L = F s cosα = F r s LAVORO. F r α. s r

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1 LAVORO Se su un copo agisce una foza F, il lavoo compiuto dalla foza pe uno spostamento s è (podotto scalae di due vettoi): L = F s cosα = F s F α s 1

2 LAVORO L unità di misua del lavoo nel S.I. si chiama Joule: lavoo compiuto dalla foza di 1 N che si sposta di 1 m paallelamente alla diezione della foza. J = N m = kg m 2 s 2 2

3 In geneale se la foza non è costante e/o la taiettoia non è ettilinea: dividiamo lo spostamento in tanti piccoli tatti di modulo s i abbastanza piccoli da pote essee consideati ettilinei e da pote itenee che la foza sia costante in ciascuno di essi. s i α ι s n α n B F i F n s 1 α 1 L = L i = i i F i s i A F 1 L = i F i s i cosα i 3

4 Rappesentazione gafica del lavoo Esempio: il moto avviene su una etta (asse x), la foza è paallela all asse x e il suo modulo dipende dalla posizione. F(x) F 0 F F 1 i L i x 0 x i x 1 x L i = F i x i L = i F i x i L = lim x i 0 i F i x i = lim x i 0 i F i x i In un diagamma [F(x), x] il lavoo, limite della sommatoia pe x i 0, è appesentato dall aea della supeficie sotta la cuva. 4

5 Che effetto ha il lavoo? L = F s = F t s t = q v m = (mv 2 mv 1 ) 1 2 ( v 1 + v 2 ) = 1 2 mv mv 2 = m( v 2 v 1 ) ( v 1 + v 2 ) = 1 2 m( v 2 22 v1 ) = Dove: In geneale 1 2 mv2 = T è l enegia cinetica. T = L T fin T in = T = L = i F i s i N.B.: ( a + b ) ( a b ) = a a a b + b a b b = a 2 b 2 5

6 ENERGIA CINETICA Il lavoo compiuto dalle foze agenti su un copo pe potae la sua velocità da v 1 a v 2 è pai alla vaiazione di enegia cinetica. L = 1 2 mv mv 2 1 = T 2 T 1 T = 1 2 mv2 Enegiacinetica 6

7 Dunque a causa dell inteazione la paticella scambia enegia con l ambiente esteno: L = F s = F s cosα L = T Se α < 90 L>0 T 2 > T 1 F α s Se α > 90 L<0 T 2 < T 1 F α s Se α = 90 L=0 T 2 = T 1 F α s 7

8 POTENZA Velocità con cui una paticella scambia enegia con gli oggetti con i quali inteagisce. Se t è sufficientemente piccolo da pote itenee costante la foza e ettilineo lo spostamento: W = T t = L t = F s t = F v m dimensioni: ML [ 2 T 3 ] unità di misua: W (watt) = J/s 8

9 CAMPO SCALARE CONCETTO DI CAMPO Regione di spazio in cui ad ogni punto è associato il valoe di una gandezza scalae. Supeficie di livello : luogo dei punti in cui il valoe della gandezza scalae è costante. CAMPO VETTORIALE Regione di spazio in cui ad ogni punto è associata una gandezza vettoiale. A 2 Linea di campo: A 1 A 3 9

10 Convenzione di Faaday Consideiamo una piccola supeficie piana; il vettoe sia costante in ogni suo punto e pependicolae alla supeficie. S A Tacciamo un numeo di linee di campo pai a: N = k A S A 1 S 1 = A 2 S 2 A 1 A 2 S 1 < S 2 N 1 = N 2 A 1 > A 2 S 1 S 2 La convenzione di Faaday pemette una visione immediata dell andamento del campo. 10

11 l i CIRCUITAZIONE α ι A i Consideiamo nel campo vettoiale una linea ideale chiusa. La dividiamo in tanti piccoli tatti di modulo l i abbastanza piccoli da pote essee consideati ettilinei e da pote itenee che il vettoe del campo sia costante in ciascuno di essi. C l ( A ) = i A i l i cosα i = i A i l i Se il campo vettoiale è un campo di foze, la cicuitazione della foza calcola il lavoo su taiettoia chiusa. 11

12 CAMPO DI FORZE Inteazione ta due paticelle Una paticella modifica le popietà dello spazio cicostante. Inteazione campo - paticella Un alta paticella omogenea con la pima sente l esistenza della petubazione, che si popaga con velocità finita. F el -q +Q E 12

13 A CAMPO DI FORZE CONSERVATIVE n L AB = F i l i B 1 In un campo di foze consevative il lavoo non dipende dalla taiettoia ma solo dal punto iniziale e dal punto finale. L A1B = L A2B A 2 B Se calcoliamo il lavoo su taiettoia chiusa, sul pecoso A1B2A, otteniamo la cicuitazione della foza consevativa. 13

