1. Interazioni elettrostatiche

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1 FISICA Elettostatica 9. Inteazioni elettostatiche. Alcuni fatti speimentali Pime definizioni di caica elettica L amba è una sostanza, che, stofinata con un pezzo di stoffa, acquista la popietà di attae copi leggei, come pagliuzze, fili d eba, pezzetti di cata. Pe indicae questa popietà si dice che l amba si elettizza. Il temine eletticità, intodotto dall inglese William Gilbet (54, 63), deiva dal nome stesso dell amba: élekton, in geco. Molte alte sostanze, quando sono stofinate, si compotano come l amba: si elettizzano e attiano piccoli copi. Ta queste sostanze ci sono il veto e molte mateie plastiche, pe esempio il plexiglas. È possibile elettizzae gli oggetti anche senza stofinio, ponendoli semplicemente a contatto con alti oggetti già elettizzati. In tal caso si pala di elettizzazione pe contatto. Due oggetti elettizzati inteagiscono ta loo. Se sono dello stesso mateiale e vengono elettizzati allo stesso modo, i due oggetti si espingono. È il caso, pe esempio, di due sfeette di veto stofinate con lana. Se invece sono oggetti di mateiale diveso possono anche attasi, come, pe esempio, nel caso di due sfeette di veto e plastica. Veso la metà del Settecento il fisico statunitense Benjamin Fanklin (76-79) spiegò questi fenomeni palando di fluidi elettici scambiati ta i divesi copi. Secondo Fanklin, duante lo stofinio o il contatto, una ceta quantità di eletticità si tasfeisce da un oggetto a un alto. Alla quantità di eletticità si dà il nome di caica elettica. Pe distinguee l attazione e la epulsione ta copi caichi, diciamo che, stofinando una bacchetta di veto con un panno di lana, il veto acquista una caica positiva, mente la lana acquista una caica negativa di uguale entità. Vicevesa, stofinando una bacchetta di plexiglas con un panno di lana, il plexiglas si caica negativamente e la lana si caica positivamente in egual misua. Il fatto di definie positiva la caica assunta dal veto e negativa quella assunta dal plexiglas è una scelta convenzionale. Poiché un copo non elettizzato non ha la popietà di esecitae foze elettiche sui copi cicostanti, diciamo che esso è eletticamente neuto: contiene caiche positive e negative in ugual numeo.. Stuttua dell atomo Tutta la mateia che ci ciconda è fatta di atomi. Un atomo è essenzialmente composto da te componenti divesi: elettoni, potoni e neutoni. I potoni e i neutoni sono nella pate più intena, nel nucleo, ma solo i potoni hanno una caica elettica positiva. Gli elettoni, più esteni, hanno caica elettica negativa. elettone elettone neutone potone Nomalmente, un atomo è eletticamente neuto: ciò significa che esso ha un ugual numeo di potoni e di elettoni; la caica positiva dei potoni è bilanciata dalla caica negativa degli elettoni. Un atomo non ha quindi caica elettica isultante. Un elettone può essee stappato facilmente da un atomo. Quando gli atomi guadagnano o pedono elettoni essi vengono indicati con il nome di ioni. uno ione positivo, catione, è un atomo o una molecola che ha peduto uno o più elettoni. uno ione negativo, anione, ha invece guadagnato uno o più elettoni aggiuntivi. Elettostatica - -

2 FISICA Elettostatica 9 3. Caica Elettica Quando alloa un copo possiede caica elettica? Si dice che deteminati oggetti hanno una caica elettica se essi esecitano foze elettiche con alti copi caichi. La caica elettica è dunque la causa di una foza elettica. L esistenza in un copo di una caica elettica macoscopica, cioè ossevabile ad occhio o con nomali stumenti di misua, è sempe iconducibile alla stuttua atomica della mateia e cioè al fatto che i costituenti più piccoli della mateia (elettoni e potoni) sono dotati di caica elettica. Ci sono due tipi di caiche elettiche, la caica positiva () e la caica negativa (-). Si è già detto che caiche elettiche dello stesso tipo ( con, o - con -) si espingono, mente caiche opposte ( con -) si attiano ecipocamente. Figua Repulsione ta caiche dello stesso segno Figua Attazione ta caiche di segno opposto L'unità di misua della gandezza fisica caica elettica è il coulomb, indicato con "C". coulomb è una caica elettica enome. Si pensi che due caiche di coulomb, poste alla distanza di meto, si attaggono (o si espingono) con una foza di 9 miliadi di Newton, pai al peso di 9. tonnellate. Le caiche elettiche in gioco nei pocessi di elettizzazione sono molto più piccole. 4. Conduttoi ed isolanti Le sostanze possono essee classificate dal punto di vista elettico in te categoie: isolanti, conduttoi, e semiconduttoi. Gli Isolanti sono mateiali che si lasciano attavesae da pochissime caiche elettiche, come anche da pochissima enegia temica. Le plastiche, il veto, l'aia secca e il legno secchi sono esempi di isolanti. I Conduttoi sono mateiali in cui le caiche elettiche e l'enegia temica si possono tasmettee molto facilmente. Quasi tutti i metalli, come l'agento, il ame, il feo, l'oo ed il piombo, sono buoni conduttoi; sono buoni conduttoi di eletticità l'acqua salata o acidula. I Semiconduttoi sono mateiali che pemettono alle caiche elettiche di scoee meglio che negli isolanti, ma meno che nei conduttoi. Esempi di semiconduttoi sono il silicio ed il gemanio con un dogaggio, cioè la pesenza voluta di piccoli quantitativi di alti elementi. I semiconduttoi sono alla base del funzionamento di tutte le tecnologie elettoniche. 5. Elettizzazione Si definisce elettizzazione un qualsiasi pocesso fisico mediante il quale le caiche elettiche positive vengono sepaate da quelle negative. Un copo elettizzato pesenta dunque un accumulo di caica elettica di un solo segno; pe tale motivo, può attae a sé piccoli oggetti, anche neuti. Esistono te tipi di elettizzazione: pe stofinio, pe contatto, pe induzione elettostatica. Elettizzazione pe stofinio Quando due oggetti sono stofinati insieme, alcuni elettoni da uno degli oggetti si spostano sull'alto. Pe esempio, quando una bacchetta di veto è stofinata su della lana, alcuni elettoni si tasfeiscono dal veto alla lana. Peciò, la lana saà caica negativamente (in quanto avà acquistato degli elettoni) e la bacchetta di veto saà caica positivamente (in quanto ha peso degli elettoni). Elettostatica - -

