ESERCIZI E APPLICAZIONI della LEGGE DI FARADAY-HENRY

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1 ESERCIZI E APPLICAZIONI della LEGGE DI FARADAY-HENRY ESEMPIO 1 Alcune consideazioni enegetiche sulla legge dell induzione e.m. Se consideiamo il cicuito di figua dove la f. e. m. supponiamo che la esistenza valga R e tascuiamo l autoinduzione Bvl f. e. m. I R Bvl R - I +

2 Cioè nel cicuito si dissipa una potenza elettica P R pe effetto Joule Bvl B v l P R RI R R R o meglio, il geneatoe di f.e.m. fonisce una potenza P G pe sostenee la coente I Bvl P G. R ( f. e. m ) I Bvl PR Da dove viene tale enegia, tenuto conto che il campo magnetico statico B non fa lavoo? Viene dalla foza estena F est che dobbiamo applicae alla sbaetta in moto peché si muova a velocità v costante. Altimenti la sbaetta si femeebbe come conseguenza della foza F mag magnetica di B sulla coente I. P est F est v IlBv F M B 2 IlB 2 2 v l R 2 F est P R P G

3 ESEMPIO 2 Tacciae un gafico, in funzione della posizione x dell estemità desta della spia, del flusso Φ B attaveso la spia, la f.e.m. indotta ε ind e la Potenza temica P dissipata nella spia D 4 cm, a10 cm, d15 cm, R 16 Ω, B 2 T, v 1 m/s ε ind (mwb/smvolt) 0.4

4 ESEMPIO 3 Una sbaetta conduttice è messa in otazione con velocità angolae costante ω in un campo magnetico unifome. Valutae la f.e.m. ai capi della sbaetta. ε R B v( ) d 0 f.e.m. ind. ε ½BωR 2

5 IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA In tutti i pocessi che avvengono nell univeso l ammontae netto di caica elettica deve imanee sempe lo stesso. (il pincipio è ottenuto dall evidenza speimentale) Questa pincipio si taduce nel die che se pendiamo una supeficie chiusa S e indichiamo con q la caica netta dento S all entata di caica in S coisponde un aumento di q all uscita di caica da S coisponde una diminuzione.

6 Tadotto in un bilancio il pincipio di consevazione della caica pe la supeficie S diventa: diminuzione di caica in S flusso flusso di caica di caica uscente entante flusso netto di caica uscente In temini matematici: dq dq I + I 0 La coente I è pesa positiva se uscente da S, negativa se entante. Tenendo conto della Legge di Gauss (la caica totale ento una supeficie S chiusa è pai al flusso del campo elettico E attaveso la supeficie stessa) d I + ε 0 E ds 0 S Se i campi E sono statici: I 0 N.B. I è ifeita ad una supef. chiusa!

7 LA LEGGE DI AMPERE-MAXWELL Allo stato attuale sappiamo che il campo elettico E e magnetico B sono legati da una legge (Faaday-Heny) che coela la cicuitazione di E lungo una linea chiusa L alla vaiazione del flusso di B attaveso una supeficie che ha L come contono: L E dl d S B ds Pe quel che iguada la cicuitazione di B lungo una linea chiusa L al momento abbiamo tovato una legge (Ampee) che la lega alla coente concatenata (cioè al flusso del vettoe densità di coente j attaveso una supeficie con contono L: L B dl µ 0 I µ 0 S j ds Vediamo come questa legge si mosti non valida pe campi dipendenti dal tempo!

8 Se pendiamo una supeficie S che ha come contono la cuva chiusa L e estingiamo L fino a tendee ad un punto, la cicuitazione di B tende a zeo e quindi dalla legge di Ampee di conseguenza dovebbe essee L B dl sempe : I 0 Ma dal pincipio di consevazione della caica abbiamo visto che I0 solo nel caso di campo elettico statico. d I + ε 0 E ds 0 S Quindi nel caso di campo E(t) la legge di Ampee aiva ad assudo. 0

9 Possiamo supeae l assudo se icodiamo che il pincipio di consevazione della caica aggiunge il isultato: d I + ε 0 E ds 0 S Se sostituiamo questo temine di coente genealizzata nella legge di Ampee otteniamo un isultato fomalmente valido sia pe campi statici che dinamici: L B dl µ I + ε 0 0 d S E ds Tale elazione pende il nome di legge di Ampee-Maxwell e di fatto lega la cicuitazione di B lungo una cuva chiusa L al flusso di caiche (coente) attaveso una supeficie S che ha L come contono e alla vaiazione del flusso del campo elettico attaveso la stessa supeficie.

