Trasporto parallelo vettoriale

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1 aspoto paallelo vettoiale d.ing. Albeto Sacchi Sviluppo Pogetti Avanzati sl 0) SINESI (abstact) Descizione elementae tipicamente geometico figuativa del taspoto paallelo di un vettoe su di una supeficie cuva in uno spazio tidimensionale quale pemessa allo sviluppo del tensoe di cuvatua di Riemann Geometic-elementay paallel vecto tanspot on cuved suface in 3-D space as peequisite of cuvatue Riemann tenso 1) NOA INRODDUIVA (intoductoy note) Pof. ullio Levi Civita - Da capitolo I- Pate Pima - Lezioni di calcolo diffeenziale assoluto - Albeto Stock Editoe - Roma Avviene fequentemente in geometia analitica che elazioni algebiche di foma complicata taducano popietà geometiche semplici, si che, mente quelle elazioni algebiche mal si pestano ad essee enunciate in paole, si può invece, usando il linguaggio delle geometia, espimee le equivalente elazioni geometiche in modo chiao, conciso ed accessibile all'intuizione; spesso poi le elazioni geometiche sono più facili da scopie che non quelle analitiche coispondenti, si che il linguaggio geometico fonisce non solo un espessivo mezzo di esposizione, ma anche un efficace stumento di iceca. Ed è nel ispetto del pensieo di Levi Civita che nel pesente scitto non solo si faà ifeimento a supefici bidimensionali immese in R3, unico spazio che ci è concesso di pecepie concetamente, ma anche si appesenteanno gaficamente le vaie popietà geometiche tattate. La visione fisica, tamite disegni pospettici fonisce una immediata compensibilità delle vaie elazioni analitiche definenti il taspoto paallelo vettoiale. 2) RASPORO PARALLELO DI CURVE PIANE (plane cuves paallel tanspot) Il taspoto paallelo di un vettoe lungo una cuva piana compota la invaianza di modulo, diezione e veso. E' il V Postulato di Euclide (da un punto P su di un piano è possibile tacciae una ed una sola paallela ad una etta data) che detemina la diezione, mente veso e modulo sono gaantiti dalla isotopia dello spazio euclideo

2 FIG.1 P V 3) RASPORO PARALLELO SU SUPERFICI SVILUPPABILI Quale esempio si considei la supeficie di una cilindo avente come base un cuva piana apeta od un cono con base cuvilinea (FIG.2) FIG.2 Su di una supeficie sviluppabile Λ si può taslae paallelamente un vettoe V da P1 a P2 seguendo una qualsivoglia cuva di taspoto semplicemente opeando sul piano su cui si è sviluppata Λ esattamente come descitto al pecedente paagafo e successivamente ipistinando la cuvatua iniziale iavvolgendo il piano.( FIG.3) FIG.3 P2 P1 g' g'' g''' g'''' Infatti una supeficie sviluppabile è detta anche igata intendendosi che sia possibile costuie una famiglia infinita di ette inteamente contenute in essa.

3 La possibilità di iavvolgee il piano su cui è stata sviluppata la cuva è deteminata dalla dimensione infinitesima della supeficie tiangolae (coloata in giallo) dovuta all' infinità numeabile delle ette g', g'', g''', g'''' ecc. Ne deiva che l'angolo ϖ di cui ciascun supeficie piana tiangolae è uotata ispetto alla successiva è diffeenziale, cioè è = dϖ ( FIG.4) La otazione avviene attono alla cuva che sepaa la supeficie (nel caso paticolae illustato tattasi di supeficie tiangolae) Ω dalla supeficie Ω' FIG.4 Ω Ω' dϖ 3) PARAMERIZZAZIONE (paameteization) Poiché pe definie compiutamente una supeficie bidimensionale sono sufficienti 2 vaiabili (sul piano catesiano ascissa X ed odinata Y) la paametizzazione della equazione catesiana di una sfea di aggio R e con il cento all'oigine degli assi (X 2 + Y 2 + Z 2 = R 2 ) diviene: X = X (x 1, x 2 ) Y = Y (x 1, x 2 ) (3.1) Z = Z (x 1, x 2 ) dove X,Y,Z sono gli assi catesiani otonomali mente x 1 e x 2 s sono vaiabili specifiche della supeficie inteessata. Nel caso paticolae (esempio esplicativo) di una sfea x 1 e x 2 possono essee gli angoli φ e ψ (FIG.5) od una loo funzione tigonometica mente nel caso geneale di una supeficie bidimensionale immesa in uno spazio 3D sono le (1.1) Z FIG.5 φ Pp PX,Y,Z X =R cosψ cosφ Y = R senφ cosψ ψ Z = R senψ X Y

