Corso di Elettrotecnica 1 - Cod N Diploma Universitario Teledidattico in Ingegneria Informatica ed Automatica Polo Tecnologico di Alessandria

Transcript

1 Schede di Elettotecnica oso di Elettotecnica 1 - od N Diploma Univesitaio Teledidattico in Ingegneia Infomatica ed Automatica Polo Tecnologico di Alessandia A cua di uca FEAIS Scheda N 8 icuiti in oente Altenata: appesentazione con vettoi, sinusoidi, esponenziali eattanze e impedenze

2 Scheda # 8 - icuiti in oente Altenata: appesentazione nel tempo; passaggio ai fasoi; calcolo di impedenze GANDEZZE SINUSOIDAI E OO APPESENTAZIONI. Una gandezza che vaia nel tempo in maniea sinusoidale può essee appesentata attaveso una funzione tigonometica tipo: G( t) = G sen( ω t + ϕ) con: G = valoe massimo assunto dalla gandezza G(t); ω = pulsazione della gandezza (ω = 2 π f ); f = fequenza con cui vaia G(t); ϕ = fase della gandezza G(t). Pe quanto iguada i componenti delle eti in coente altenata olte alle esistenze vi sono anche i condensatoi () e le induttanze (). a capacità dei condensatoi si misua in Faad [F], l induttanza si misua in Heny [H]. Pe isolvee gli esecizi si fa ifeimento alle impedenze (Z) e eattanze (X), misuate in Ohm [Ω], così definite: pe le esistenze: Z = pe le induttanze: X = ω = 2πf pe i condensatoi: X = 1 = 1 ω 2πf Pe quanto iguada la fase di questi componenti: nelle esistenze la tensione è in fase con la coente Z = nelle induttanze la tensione è in anticipo di fase sulla coente di 90 Z = j X nei condensatoi la tensione è in itado di fase sulla coente di 90 Z = -j X avoae con funzioni tigonometiche (ovveo fane somme e podotti) non è pe nulla agevole e comodo, petanto pe opeae sulle gandezze in coente altenata si faà icoso a appesentazioni simboliche mediante fasoi o mediante esponenziali. I fasoi sono dei vettoi otanti nel piano omplesso con fequenza f (o pulsazione ω), i quali vengono fotogafati in un dato istante, il che ende possibile identificae le loo posizioni elative, e quindi le diffeenze di fase o sfasamenti. Pe descivee i fasoi si icoe ai numei complessi, potando alle seguenti appesentazioni: G = e( G) + j Im( G) j ϕ G = G e = G cos( ϕ) + j G sen( ϕ) eff Pe quanto iguada le gandezze di inteesse di questo coso non si fa ifeimento al valoe massimo (quello che compae nelle espessioni tigonometiche) ma al valoe efficace: XMax Xeff = G = e + Im isulta utile icodae come calcolae modulo e fase: 1 Im ϕ = tg e 1

3 Scheda # 8 - icuiti in oente Altenata: appesentazione nel tempo; passaggio ai fasoi; calcolo di impedenze utilità di questo tipo di appesentazione isiede nel fatto che l opeazione di deivazione equivale alla moltiplicazione pe jω, pe cui le equazioni diffeenziali si tasfomano in equazioni algebiche isolvibili con questo passaggio ai fasoi, che sono poi iconducibili alle gandezze nel tempo. e gandezze quali tensione e coente si espimono come visto nella foma: j ( ωt + ϕ V = V e ) eff j I I e ( ωt + ϕ α = ) eff Si noti come entambi i fasoi contengono il temine e jωt che dunque isulta inessenziale e può essee eliminato in tutte le gandezze (esso contiene solo l infomazione sulla pulsazione, ovveo sulla velocità di otazione dei vettoi nello spazio, che peò è la stessa pe tutti); in tal modo, come temine identificativo, imane solo quello elativo alla fase, e quindi agli sfasamenti ta le vaie gandezze. E nomale in campo altenato fissae abitaiamente un ifeimento di fase, nel senso di stabilie quale sia la gandezza avente fase nulla, e consideae tutte le alte gandezze secondo questo ifeimento. Moltiplicae un fasoe pe jω equivale a uotalo di 90 in senso anti-oaio, avendo assunto tale veso come quello positivo di otazione. In oente Altenata continuano a valee tutte le eggi ed i Teoemi elativi alla isoluzione dei cicuiti visti in oente ontinua, dove peò al posto delle sole esistenze si dovanno consideae le eattanze ed impedenze, quindi numei complessi. Impedenze in seie: l impedenza seie di più impedenze si tova come somma delle stesse. Impedenze in paallelo: l inveso dell impedenza paallelo di più impedenze si tova come somma dei ecipoci delle stesse. 2