3 FISICA Elettostatica 9 Elettizzazione pe contatto Un conduttoe neuto può essee caicato mettendolo a contatto con un secondo copo che possiede un eccesso di caiche elettiche dello stesso segno. Nella fig. a il copo caico è C e il copo neuto è N; quando C viene posto a contatto con N (fig. b), pate delle caiche di C si distibuiscono su N; una volta sepaati (fig. c) i due oggetti isultano caichi entambi dello stesso segno. C C C fig.b fig.a N fig.c N N Figua 3 Elettizzazione pe contatto ta due copi Elettizzazione pe induzione Se si avvicina un copo caico C ad un copo conduttoe senza che essi siano a contatto, nel conduttoe avviene una idistibuzione delle caiche elettiche. Sulla pate del conduttoe che guada al copo caico appaiono caiche di segno opposto a quelle di C (poiché caiche di segno opposto si attaggono); sul lato opposto del conduttoe appaiono caiche dello stesso segno di C (poiché caiche dello stesso segno si espingono). Ad esempio, se alle due sfeette metalliche A e B, inizialmente a contatto ta loo (fig. a), viene avvicinato il copo C caico positivamente (fig. b), la sfeetta A che è dalla stessa pate di M si caica negativamente; la sfeetta B che è dalla pate opposta ispetto a C si caica positivamente (fig. c). Se successivamente si sepaano le due sfeette esse manteanno il loo stato di caica (fig. d e fig. e). C C A A A A fig.a fig.b fig.c fig.d B B B B A fig.e B Figua 4 Elettizzazione pe induzione 6. La Legge di Coulomb L inteazione ta due caiche elettiche puntifomi fisse nel vuoto è govenata dalla legge di Coulomb. In base ad essa, la foza esecitata da una caica sull alta isulta: Elettostatica - 3 -

4 FISICA Elettostatica 9 a) diettamente popozionale al podotto delle due caiche; b) invesamente popozionale al quadato della distanza ta le due caiche; c) dietta secondo la etta congiungente le due caiche; d) epulsiva pe caiche dello stesso segno e attattiva pe caiche di segno opposto. La foza di Coulomb può essee espessa dalla fomula seguente: q q F = 4 πε dove: F è la foza ta le due paticelle, q è la pima caica, q è la seconda caica, d è la distanza ta le paticelle, ε è una costante che pende il nome di costante dielettica del vuoto, di valoe pai a 8, F F q d q Figua 5 Foze epulsive ta caiche dello stesso segno q F d F q Figua 6 Foze attattive ta caiche di segno opposto La foza F viene esecitata dalla caica q sulla caica q e vicevesa, dalla caica q sulla caica q. Pe il tezo pincipio della dinamica la foza che q esecita su q è uguale (in modulo e come diezione) ed opposta (come veso) a quella che q esecita su q. La legge di Coulomb fu enunciata da Chales Augustin de Coulomb (736-86) nel 785, in seguito ad numeose espeienze con un appaato speimentale detto bilancia di tosione. Tale legge ha avuto dai tempi di Coulomb ad oggi innumeevoli veifiche speimentali diette e indiette. La foza di Coulomb è molto simile, nell espessione matematica, alla foza di attazione gavitazionale di Newton. Ricodiamo l espessione matematica di tale foza: m m F = G dove: F è la foza di attazione ta le due masse, m è la pima massa, m è la seconda massa, è la distanza ta le masse, G è una costante che pende il nome di costante di gavitazione univesale. Come la foza di Coulomb è diettamente popozionale al podotto delle caiche, così la foza di gavitazione univesale è diettamente popozionale al podotto delle due masse; entambe le foze sono invesamente popozionali al quadato della distanza e sono diette lungo la etta congiungente i due copi. L unica diffeenza stuttuale è che la foza di Coulomb può essee attattiva o epulsiva, mente la foza di gavitazione è sempe attattiva. Elettostatica - 4 -

5 FISICA Elettostatica 9 Inolte le foze elettiche sono enomemente più intense di quelle gavitazionali: se ad esempio si consideano due potoni, che sono paticelle elementai dotate di massa e di caica, le foze elettiche (epulsive peché caiche dello stesso segno) sono, miliadi di miliadi di miliadi di miliadi di volte più intense di quelle gavitazionali. 7. Costante dielettica di un mezzo Date due caiche elettiche alla distanza, la foza che si esecita ta loo quando sono immese in un mezzo è minoe di quella che si esecita quando sono nel vuoto. L espessione della foza elettica in un mezzo diveso dal vuoto si modifica così: q q F = 4 πε Vediamo che al posto della costante ε compae la costante ε, che è la costante dielettica del mezzo. Il valoe della costante dielettica di un mezzo ε si espime poi ispetto alla costante nel vuoto ε secondo la fomula seguente: ε ε = dove ε è la costante dielettica elativa del mezzo ispetto al vuoto. La fomula pecedente è molto comoda: pe avee il valoe della costante dielettica di un mezzo qualunque, è sufficiente moltiplicae il valoe di ε pe il valoe di ε di quel mezzo. I valoi di ε possono essee tovati sulle tabelle: mezzo ε mezzo ε Vuoto Olio, Aia,6 Veto da 5 a 8 Plexiglas 3,4 Pocellana 5,3 Acqua 8 Se ad esempio ci chiediamo quanto valga la foza esecitata ta due caiche poste in acqua, ispetto alla foza esecitata ta le stesse due caiche disposte all asciutto, possiamo scivee: ε F ACQUA = 4πε ACQUA q q = q q 4π 8 ε q q = 8 4πε = F 8 VUOTO Dunque la foza elettica ta due caiche in acqua è 8 volte meno intensa di quella che si eseciteebbe ta le stesse due caiche poste nel vuoto. 8. Il pincipio di sovapposizione della foza elettostatica. Ta due caiche elettiche si esecita una foza attattiva o epulsiva, il cui valoe è deteminato dalla legge di Coulomb. Ma se una caica elettica subisce attazione non da una, ma da più caiche elettiche contempoaneamente, cosa succede? Pe la foza elettica vale il cosiddetto pincipio di sovapposizione delle foze. Tale pincipio affema che: in pesenza di più caiche elettiche la foza agente su ciascuna, isultante dall inteazione con tutte le alte, è pai alla somma vettoiale delle foze di Coulomb che su essa vengono esecitate da ogni singola caica. Elettostatica - 5 -

