Le equazioni di Maxwell

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1 Le equazioni di Maxwell Il campo elettico indotto Abbiamo visto nel capitolo pecedente che un campo magnetico vaiabile genea in un cicuito una foza elettomotice indotta. Riconsideiamo questa popietà nella seguente espeienza: poniamo un anello conduttoe all'inteno di un campo magnetico pe il quale facciamo aumentae il valoe dell intensità B. L anello conduttoe è sottoposto ad vaiazione di flusso di campo magnetico e petanto si genea in esso una coente indotta. In paticolae gli elettoni che pima avevano una velocità media nulla, oa si muovono all inteno della stuttua metallica. Se consideiamo la situazione descitta dal punto di vista del campo elettico una caica q che 1 Qq accelea,pe la legge di oulomb F =, è tale pe cui su di essa agisce un campo elettico 2 4πε d F 1 Q E = =. Quindi, sugli elettoni dell'anello metallico agisce un campo elettico. 2 q 4πε d Peò questo campo elettico non è geneato, come al solito, da caiche elettiche ma da una coente indotta, quindi da un campo magnetico vaiabile. Petanto possiamo concludee che: Il campo elettico geneato da una coente indotta e detto campo elettico indotto ed è geneato da un campo magnetico che vaia nel tempo. In questo capitolo vogliamo dimostae che vale anche la elazione invesa,cioè un campo elettico vaiabile genea un campo magnetico indotto. La legge che descive questo effetto di induzione dei campi elettici fu fomulata da James lek.maxwell, che iuscì ad unificae lo studio delle leggi dell'eletticità e del magnetismo: Da qui le equazioni che descivono questa mutua inteazione vengono dette equazioni di Maxwell. Inolte la ecipoca induzione di campi elettici e di campi magnetici dà oigine al fenomeno dell'oscillazione elettomagnetica autosostenuta nel vuoto. Se, inizialmente, esiste un campo elettico oscillante, esso induà un campo magnetico, e questo induà un nuovo campo elettico, e questo induà un nuovo campo magnetico. Petanto questi campi si possono popagae mutuamente. E necessaia una caica o una coente oscillante pe iniziae uno dei due campi ma, dopo questo inizio, essi continuano a popagasi e ad autosostenesi autonomamente.

2 La coente di spostamento Pe intodue tale coente analizziamo isultato seguente, detto anche Il paadosso del teoema di Ampee. Ricodiamo che una coente si dice concatenata ad una linea chiusa se essa taglia la supeficie delimitata dalle cuva stessa. Ricodiamo il teoema di Ampee sula cicuitazione del campo magnetico: la cicuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea chiusa con la quale isulti concatenata una coente che genea il campo magnetico è sempe uguale al podotto della pemeabilità magnetica del vuoto pe l intensità di coente, cioè: B = µ Pimo caso: filo continuo pecoso da coente onsideiamo pima questa situazione: ( ) i Pe il teoema di Ampee abbiamo B = µ ( ) i Immaginiamo di stiae la ciconfeenza: La ciconfeenza iniziale (che facciamo coincidee con il bodo sinisto del cilindo) isulta essee ancoa concatenata al filo conduttoe e sempe pe il teoema di Ampee abbiamo ancoa che la cicuitazione vale: ( B) = µ i Immaginiamo di stiae ulteiomente la supeficie sino a chiudela:

3 Possiamo affemae, come in pecedenza, che la ciconfeenza iniziale (quella che coincide con il bodo sinisto del cilindo) isulta essee ancoa concatenata al filo conduttoe e sempe pe il teoema di Ampee abbiamo ancoa che la cicuitazione vale: B = µ ( ) i Secondo caso: filo non continuo pecoso da coente onsideiamo oa la seguente sezione di un cicuito, composta da un filo conduttoe non continuo inteotto da un condensatoe piano. Lungo il filo scoe coente dovuta ad un geneatoe: onsideiamo pe esso una ciconfeenza concatenata al filo pecoso dalla coente di intensità i. Pe il teoema di Ampee la cicuitazione del campo magnetico lungo la ciconfeenza alla quale è concatenata al coente vale: ( B) = µ i Supponiamo come nel caso pecedente di stiae la ciconfeenza, abbiamo quindi la seguente situazione La ciconfeenza (cioè il bodo sinisto del cilindo, unitamente alla sua pate stiata ) taglia ancoa il filo conduttoe, petanto la coente isulta essee ancoa concatenata alla ciconfeenza, quindi pe il teoema di Ampee abbiamo ancoa ( B) = µ i.