14 F i α i 1 A l i B Calcoliamo la cicuitazione della foza consevativa: C l ( F ) = ma i 2 l i = L = L A1B2A A1B + L B2A F i L B2A = -L A2B C l ( F ) = L A1B L A2 B = 0 La cicuitazione di una foza consevativa è nulla 14

15 L B2A = L A2B? F i l i α i Pecoso A2B L i = F i l i = F i l i cosα i Pecoso B2A β i F i L i = F i l i = Fi l i cosβ i = l i = F i l i cosα i = L i infatti: β i = π - α i Lungo il pecoso B2A tutti i lavoi i-esimi sono opposti ai coispondenti del pecoso A2B. 15

16 A Campo di foze consevative - Enegia potenziale 1 B A L A1B = L A2B C l ( F ) = U(A)=L AO B i F i l i = 0 U(B)= L BO C U(C)=L CO 2 Scelto un punto O come ifeimento, il lavoo fatto dalle foze del campo pe potae una paticella da un punto al ifeimento dipende solo dal punto iniziale. Associamo a ciascun punto il valoe della enegia potenziale della paticella, misuata dal lavoo L PO. D if. O U(D)=L DO U(P) =L PO Abbiamo così definito un campo scalae con coispondenza biunivoca ta i punti del campo e i valoi dell enegia potenziale. P 16

17 Il ifeimento è abitaio, ma... Calcoliamo il lavoo fatto delle foze del campo pe potae una paticella da A a B; scegliamo un pecoso che passa pe il ifeimento O: O L AB = L AO + L OB A B L AB = L AO L BO = U( A) U(B) = U L AB = - U non dipende dal ifeimento scelto Cambiando il ifeimento tutte le enegie potenziali cambiano di un addendo L OO, ma le diffeenze non cambiano. 17

18 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA Paticella in moto in campo consevativo T = L valida pe qualunque foza L = U valida pe foze consevative T = U T + U = 0 ( T +U ) = 0 T +U = cost E = T +U = cost L enegia meccanica totale, somma dell enegia cinetica e dell enegia potenziale, si conseva quando una paticella si muove in un campo di foze consevative. 18

19 y h A h i h B II III A mg C β I m La foza peso è consevativa g βi II l i III B Pecoso I: L ACB = L AC + L CB L AC = mg(h A h B ) L CB = mg x CB = 0 L ACB = L I = mg(h A h B ) L AB = mg x AB = mg AB cosβ = mg(h A -h B ) L AB = mg l i i = i mg l i cosβ i = = mg i l i cosβ i = mg i h i = mg(h A h B ) Il lavoo della foza peso non dipende dalla taiettoia, quindi la foza peso è consevativa. 19

20 In possimità della supeficie teeste: scelto il ifeimento h = 0, l enegia potenziale gavitazionale è: U = mgh L enegia meccanica totale di una paticella ( in assenza di foze di attito) si conseva: E = 1 2 mv2 + mgh = cost 20

21 La foza di attito non è consevativa A LAB = -K d mgs S F Ad B A F Ad L BA = -K d mgs B L ABA = C l ( F Ad ) = L AB + L BA = 2K d mgs 21

22 Se sono pesenti anche foze non consevative: T = L = L cons + L noncons T = U + L noncons (T +U )= L noncons E = L noncons Esempio: moto con attito in campo gavitazionale: π v F AD s E = L AD = F AD s = F AD s cosπ = F AD s T = U F AD s E = F AD s 22

23 Enegia potenziale elastica F el F el = K x x l P x 0 O xi L PO = F i x i i = i F i x i = i Kx i x i F Q L PO = lim Kx i O x x i P Kx Enegia potenziale elastica x x 0 i Kx i x i Rifeimento in O, punto di equilibio (lunghezza a iposo della molla). U = 1 2 Kx2 = 1 2 Kx2 23

24 Enegia potenziale elastica U(P) = 1 2 Kx2 = lim U i x 0 Kx i x i E tot = 1 2 Kx 0 2 = U max E tot E t = 1 2 Kx mv2 = 1 2 Kx 0 2 = U max -x 0 F 1 F 2 T La velocità massima è aggiunta in O (lunghezza della molla pai alla U lunghezza a iposo, foza x x x O 0 elastica nulla): T max = 1 2 mv 2 max = E t = U max = 1 2 Kx 0 2 Pe foze paallele allo spostamento e x piccoli si ha: L = F x L = U F = U x La foza è di ichiamo. 24

25 La paticella si muove lungo l asse x, sotto l azione di una foza F ( x ) paallela all asse x (o antipaallela) Baiee di potenziale U A B C F 1 F 2 F 3 M A M B C L = F x = U U F = U x x E T i x F = U x i E = T +U T > 0 E U > 0 U E La foza in un punto è l opposto della pendenza della cuva U(x). In M l enegia potenziale è minima e la paticella è in equilibio stabile. In M: F = U x = 0 25