Soluzione degli esercizi della seconda prova in itinere di Meccanica del 26/01/2018

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1 Soluzione degli esecizi della seconda pova in itinee di eccanica del 6/0/08 Esecizio Un asteoide di massa m compie un obita cicolae attono al Sole (massa = 0 0 kg) con velocità in modulo costante e pai a v,0. a) Calcolae il aggio dell obita cicolae. Un secondo asteoide di massa m, con velocità v,0 uta anelasticamente il pimo: le diezioni delle velocità dei due copi nell istante pecedente l impatto fomano ta loo un angolo 0 (v. figua a sinista). Subito dopo l uto, l asteoide di massa m devia di un angolo ' ispetto alla diezione iniziale con una velocità pai in modulo a v (v. figua a desta). Sapendo che dopo l uto il moto dei copi si mantiene nel piano appesentato in figua, si deteminino immediatamente dopo l uto: b) le componenti catesiane v e v della velocità di m ; c) l enegia meccanica E m di m. Dopo l uto, m poseguià il popio moto su un obita chiusa o apeta? DATI NUERICI Compiti A,D: m = 0 8 kg, m = kg, v,0 =. 0 m/s, v,0 =.5 0 m/s, v =.5 0 m/s, 0 = 5, ' = 5. Compiti B,C: m = 0 8 kg, m = kg, v,0 =. 0 m/s, v,0 =.8 0 m/s, v = 0 m/s, 0 = 5, ' = 5. a) Dato che l unica foza agente sull asteoide m in obita è la foza di attazione gavitazionale ~F G = G m û R n (si veda il diagamma delle foze in figua), essa saà pai alla foza centipeta m~a c che caatteizza il moto cicolae: û n : ~ FG = m ~a c ) G m R = m v 0 R, con G = m costante di gavitazione univesale. Lungo la diezione tangenziale non kg s si hanno foze e il moto è di tipo cicolae unifome. Il aggio dell obita saà petanto uguale a: a) R = G v,0. ()

2 Diagamma delle foze m F G b) Consideiamo oa l uto anelastico (che avviene nel piano indicato in figua): l enegia cinetica totale del sistema non si conseva, mente si conseva la quantità di moto totale, dato che non ci sono foze estene al sistema di tipo impulsivo. Impostando che le quantità di moto totali iniziale (pima dell uto) e finale (dopo l uto) siano uguali, P ~ (i) tot = P ~ (f) tot, otteniamo il seguente sistema di equazioni lungo le diezioni indicate dal sistema di ifeimento in figua: (û : m v,0 + m v,0 = m v, + m v, û : m v,0 + m v,0 = m v, + m v,. () () Sostituendo i dati del poblema v,0 =0ev,0 = v,0 ed espimendo le alte quantità in funzione dei soli dati del testo v,0 = v,0 cos 0, v,0 = v,0 sin 0, v, = v cos ' e v, = v sin ', si ottiene la isposta alla domanda b): 8 >< û : v, = v,0 cos 0 + m (v,0 v cos ') () m m >: û : v, = v,0 sin 0 v sin '. (5) m c) Ricodiamo l espessione geneale pe l enegia meccanica di un copo di massa m e velocità v in obita attono ad un alto copo di massa e distanti ta loo R: E m = mv G m R. Se E m < 0 l obita del copo di massa m è chiusa, vicevesa è apeta. Nel nosto caso specifico, dopo l uto l asteoide di massa m ha una velocità pai in modulo a v e la distanza dal Sole è imasta invaiata duante l uto (icodiamo che l uto viene consideato istantaneo e le foze consevative non compotano una vaiazione di enegia potenziale e, quindi, della posizione del copo). Petanto l enegia meccanica del secondo asteoide vale c) E m = m v G m R e, a seconda dei dati numeici, può isultae negativa o positiva. SOLUZIONI NUERICHE: Compiti A,D: R =9.6 0 m, v =.6 0 m/s, v = m/s, E m =.58 0 J! Obita chiusa. Compiti B,C: R =.0 0 m, v =.70 0 m/s, v =. 0 m/s, E m =.8 0 J! Obita apeta. (6)

