Esercitazioni del 26/03/2010

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1 Esecitazioni del 6/03/010 Poblema 1) Un battello e capace di viaggiae alla velocita di 4 m/s elativamente all acqua di un fiume lago d=1km. La velocita dell acqua, elativamente alle sponde, e costante in ogni punto del fiume e pai a m/s. Calcolae: a) La diezione del moto del battello elativamente all acqua affinche esso sia in gado di attavesae ettilineamente il fiume dal punto di patenza a quello esattamente opposto nell alta sponda. b) Il tempo impiegato pe il suddetto attavesamento. a) La velocita del battello si tasfoma con = v V dove V e la velocita del sistema di ifeimento dell acqua (in moto ettilineo unifome) ispetto a quello delle sponde e vale V = ( V,0) = ( m,0) v e la velocita del battello nel sistema di ifeimento delle sponde. Abbiamo qui scelto un sistema si ifeimento in cui l asse x e paalleloalle sponde e l asse y otogonale ad esso. Dobbiamo impoe che il moto sia pependicolae alle sponde (come ci dice il poblema) e quindi v = ( 0, v) e la velocita del battello ispetto all acqua. Sappiamo che in modulo vale v =4m/s. Affinche l attavesata sia pependicolae alle sponde, elativamente all acqua e necessaio muovesi conto coente e quindi la velocita deve fomae un angolo α 90 0 ispetto all asse x. Quindi: v = ( cosα, sinα) Combinando tutte le infomazioni cosα = V e se vogliamo icavae α sinα = v 0 cos α = V / = 1/ α = 60 dunque v = sin α = 3m b) Il tempo saa 1000m t = d / v = = 89s 3m

2 Poblema ) Duante una gionata di pioggia, uno studente coe veso la femata dell autobus con velocita di modulo pai a 5m/s. Sapendo che pe non bagnasi lo studente tiene l ombello inclinato di un angolo di 30 0 ispetto alla veticale, calcolae il modulo della velocita con cui la pioggia cade al suolo (assumee che la pioggia cada veticalmente nel sistema di quiete). Il bastone dell ombello e inclinato di α. Affinche lo studente non si bagni la pioggia deve cadee paallelamente al bastone dell ombello nel sistema dello studente in cosa. Sciviamoci l equazione della tasfomazione della velocita : = v V dove V e la velocita dello studente in cosa (cioe la velocita con cui il suo sistema di ifeimento si muove ispetto al sistema di quiete), v e la velocita della pioggia nel sistema di quiete e e la velocita della pioggia nel sistema dello studente. Quindi: V = (V,0) e lungo x v = ( 0, v) la pioggia cade veticalmente e veso il basso v = ( sinα, cosα) la pioggia cade con un angolo α ispetto alla veticale nel sistema di ifeimento dello studente. sinα = V V tgα = cosα = v v V 5m v = = = 8.66m 0 tgα tg(30 ) Poblema 3) Su un teno che si muove di moto ettilineo con acceleazione costante 0,5m/s (ispetto alla tea) un copo, che si tova sul pavimento, viene lanciato con velocita v 0 =6m/s dietta veticalmente (ispetto al teno). Calcolae a quale distanza d dal punto di lancio icada il copo sul pavimento. Pe sistemi non ineziali le acceleazioni si combinano come a = a a t a co dove a e l acceleazione nel sistema in moto, a e l acceleazione nel sistema fisso, a t e l acceleazione di

3 tascinamento e a co quella di Coiolis (che e nulla poiche il sistema in moto non uota). L acceleazione di tascinamento e a t = A + α ( R) + ω ω ( R) e gli ultimi due temini sono nulli poiche il sistema non uota. In definitiva: a = a A dove A e l acceleazione con cui si muove il sistema di ifeimento del teno ispetto alla tea e vale dunque 0,5m/s e a vale g. Pecio a = ( A, g) = ( 0,5m, 9,8m ) Le equazioni del moto del copo nel teno sono 1 x = At 1 y = v0t gt Pe sapee a quale distanza l oggetto icade a tea imponiamo y =0 v0 v0 1 v0 y = 0 t = 0; t = x ( t = ) = d = A g g g d = 0,19m Poblema 4) Una piattafoma cicolae uota, ispetto al teeno, con velocità angolae costante w attono ad un asse veticale passante pe il suo cento O. Un uomo si sposta dal cento O al bodo della piattafoma lungo un aggio, muovendosi con velocità v costante (ispetto alla piattafoma). a) Si studi la velocità dell uomo ispetto al teeno. b) Si detemini la taiettoia (si usino le coodinate polai). c) Si studi l acceleazione dell uomo ispetto al teeno (si discuta l acceleazione complementae di Coiolis). a) Pe sistemi non ineziali le velocita si combinano come = v V ω ( R) dove v e la velocita nel sistema in moto, v e la velocita nel sistema fisso, V e la velocita del sistema di ifeimento in moto ispetto a quello fisso, ω e la velocita angolae con cui il sistema in moto uota ispetto a quello fisso e e R sono le posizioni, ispetto al sistema fisso, del punto mateiale e dell oigine del sistema in moto.

4 Scegliamo entambi i sistemi di ifeimento con oigine nel cento della piattafoma ( R = 0). Poiche la piattafoma uota ma non tasla abbiamo V = 0. Quindi v = + ω = e paallela a. Poiche Dunque in coodinate polai la velocita nel sistema fisso e v = ( v, vϑ ) = (, ω ) = (, ω) di modulo v = + ω (oigine coincidente), e ω sono pependicolai. b) Le equazioni oaie pe le coodinate polai sono (entambi i moti sono unifomi) = v = t v t ϑ = ωt La taiettoia e dunque = ϑ ω c) Rispetto alle fomule scitte nello svolgimento del poblema pecedente in questo caso abbiamo A = 0, α = 0, R = 0 ma ω 0, dunque at = ω ω a = co ω In modulo valgono at = ω a = co ω E inteessante notae che le due acceleazioni ottenute coincidono con le componenti adiale e tasvesa dell acceleazione. A confema di cio possiamo calcolae tali componenti dalle equazioni oaie in coodinate polai ottenute nel punto b) a = && & ϑ = ω a = ϑ + ϑ = ϑ & & && v ω iottenendo le stesse espessioni.

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