F = U r. L = U F r = U

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1 Statica dei fluidi Sistemi a molte paticelle che inteagiscono ta loo con foze consevative di Van de Waals. Enegia potenziale di due molecole in funzione U della distanza dei loo centi. 1 F 3 0 U 1 F 1 M U 1 < 0 i L = U F = U F = U i a) Distanza ta le molecole = 0 : in M, minimo dell enegia potenziale, si ha U = 0: La foza è nulla pe = 0 (aggio di equilibio) b) Distanza ta le molecole: < 0 F 1 ha la diezione e il veso del vesoe i La foza è epulsiva pe < 0 c) Distanze ta le molecole: > 0. U L = U F = U F = U i U 2 0 M 2 i U 2 > 0 F 2 ha la diezione di i ma il veso opposto F 2 La foza è attattiva pe > 0 1

2 U U Enegia intena del sistema di paticelle e stati di aggegazione della mateia. E i = T i + U i T i = E i - U i 0 p U i E i Enegia cinetica calcolata ispetto al ifeimento collegato al cento E i = E i1 > 0 di massa, enegia potenziale dovuta alle foze intemolecolai. a) Enegia intena positiva: U i E i1 > P Le molecole possono allontanasi indefinitamente l una dall alta. Il sistema non è legato: gas. b) Enegia intena negativa: U i E i2 P p Q Deve essee p Q. Il sistema è legato: Q E i = E i2 < 0 solido o liquido. Fluidi: gas e liquidi Cambiamenti di stato solido liquido: tansizione odine - disodine, senza cambiamento sostanziale della distanza media ta le molecole. liquido gas: tansizione da sistema legato a sistema libeo. I liquidi hanno volume popio, i gas hanno il volume del ecipiente che li contiene. 2

3 Statica dei fluidi Pe ogni volumetto del fluido deve essee: R = = 0 i F i Le foze che agiscono su un volumetto di fluido sono: foze di volume (foza peso mg = ρvg, foza elettica se le paticelle sono ioni immesi in un campo elettico esteno) foze di supeficie, che agiscono sulla supeficie del volumetto di fluido consideato e sono dovute all inteazione con il fluido cicostante. p = F S F = ps Definizione di pessione [ML -1 T -2 ] N = Pa (pascal) 2 m dove F è il modulo della foza che agisce pependicolamente all elemento di supeficie consideato e S è l aea della supeficie. Alloa su un elemento di supeficie di aea S agisce una foza di supeficie: La pessione in un punto non dipende dall oientamento dell elemento di supeficie e le foze di supeficie sono sempe pependicolai alla supeficie comunque essa sia oientata. 3

4 F Una molecola uta elasticamente q 1 l elemento di supeficie S: la n vaiazione della sua quantità di moto è q q 2 F uguale alla foza media esecitata dalla F = q supeficie sulla molecola, moltiplicata pe l intevallo di tempo t. t Tale foza ha la diezione e il veso della vaiazione della quantità di moto, che è pependicolae alla supeficie ed è appesentata dal vettoe blu. Pe il pincipio di azione e eazione la molecola esecita sulla supeficie una foza opposta alla pecedente (vettoe vede). La pessione è il appoto ta la isultante delle foze esecitate da tutti gli uti delle molecole nell unità di tempo e l aea della supeficie. y F 1 y 1 S F 4 F 3 y 2 F P F 2 Legge di Stevino (effetto della gavità) F 1 = p 1 S F 2 = p 2 S F 3 + F 4 = 0 -p 1 S + p 2 S - ρgs(y 1 -y 2 ) = 0 p 2 -p 1 = ρg(y 1 -y 2 ) = ρgh F P = ρgv = ρgsh F 1 + F 2 + F P = 0 p 2 - p 1 = ρgh pessione idostatica h p 0 A Se y 1 è sulla supeficie libea di un liquido, y 2 è alla pofondità h e sulla supeficie libea è pesente la pessione p 0 si ha: p A = p 0 + ρgh Fattoe di convesione atmosfee - pascal 1 atm = ρ Hg gh Hg = = Pa 4

