (Risultati): R =.5 7 m, ~v =(8 3 m/s;6 3 m/s), E m, =.7 4 J Compito C (Risultati): R = m, ~v =(6 3 m/s;3 3 m/s), E m, =.5 3 J Compito D (Risultati): R =3.7 7 m, ~v =(7 3 m/s;3.6 3 m/s), E m, = J

5 ESERCIZIO 3 Un copo puntifome di massa M è in moto su un piano oizzontale liscio con velocità iniziale v in diezione. Assumendo che all istante t il copo si tovi nella posizione, a) In quale posizione si tova M all istante t? Sul piano si tova un copo igido composto da due aste igide omogenee di lunghezza D, laghezza tascuabile, ognuna di massa M. Le aste sono disposte pependicolamente ta loo e unite al cento come in figua. Il copo igido è libeo di muovesi sul piano. Il copo puntifome M colpisce il copo igido a distanza D/4 dal cento di massa, sull asta che foma un angolo θ con l asse delle (v. figua). Dopo l uto il copo puntifome M si fema. Si deteminino: b) il modulo ω della velocità angolae del copo igido dopo l uto; c) l enegia cinetica K del copo igido dopo l uto. D y D D/4 θ v M M M DATI NUMERICI Compito A: M = kg v = m/s t=s =cm t =.s D = 4 cm θ=65 Compito B: M =.5 kg v =.5 m/s t=s =cm t =.4s D = 5 cm θ=7 Compito C: M = kg v =.7 m/s t=s =cm t =.3s D = 6 cm θ=8 Compito D: M =.5 kg v =.8 m/s t=s =cm t =.s D = 4 cm θ=75 SOLUZIONI a) Il moto del copo sul piano liscio è ettilineo unifome, quindi (t) = + v (t t), da cui al tempo t (poiché t=): a) = + v t b) Poiché l'uto non è vincolato, duante l'uto si consevano la quantità di moto totale del sistema e il momento angolae ispetto a qualunque polo. Focalizzandosi sul momento angolae (calcolato scegliendo abitaiamente come polo il cento di massa - - del copo igido) e scegliendo un COMPITO A pagina 3

6 asse z entante nel piano appesentato si ha: L pe = Mv = Mv D senθû z. 4 Dopo l'uto, M è femo e il copo igido si metteà in movimento (dando quindi l'unico contibuto al momento angolae totale del sistema). Ricodando che il momento angolae del di un copo è nullo se come polo si sceglie il (poiché il aggio vettoe è nullo): L = L + L ' = L ' = I ω, dove I= MD 6 + MD = MD. Inolte, poiché il momento angolae si conseva, anche dopo l'uto esso deve essee ivolto in diezione z, quindi post ω = ωû z, dove ω è la componente della velocità angolae del copo igido dopo l'uto in diezione z. Imponendo l'uguaglianza del momento angolae pima e dopo l'uto (si icodi che ha solo componente lungo z) si ottiene: D Mv senθ = MD ω, da cui: v b) ω = senθ D c) Ricodando che pe il teoema di Konig vale K = K + K', esplicitando nel caso specifico del copo igido del poblema si ottiene: K= ( M ) v + Iω. L'unica incognita in questa espessione è la velocità del dopo l'uto. Si noti che poiché il copo è non vincolato, non si può tovae a pioi un legame ta la velocità angolae ω e la velocità v del cento di massa. Quest'ultima va invece calcolata impostando consevazione della quantità di moto totale del sistema ta pima e dopo l'uto (si icodi che duante l'uto non agiscono vincoli sui copi, quindi non agiscono foze estene impulsive). Pima dell'uto l'unico copo in movimento è il copo puntifome M, quindi la quantità di moto totale del sistema è appesentata dalla quantità di moto del copo M: P = p = Mv û. pe M,pe Dopo l'uto, l'unico copo in movimento è il copo igido di massa M, che fonisce quindi l'unico contibuto alla quantità di moto del sistema: P = p = Mv. post CopoRigido,post Si noti che poiché la quantità di moto del sistema si conseva duante l'uto, immediatamente dopo l'uto deve valee v = v û, dove v appesenta la componente in diezione della velocità del del copo igido dopo l'uto. Imponendo l'uguaglianza della quantità di moto pima e dopo l'uto (si icodi che ha solo componente lungo ) si ottiene: Mv=Mv, quindi inseita nell'espessione pe l'enegia cinetica pota a: K= M v 9 v + MD sen D d) K= Mv + sen θ = Mv cos θ = v che, v θ, quindi: COMPITO A pagina 4

7 SOLUZIONI NUMERICHE Compito A: a) =.3 m b) ω = 3.4 ad/s c) K =.4 J Compito B: a) =.3 m b) ω =.4 ad/s c) K =.5 J Compito C: a) =.3 m b) ω =.7 ad/s c) K =.4 J Compito D: a) =.8 m b) ω =.9 ad/s c) K =.68 J COMPITO A pagina 5