F r. Dinamica del punto materiale. Studia il moto e le cause che lo determinano. basata sui 3 principi fondamentali di Netwon

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1 Dinamica del punto mateiale F Studia il moto e le cause che lo deteminano basata sui 3 pincipi fondamentali di Netwon

2 Pincipio di inezia alla Galileo (I legge della dinamica) piano completamente liscio 3 4 In assenza di foze o se la isultate delle foze è nulla: Se il copo è a iposo vi imane Se è in moto continueà a pocedee indefinitamente con velocità V constante.

3 Sistemi di ifeimento ineziali Vt Il moto è elativo: i vettoi posizione, velocità ed acceleazione dipendono dal sistema al quale viene ifeito il moto della paticella. Quando un copo è soggetto a una foza isultante nulla i sistemi di ifeimento ispetto ai quali la sua acceleazione è zeo sono ineziali. Nel sistema in moto elativo unifome la legge del moto è la stessa che nel sistema fisso Sistemi ineziali Il tipo di moto è lo stesso! (cambiano le condizioni iniziali) In tutti i sistemi ineziali le popietà dello spazio e del tempo sono identiche, come pue le leggi della meccanica. 3

4 Definizione di Foza Un copo è soggetto all azione di una foza (deivante dalla sua inteazione con gli alti copi che lo cicondano) ogni qual volta la sua velocità cambia nel tempo, ossia possiede un acceleazione. La molla taata: agganciamo all estemità di una molla un copo. Se si tia l alto estemo della molla in diezione paallela al piano la molla si allunga ed il copo acquista una acceleazione nella diezione dell asse della molla. A paità di allungamento L, l acceleazione a è la stessa. L a Che effetti poduce la stessa foza a copi divesi? 4

5 II legge della dinamica La acceleazione di un copo è popozionale alla isultante delle foze che agiscono su di esso ed invesamente popozionale alla sua massa ineziale. F ma La massa di un copo appesenta la sua capacità di opposi all acceleazione che una data foza gli impime indipendentemente dalla intesità della stessa. a F a m a m a [ F] [ MLT Newton ] kg m s 5

6 Consideazioni sulla seconda legge di Newton è una elazione vettoiale: F ma te equazioni scalai F ma x x F ma y y F ma z z Note le foze in funzione del tempo, della posizione, delle popietà dei copi inteagenti (massa, caica, etc.), ci pemette di deteminae l acceleazione dalla cinematica la legge oaia Devono essee pese in consideazione tutte le foze agenti sul copo. Alcune fose agiscono a distanza mente alte ichiedono che ci sia contatto ta i copi Scaicato inteagenti da a 6

7 Applicazione m b 5kg F ma FRx FAx + FBx 4 N cos(45) + 3N cos(37) 5. N FRy FAy + FBy 4 Nsen(45) 3Nsen(37). 3N tan( θ ) F F Ry Rx.3N 5.N θ actan(.).5 o. a 5N 5kg F.m/s FRx + FRy 5N 7

8 Guida alla isoluzione dei poblemi. Individuae il punto o i punti mateiali di cui si deve studiae il moto;. Fissae il sistema di ifeimento ineziale 3. Costuie il diagamma di copo libeo, individuando tutte le foze che agiscono sul copo; 4. Applicae la II legge della dinamica a tutti i punti mateiali. 5. Scompola nelle te equazioni scalai. 8

9 Applicazioni dei pincipi della dinamica.. F a vcost Moto unifome v F cost F a a m cost Moto unifom. acceleato Deteminiamo l espessione della foza o delle foze pesenti. Una foza è completamente definita quando si conosce qual è il copo che la subisce e qual è il copo che la genea 9

10 III legge della dinamica Il libo esecita una foza di eazione sul tavolo Il tavolo esecita una foza sul libo Pincipio di azione e eazione: ogni qualvolta un copo esecita una foza su di un secondo copo, il secondo eseciteà una foza sul pimo uguale e contaia. F F

11 Foza peso e massa Consideiamo il sistema di ifeimento teeste ineziale. Ossevazione di Galileo: Foza di attazione gavitazionale (ta tea e copo): Tutti i copi, se lasciati libei, sono attatti veso il suolo con la stessa acceleazione g P ma mg Attenzione a non confondee peso con massa Il nosto peso è la foza con cui veniamo spinti veso il basso P La nosta massa è m P g La massa ha ovunque lo stesso valoe, il peso cambia invece se fosse sulla luna piuttosto che sulla tea.

12 a La eazione Vincolae Il copo è femo su di un tavolo cioè in equilibio: N mg II legge di Newton: la foza complessiva agente sul copo deve essee nulla. N + mg N N mg Il tavolo esecita una foza uguale e contaia alla foza peso, in modo tale che la foza isultante che agisce sul copo sia nulla. Le eazioni vincolai si manifestano ogni qual volta c è un vincolo ossia un impedimento al moto del copo. Può avee una componente nomale o paallela al vincolo

13 Foza di attito adente (attito statico) La Foza di attito è la componente paallela al vincolo della Reazione Vincolae. Si pala di attito statico se non c è scoimento ta il copo e la supeficie su cui il copo è poggiato. Poviamo a mettee in moto il copo m inizialmente femo esecitando una foza F a si muove solo se, m F > μ N s A μ s coeff. d attito statico Dipende dalla supeficie N Dipende dalla massa del copo e dalle condizioni di vincolo a F A μ N s a F A > μ N s 3