5 PRESSIONE ATMOSFERICA Espeienza di Toicelli (Baometo) mg h=760 mm p = dgh = = ( ) Pa = = Pa 10 5 Pa = = 1 atm p a Hg S p a 1 mmhg = kg/m m/s m= =133 Pa p 0 p = p 0 + F P /S F P S h p = p 0 + ρgv S = p 0 + ρgsh S = p 0 + ρgh pessione idostatica: p id. = ρgh Una colonna di acqua esecita sulla base una pessione pai a una atmosfea se: h H 2 O = = m 5

6 Liquidi non miscibili di densità divesa A p 0 p 0 B All equilibio in C: h B p 0 + ρ A gh A = p 0 + ρ B gh B h A C ρ A h A = ρ B h B ρ A > ρ B h A h B = ρ B ρ A le altezze aggiunte nei due ami sono invesamente popozionali alle densità dei due liquidi. Se il liquido è il medesimo nei due ami (ρ A = ρ B ), alloa h A = h B. F S P Spinta di Achimede Pe l equilibio della pozione di fluido disegnata (densità ρ f ) è necessaio che alla foza peso faccia equilibio la isultante delle foze di supeficie con diezione e modulo della foza peso e veso opposto: F S = P = ρ f Vg Sostituiamo alla pozione di fluido consideata un copo C di densità ρ C ; la isultante delle foze di supeficie imane immutata e il modulo della isultante delle foze sul copo C è: R = P F S = ρ C gv C ρ f gv C 1) La spinta di Achimede ρ f Vg è uguale al peso del liquido spostato. C F S P L esempio in figua mosta una situazione di equilibio, con copo C completamente sommeso. Quindi: R = 0 ρ C = ρ f 6

7 2) ρ C < ρ f con copo C tutto sommeso: R = P F S = ρ C gv C ρ f gv C F S > P C F S P isultante veso l alto All equilibio C galleggia F S + P = 0 C F S P ρ C gv C ρ f gv S = 0 V S V C = ρ C ρ f 3) ρ C > ρ f R = P F S = ρ C gv C ρ f gv C C F S P F S < P isultante veso il basso Il copo C affonda con acceleazione: a = ρ C gv C ρ f gv C ρ C V C a = ρ C ρ f ρ C g F S C N P e all equilibio, sul fondo: P + F s + N = 0 7

8 DINAMICA DEI FLUIDI IDEALI Moto stazionaio di un fluido ideale In ogni punto la velocità esta costante nel tempo (il campo vettoiale delle velocità è costante). incompessibile (lo è appossimativamente il liquido) e non viscoso (lo è appossimativamente il gas). Le linee di coente sono paallele all asse del tubo, la velocità è costante su tutti i punti di ogni sezione nomale del tubo S v S v PORTATA = volume di fluido che attavesa la sezione nell unità di tempo l = v t Q = V t Q = Sv t t m 3 s 1 = vs Legge di continuità Q = Sv = cost S S 1 v 1 2 v Q 2 1 = Q 2 S 1 v 1 = S 2 v S S 2 2 > S v 1 v 2 = v < v 1 S 2 S 1 v 1 S 2 v 2 S 1 v 1 = S 2 v 2 v 2 = v 1 S 1 S 2 S 2 < S 1 v 2 > v 1 Nel moto stazionaio di un fluido incompessibile le velocità in due divese sezioni sono invesamente popozionali alle aee delle sezioni stesse. 8

9 LEGGE DI BERNOULLI Moto stazionaio di un fluido ideale in un condotto a paeti igide F 1 l 1 A 1 B 1 Pe t molto piccolo si ha: A 1 B 1 A 2 B 2 h 1 l 2 F 2 l 1 = v 1 t l 2 = v 2 t A 2 B 2 h 2 Foze di supeficie: F 1 = p 1 S F 1 2 = p 2 S 2 Foza di volume: foza peso Il volume ta A 1 e B 1 è uguale a quello compeso ta A 2 e B 2 : S 1 l 1 = S 1 v 1 t S 2 l 2 = S 2 v 2 t S 1 v 1 t = S 2 v 2 t E, se ρ = cost, la masse dei due volumetti sono uguali: m = ρs 1 l 1 = ρs 2 l 2 m = ρs 1 v 1 t = ρs 2 v 2 t F 1 l 1 A 1 B 1 h 1 A 2 l 2 F 2 Il volume compeso ta B 1 e A 2 esta invaiato. Foze di supeficie e foze di volume compiono un lavoo pe potae m dalla posizione iniziale a quella finale. Lavoo delle foze di supeficie B 2 h 2 T = L s + L V L s = F 1 l 1 F 2 l 2 = p 1 S 1 v 1 t p 2 S 2 v 2 t ma: m = ρs 1 v 1 t = ρs 2 v 2 t quindi: S 1 v 1 t = S 2 v 2 t = m ρ L S = m ρ ( p 1 p 2 ) se la densità è costante. Lavoo delle foze di volume: L V = L g = U = m g( h 2 h 1 ) 9