4 4) RASPORO PARALLELO SU DI UNA VARIEA' NON SVILUPPABILE (paallel tanspot on geneical 2D suface) Nel seguito si faà specifico ifeimento (pe semplicità di appesentazione gafica) alla supeficie non sviluppabile di una sfea. La sfea è non sviluppabile o, equivalentemente, è una supeficie non igata, non potendosi tacciae su di essa una etta od una pozione di etta (segmento ettilineo) completamente contenuto in essa (cioè giacente sulla supeficie) Il taspoto paallelo su tale tipologia di supefici Λ è effettuabile mediante lo stesso pocesso geometico-cinematico pevisto pe una supeficie sviluppabile con la sola condizione che la cuva di taspoto (pag 2 FIG.3) sia una pozione compesa ta P ep1 di una geodetica di Λ. Nel caso paticolae di una sfea le geodetiche sono tutti i paalleli e tutti i meidiani (usando una teminologia tipicamente geogafica) FIG.6 P σ Ω' Ω P1 P1 P L'aco di geodetica PP1 assuma valoe infinitesimo (PP1= dp); in tali condizioni dp isulteà assimilabile ad un segmento ettilineo (a meno di diffeenziali di II odine) e le supefici Ω ed Ω' saanno assimilabili ad un piano a meno di infinitesimi di II odine ispetto alla gandezze in gioco. Si considei la cuva (cuva di taspoto) giacente sulla supeficie sfeica compendente P P1 e si costuisca la sviluppabile igata lungo (FIG.6); sia essa σ. σ è tangente alla supeficie sfeica lungo e, quindi anche lungo P e P1 che giacciono su FIG.7 σ Ω' Ω P1 P u1 u1 u u Un geneico vettoe u da P e tangente alla supeficie sfeica isulteà tangente a σ. Si è oa in gado di pocedee come pe una supeficie sviluppabile taspotando paallelamente a se stesso u da P a P1 sul piano di sviluppo, poi dal piano di sviluppo alla σ e da questa alla sulla sfea.

5 Quindi, citando testualmente Levi Civita in Lezioni di calcolo diffeenziale assoluto : conveniamo di chiamae paallela a P1 ad una diezione geneica supeficiale u in P lungo l linea, la diezione supeficiale u1 che sulla sviluppabile σ è paallela a u nel senso poc'anzi definito (cioè sul piano di sviluppo della sviluppabile) 5) FORMA DIFFERNZIALE DEL RASPORO PARALLELO (diffeential fom of paallel tanspot) E' a questo punto necessaio dotae di un suppoto matematico le nozioni pettamente geometiche sino ad oa descitte, Si iduca ad un tatto infinitesimo dp l'aco di geodetica compeso ta P e P1. e si imponga una otazione attono alla etta (FIG.7+ FIG.8) della supeficie contenente P ispetto a quella contenente P1 FIG.8 Ω1 Ω In odine al valoe diffeenziale di PP1 = δp la δp laghezza delle supefici Ω ed Ω1 è ds e l'angolo di otazione attono ad è dω P1 P V Il vettoe appesentante la otazione di Ω sia dω* dω* avente diezione paallela ad dω Duante la otazione di Ω il vettoe V associato a P è tangente sia ad Ω che alla supeficie sfeica (in quanto l'intea sviluppabile σ è tangente alla sfea) subià una vaiazione geneata dal podotto vettoiale di V e di dω*. ale vaiazione sia dv e quindi V taspotato da P a P1 diveà: V1 = V + dv (5.1) dove dv = VΛ dω* (5.2) è nomale al piano Ω su cui si tova V ed anche il vettoe dω* appatenente sia ad Ω che ad Ω1 Allo scopo di fonie una evidenza geometica alla (5.2) si immagini un punto P uotante con velocità angolae ω di una ciconfeenza di aggio R. L'asse di otazione sia la nomale al piano del cechio passante pe il suo cento (FIG.9) FIG.9 ω V

6 PP' V = ωr deivando dv = dω R dove, nel caso di (FIG. 8) R = dω isulta nomale a PP' e quindi 2 il podotto scalae dv. δp = 0 (ovveo la poiezione di ω su R con ifeimento a FIG.9 si iduce ad un punto pivo di dimensione). Siano dvi (i = 1,2,3) le componenti catesiane del vettoe dv ovveo: dv = dvx + dvy + dvz e δpi ( i= 1,2,3) quelle del vettoe δp ovveo δp = δpx + δpy + δpz La dv.δp = 0 in coodinate catesiane diviene: dvx.δpx + dvy.δpy+ dvz.δpz = 0 Equazione simbolica dello spostamento paallelo. 6) SPOSAMENO PARALLELO E RELAIVIA' GENERALE La (5.1) e la (5.2) mostano come lo spostamento paallelo diffeenziale di un vettoe lungo una geodetica di una supeficie cuva non igata compoti la modifica dello stesso. Estendendo tale spostamento ad una cuva piana chiusa composta da tatti di geodetiche, il vettoe itona alla posizione di patenza uotato di un angolo funzione della cuva di taspoto ma anche (fenomeno ilevante) della cuvatua della supeficie. L'angolo ta posizione iniziale e posizione finale può essee adottato come misua della cuvatua dell'aea di supeficie acchiusa dalla cuva chiusa. E' nozione comune, deivata dalla Relatività Geneale di Albet Einstein, come massa-enegia deteminino una cuvatua della spaziotempo di Minkowskj ed è, conseguentemente, essenziale