Università degli Studi di Milano. Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

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1 Univesità degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Natuali Cosi di Lauea in: Infomatica ed Infomatica pe le Telecomunicazioni Anno accademico 7/8, Lauea Tiennale, Edizione diuna FISICA Lezione n. (4 oe) Foze elettiche, campi e potenziale elettostatico Flavia Maia Goppi Galandini Dipatimento di Fisica Laboatoio LASA Via F.lli Cevi, 9 Segate (Milano) web page: flavia.goppi@unimi.it

2 La caica elettica E espeienza comune che la mateia può contenee della caica elettica e molti dei fenomeni associati ad essa sono già noti: fulmini, scaiche, attazione elettostatica ecc. La mateia odinaia contiene enomi uantità di caica elettica anche se isulta nomalmente nascosta: infatti contiene un numeo identico di caiche positive e negative, isultando così eletticamente neuta. E peo possibile, ad esempio pe sfegamento, geneae in un copo un eccesso di caica di un dato segno, tale copo avà alloa una caica netta. Esiste in natua una foza sensibile allo stato di caica di un copo: caiche elettiche dello stesso segno si espingono, caiche di segno opposto si attaggono. Flavia Goppi

3 Mateia, conduttoi ed isolanti La stuttua stessa degli atomi è esponsabile della natua elettica della mateia: Potoni con caica positiva e neutoni, pivi di caica, fomano un nucleo centale Elettoni caichi negativamente obitano intono al nucleo L atomo ha una stuttua complessivamente neuta, ma può pedee o acuisie caica pe ionizzazione E possibile classificae le sostanze in funzione della facilità che hanno le caiche elettiche a muovesi attaveso di esse: Conduttoi: le caiche si muovono abbastanza libeamente, come nel ame o nei metalli in genee Non conduttoi o isolanti: le caiche non si muovono affatto, come la gomma, la plastica o il veto. Semiconduttoi: sostanze dal compotamento intemedio, come il silicio o il gemanio utilizzati nei cicuiti integati. Supeconduttoi: sostanze pefettamente conduttici in cui le caiche si spostano senza ostacolo alcuno, come il niobio al di sotto della tempeatua di 9 K che viene utilizzato negli acceleatoi di paticelle. Flavia Goppi 3

4 La legge di Coulomb Due paticelle con caiche elettiche di modulo e, poste ad una distanza, subiscono una foza elettostatica data dalla legge di Coulomb: F k Ciascuna delle caiche esecita una foza F sull alta, si tatta di una coppia di azione-eazione. La foza è sempe dietta lungo la diettice ta le due paticelle, nel veso di allontanamento se si espingono e nel veso di avvicinamento se si attaggono. E evidente l analogia con la foza di gavitazione univesale di Newton, k è detta costante elettostatica. L unità di misua SI pe la caica è il coulomb (C) e la costante k è pai a: k 8.99 N m C 9 C.A. Coulomb, 785 con N kg m s Flavia Goppi 4

5 Alcune concetti fondamentali: Concetti e fomule fondamentali La uantità di caica elettica Q in tansito nell intevallo di tempo t è detta coente elettica. L unità SI della coente è l ampee [A]. dq Q [ C] i lim [ A] C A s dt t t [ s] La costante elettostatica è deteminata dall espessione: k C N m costante dielettica del vuoto Divesamente da Coulomb o Fanklin oggi sappiamo che la caica elettica è uantizzata, ovveo che essa è sempe e solo multiplo di una caica elementae detta e. Pe ualsiasi vale che: ne ; n,,... e.6 Ad ogni livello dell indagine fisica, da uello atomico a uello macoscopico, è sempe veificato il pincipio di consevazione della caica elettica fomulato da B. Fanklin. ; 9 C Flavia Goppi 5

6 Tavola Peiodica degli elementi Nella Tavola peiodica gli elementi sono odinati secondo il numeo di caiche elementai positive (potoni) che sono contenute nei ispettivi nuclei. Intono ai nuclei uotano altettante caiche elementai negative (elettoni) in modo che l atomo sia eletticamente neuto. Flavia Goppi 6