6 FISICA Elettostatica 9 q d Q F F = F F F d q Figua 7 Sovapposizione delle foze elettiche q F d d Q F F = F F q Figua 8 Sovapposizione delle foze elettiche Nelle figue di sopa sulla caica Q (positiva) agisce una foza F, esecitata dalla caica q e una foza F, esecitata dalla caica q (positiva nell esempio di fig. 7 e negativa nell esempio di figua 8); la foza complessiva F saà la somma vettoiale delle due foze F e F,eseguita mediante la nota egola del paallelogamma. F = F F 9. Consevazione della caica elettica Un sistema fisico si dice isolato quando esso non ha scambi di mateia attaveso la supeficie che lo limita. Il pincipio di consevazione della caica elettica si può enunciae dicendo che in un sistema fisico isolato la caica totale, pai alla somma algebica delle caiche (positive e negative) in esso contenute, è costante nel tempo. In alte paole, non è stata mai ossevata ceazione (o scompasa) di una singola caica senza che, contempoaneamente si veificasse, nello stesso luogo, la ceazione (o la scompasa) di una caica uguale e contaia. Il pincipio di consevazione della caica elettica fu scopeto speimentalmente da Michael Faaday (79-867), un fisico inglese. L espeimento consisteva nell entae in una gande sfea di metallo, all esteno della quale c ea un delicatissimo galvanometo pe misuae la caica sulla sfea in modo che una piccola caica avesse un gande effetto. All inteno della sfea Faaday costuì ogni sota di stani appaecchi elettici. Podusse delle caiche stofinando bacchette di veto con pelli di Elettostatica - 6 -

7 FISICA Elettostatica 9 gatto, e costuì gosse macchine elettostatiche cosicché l inteno della sua sfea sembava uno di quei laboatoi dei film dell ooe. Ma duante tutti questi espeimenti nessuna caica si sviluppava alla supeficie; non c ea nessun cambiamento della caica totale. Sebbene la bacchetta di veto poteva essee diventata positiva dopo che ea stata caicata stofinandola sulla pelle di gatto, questa diventava negativa nella stessa quantità, e la caica totale ea sempe nulla, peché, se si fosse sviluppata all inteno della sfea, il suo effetto saebbe appaso sul galvanometo all esteno. E così, la caica totale è consevata.. Quantizzazione della caica elettica. Un isultato speimentale di gandissima impotanza pe la fisica è quello della quantizzazione della caica elettica. Tale isultato è stato confemato da moltissime espeienze, la più impotante delle quali è quella di Millikan del 99: I valoi assunti dalla caica elettica sono soltanto multipli intei della caica dell elettone (che petanto è indivisibile). Ciò significa che la caica dell elettone è la più piccola quantità di caica esistente in natua. Ogni alto copo ha una caica che può essee uguale a quella dell elettone, doppia, tipla, quadupla di quella dell elettone, pai a volte, ecc., ma mai pai una fazione di quella dell elettone. A questo poposito si suole die che la caica elettica è quantizzata. La caica di un elettone, indicata con il simbolo e, è negativa, quella del potone, ad essa uguale in valoe assoluto, è positiva. Il suo valoe, nel Sistema Intenazionale è: e =,6 9 C Quanti elettoni ci sono in C di caica? La isposta coetta è un numeo di Avogado di elettoni, cioè 6,5 8. Infatti: e,6 8 N e = = = 6,5 9 Nota. Già da alcuni anni è stata avanzata l ipotesi, fondata su consideazioni teoiche, che esistano paticelle, i cosiddetti quak, aventi caica elettica fazionaia ed infeioe a quella dell elettone, pai a ( /3)e e (- /3)e; gazie a tale ipotesi è stato possibile inquadae in un unico modello teoico (il cosiddetto Modello Standad) il gande numeo di paticelle elementai oggi conosciute. Data l'elevata intensità delle inteazioni nucleai foti, ossevae un quak libeo ichiedee un'enegia e- stemamente elevata, che tuttoa è al di là della potata degli acceleatoi di paticelle. Si pensa sia possibile l esistenza di un plasma di quak e gluoni (QGP) libei ad elevatissime enegie. Resta un misteo da sciogliee da cosa deivi la caica dei quak e dell elettone. Elettostatica - 7 -

8 FISICA Elettostatica 9. Campi scalai e campi vettoiali. Il campo elettostatico Immaginiamo la seguente situazione: nello stesso istante, molte pesone, poste in punti divesi di una stessa egione misuano la tempeatua e ce la comunicano. Possiamo descivee la situazione di quella egione con un disegno in cui indichiamo i vai punti dove si tovano le pesone. Associamo a ogni punto un numeo, che appesenta la tempeatua misuata in quel luogo. La mappa che ne isulta è il campo di tempeatua che c'è in quel momento nella egione. Figua Campo scalae di tempeatue Poiché pe specificae la tempeatua è sufficiente solo un numeo (è una gandezza scalae), il campo di tempeatua è definito campo scalae. Nello stesso modo, è possibile definie un campo vettoiale, che invece appesenta la distibuzione nello spazio di una gandezza vettoiale. Quando lo scoso anno abbiamo studiato la gavitazione, abbiamo visto come Tea genei attono a sé un campo gavitazionale. Abbiamo detto che la pesenza della Tea modifica le popietà dello spazio cicostante nel senso che, se poniamo in un punto qualunque dello spazio vicino alla Tea una massa, questa isente della foza attattiva teeste. Pe compendee come la pesenza della Tea possa alteae le popietà dello spazio cicostante, abbiamo paagonato lo spazio ad un tappeto elastico. Se il tappeto è libeo, esso è ben teso ed indefomato. Se invece sul tappeto viene posto un copo pesante, esso si defoma e si cea un avvallamento. Un qualunque alto copo dotato di massa, in movimento sul tappeto, isentià dell influenza dell avvallamento e vi cadà dento oppue vedà la sua taiettoia inizialmente ettilinea defomasi e incuvasi veso la buca. Figua Rappesentazione di un campo gavitazionale mediante l analogia del tappeto elastico Elettostatica - 8 -