4 Poseguiamo nel pocedimento di stiamento della ciconfeenza, come nel caso pecedente abbiamo:, abbiamo quindi la seguente situazione In questo caso la ciconfeenza (cioè il bodo sinisto del cilindo, unitamente alla sua pate stiata ) non taglia il filo conduttoe, infatti è possibile estae la supeficie dal cicuito senza che questa intesechi il filo pecoso da coente. Dal teoema di Ampee alloa isulta che la cicuitazione è nulla: B = ( ) Ossevazione Pe tutte le coenti che fluiscono lungo cicuiti continui ed ininteotti, la foma della supeficie usata pe intecettae la coente non influisce sulla validità del teoema di Ampee. Nel pimo caso la supeficie illustata al tezo passaggio intecetta la stessa coente che è intecettata dalla supeficie cicolae al pimo passaggio (che non è alto che il bodo della supeficie tidimensionale isultante dopo lo stiamento completo). La diffeenza ta le due distibuzioni consiste nel fatto che nel pimo caso il filo è continuo e quindi esso genea un campo magnetico (che si detemina con legge di Biot-Savat), nel secondo caso invece il cicuito è inteotto, alloa il campo magnetico geneato dal filo in questo caso è uguale a pimo dove il conduttoe è continuo, mente dove il filo si inteompe, in coispondenza del condensatoe, cosa accade? Peché la coente scoa nel cicuito inteotto, ta le amatue del condensatoe ci deve essee un flusso elettico, altimenti la coente dovebbe inteompesi e non scoeebbe olte le amatue del condensatoe. Ta queste ultime, infatti, icodando le linee di campo elettico, abbiamo:

5 Ta le amatue accade che la coente passa ugualmente, pe pote cicolae nel cicuito (infatti basta guadae l intensità della coente nella caica di un cicuito R, se la coente non passasse ta le amatue del condensatoe, avemo sempe intensità di coente nulla pe tale tipo di cicuito). Alloa nel secondo caso: la supeficie non intecetta coente tadizionale ma un flusso elettico che pemette alla coente di attavesae l ostacolo appesentato dell inteuzione pesente ta le amatue del condensatoe. Tale flusso elettico che pemette alla coente di poseguie in cammino lungo il cicuito è chiamata coente di spostamento. Il teoema di Ampee genealizzato da Maxwell alloa diventa: Φ( E) ( B) = µ i + µ ε t Dove il temine la coente di spostamento è data dal temine Ossevazione i s Φ( E) = ε. t L intensità della coente di spostamento dipende dalla vaiazione di flusso di campo elettico. Questa gandezza, natualmente, non è una vea intensità di coente, ma, nel teoema di Ampee genealizzato da Maxwell, ha lo stesso effetto che avebbe se lo fosse. La coente di spostamento appesenta quindi la modalità con cui la coente odinaia iesce a supeae l inteuzione dovuta alla pesenza delle amatue di un condensatoe. Se consideiamo la coente di spostamento i s Φ( E) = ε, il teoema di Ampèe genealizzato da t Maxwell, assume un significato analogo a quello fomulato dalla legge di Faaday-Neumann espessa dall'equazione, infatti quest ultima mette in elazione l'intensità della coente indotta con la apidità di vaiazione del flusso magnetico. La fomula ottenuta in questo paagafo invece mette in elazione il campo magnetico (nel nosto caso la cicuitazione) con la apidità di vaiazione del flusso elettico. Quindi, queste leggi indicano una ceta simmetia negli effetti mutui dei campi elettici e dei campi magnetici.

6 Petanto possiamo affemae che: ome un campo magnetico dipendente dal tempo è capace di indue un campo elettico, così un campo elettico dipendente dal tempo è capace di indue un campo magnetico Le equazioni di Maxwell on l equazione pecedente abbiamo ottenuto quindi una simmetia ta fenomeni elettici e magnetici. Tale popietà è espessa dalle equazioni di Maxwell che sintetizzano La stuttua della teoia classica dei fenomeni elettomagnetici. Pima equazione di Maxwell: teoema di Gauss pe il campo elettico il flusso del vettoe campo elettico attaveso una supeficie chiusa S, è dato dalla elazione Dove i Φ ( Q i i S E ) = ε Q sono le caiche elettiche contenute all inteno della supeficie chiusa S. Seconda equazione di Maxwell: teoema di Gauss pe il campo magnetico il flusso del vettoe campo magnetico attaveso una supeficie chiusa S, è sempe nullo Φ S B ( ) = Teza equazione di Maxwell: teoema di Ampee pe il campo elettico la cicuitazione del campo elettico lungo una linea chiusa è nulla ( E) = Ossevazione Questa equazione equivale alla legge di Faaday Neumann con l ossevazione di Lenz. Quata equazione di Maxwell: teoema di Ampee genealizzato pe il campo magnetico la cicuitazione del campo magnetico podotto da u campo elettico è data dalla seguente elazione: Φ( E) ( B) = µ I + µ ε t Alle quatto equazioni di Maxwell aggiungiamo la legge che espime l equazione di Loenz: F = qe + qv B he descive l azione dei campi elettici e magnetici su una paticella caica in moto.