7 Campo elettico e linee di foza L azione a distanza caatteistica della foza elettostatica viene spiegata in fisica gazie al concetto di campo elettico: Il campo elettico è vettoiale, consiste in una distibuzione di vettoi nello spazio intono ad una paticella caica. Supponiamo di esploae tale spazio tamite una paticella con caica positiva di pova. Se F è la foza a cui la paticella è soggetta in un dato punto P(x,y,z), il campo elettico in P vale: Analogia con il campo gavitazionale Fel F E g ag con m kg m Il campo elettico in un ceto spazio può essee visualizzato attaveso le sue linee di foza: In ogni punto la tangente alla linea indica la diezione del campo elettico La densità di linee pe unità di supeficie nomale è popozionale alla intensità del campo elettico: le linee si addensano dove il campo è più intenso Si considei che la paticella di pova è sempe positiva: le linee escono dalle caiche positive ed entano in uelle negative Flavia Goppi 7

8 Campo elettico e linee di foza - Le linee di foza tacciano sempe taiettoie chiuse; nel caso di caiche di un solo segno si suppongono chiuse su caiche lontane (all infinito). Ecco ualche esempio di linee di foza e di vettoe campo elettico coispondente pe semplici distibuzioni di caica: Singola caica negativa. Coppia di caiche positive Coppia di caiche di segno opposto: dipolo elettico Flavia Goppi 8

9 Campo di una caica puntifome Utilizziamo la caica di pova positiva pe descivee il campo elettico di una singola caica puntifome in funzione della distanza : L intensità della foza è data dalla legge di Coulomb: F 4 L intensità del vettoe campo elettico è alloa data da: F E 4 Vale il pincipio di sovapposizione, dunue è possibile calcolae allo stesso modo il campo geneato da più caiche puntifomi i come: F F i E E E con Fi 4 Ciascun contibuto E i coisponde al campo elettico che saebbe geneato se la caica fosse l unica pesente! i Flavia Goppi 9

10 Campo di un dipolo elettico Utilizziamo il pincipio di sovapposizione pe espimee il campo elettico geneato da un dipolo elettico lungo il suo asse (asse z): E E E 4 Che può essee iscitta come: 4 4 d z 4 d z d d E 4 z z z Quando ci toviamo a gandi distanze dal dipolo possiamo appossimae il isultato consideando che z >> d. L espessione isultante è: E 4 z d z d 3 z p 3 z ; p d p = d è il momento di dipolo elettico, contiene due gandezze intinseche del dipolo. Flavia Goppi

11 Moto di una caica in campo elettico Pe descivee il moto di una paticella caica in un campo elettico E(x,y,z) è sufficiente consideae che in ogni punto P la foza sulla paticella è data da: F E Il campo è un campo esteno: esso non è geneato dalla paticella, un copo caico non isente del popio campo elettico! F ha lo stesso veso di se la paticella ha caica positiva, ha il veso opposto ad E E se ha caica negativa. Nel caso paticolae del dipolo in campo unifome, il moto può essee ulteiomente semplificato: Assumiamo il vettoe p come dietto lungo l asse del dipolo, dalla caica negativa a uella positiva. Assumiamo inolte che il dipolo abbia una stuttua intena igida. il cento di massa imane femo ma viene esecitato un momento tocente t Fd sin pe sin p E Flavia Goppi

12 Flusso del campo elettico Se in una data pozione di spazio è pesente un campo vettoiale, ogni supeficie abitaia dà luogo ad un flusso di campo deteminato dalle linee di campo che la supeficie intecetta. Intoduciamo il vettoe aeale, il cui modulo è pai all aea della supeficie A e la cui diezione è nomale al piano dell aea. In un campo elettico costante Il flusso è definito come: E E A Se consideiamo una supeficie chiusa, possiamo sommae il contibuto di tutti i piccoli piani di aea A che la compongono: Il campo E può essee itenuto costante su aee così piccole Facendo tendee a zeo l aea dei piani A: E E da Flavia Goppi