9 FISICA Elettostatica 9. Campo elettico di una caica puntifome Definizione Il concetto di campo elettico è analogo a quello di campo gavitazionale. Consideiamo una caica Q posta in un punto O dello spazio. La pesenza della caica Q modifica le popietà dello spazio cicostante nel senso che, se poniamo in un qualunque punto dello spazio attono a Q un alta caica elettica q, quest ultima saà sollecitata da una foza elettica attattiva o epulsiva poveniente da Q. La caica Q viene denominata caica sogente del campo. E ( P) P Q O ' P' E ( P' ) Il campo elettico è un vettoe definito in ogni punto dello spazio e in geneale diveso da punto a punto, a seconda della sua posizione ispetto alla caica sogente (campo vettoiale). Nel Sistema Intenazionale (S.I.) il campo elettico si misua in newton/coulomb (simbolo N/C). Il campo elettico nel punto P ha: a) come diezione quella della etta congiungente OP; b) come veso quello uscente se la caica sogente è positiva, entante se la caica sogente è negativa; Q c) come modulo l espessione seguente E( P) = 4 πε Dall espessione matematica si vede che: il campo elettico in un deteminato punto dipende dal valoe della caica Q; pe tale motivo Q viene denominata sogente del campo; infatti se Q fosse uguale a zeo anche il campo saebbe nullo. il campo elettico in un punto P dello spazio dipende dalla distanza del punto P dalla posizione O della sogente: il suo valoe diminuisce con il quadato di tale distanza. Quando studiammo il campo gavitazionale dicemmo che esso è invisibile ai nosti occhi ma ce ne possiamo accogee indiettamente, quando osseviamo che un copo dotato di massa viene attatto veso il cento della Tea. Analogamente ci accogiamo dell esistenza del campo elettico geneato da una caica sogente Q se, ponendo nella zona cicostante un alta caica q (detta caica di pova) essa subisce una foza elettostatica attattiva o epulsiva. Ribadiamo peò due punti fondamentali: il campo elettico in una zona dello spazio esiste indipendentemente dal fatto che ci mettiamo o meno una caica di pova pe ivelane la pesenza. È un po come quando siamo in un luogo illuminato ma teniamo gli occhi chiusi; il fatto che non vediamo la luce non implica che la luce non ci sia: la luce esiste indipendentemente da se ci sono occhi a vedela oppue no. il campo elettico in un deteminato punto non dipende dal valoe paticolae della caica di pova q che subisce la foza. Esso esta inalteato, qualunque sia la caica q che ci mettiamo. Elettostatica - 9 -

10 FISICA Elettostatica 9 Calcolo della foza elettostatica con il campo elettico La conoscenza del campo elettico E in un dato punto dello spazio ci pemette di deteminae la foza elettostatica F che agiebbe su una qualunque caica q posta in quel punto. q F P Q Ricodando che E =, dalla legge di Coulomb possiamo scivee: 4 πε e sinteticamente: Q O Q q Q F = q E q 4 πε = = πε F = q E È dunque sufficiente moltiplicae il valoe della caica q pe il valoe del campo elettico pe ottenee il valoe della foza elettica agente sulla caica stessa. In questo modo il valoe della foza e- lettostatica è noto senza conoscee né il valoe né la posizione della caica sogente. Deteminazione speimentale del campo elettico Invetendo la elazione F = q E si ottiene F E = Da tale isultato si vede che il valoe del campo elettico in un punto dello spazio è dato dal appoto ta la foza elettostatica subita dalla caica di pova e il valoe della caica stessa. Quindi possiamo definie la distibuzione del campo elettico in una egione dello spazio in maniea assolutamente speimentale, ponendo in divesi punti la caica di pova, misuando la foza elettostatica cui essa è sottoposta e dividendo la foza pe il valoe della caica. Se poi la caica di pova è unitaia positiva, la fomula pecedente si semplifica: q = q F E = q E F = = F Potemmo die così che il valoe del campo elettico in un punto dello spazio è pai alla foza elettostatica a cui saebbe sottoposta una caica unitaia positiva posta in quel punto. 3. Campo elettico dovuto a più caiche puntifomi La nozione di campo elettico, data pe una sola caica-sogente Q, può essee facilmente estesa al caso di più caiche-sogente. Supponiamo di avee te caiche sogenti, come indicato nel disegno: Elettostatica - -

