M m. M r. ϕ, ω ( ) ( ) () ϕ() N con N = costante per cui = 0 LAGRANGE. esia

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1 ϕ, J LAGRANGE * ( S δ ( ) + = * & δ G ( ( / T T T T esia GT Gϕ () ϕ() W e quindi = TW & () = = () W T W Supponiamo che il baicento del sistema sia sulla taccia dell asse di otazione, pe cui, mancando alte foze estene che ammettano enegia potenziale: ( ( = S N con N = costante pe cui = S T ( ) ( ) 1 1 ( () W = -() W () W = - () W = - T& () W ( G ( = -T&() W = -T&&() W T& T& * * * * * δ = ( ) δ + ( ) δ = ( δ ) ( δ ) / T T T T = ( ) ( ) -T && Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 1

2 ϕ, J incipio dei Lavoi Vituali * δ / = * * * * δ / - && ϕδϕ δϕ δϕ = + ( ) ( ) = && ϕ = ( ) ( ) - Equilibi dinamici ( ) ( ) && ϕ = - Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 2

3 Bilancio di potenze ϕ, OTENZA : = G/ J G( : = (1) dove l enegia cinetica totale del sistema vale 1 () = () () 2 ( W - W W Moto a egime assoluto : ( () W = N con N= costante : = Moto a egime peiodico: ( () W = ( ( W+ 7) con 7 = peiodo, integando la (1) su un peiodo W W+ 7 = ( + ) ( ) = ( ) = : ( W 7 ( W ( 7 W 7 / + = W ma istantaneamente G( W () Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 3

4 : = G( : = ) Y + N N N M M M pe il geneico punto mateiale k e il geneico copo igido k 1 = 2 ( Y Y N N N N 1 1 = ( Y Y N N *N *N ξ1n ξ1n ξ1n ξ2n ξ2n ξ2n ξ3n ξ3n ξ3n Nel piano: 1 1 ( = Y Y + - N N *N *N *N N N 2 2 Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 4

5 ϕ, J ( ) ( ) = && ϕ - che semplificata pe (N.B.la soluzione = non inteessa la dinamica) ( ) ( ) = && ϕ - Se ( ) > ( ) && ϕ > la macchina accelea Se ( ) < ( ) && ϕ < Se ( ) = ( ) && ϕ = assoluto. la macchina decelea quindi è costante e la macchina è in moto a egime Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 5

6 La condizione di egime assoluto può essee definita: integando numeicamente nel tempo pe cui G ( ) ( ) && ϕ = = - ( ) ( ) () ( ) W W = + ( W W ) - isolvendo numeicamente t ( ) ( ) = gaficamente con la sovapposizione delle cuve caatteistiche - ϕ& & > Condizioni di egime Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 6

7 STABILITA DELLA CONDIZIONE DI REGIME Equazione diffeenziale non lineae a coefficienti non costanti. Detta la velocità di egime studiamo il moto petubato nell intono di quella velocità. G ( ) ( ) + ( ) G ( = ) G ( ) ( ) + ( ) ( ) && ϕ = - ( ) ( ) G = ponendo G G =., G = + && ϕ = = & G = G, = ( ) & + ( ) = -.. equazione diffeenziale lineae a coefficienti costanti di pimo odine, la cui soluzione geneale è del tipo ( W ) = $H λw λw λw - λ $H + (.. ) $H = λw.. ( λ- + (.. )) $H = λ + = λ = ( ).. - ( ) - && ϕ = G ( = ) G ( = ) - Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 7

8 .. >. >. λ = α λ =.. - Moto instabile.. <. <. λ = α Moto stabile M Km Km K K osizione di egime stabile osizione di egime instabile M 5D1 5 D2 5 D3 5 D = 5 > > 5 5 D 1 D2 D3 Q oiché la zona di egime stabile è ta la velocità di coppia massima e quella di sinconismo Q, vista l elevata pendenza della cuva caatteistica ta queste due velocità, da un punto di vista patico si considea Q come velocità angolae di funzionamento della macchina azionata da un motoe elettico asincono tifase. Coso di Meccanica Applicata alle Macchine 8