13 Legge di Gauss La legge di Gauss mette in elazione il flusso netto di campo elettico attaveso una supeficie chiusa (detta anche supeficie gaussiana) conla caica netta int che è acchiusa all inteno della supeficie. Vale che: int E E da (Legge di Gauss) Se la caica netta è positiva il flusso è uscente, se è negativa il flusso è entante. Foma e posizione delle caiche non hanno impotanza! Caiche estene alla supeficie danno un flusso netto pai a zeo: tutte le linee di foza entano ed escono. Ad esempio si consideino le supefici in figua: S: caica netta positiva, flusso positivo S: caica netta negativa, flusso negativo S3: niente caica, flusso netto nullo S4: caica netta nulla, flusso nullo Flavia Goppi 3

14 Applicazione della legge di Gauss ai conduttoi Campo elettico all inteno dei conduttoi: In un conduttoe le caiche in eccesso sono libee di muovesi e la epulsione elettostatica le spinge tutte a disposi sulla supeficie estena Applicando la legge di Gauss ad una supeficie chiusa tutta intena al conduttoe osseviamo che essa non acchiude alcuna caica: il campo elettico è nullo all inteno dei conduttoi! Campo elettico sulla supeficie dei conduttoi: Consideiamo una piccola supeficie cilindica a cavallo dello stato più esteno Sia [C/m ] la densità supeficiale di caica: Non c è flusso nella supeficie intena poiché E = Non c è flusso in uella lateale peché il campo è otogonale al vettoe aeale Il solo contibuto al flusso è dato dalla faccia estena int E A A Flavia Goppi 4 E

15 Ancoa sui conduttoi Alcune consideazioni ulteioi sui conduttoi: Su oggetti asimmetici la caica elettica in eccesso non si distibuisce necessaiamente in modo omogeneo, la densità supeficiale tende ad essee maggioe laddove il aggio di cuvatua è minoe (punte, spigoli etc.). Il campo sulla supeficie è sensibile alla sola densità supeficiale di caica, ne segue uindi che il campo elettico ha valoi più alti in possimità di spigoli vivi: è l effetto punta. Le caiche sui conduttoi si dispongono sempe in modo da deteminae campo elettico nullo all inteno, anche se il conduttoe non pesenta caiche in eccesso. Le linee di foza si aestano alla supeficie e sono ad essa pependicolai Si considei il caso di un conduttoe con una cavità che acchiuda una caica - : Sulle supefici intena ed estena del conduttoe esteno si fomano delle caiche e + tali che il campo all inteno sia nullo e il conduttoe imanga neuto. Tali caiche sono dette caiche immagine. La configuazione intena della caica è insondabile dall esteno, così come la caica intena non isente in alcun modo di uelle estene. Flavia Goppi 5

16 Enegia potenziale elettica La foza elettostatica è consevativa, possiamo alloa definie pe essa un enegia potenziale elettica U tale che: U U f U Dove L è il lavoo compiuto dal campo elettico nel passae da i a f, mente L app =-L è il lavoo compiuto da una foza estena pe passae dalla configuazione iniziale a uella finale La configuazione di ifeimento pe un sistema di paticelle caiche è uella in cui esse siano infinitamente distanti, a tale configuazione assegniamo una enegia potenziale nulla. Se indichiamo con L il lavoo compiuto dal campo elettico potando una caica dall infinito alla configuazione finale, l enegia U f = U saà pai a: In pefetta analogia con la gavitazione, il lavoo compiuto non dipende dal pecoso effettuato ma solo dalla scelta delle configuazioni iniziale e finale. i U L L app L Flavia Goppi 6