11 FISICA Elettostatica 9 Q Q Q 3 3 q P F F F 3 F F 3 F F F3 Pe il pincipio di sovapposizione della foza elettica la foza F agente sulla caica q saà data dalla somma vettoiale delle te foze, F, F e F 3, dovute alle te caiche Q, Q e Q 3. Il campo e- lettico nel punto P saà alloa la somma dei singoli campi dovuti alle caiche Q, Q e Q 3. F F F F3 F F F 3 E E E = = = = E 3 q q q q q La elazione pecedente espime il pincipio di sovapposizione pe i campi elettici: Il campo elettico podotto da un insieme di caiche sogenti fisse nel vuoto è pai alla somma (vettoiale) dei campi podotti singolamente da ciascuna delle caiche. Pe deteminae apidamente il valoe del campo elettico deteminato da più caiche sogenti si può, come pima detto, consideae una caica di pova unitaia positiva. 4. Linee di foza Un campo elettico può essee appesentato convenientemente da un insieme di linee dette linee di foza. Pe linea di foza si intende quella linea fomata da tutti i punti del piano in cui il vettoe campo elettico è tangente alla linea stessa. Le linee di foza ci danno due infomazioni iguadanti il campo elettico: a) la linea passante pe un dato punto indica la diezione lungo cui si sposteebbe una caica positiva, posta in quel punto; la feccia della linea indica il veso dello spostamento; b) dove le linee si addensano, il campo elettico è gande; dove sono meno fitte, il campo elettico è piccolo. Vediamo adesso la appesentazione pe linee di foza dei campi elettici podotti da una sola caica positiva, una sola caica negativa, da due caiche uguali, dello stesso segno e da due caiche u- guali, di segno opposto (dipolo elettico). Figua 3 Rappesentazione del campo elettico podotto da una caica puntifome positiva (a sinista) e negativa (a desta) Elettostatica - -

12 FISICA Elettostatica 9 Figua 4 Rappesentazione del campo elettico geneato da due caiche uguali, positive Figua 5 Rappesentazione del campo elettico geneato da due caiche uguali ma di segno opposto (dipolo elettico) Elettostatica - -

13 FISICA Elettostatica 9 Nell immagine seguente vediamo la appesentazione pe linee di foza di un campo elettico unifome, che assuma lo stesso valoe in tutti i punti di una data egione dello spazio. Figua 6 Rappesentazione del campo elettico unifome Infine ipotiamo l andamento del campo elettico con due caiche sogenti nel caso in cui esse non abbiano esattamente lo stesso valoe. Figua 7 Rappesentazione del campo elettico pe coppie di caiche con diveso valoe assoluto Elettostatica - 3 -

14 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 3. Il potenziale elettostatico. Enegia Potenziale e Potenziale Elettostatico Vogliamo definie pe gadi il concetto di potenziale elettostatico. Ripendiamo in pimo luogo la definizione di lavoo. Lavoo di una foza. Si definisce lavoo di una foza il podotto della foza F pe lo spostamento s. L = F s Tale definizione è valida anche pe i campi di foze; supponiamo che un punto mateiale (oggetto puntifome, dotato di massa appezzabile) si sposti da un punto P dello spazio ad un alto punto P, lungo una taiettoia C e che nella zona di spazio in cui avviene tale spostamento sia pesente un campo di foze F. Si pala di lavoo compiuto dalla foza F del campo nello spostamento del punto dalla posizione P alla posizione P, lungo la cuva C. Tale lavoo dipende: a) dalla posizione iniziale P ; b) dalla posizione finale P ; c) dal paticolae pecoso seguito nello spostamento: L = L ( C, P P ) Se consideiamo ad esempio te pecosi divesi, come in figua, avemo: L ' = L L '' = L L ''' = ( C, P, P ) ( C, P, P ) L( C, P P ), P C C, C P In geneale il lavoo compiuto dalla foza pe passae da P a P è diveso lungo ognuno dei pecosi C, C, C. Avemo cioè: L' L'' L''' Campi consevativi. Di paticolae inteesse sono alcuni campi di foza chiamati campi consevativi; essi godono della popietà che il lavoo compiuto dalla foza pe spostae un punto mateiale da una posizione qualsiasi del campo (P ) ad un alta (P ) non dipende dal pecoso seguito ma soltanto dalle posizioni iniziale e finale. L = L( P, P ) Si può dimostae che sono consevativi i campi di foze unifomi (cioè costanti), i campi delle foze gavitazionali, i campi delle foze elastiche, i campi delle foze elettostatiche. Enegia Potenziale. La caatteistica fondamentale di un campo consevativo è quindi espessa dal fatto che il lavoo L, compiuto dalle foze del campo pe lo spostamento del punto mateiale da P a P dipende solo dalle posizioni P e P e non da alti fattoi quali il paticolae pecoso seguito, il tempo, la velocità, la acceleazione. Elettostatica - 4

15 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica Possiamo alloa intodue una funzione matematica U(P) definita in ogni punto dello spazio in cui è pesente il campo vettoiale, tale che con la diffeenza dei valoi assunti in P e P dia popio L,. Diemo cioè che esiste una funzione U(P) tale che: L = U( P ) U( ), P Tale funzione U(P) descive la capacità delle foze del campo a compiee lavoo, e poiché la capacità di compiee lavoo pende il nome di enegia, la funzione U(P), appesentando una capacità a compiee lavoo legata alla posizione del punto mateiale nel campo, pende il nome di enegia potenziale. Enegia Potenziale del campo elettostatico. Supponiamo di avee una caica sogente Q in Q un punto O dello spazio; abbiamo visto che essa genea un campo elettostatico E = ; tale campo è consevativo, cioè il lavoo necessaio pe spostae una caica q da un punto a distanza 4 πε (da O) ad un alto punto a distanza (da O) non dipende dal pecoso seguito ma solo dalle posizione iniziale e finale. Pe tale motivo si definisce l enegia potenziale elettostatica di una caica q nel campo elettico geneato dalla sogente Q la funzione: U ( ) Q q = 4πε La funzione U() è definita in ogni punto dello spazio è con le sue diffeenze ci fonisce il lavoo necessaio pe spostae q da un punto all alto; essa dipende: a) dalla caica sogente Q del campo; b) dalla caica di pova q; c) dalla distanza della caica di pova dalla sogente. Potenziale Elettostatico. Se cambiassimo la caica di pova, ad esempio q al posto di q, otteemmo una divesa enegia potenziale, pai a U( ) = ; se le caiche di pova sono Q q 4 πε numeose e di valoi divesi, dovemmo definie tante enegie potenziali quante sono le caiche di pova. Saebbe più semplice avee a disposizione una funzione che dipenda solo dalla caica sogente Q del campo e non dalla paticolae caica di pova. Si può alloa definie un alta funzione, detta potenziale elettico, ottenuto dividendo il potenziale U pe la caica q che si sposta: U V = q Sostituendo nella fomula pecedente l espessione del potenziale elettico si ha: V = U q = Qq / 4πε q/ = Q 4πε Elettostatica - 5