3 ESERCIZIO Un occhetto è composto da un cilindo inteno di aggio R e due dischi esteni di aggio R. Il cilindo e i dischi sono uniti in modo coassiale. Cilindo e dischi non sono omogenei, ma la massa è distibuita simmeticamente. La massa totale del occhetto è pai a e il momento d inezia attono all asse passante pe il cento di massa e pependicolae alle basi cicolai è I = R (v. figua sinista). Il occhetto è inizialmente femo, appoggiato su un piano scabo (coefficiente di attito statico μs), inclinato di θ ispetto all oizzontale, sul quale il occhetto può otolae senza stisciae. Un filo ideale (inestensibile e di massa tascuabile) è avvolto attono al cilindo. Il filo passa attono a una caucola ideale (liscia e di massa tascuabile) montata all apice del piano inclinato, che mantiene il filo paallelo al piano inclinato. All alto capo del filo è appeso un copo di massa m, inizialmente incognita, che pende dal piano. Sapendo che il filo non scivola ispetto al occhetto si deteminino: a) il valoe di m affinché il occhetto imanga femo; b) la foza di attito statico F as agente sul occhetto nel sistema di ifeimento appesentato. Si veifichi che il copo imane in quiete. Sia oa m = /, si detemini: c) l acceleazione a del cento di massa del occhetto nel sistema di ifeimento appesentato. DATI NUERICI Compiti A,D: m = 600g R = 0cm μs = 0.8 θ = 5 Compiti B,C: m = 500g R = 0cm μs = 0.8 θ = 5 DIAGRAA DELLE FORZE a, b) Affinché il sistema imanga in quiete devono valee: F i = 0 e i = 0 indipendentemente

4 dal polo scelto. Se si poiettano le foze agenti su occhetto (tensione del filo, foza di attito statico, nomale dovuta al piano inclinato, foza peso) nel sistema di ifeimento - appesentato in figua, si sceglie un asse veticale pe la poiezione delle foze agenti sul copo m (foza peso, tensione del filo) e si sceglie un asse z pependicolae a - ed entante nel piano appesentato pe la componente z dei momenti e un polo O pe esempio coincidente col punto di contatto ta il occhetto e il piano si ottiene: I foze su occhetto lungo : T+Fas gsenθ=0 II foze su occhetto lungo : N gcosθ=0 III foze su m T mg=0 IV momenti su occhetto ispetto a C: T(R) g(r)senθ=0 Da III e IV si ottiene diettamente: mgr=grsenθ, da cui: a) m= senθ. Inolte inseendo III ed m in I si ottiene: Fas=gsenθ ottiene: b) Fas = gsenθû. g senθ. Consideando diezione e veso si c) Poiché oa m è diveso da senθ, il sistema si muove. Si va quindi a impostae la seconda legge della dinamica pe i sistemi di punti: Fi = a e il teoema del momento angolae: d L O i, O =. Il polo O può essee scelto abitaiamente. Se si sceglie come polo un punto sull asse dt congiungente i punti di contatto ta occhetto e piano si tova in diezione z poiché il moto è di pua otazione attono a tale asse: dl O, z = I Z dt α, dove α appesenta la componente lungo z dell acceleazione angolae In questo caso, scegliendo nuovamente come polo il punto centale ta i due punti di contatto ta il occhetto e il piano si ottiene: I foze su occhetto lungo : II foze su occhetto lungo : T + Fas gsenθ = a N gcosθ=0 III foze su m: T g= am IV momenti su occhetto lungo z: T(R) g(r)senθ = (I+(R) )α Il sistema è composto da equazioni e 6 incognite. Sevono elazioni aggiuntive. La pima è data

5 dalla condizione di puo otolamento, pe cui a = α, dove congiunge un punto sull asse di otazione al del occhetto. Vista la scelta pe l asse z (entante nel piano appesentato) vale: a = α( R ) û, quindi la componente di a in diezione (a) e la componente è V da condizione di puo otolamento: a=α(r) Inolte poiché il filo è inestensibile, in modulo l acceleazione del filo non vaia, quindi poiché il filo non scivola ispetto al occhetto l acceleazione del punto del occhetto (B) dal quale in filo si stacca dev essee la stessa del copo sospeso. Si noti che a B = α B = α ( R ) û dove B congiunge un punto sull asse di otazione a B. Consideando i vesi di e dell asse veticale ivolto veso l alto ispetto al quale è stata scitta la III vale: VI inestensibilità del filo: αr = am. Da IV (R)III e consideando V e VI si ottiene: g( senθ)r = 8aR, da cui a= g ( senθ) 8 quindi: Soluzioni numeiche Compiti A,D: m = 0.9 kg Compiti B,C: m=0.kg c) a = g ( senθ) û 8 F as = 0.6N û F = 0.70N û as a =. m / s û a =. 6 m / s û