7 Essa è una sintesi delle fomule: F = qe, legge che espime la foza che agisce su una caica q dovuta all azione di campo elettico E F = qvb, foza di Loenz che espime la foza che un campo magnetico B esecita su una caica in moto Ossevazione Queste leggi descivono una simmetia negli effetti mutui dei campi elettici e dei campi magnetici, infatti come un campo magnetico vaiabile nel tempo è capace di indue un campo elettico, così un campo elettico dipendente dal tempo è capace di indue un campo magnetico. onsideate nel loo insieme le equazioni di Maxwell costituiscono il punto di sintesi e unificazione fa il campo magnetico e il campo elettico. Il sistema assiomatico delle equazioni di Maxwell Diamo qualche definizione pe chiaie meglio il significato di ciò che vogliamo descivee. Definizione: si definisce assioma una poposizione che viene assunta vea senza bisogno di dimostazione. Definizione: si definisce sistema assiomatico un insieme di assiomi che possono essee usati pe dimostae teoemi. Una teoia consiste quindi di un sistema assiomatico e di tutti i teoemi che ne deivano. Ossevazione Un sistema assiomatico è coeente se non pesenta contaddizioni, cioè se non è possibile dimostae a patie da questi assiomi sia un teoema sia il suo contaio. In un sistema assiomatico un assioma è detto indipendente se non può essee dedotto dagli alti assiomi. Un sistema è indipendente se ogni suo assioma è indipendente. Un sistema assiomatico è completo se è possibile dimostae (a patie da questi assiomi) la veità o falsità di ogni poposizione. Alla luce di queste pecisazioni possiamo affemae che le equazioni di Maxwell appesentano pe i fenomeni elettomagnetici u sistema assiomatico completo. ioè dalle equazioni di Maxwell foniscono una descizione completa delle inteazioni fa caiche, coenti, campi elettici e campi magnetici. Tutte le popietà dei campi si possono dedue

8 utilizzando queste equazioni, infatti data la distibuzione di caiche e coenti, queste equazioni deteminano univocamente i campi coispondenti. Inolte le equazioni di Maxwell deteminano univocamente l'evoluzione tempoale dei campi elettomagnetici, a patie da una data condizione iniziale di questi campi. Peciò, queste equazioni svolgono pe la dinamica dei campi elettomagnetici ciò che le equazioni del moto di Newton svolgono pe la dinamica dei punti mateiali. Esempio Diamo un beve esempio di come dalle equazioni di Maxwell sia possibile ottenee alcuni isultati noti. Dalla pima equazione di Maxwell (il teoema di Gauss pe il campo elettico) si ottiene legge di oulomb che descive le foze di attazione e di epulsione fa caiche in quiete. Dalla seconda equazione di Maxwell (il teoema di Gauss pe il campo magnetico) si deduce che non esistono monopoli magnetici. Dalla teza equazione di Maxwell (legge di Faaday-Neumann) si ottiene che un campo magnetico vaiabile nel tempo induce un campo elettico. Le onde elettomagnetiche nelle equazioni di Maxwell Dalle equazioni di Maxwell è possibile dedue un nuovo fenomeno che insogee pe effetto delle ecipoche inteazioni (e induzioni) ta campi elettici e magnetici vaiabili. Illustiamo con un semplice esempio l affemazione pecedente: supponiamo che in una ceta egione di spazio ad un ceto istante si detemini una vaiazione del campo elettico, oiginato, pe esempio, da un moto acceleato di caiche elettiche. Nei punti immediatamente vicini si poduce alloa, pe la quata equazione di Maxwell, un campo magnetico anch'esso vaiabile nel tempo. La vaiazione del campo magnetico, pe la teza equazione di Maxwell, oigina nei punti immediatamente vicini un campo elettico anch'esso vaiabile, e così via. Nasce in tal modo una petubazione elettomagnetica che si popaga nello spazio. Il fatto che una vaiazione del campo magnetico in un punto poduce un campo elettico vaiabile ea noto già pima di Maxwell, in quanto ea pevisto dalla legge di Faaday-Neumann, tuttavia si iteneva che nel momento in cui il campo magnetico si annullasse anche il campo elettico indotto dovesse azzeasi con la conseguenza che il tutto cessasse dopo un piccolo intevallo di tempo

9 dall'istante in cui si ea annullato il campo magnetico. La quata equazione di Maxwell invece ci assicua che il campo elettico vaiabile nel tempo genea un campo magnetico, anch esso vaiabile nel tempo, petanto il pocedimento può ipendee e ipetesi (all infinito) Petanto:consideato un campo elettico oppue un campo magnetico geneati dalla vaiazione nel tempo di uno dei due, essi poi sono in gado di autosostenesi, cioè di popagasi anche se la vaiazione iniziale che li ha podotti è venuta meno. onclusione: da una vaiazione del un campo elettico o del campo magnetico nel tempo, ha oigine la popagazione di un impulso elettomagnetico, cioè di un onda, chiamata pe l'appunto onda elettomagnetica. La velocità di popagazione di un onda elettomagnetica Analizzando il campo elettico di una caica acceleata è possibile dedue la velocità c con cui essa si popaga: c = 1 ε µ Velocità di popagazione di un onda elettomagnetica he coisponde, cica, al valoe 8 c = 3 1 m. s Poiché la luce è un onda elettomagnetica, avemo che tale valoe coisponde alla velocità di popagazione della luce nel vuoto.