10 La quantità ε 0 d S E ds I Spostamento Ha le dimensioni di una coente, gioca il uolo di una coente nell equazione che dà la consevazione della caica e viene chiamata coente di spostamento di fatto non è un moto di caiche ma un effetto dei campi E e B vaiabili nel tempo e coelati.

11 In conclusione (nel vuoto in una egione di spazio piva di caiche): un campo elettico vaiabile nel tempo compota l esistenza, nella stessa egione dello spazio, di un campo magnetico tale che la cicuitazione del campo magnetico lungo un pecoso chiuso abitaio sia popozionale alla deivata ispetto al tempo del flusso del campo elettico attaveso una supeficie delimitata dal pecoso stesso. L B dl µ 0 I + ε 0 d S E ds

12 Esempio Caica o scaica di un condensatoe a facce piane cicolai e paallele. Analizziamo cosa succede ai campi dento le amatue. Supeficie attaveso la quale passa il filo pecoso da coente B dl µ 0I L Supeficie che passa attaveso i piatti del condensatoe L B dl µ 0 ε 0 d S E ds

13 Notae l analogia e la simmetia ta le leggi di Faaday-Heny e Ampee-Maxwell in assenza di coenti! L E dl d S B ds L B dl µ 0 ε 0 d S E ds

14 LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA INTEGRALE

15 I CIRCUITI ACCOPPIATI E IL COEFFICIENTE DI MUTUA INDUZIONE Pendiamo due cicuiti (1) e (2) di geometia nota e posti in due punti fissi dello spazio. Nel cicuito (1) cicola la coente I 1 nel cicuito (2) cicola la coente I 2. La coente I 1 cea intono al cicuito (1) un campo magnetico B 1 (P). Alcune linee di foza di B 1 sono concatenate al cicuito (2) (cioè danno oigine ad un flusso del vettoe B 1 attaveso una supeficie S 2 che ha come contono il cicuito (2). Si può dimostae che il flusso di B 1 attaveso la supeficie S 2 vale: Φ MI 2 1

16 Il coefficiente M è funzione solo della foma dei cicuiti, della loo posizione elativa e del mezzo cicostante. Se consideiamo adesso il cicuito (2) in cui cicola la coente I 2, esso cea intono a se un campo magnetico B 2 (P). Alcune linee di foza di B 2 sono concatenate al cicuito (1) (cioè danno oigine ad un flusso del vettoe B 2 attaveso una supeficie S 1 che ha come contono il cicuito (1). Si può dimostae che il flusso di B 2 attaveso la supeficie S 1 vale: Φ MI 1 2 Dove la costante M è la stessa del caso pecedente ed è detta coefficiente di mutua induzione. L unità di misua nel S.I. del coefficiente M è l Heny [H].

17 In conclusione: se abbiamo due cicuiti (1) e (2) in cui cicola coente il flusso di B 1 attaveso il cicuito (2) dovuto a una coente unitaia in (1) è uguale al flusso di B 2 attaveso (1) dovuto ad una coente unitaia in (2). Se la coente nel cicuito (1) I 1 è vaiabile nel tempo il flusso di B 1 attaveso il cicuito (2) Φ 2 cambia. Nel cicuito (2) si induce una f.e.m. di1 V2 M Se la coente nel cicuito (2) I 2 è vaiabile nel tempo il flusso di B 2 attaveso il cicuito (1) Φ 1 cambia. Nel cicuito (1) si induce una f.e.m. di2 V1 M Quindi ta due cicuiti si effettua uno scambio di enegia mediante il campo elettomagnetico. Su questo pincipio si basano applicazioni come: il tasfomatoe o la tasmissione del segnale (antenne).

18 Esempio: Il tasfomatoe tooidale. Ricavae il coeff. di mutua induz. supponendo S<< 2

19 Le onde e la loo equazione Se pendiamo una funzione yf(x) e ne consideiamo la sua taslazione veso la diezione positiva dell asse x di una quantità a otteniamo la funzione yf(x-a). Se avt, dove v è la velocità e t è il tempo la funzione yf(x-vt) appesenta la cuva y che si muove veso desta con una velocità v detta velocità di fase. Analogamente yf(x+vt) appesenta la cuva y che si muove veso sinista con una velocità v. Quindi l espessione matematica y ( x, t) f ( x ± vt) è in gado di descivee uno stato fisico che si popaga senza defomazione lungo l asse x, questo tipo di popagazione viene detta onda.