Esercitazione 08: Introduzione alla cinematica e dinamica del punto materiale e del corpo rigido

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1 Meccanica e Tecnica delle ostuzioni Meccaniche Esecitazioni del coso. Peiodo II Pof. Leonado BERTINI Ing. io SANTUS Esecitazione 8: Intoduzione alla cinematica e dinamica del punto mateiale e del copo igido Indice 1 Dinamica del punto mateiale 1 2 inematica del copo igido 4 1 Dinamica del punto mateiale Il punto mateiale è un astazione concettuale di un sistema le cui dimensioni sono piccole ispetto alle dimensioni della taiettoia del moto che ealizza. Addiittua la tea può essee consideata un punto mateiale studiandone il moto intono al sole. Il punto mateiale è caatteizzato da dimensioni di ingombo nulle, pe cui la sua posizione (ispetto ad un qualsiasi sistema di ifeimento) è definita, semplicemente, da una tena di coodinate: x,y,z. Il punto mateiale inolte è caatteizzato da una massa m. Le note definizioni della cinematica sono: Velocità v x,v y,v z : v x = dx in cui t è il tempo. v y = dy v z = dz Acceleazione a x,a y,a z : a x = dv x = d2 x 2 a y = dv y = d2 y 2 a z = dv z = d2 z 2 La legge fondamentale della dinamica lega le componenti della isultante delle foze che agiscono sul punto mateiale alle componenti dell acceleazione ispetto ad un sistema di coodinate ineziale: F x = ma x F y = ma y F z = ma z 1

2 Pe le applicazioni di inteesse del pesente coso, un sistema di coodinate ineziale è il suolo teeste, e quindi anche un qualsiasi alto sistema che tasla, in modo unifome e senza uotae, ispetto al suolo. In Fig.1 si mosta un punto mateiale di massa m che si muove lungo una taiettoia cicolae, sul quale agisce l azione F esecitata da un filo. v m F Figua 1: Punto mateiale in moto lungo una taiettoia cicolae. Nel caso in cui il moto cicolae sia unifome, deteminae: 1. l angolo fomato dal cavo con la tangente della taiettoia; 2. la massima velocità di otazione senza causae il cedimento del cavo (esistenza mateiale S U, diameto filo Φ). I dati del poblema sono: m = 1 kg = 1 m S U = 3 MPa Φ = 2 mm La velocità peifeica a cui il filo si ompe è pai a: v = 9.71 m/s. 2

3 Si considei nuovamente il punto mateiale di Fig.1 che si muove lungo una taiettoia cicolae, e a cui viene imposto un moto vaio di acceleazione tangenziale a costante, mediante l azione F del filo. La velocità moto è vaiabile nel tempo: v = v + at [m/s] Le componenti di acceleazione, tangenziale e centifuga, sono ispettivamente: a t = a a c = v2 All istante iniziale t = s, il copo si muove di velocità v =.5 m/s, e si impime un acceleazione tangenziale costante a =.1 m/s 2. Deteminae: La tensione agente nel cavo al tempo t 1 = 5 s. L angolo fomato dal cavo con la tangente alla taiettoia al tempo t 1. Il tempo t necessaio pe aggiungee la condizione di ottua del filo. Al tempo t 1 = 5 s la tensione sul cavo è: σ 1 = MPa, l angolo fomato con la tangente è: θ 1 = Infine, mantenendo l acceleazione imposta, il tempo necessaio pe aggiungee la ottua del filo è: t = 92.1 s. 3

4 2 inematica del copo igido Un copo igido è l insieme di più punti mateiali i quali non possono modificae la loo posizione elativa. Tutti i mateiali di fatto sono invece defomabili, tuttavia il modello di copo igido è spesso molto efficace pe descivee fenomeni dinamici dove la defomazione dei copi è tascuabile. Il campo di velocità istantaneo di un copo igido può essee espesso nella foma: v P = v O + ω OP (1) Dove: v O è la velocità di un qualsiasi punto O del copo igido, v P è la velocità di un qualsiasi alto punto P del copo igido, ispetto ad un sistema di ifeimento, OP è il vettoe dal punto O al punto P, infine ω è il vettoe velocità angolae, ispetto allo stesso sistema di ifeimento, ossia come vaia nel tempo l oientamento del copo igido. In Fig.2 si mosta una uota che otola su un piano. Dato che il moto è di otolamento il punto della uota a contatto con il suolo è femo. Quindi, assumendo il sistema di ifeimento x, y solidale al suolo la sua velocità è nulla: v O =. Inolte la velocità del punto centale della uota è v con oientamento oizzontale. v = O O P P α v y z x Figua 2: Moto di otolamento di una uota ispetto ad un piano. Deteminae la velocità angolae ω, conoscendo v e, e tenendo conto che il moto della uota è piano. Inolte deteminae la velocità v P del punto P. La velocità angolae è: ( ω =,, v ) La velocità del punto P è: ( P v P = v + v sinα, v ) P cosα, 4

5 Deivando, nel tempo, l Eq.1 si può scivee il campo di acceleazione istantaneo di un copo igido: a P = a O + γ OP + ω ( ω OP ) (2) in cui γ è il vettoe deivata della velocità angolae, ossia l acceleazione angolae: γ = d ω Nel caso in cui il punto O sia femo e abbia acceleazione nulla, il temine γ OP appesenta l acceleazione tangenziale e il temine ω ( ω OP ) appesenta l acceleazione centipeta. on ifeimento alla Fig.2, assumendo che l acceleazione del punto sia nulla, deteminae l acceleazione del punto P. L acceleazione del punto P è: ( v ) 2 P a P = 5

6 Nel caso in cui il punto sia dotato di velocità v e di acceleazione tangenziale a, deteminae l acceleazione del punto P. a P = a + a ( P /)sinα a ( P /)cosα ( v ) 2 P cosα P sinα Se al punto P è fissata una massa m, deteminae l azione che la uota esecita su tale punto mateiale. Dati: m = 1 g v = 7 km/h a =.15 m/s 2 = 2 mm P = 15 mm α = 3 F P = N 6