6 ESERCIZIO Un copo igido A è composto da un disco omogeneo di massa e aggio R e da un'asta igida omogenea di massa e lunghezza R uniti come in figua (v. schema a sinista). Il copo A è inizialmente in quiete su un piano oizzontale pivo di attito sul quale è libeo di muovesi. Un oggetto puntifome B di massa è in moto con velocità v 0. La velocità v 0 foma un angolo θ con l'asta (v. figua centale) e il suo modulo è v0. L'oggetto B uta il copo igido A al cento dell'asta e vi imane attaccato (in seguito A+B definisce il sistema fomato dai due copi). Si deteminino dopo l'uto: a) il momento d'inezia I di A+B attono ad un asse pependicolae al piano oizzontale appesentato in figua e passante pe il cento di massa di A+B; b) il modulo ωf della velocità angolae di A+B dopo l'uto. Inolte, sfuttando il "teoema dell'impulso", si detemini: c) l'impulso J delle foze esecitate da A su B duante l'uto (componenti catesiane). Schema del copo A Rappesentazione pe-uto Sistema A+B post-uto DATI NUERICI Compiti A,D: = 500g R = 0cm v0 =.5 θ = 5 Compiti B,C: = 00g R = 0cm v0 =.5 θ = 5 SOLUZIONI Pe pima cosa, calcoliamo il di A+B. A+B può essee consideato essee composto da copi distinti: un disco di massa avente in coodinata (0, R) nel SDR appesentato in figua, un asta di massa / avente in coodinata (0, R) e un copo puntifome di massa / in coodinata (0, R). Il del sistema avà quindi sicuamente =0. Pe quanto iguada la coodinata vale:

7 R + ( R ) + ( R ) = = Il del sistema si tova quindi nel punto di contatto ta l asta e il disco. Il momento d inezia totale del copo igido si toveà quindi (consideando il momento d inezia di disco, asta e punto mateiale e applicando il teoema di Hugens-Steine): I = Idisco, + Iasta, + IB, = R + R + ( R ) + R + R da cui: a) I = 8 R b) L uto è non vincolato, quindi ta pima e dopo l uto si consevano la quantità di moto totale del sistema e il momento angolae ispetto a qualsiasi polo. Scegliendo come polo il cento di massa di A+B (), pima dell uto si ha: Lpe = v0, dove è il aggio-vettoe congiungente al punto d impatto. Quindi Lpe = R v0sen( π θ )û z = R v0senθû z. Dopo l uto vaà L = L + L ' e poiché il polo scelto coincide con di A+B vale L = L ' = ω, quindi poiché post pe consevazione del momento angolae L post = I ω f û z L post post I deve avee solo componente in diezione z, dove I è il momento d inezia pecedentemente calcolato (si icodi che ea stato calcolato ispetto a un asse pependicolae al piano appesentato in figua, quindi dietto in diezione z). Eguagliando le componenti in diezione z (uniche componente non nulle del momento angolae) R v 0senθ R v0senθ si ha: R v0senθ= Iω f, da cui: ω f = = I 8R b) ω f v0 senθ = 6 R, quindi c) Pe il teoema dell impulso J = pb. Pima dell uto: pb,pe = v0 = v0senθû mente dopo l uto B è pate di un copo igido il cui cento di massa (pe consevazione della quantità di moto del sistema essendo l uto non vincolato) si sta muovendo con velocità v v0 = = v0. Inolte tutti i punti di A+B (e quindi anche B) stanno uotando attono a + + con velocità angolae ω F, quindi nel sistema di ifeimento del cento di massa immediatamente

8 ' dopo l uto vale v B = ω F = ω f Rû, quindi nel sistema di ifeimento fisso v B,post = v + v, da ' B cui v B,post = v0senθû + 6 v senθû. Da cui J = pb = v0senθû senθû v0senθû v0 6 v0senθû senθû v0senθû v0 6 Quindi: Soluzioni numeiche 9 c) J = v0senθû v0 = v0 senθû Compiti A,D: a) I = 0.05 kg m b) ωf = 0.8 ad/s c) J= 0.Ns J = 0. Ns Compiti B,C: a) I = 0.0 kg m b) ωf = 0.59 ad/s c) J= 0.07Ns J = 0.0 Ns 0. =