4 Scheda # 8 - icuiti in oente Altenata: appesentazione nel tempo; passaggio ai fasoi; calcolo di impedenze ESEIZIO 8.1 Deteminae e disegnae il fasoe che appesenta la seguente tensione altenata: V t = 537sen ω t + 45 V. Im Pe isolvee l esecizio si pocede calcolando il valoe efficace della gandezza, quindi la pate eale e quella immaginaia e poi, noti modulo e fase si appesenta come in figua. 537 V EFF = = V ( V) ( ) ( V) ( ) e = 380 cos 45 = 268, 7 = V Im = 380 sen 45 = 268, 7 = V e V = j = ( 1+ j) V V = e j V ESEIZIO 8.2 appesentae in maniea esponenziale, gafica e tigonometica il vettoe: V 2 2 V = = 317, 84 V 300 = actg = 70, V = 317, 84e j 70, 7 ϕ V( t) = 317, 84 2 sen ( ωt + 70, 7) V V = j 300 V. ESEIZIO 8.3 Sommae le seguenti funzioni sinusoidali: a( t) = 282, 8 sen( ωt) b( t) =, sen( t + ) ω π 4 Passaggio ai fasoi: Somma dei fasoi: 282, 8 jωt jωt A = e = 200 e 2 141, 42 + B = e = 100 e 2 j t j t + ω π ω π 4 4 j ωt + π π j t j ω 4 A + B = 200 e e = e 4 e ( ) ( 0,261) (,, ) = j70 7 e = 280 e e = 280 e e itono alle sinusoidi: a( t) + b( t) = sen ( ωt + 14, 64) jωt jωt j actg jωt j 14,64 jωt 3

5 Scheda # 8 - icuiti in oente Altenata: appesentazione nel tempo; passaggio ai fasoi; calcolo di impedenze ESEIZIO 8.4 alcolae l impedenza complessiva ta i punti A e B della figua 4.3 nei casi in cui la fequenza (f) valga 50 Hz e 100 Hz; i dati sono i seguenti: = 30 Ω = 45 mh X = j ω = j 2 π f Z Z = + X = + X j X = + j X 1 X X = = 1411, + j 14, 97 = j 14, 13 Ω = j 28,27 Ω j X50( j X50) ( + j X )( j X ) [ Ω] A = 5, 45+ j 11, 57 [ Ω] B ESEIZIO 8.5 Dato il cicuito in figua calcolae l impedenza equivalente (Z eq ). X = 20 Ω X = 20 Ω = 20 Ω Z = + j X X = 20 Ω ( ) EQ (isonanza seie: il cicuito si compota come un caico solo esistivo) ESEIZIO 8.6 Dato il cicuito in figua calcolae l impedenza equivalente (Z eq ). X = 20 Ω X = 10 Ω = 20 Ω Z = + j X X = 20 j10 Ω EQ ESEIZIO 8.7 Dato il cicuito in figua calcolae l impedenza equivalente (Z eq ). X = 20 Ω X = 20 Ω = 20 Ω 20 j20 ZEQ = Z + Z Z = j j20 ( / / ) 20 = j + ( + j) = ( j) Ω 4

6 Scheda # 8 - icuiti in oente Altenata: appesentazione nel tempo; passaggio ai fasoi; calcolo di impedenze ESEIZIO 8.8 Dato il cicuito in figua calcolae l impedenza equivalente (Z eq ). X = 20 Ω X = 20 Ω = 20 Ω Z = Z + Z / / Z = j Ω EQ ESEIZIO 8.9 Dato il cicuito in figua calcolae l impedenza equivalente (Z eq ). X = 10 Ω X = 20 Ω = 20 Ω Z = + Z / / Z = 20 1 j Ω EQ ESEIZIO 8.10 Dato il cicuito in figua calcolae l impedenza equivalente (Z eq ). X = 20 Ω X = 10 Ω = 20 Ω Z = + Z / / Z = j Ω EQ ESEIZIO 8.11 Dato il cicuito in figua espimee l impedenza equivalente 1 Z = j ω 1 j j ω ω Ztot = 1 j + jω ω I 1 V V A I 2 I 3 B 5