16 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica e quindi V ( ) Q = 4πε Come si vede dall espessione, il potenziale elettico V dipende solo: a) dalla caica sogente Q del campo; b) dalla distanza dalla sogente Q. Significato del potenziale elettostatico. Dalla definizione di potenziale si ottiene e quindi: ( V V ) = q V L = U U = q V q V = q, 43 4 V U = q V La quantità V = V V pende il nome di diffeenza di potenziale (d.d.p.); il lavoo necessaio pe spostae la caica q dal punto al punto è uguale al podotto della caica q pe la diffeenza di potenziale ta i due punti. Se la caica fosse unitaia, cioè pai a Coulomb, il lavoo saebbe uguale a: L ( V V ) = ( V V ) = V, = q V In questo modo la diffeenza di potenziale ta due punti dello spazio sede di un campo elettico si può definie come il lavoo necessaio pe spostae una caica unitaia dal pimo al secondo punto. L unità di misua della diffeenza di potenziale è il Volt (V). Poiché il potenziale è uguale all enegia potenziale diviso la caica, avemo: Joule Volt = Coulomb Ripotiamo, infine, pe confonto nella tabella seguente le fomule della foza elettostatica, del campo, dell enegia potenziale e del potenziale elettostatici: U F Q q Q E = πε = 4 πε 4 ( ) Q q = 4πε V ( ) Q = 4πε. Potenziale elettostatico dovuto a più caiche elettiche Anche pe il potenziale elettostatico vale il pincipio di sovapposizione degli effetti: in pesenza di più caiche sogenti, il potenziale complessivo è pai alla somma dei potenziali associati alle singole caiche-sogente. Se ad esempio il campo è geneato da 3 caiche Q, Q e Q 3, il potenziale è uguale alla somma dei potenziali associati alle te caiche: V = V V V 3 = Q 4πε 4πε Q 4πε Q 3 3 Elettostatica - 6

17 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 3. Supefici equipotenziali In un campo elettico esistono delle supefici i cui punti si tovano tutti allo stesso potenziale. Tali supefici sono dette equipotenziali. Le supefici equipotenziali sono pependicolai al vettoe campo elettico E e, di conseguenza, alle linee di foza del campo elettostatico. In questo modo, isulta facile tacciale a patie dalle appesentazioni conosciute dei campi elettici. Si tenga pesente, che poiché il campo elettico è disposto nello spazio, le supefici equipotenziali sono supefici spaziali, a te dimensioni. Vediamo l andamento delle supefici equipotenziali pe alcuni campi elettici tipici. Figua 9 Campo Elettico e Supefici Equipotenziali di una caica positiva q. Le linee di foza, come già visto, sono semiette uscenti dalla sogente del campo. Le supefici equipotenziali sono alloa sfee concentiche, con cento nella sogente del campo. Il potenziale diminuisce con l aumentae delle dimensioni delle sfee, poiché aumenta la distanza dall oigine del campo. Figua Campo Elettico e Supefici Equipotenziali di un campo elettico unifome. Le linee di foza sono ette paallele, aventi diezione e veso coincidenti con quelle del vettoe del campo elettico. Le supefici equipotenziali sono alloa piani paalleli, otogonali alla diezione del campo. Il potenziale su tali supefici diminuisce spostandosi secondo il veso delle linee di foza. Elettostatica - 7

18 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica Figua Campo Elettico e Supefici Equipotenziali di un dipolo elettico. Figua Campo Elettico e Supefici equipotenziali di una coppia di caiche elettiche positive uguali. Elettostatica - 8

19 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 4. Flusso del Campo Elettico Consideiamo una egione dello spazio sede di un campo elettico E ; consideiamo poi una supeficie S. Il campo elettico saà definito in tutti i punti dello spazio e anche sulla supeficie in questione. In geneale il vettoe campo elettico non è otogonale alla supeficie ma è sempe possibile consideae la sua componente di E otogonale ad S, detta E. Si definisce alloa flusso Φ del campo elettico attaveso la supeficie S il podotto dell aea della supeficie S pe la componente del n campo lungo la pependicolae alla supeficie stessa. Φ = E n S Figua 3 Definizione di flusso del campo elettico 5. Teoema di Gauss Consideiamo una caica puntifome Q posta in un punto O dello spazio: sappiamo che essa genea un campo elettico dato da Q E = 4 πε Consideiamo poi una supeficie sfeica ideale con cento popio nel punto O e di aggio qualsiasi. Vogliamo calcolae il flusso del campo elettico attaveso la supeficie della sfea. Sapendo che l aea della supeficie di una sfea è pai a 4π, si ha: Φ = E S = = 4πε Q 4π Il flusso del campo elettico attaveso la supeficie sfeica di aggio è pai al appoto della caica Q pe la costante dielettica. Tale isultato, icavato pe una sola caica puntifome, è del tutto geneale e va sotto il nome di Teoema di Gauss. Il Teoema di Gauss affema che il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è dato dal appoto ta la caica complessiva contenuta ento la supeficie e la costante dielettica del mezzo. Natualmente, se all inteno della supeficie non ci sono caiche elettiche, il flusso vale zeo. Elettostatica - 9 Q ε