10 F 1 l 1 A 1 B 1 h 1 l 2 F 2 A 2 B 2 h 2 F 1 l 1 A 1 B 1 h 1 l 2 F 2 T = L S + L V A 2 B 2 h mv mv 2 1 = m ρ ( p 1 p 2 ) m g( h 2 h 1 ) dividiamo pe m e moltiplichiamo pe ρ: 1 2 ρv ρv 1 2 = p 1 p 2 ρgh 2 + ρgh 1 p 1 + ρgh ρv 1 2 = p 2 + ρgh ρv 2 2 p + ρgh ρv2 = cost 10

11 Applicazioni della legge di Benoulli Teoema di Toicelli Velocità di efflusso da un piccolo foo. S 1 p 0 h 1 h 2 h S 2 v p 0 p 1 + ρgh ρv 1 2 = p 2 + ρgh ρv 2 2 p 1 = p 2 = p 0 S 1 >> S 2 v 1 0 v 2 = v 1 2 ρv 2 = ρg( h 1 h 2 ) = ρgh v = 2gh Applicazioni della legge di Benoulli Tubo oizzontale S 1 S 2 v 1 v 2 p 1 + ρgh ρv 1 2 = p 2 + ρgh ρv 2 2 S 1 v 1 = S 2 v 2 S = cost v =cost 1 2 ρv 1 2 = 1 2 ρv 2 2 h = cost ρgh 1 = ρgh 2 quindi: p = cost 11

12 S 1 S 2 v 1 v 2 STENOSI E ANEURISMA h 1 = h 2 v 2 > v 1 p 2 < p 1 { { p 1 + ρgh ρv 1 2 = p 2 + ρgh ρv 2 2 S 1 v 1 = S 2 v 2 p 1 p 2 = 1 2 ρ( v 2 2 v 1 2 ) v 2 = S 1 S 2 v 1 S 1 S 2 v 1 v 2 h 1 = h 2 v 2 < v 1 p 2 > p 1 ATTRITO INTERNO - VISCOSITA v 0 =cost F h A causa delle foze intemolecolai c è attito ta gli stati del fluido che scoono l uno sull alto. Lo stato a contatto con la base del ecipiente ha velocità nulla. 12

13 Moto laminae Gli stati scoono gli uni sugli alti senza mescolasi F att F v 0 =cost h y y v = v 0 ( 1 y h ) F A = η S h v 0 La foza di attito inteno vale: η = Fh Sv N m m 2 ms = N s = Pa s (S.I.) 1 2 m η= coefficiente di viscosità poise = 1 10 Pa s (unità c.g.s.) η = f ( T ) η acqu a = 10 2 poise = 1 cp = 10-3 Pa s a 20 C η sangue = poise = 4 cp = Pa s a 20 C 13

14 MOTO STAZIONARIO E LAMINARE DI UN FLUIDO VISCOSO TUBO CILINDRICO ORIZZONTALE A PARETI RIGIDE Il coefficiente di viscosità è funzione solo della tempeatua; diminuisce quando la tempeatua aumenta. v max v = v max ( 1 R 2 R ) 2 0 GUSCI CILINDRICI COASSIALI SCORRONO GLI UNI SUGLI ALTRI SENZA MESCOLARSI CON VELOCITA CHE DECRESCE DAL CENTRO ALLA PARETE. LO STRATO PIU ESTERNO ADERISCE ALLA PARETE LAVORO DEL FLUIDO PER VINCERE LE FORZE DI ATTRITO INTERNO = ENERGIA DISSIPATA IN CALORE. 14