9 Soluzione dell esecizio della pova scitta di eccanica del 6/0/08 pe gli immaticolati agli a.a. pecedenti al 07 Un copo di dimensioni tascuabili e massa m è posto su un piano oizzontale scabo (coe - ciente di attito dinamico µ d ). Il copo è inizialmente femo, appoggiato a una molla di costante elastica k, la quale è compessa di un tatto (posizione A in figua). Ad un ceto istante il copo viene lasciato libeo di muovesi e pecoe oizzontalmente una distanza L sul piano scabo, fino a giungee alla posizione B con velocità v B. a) Calcolae la compessione iniziale della molla. Giunto in B, il copo m inizia a pecoee una guida cuvilinea liscia. Al momento del distacco dalla guida in C, la velocità di m è pai in modulo a v C. b) A quale quota h ispetto al piano oizzontale avviene il distacco? La velocità nel punto di distacco C è inclinata di ispetto all oizzontale. Dopo il distacco, m si muove libeamente in un piano veticale. Sapendo che l altezza del piano oizzontale è h ispetto al suolo, c) si calcoli il vettoe velocità (componenti catesiane) quando m tocca il suolo (posizione D in figua). DATI NUERICI m = 00 g, µ d =0., k = 80 N/m, L =.m,v B =. m/s, v C =. m/s, 0 = 55, h =.5m. a) Consideiamo il tatto AB, di lunghezza L, pecoso dal copo di massa m e impostiamo il bilancio enegetico: E m (B) E m (A) = W nc. (7) Assumendo che sia in A che in B l enegia potenziale associata alla foza peso è nulla e che in A la foza elastica contibuisce all enegia potenziale del copo con un temine pai a k, l enegia meccanica in B è E (B) m = mv B equellainaèe(a) m = k (dato che la velocità in A è nulla). L unica foza non consevativa è la foza di attito adente dinamico che agisce lungo tutto il tatto L, il cui lavoo vale W nc = R B A ~ F ad ~d = µ d mgl. Inseendo nell equazione

10 sopa si ottiene a) = m k v B +µ dgl. (8) b) Nel tatto di guida cuvilinea liscia, ta B e C, le uniche due foze agenti sul copo sono la eazione vincolae della guida N ~ sul copo, il cui lavoo è nullo in quanto N ~ è pependicolae alla taiettoia, e la foza peso (consevativa) P ~ = mgû, il cui lavoo vale W P = E P = mgh (assumendo che l enegia potenziale elativa alla foza peso sia nulla nel punto B, come sopa). Dal teoema dell enegia cinetica o, equivalentemente, dal bilancio enegetico si ottiene mv C + mgh mv B = 0, da cui si icava b) h = v B v C g. (9) c) Ta le posizioni C e D, il copo è sottoposto alla sola acceleazione di gavità, e si muove petanto di moto paabolico, ossia di moto ettilineo unifome lungo la diezione û e di moto unifomemente acceleato lungo la diezione û. Sciviamo le leggi oaie e le leggi della velocità pe la cinematica del copo lungo queste due diezioni: 8 < û : : û : (t) =v C, t (t) =(0) + v C, (0)t (û : v (t) =v C, û : v (t) =v C, (0) gt, gt, dove v C, = v C cos e v C, (0) = v C sin. Stiamo assumendo inolte che: la quota nulla coincide con il suolo e la quota iniziale è (0) = h + h. Impostando che a un ceto tempo t 0 il copo tocchi il suolo, (t 0 ) = 0, dalla seconda equazione del pimo sistema icaviamo q t 0 = v C sin + vc sin +g(h + h ), () g che inseita nella seconda equazione del secondo sistema ci fonisce v D, v (t 0 )= q vc sin +g(h + h )= q gh + vb vc cos, (5) dove la seconda equazione è stata ottenuta utilizzando il isultato b) pe h. In definitiva, il vettoe velocità nella posizione D espesso in componenti catesiane è: (0) () () () c) ~v D = v C cos û qgh + v B v C cos û. (6) SOLUZIONI NUERICHE: =0.9 m, h =0.5 m, ~v D =(0.80 m s ; 5.80 m s ).