20 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 4. Campo elettostatico nei conduttoi metallici. Equilibio elettostatico nei conduttoi In un conduttoe le caiche elettiche sono libee di muovesi. Si dice che un conduttoe è in equilibio elettostatico quando in esso non si isconta alcun moto macoscopico di caiche elettiche, cioè quando tutte le caiche sono feme. In un conduttoe in equilibio elettostatico si veificano te cicostanze inteessanti. Vediamole: a) Affinché le caiche elettiche pesenti nel conduttoe siano feme, occoe che su di esse non a- giscano foze; poiché F = q E, anche il campo elettico deve essee necessaiamente nullo in tutti i punti inteni al conduttoe. Diciamo quindi che all inteno di un conduttoe in equilibio elettostatico il campo elettico è nullo. b) In una situazione di equilibio elettostatico, inolte, in ogni punto della supeficie il vettoe E deve essee pependicolae alla supeficie stessa. Se così non fosse, infatti, il vettoe E avebbe una componente paallela alla supeficie del conduttoe. Tale componente faebbe muovee le caiche libee pesenti nel conduttoe, conto l ipotesi di equilibio. c) All inteno del conduttoe in equilibio elettostatico non vi sono caiche elettiche. In tale situazione, petanto, la caica elettica di un conduttoe è tutta localizzata sulla supeficie di quest ultimo. Questo succede pechè, essendo le caiche libee di muovesi e espingendosi pe a- zione elettostatica (se ci sono caiche in sopannumeo saanno tutte dello stesso segno) tendono a disposi in modo da avee la massima distanza le une dalle alte. L ultima affemazione si può giustificae più igoosamente mediante il teoema di Gauss; applicando tale teoema ad una supeficie intena al conduttoe si ha: Φ = E S = Q ε In base a quanto detto nel punto a) si ha E = ; di conseguenza avemo Φ = e quindi anche Q =. Figua Conduttoe in equilibio elettostatico Elettostatica -

21 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica. Gabbia di Faaday Quando sopaggiunge un tempoale con molti fulmini è sicuamente peicoloso stae all apeto pe il ischio di essee colpiti. Un imedio efficace può essee quello di salie in macchina (se c è una nelle vicinanze, ovviamente!) e estaci fino a tempoale finito. Se un fulmine dovesse colpie l auto con noi dento, non ci accadebbe nulla. Peché? La macchina si compota come una gabbia di Faaday. Con gabbia di Faaday si intende qualunque sistema costituito da un contenitoe in mateiale e- letticamente conduttoe (o conduttoe cavo) in gado di isolae l ambiente inteno da un qualunque campo elettostatico pesente al suo esteno, pe quanto intenso questo possa essee. È utilizzato il temine gabbia pe sottolineae che il sistema può essee costituito, olte che da un foglio metallico continuo, anche da una ete o una seie di bae metalliche oppotunamente distanziate. Questo effetto schemante è utilizzato pe poteggee ambienti e appaati da campi esteni, come pe esempio quelli geneati dai fulmini. Alcuni edifici, come le cabine di distibuzione del gas o le scuole, ecc., sono dotate estenamente di gabbie di Faaday di potezione: esse sono costituite da una seie di bande metalliche distanziate poche decine di centimeti e collegate a tea. Un alta applicazione si ha in elettonica pe eliminae le intefeenze dei campi elettomagnetici esteni in appaecchi adio e pe telecomunicazioni, oppue pe evitae la fuoiuscita di campi elettomagnetici da un ambiente, come nel caso del fono a micoonde. La scopeta di Faaday Michael Faaday ossevò nel 836 che in un conduttoe cavo eletticamente caico le caiche si concentano sulla supeficie estena e non hanno alcuna influenza su ciò che si tova all inteno. Pe dimostalo costuì una stanza ivestita da un foglio metallico e applicò dall esteno l alta tensione podotta da un geneatoe elettostatico. Utilizzando un elettoscopio mostò che all inteno della stanza non ea pesente caica elettica. Lo stesso effetto fu pedetto da Fancesco Beccaia (76 78) dell univesità di Toino il quale, dopo avee studiato il lavoo di Benjamin Fanklin, affemò che "l eletticità va sulle te supefici del copo senza diffondesi al mateiale inteno". Successivamente il fisico belga Louis Melsens (84 886) applicò il pincipio alla potezione dai fulmini. Pincipio di funzionamento Il funzionamento della gabbia di Faaday è iconducibile alla situazione di equilibio elettostatico dei conduttoi metallici. Pe quanto detto nel paagafo pecedente, se sulla supeficie di un conduttoe metallico viene immessa una caica elettica, questa imane sulla supeficie e all inteno del conduttoe il campo elettico isulteà sempe nullo: nulla di ciò che accade fuoi dunque tapela all inteno del conduttoe. Elettostatica -

22 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 3. Capacità di un conduttoe Consideiamo un copo conduttoe costituito da una sfea di aggio R. Se dotiamo questo copo di una caica pai a Q, questa si spalmeà unifomemente su tutta la sua supeficie, mente all'inteno del copo non saà pesente né caica né campo elettico. La distibuzione di caica supeficiale daà oigine ad un campo elettico E, esistente in tutta la zona estena alla sfea. In possimità della supeficie il campo isulta otogonale a questa; estenamente esso è dietto lungo la congiungente in cento della sfea. E = P R O q = Figua 3 Sfea Conduttice Si può dimostae, attaveso il teoema di Gauss, che il valoe del campo è Il potenziale assume l'espessione E = 4 πε Q Q V = 4πε Vogliamo consideae il valoe del potenziale sulla supeficie; basteà sostituie alla distanza il valoe del aggio R della sfea. Se nella fomula pecedente poniamo: V ( R) C = 4πε = 4πε R Q R avemo: Q V = ( ) C Il potenziale sulla supeficie del conduttoe sfeico è diettamente popozionale alla caica tasmessa ad esso. Ciò vuol die che se la caica addoppia, addoppia anche il potenziale e se Q tiplica, tiplica anche V, e così via. La costante di popozionalità pende il nome di capacità del conduttoe sfeico. Tale popietà vale non solo pe conduttoi sfeici, ma pe tutti i copi conduttoi. Si può vedee che, quando ad un copo conduttoe di foma qualsiasi è tasmessa una caica Q, esso si pota ad un potenziale V, diettamente popozionale al valoe della caica stessa. Elettostatica -