15 E = L ATT (< 0) E F E I = L ATT E I = E F + L ATT S 1 S 2 v 1 v 2 Applichiamo la legge di Benoulli tenendo conto dell enegia (pe unità di volume) dissipata pe attito. p 1 + ρgh ρv 2 1m = p 2 + ρgh ρv 2 2m + E SA Ma: Q = Sv m = cost S 1 = S 2 E quindi v 1m = v 2m h = cost E quindi h 1 = h 2 p 1 + ρgh ρv 2 1m = p 2 + ρgh ρv 2 2m + E SA Alloa pe un liquido eale che scoe con moto laminae in un tubo oizzontale a sezione costante si ha: p 1 = p 2 + E SA E la caduta di pessione è: p 1 p 2 = E SA dove E SA è l enegia specifica dissipata. Pe il moto stazionaio di un fluido eale, agli estemi del condotto ci deve essee una diffeenza di pessione (caduta di pessione) uguale all enegia peduta dall unità di volume del fluido pe lavoae conto le foze di attito. 15

16 Si può dimostae che: p 1 p 2 = 8 ηl π 4 Q v m = v max 2 E che: Dove Q = S v m oppue: Q = π 4 8 ηl ( p 1 p 2 ) LEGGE DI POISEUILLE S = π 2 Q = Sv m p 1 p 2 = 8 ηl π Sv 4 m = 8 ηl π π 2 v 4 m = 8 ηl v 2 m Pe un condotto complesso è oppotuno scivee la legge di Poiseuille in modo analogo alla legge di Ohm. p 1 p 2 = 8 ηl π Q 4 p 1 p 2 = RQ R = 8 ηl π V A V B = R i 4 RESISTENZE IN SERIE R = R 1 + R 2 R 1 R 2 RESISTENZE IN PARALLELO 1 R = R 1 R 2 R = R 1R 2 R 1 + R 2 R 1 R 2 16

17 S 1 S 2 p in S 3 p fin R 1 = 8 ηl 1 π 1 4 R 2 = 8 ηl 2 π 2 4 R 3 = 8 ηl 3 π 3 4 R T = R 1 + R 2R 3 R 2 + R 3 p in p fin = R T Q Q = S 1 v 1m = S 2 v 2 m + S 3 v 3m Regime tubolento Velocità bassa moto laminae Velocità v m v c : Moto tubolento, con votici che ichiedono enegia. v c = velocità citica v c = R η ρ η = viscosità cinem a tica ρ R = numeo di Reynolds R = v cρ η 17

18 R = v cρ η Il moto tubolento si veifica se R < 1000 (v c = velocità media) R < 2000 (v c = velocità massima) Dopo una stenosi R < 1000: si innesca facilmente il moto tubolento, come in tutti i casi di busca vaiazione di cuvatua e di sezione. Il moto laminae è silenzioso. Se il moto è tubolento si sentono femiti e soffi. AORTA: v = 30 cm s -1 flusso laminae V c = 40 cm s -1 VELOCITA DI SEDIMENTAZIONE DEGLI ERITROCITI (VES) In geneale: Pe un copo in moto in un fluido viscoso, si tova speimentalmente che la foza di attito viscoso è popozionale alla velocità del copo: F AV = β v ( v = velocità) β = coefficiente di attito viscoso (N s m -1 ): dipende da η del fluido e dalla geometia del copo pe sfee di aggio R: β = 6 π η R (Legge di Stokes) All equilibio (velocità di sedimentazione v s costante): Peso + Spinta di Achimede + Attito viscoso = 0 mg d plasma gv βv s = 0 S A d eitocita gv d plasma gv βv s = 0 (d eitocita d plasma )gv βv s = 0 (d eitocita d plasma )gv = βv s v s = (d eitocita d plasma )gv β P F AV Eitocita Plasma (V = volumedell eitocita ) In condizioni nomali si ha v s 7 mm/h. Un valoe ilevato molto diveso da questo è dovuto a un volume degli eitociti alteato ispetto alla noma, ed è indice della pesenza di infezioni. 18