14 Foza di attito adente (attito dinamico) Se il copo è già in moto F att μ N d μd coefficiente di attito dinamico x: FA Fatt ma FA μd N ma μ d < μ s Sempe!! μ... e < d μ s 4

15 Tensione dei fili Coda inestensibile di massa tascuabile i - i i+ +T -T +T -T Se si taglia la coda in un punto qualsiasi la pate a desta del taglio eseciteà su quella a sinista una foza di modulo pai alla tensione e vicevesa. Il valoe della tensione è lo stesso in ogni punto. statica : F m a fune x F 5

16 Tensione dei fili F ed F A B foze applicate nei due estemi pe tendee il filo F A T -T F B F B T F A T F B F A T T foza esecitata agli estemi dal filo teso Caso filo teso in moto: INESTENDIBILE tutti i punti si muovono con la stessa acceleazione Filo pivo di massa m ma T è ancoa la stessa in ogni punto, come nel caso statico! 6

17 Tensione dei fili Copo m Coda inestensibile di massa tascuabile F Fune III legge di Newton il copo m tia la fune con una foza uguale ed opposta alla tensione T T T F La fune tia il copo m con una tensione T fune F T m fune a x F T copo : T max ax T / m F / m La fune ideale tasmette la foza da una estemità all alta: la foza applicata alla fune è uguale a quella che la fune applica al 7

18 Caucole Ideali Caucole ideali (piccolo aggio e piccola massa, senza attiti) cambiano la diezione della tensione ma non l intensità. 8

19 Applicazione a y x y mkg e mkg. a Diagamma di copo libeo m T T N g ϑ m g m g + T ma mg T ma T + m g + N T m g m a ( m m senϑ) g ( m + m ) a m a T m gsenϑ m a m g cosϑ N a T ( m m senϑ) ( m mm ( m + m + m ) g ( + senϑ) g ) 9

20 Applicazione a y x y mkg e mkg. a Diagamma di copo libeo m T T N g ϑ m g m g + T ma mg T ma T + m g + N T m g m a ( m m senϑ) g ( m + m ) a m a T m gsenϑ m a m g cosϑ N a T ( m m senϑ) ( m mm ( m + m + m ) g ( + senϑ) g )

21 Applicazioni dei pincipi della dinamica.. a t moto vaio p a n a F ma F ma + m t a n F dv m u dt v + m R t u n F t detemina la vaiazione del modulo della velocità F n detemina la vaiazione della diezione della velocità F n si chiama foza centipeta

22 Applicazioni. Cuva sopaelevata

23 Moto amonico semplice x () t A ( ω t + ) sin ϑ A ampiezza del moto ωt + ϑ fase del moto ϑ fase iniziale ω pulsazione condizioni iniziali A, ϑ A A x( t) definisce il moto amonico semplice t T x x π ω T è il peiodo!! ( t + T ) Asin[ ω( t + T ) + ϑ] Asin( ωt + π + ϑ ) Asin( ωt + ϑ ) ( t + T ) x( t)

24 Moto amonico x dx cos dt () t Asin( ω t + ϑ ) v() t ωa ( ωt + ϑ ) x() t v() t a() t T t t t a dv dt dx dt () t ω Asin( ωt + ϑ ) x e v in quadatua di fase diffeenza di π/ (v anticipa x) x e a sono in opposizione di fase diffeenza di π

25 Moto amonico x () t A ( ω t + ) sin ϑ v dx dt () t ω Acos( ωt + ϑ ) Dalle condizioni iniziali x v ( ) ( ) x v Asinϑ ωacosϑ tan A ϑ x ω x v + v ω inolte : a ω x d x dt + ω x Equazione diffeenziale del moto amonico

26 Il pendolo Moto antioaio mg sinθ T mg cosθ m a T m a N a t L d θ dt a N v L In caso di θ piccolo: d θ dt g L sinθ T mg cosθ m v L d θ g + θ dt L ( ) θ θ sin ωt + ϕ Eq. Diffeenziale moto amonico ω g L La pulsazione Θ è l ampiezza e ϕ la fase 6

27 Il pendolo Legge oaia ( ω ϕ) θ θ sin t + s ( ω ϕ) Lθ Lθ sin t + dθ ωθ cos t dt ( ω + ϕ) ds dθ L Lωθ cos t dt dt v Velocità angolae e lineae ( ω + ϕ) La velocità è max quando il copo passa pe la veticale Θ e nulla agli estemi delle oscillazioni. 7

28 Peiodo: T Tensione del filo: π π ω L g Il pendolo Non dipende dalla massa e dell ampiezza v m g cosθ + L T d In condizioni dinamiche Tensione massima Tensione minima In condizioni statiche T s mg La T d > T S peché olte ad equilibae il peso deve fonie la f. centipeta pe fa pecoee al pendolo la taiettoia cicolae 8

29 Foza elastiche Si definisce foza elastica una foza di diezione costante con veso ivolto sempe ad un punto O, chiamato cento e con modulo popozionale alla distanza da O. Assunto l asse x la diezione della F: F Kx u x K costante elastica u x u x Nella patica viene applicata tamite una molla e indicheemo con: l la lunghezza a iposo x la defomazione l l 9

30 Foza elastiche a d x dx F m K m x d x k + x dt m Eq. moto amonico Con pulsazione ω K m x(t) Acos( ω t + φ) T π π ω m K 3

31 F m λ v Foza di attito viscoso mg mλv ma dv g λv dt Moto in un fluido v dv g λv dv m dt t dt λ [ ( )] v ln g λv t v g λ () ( λt t e ) Il moto tende ad una velocità costante 3