23 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica La capacità di un copo conduttoe geneico dipende dalla foma e dalle dimensioni del copo e non dalla caica pesente. In genee, più un copo conduttoe è gande, maggioe è la sua capacità. Invetendo la fomula (), si ha: Q C = ( ) V Da tale fomula si può vedee che, a paità di potenziale, copi di capacità gande contengono gandi quantità di caica e copi di capacità piccola pesentano piccole quantità di caica. L unità di misua della capacità è il Faad. Coulomb Faad = Volt Faad è una capacità enome; nella patica vengono usati i sottomultipli come il µf ( micofaad = milionesimo di Faad) e il nf (nanofaad = miliadesimo di Faad). 4. Condensatoi Con il temine condensatoe intendiamo un sistema fisico costituito da due conduttoi (amatue) affacciati e sepaati da un mezzo isolante, caicati in modo che la caica comunicata a uno sia uguale e opposta a quella dell alto. Spesso le amatue del condensatoe sono ealizzate in foma di lamine di dimensioni molto maggioi ispetto alla loo distanza. Questi semplici dispositivi pemettono di ceae intensi campi elettostatici in egioni limitate e di immagazzinae quindi notevoli quantità di enegia elettostatica. A Q Q B Figua 4 Condensatoe geneico Dette A e B le amatue del condensatoe, e Q e Q le caiche su esse pesenti, i due copi si potano ai potenziali V A e V B ; la d.d.p. (diffeenza di potenziale) ta le amatue è diettamente popozionale al valoe di Q: Q V = VA VB = ( 3 ) C La C, denominata capacità del condensatoe, appesenta un coefficiente caatteistico di questo; essendo omogeneo all analogo coefficiente intodotto nel paagafo pecedente pe un conduttoe isolato, si misua in Faad. La capacità di un condensatoe dipende, dunque, soltanto dalla geometia del sistema, cioè dalla foma delle amatue e dalla loo distanza. Esistono divese geometie di condensatoi: i più impotanti sono i condensatoi piani, i condensatoi cilindici e i condensatoi sfeici. Il simbolo elettico del condensatoe è il seguente: Elettostatica - 3

24 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica Tipologie di condensatoi Nelle fotogafie seguenti vediamo le tipologie più comuni di condensatoi disponibili in commecio: Condensatoi ceamici Condensatoi a disco Condensatoi elettolitici Condensatoi a poliestee Enegia accumulata nei condensatoi L accumulo di caiche sulle amatue equivale ad un accumulo di enegia elettica nel condensatoe; esso peciò funziona da sebatoio di enegia. L enegia elettica accumulata è pai al lavoo compiuto pe caicae il condensatoe. Si può dimostae che l enegia accumulata in un condensatoe è data dall espessione seguente: E ELETTRICA C ( V ) = ( 4 ) Tale enegia viene estituita duante la fase di scaica del condensatoe. Elettostatica - 4

25 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 5. Condensatoe piano Un condensatoe piano è costituito da due amatue piane e paallele, come mostato in figua 3: Figua 5 Condensatoe piano Sia S l aea della supeficie di ognuna di esse e d la loo distanza; con buona appossimazione si può die che la capacità di un siffatto condensatoe è uguale a: S C = ε ( 5 ) d La capacità di un condensatoe piano è diettamente popozionale alla supeficie delle amatue (più sono estese, più alta essa è) ed invesamente popozionale alla loo distanza. Inolte se ta le amatue viene inteposto un mezzo dielettico di costante ε, la capacità assume un valoe più elevato e la fomula si modifica come segue: S C = ε ( 6 ) d Condensatoi commeciali ad elevata capacità e che occupino poco spazio si possono ottenee aotolando stisce di cata stagnola (le amatue) sepaate da cata paaffinata (dielettico). Si aumenta, in tal modo di molto la supeficie S di affacciamento e si ende minima la distanza ta le amatue. Campo elettico in un condensatoe piano Il campo elettico all inteno in un condensatoe piano è unifome, cioè uguale in tutti i punti compesi ta le due amatue. Figua 6 Campo elettico all inteno di un condensatoe Il suo valoe si può icavae in funzione della d.d.p. V ta le amatue e la distanza d ta esse: V E = ( 7 ) d Il vettoe del campo è dietto pependicolamente alle amatue, dall amatua a caica positiva a quella a caica negativa. Elettostatica - 5

26 Ins. Antonio Palladino FISICA Elettostatica 6. Condensatoi in paallelo e in seie Ci poponiamo di studiae i sistemi costituiti da più condensatoi collegati eletticamente mediante fili conduttoi. Le tipologie dei collegamenti sono due: collegamento in paallelo e collegamento in seie. Più condensatoi sono collegati in paallelo quando lo schema è il seguente: C C C3 C4 Figua 7 Condensatoi in paallelo La d.d.p. è la stessa, la caica si somma Essi sono soggetti tutti alla stessa diffeenza di potenziale ta le amatue, poiché queste, connesse ta loo, costituiscono un unico conduttoe. Il sistema di condensatoi costituisce un unico condensatoe di cui vogliamo deteminae la capacità C in funzione delle capacità C, C, C 3 e C 4. Si può vedee che la capacità di un sistema di condensatoi collegati in paallelo è la somma delle capacità dei singoli condensatoi. C = C ( 8 ) C C3 C4 Più condensatoi sono collegati in seie quando lo schema è il seguente: C C C3 C4 Figua 8 Condensatoi in seie La caica è la stessa, la d.d.p. si somma L insieme dei condensatoi costituisce un unico condensatoe, le cui amatue sono quelle esteme della catena di condensatoi. La caica è uguale pe tutti i condensatoi, mente le d.d.p. si sommano. Si può vedee che la capacità di un sistema di condensatoi collegati in seie è il ecipoco della somma dei ecipoci delle capacità dei singoli condensatoi. C C C C = ( 9 ) 3 C Se i condensatoi in seie sono soltanto, la fomula (4) si può semplificae come segue: C = = = ( ) C C C C C C C C 4 C C Nota sulle fonti: divese libi sono stati consultati pe l allestimento di questi appunti, a patie dal fondamentale Elettomagnetismo di Bobbio-Gatti. Qualche spunto è stato peso da qualche testo della Zanichelli e da qualche enciclopedia on line (Wikipedia). Una nota è del gande Richad Feynman (chi mai saà costui?). Divese immagini povengono dalla ete. Gazie pe l attenzione e buono studio! Elettostatica - 6