17 Il potenziale elettico L enegia potenziale di una caica dipende dal valoe della caica stessa, invece l enegia potenziale pe unità di caica ne è indipendente. Essa viene chiamata potenziale elettico ed è dunue data da: V U e V V V V Il potenziale V(x,y,z) è un campo scalae, la sua unità di misua SI è il [J]/[C]=[J]/[As] che è più spesso indicato come volt [V]: Il campo elettico E può dunue essee anche misuato in V/m: f U U Il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato supeficie euipotenziale: Le linee di foza sono sempe otogonali alle supefici euipotenziali Un pecoso i cui punti iniziale e finale giacciano su una supeficie euipotenziale compie lavoo nullo. i U f i E N C L J / m C V m J C Flavia Goppi 7

18 Calcolo del potenziale elettico Ricaviamo un espessione pe il calcolo del potenziale elettico dalla definizione stessa di lavoo e di campo elettico: dl F ds E ds integando lungo la taiettoia scelta: f L E ds e dalla definizione di potenziale: f V V V E ds f i i i Il isultato è l integale di linea della gandezza E ds lungo la taiettoia Se come punto iniziale assumiamo la configuazione di ifeimento, alloa V i = e si ha: V f E ds i Flavia Goppi 8

19 Potenziale di caica puntifome Utilizziamo l espessione appena icavata pe calcolae il potenziale elettico nello spazio intono ad una caica puntifome, ispetto al potenziale nullo. Dato che la taiettoia scelta non influenza il isultato, scegliamo uella più semplice, lungo la diezione adiale. Pe la taiettoia scelta vale che: E ds E ds cos ( ) E ds dunue ds diventa d e i limiti di integazione sono i = R ed f =. Dunue: V f Vi V Ed d 4 4 Quindi, in foma più geneale: E, pe un insieme di n caiche puntifomi: Flavia Goppi 9 R V ( ) d n R 4 V i i 4 R R n i V ( ) i i 4

20 Calcolo del campo elettico dato il potenziale Pecoee il cammino inveso, ovveo deteminae il campo elettico E noto il potenziale V(x,y,z) nello spazio, ichiede una deivazione. Vale sempe che il campo elettico è pependicolae alla supeficie euipotenziale passante pe P(x,y,z ). Dalle definizioni stesse di lavoo e potenziale: L du E cos E s dv dv ds E cos ds E s è popio la componente di E lungo la diezione di ds. Dunue, in geneale la componente di E in ualsiasi diezione è la deivata del potenziale elettico, cambiata di segno, lungo uella diezione. Rispetto agli assi x, y e z: E x V ( x, y, z) x ; E y V ( x, y, z) y ; E z V ( x, y, z) z E V Flavia Goppi

21 Appendice: analogia con la foza gavitazionale Elettostatica Gavitazione Gandezza Espessione Unità Gandezza Espessione Unità Foza Costante kg m mm F k N Foza F G s k 8.99 F E 9 N m C Costante G 6.67 F m a N kg m s N m kg Flavia Goppi

22 Esescizi Lezione Esecizi da: John R. Godon, Ralph V. McGew, Raymond A. Seway, John W. Jewett J. Esecizi di Fisica. Guida agionata alla soluzione (EdiSES). 9.: Veificae l esattezza della seguente affemazione di R. Feynman: due pesone di 7 kg distanti un meto che avesseo un numeo di elettoni maggioe dell % ispetto al numeo di potoni, si espingeebbeo con una foza pai alla foza peso associabile alla massa della tea. [7kg~4 8 u Q~ 6 e ~ 3 7 C F~ 6 N~M t g~ ] u ( 7kg) 4.66 kg 8 7 u metà sono potoni : 9 7 k (8.99 N m / C )(3 C) (.5m) F e 6 N 8 e% è 9.: Te caiche puntifomi sono poste ai vetici di un tiangolo euilateo di lato L =.5 m, e valgono ispettivamente: Q A = C, Q B =-4 C, Q C =7 C. Deteminae la foza agente sulla caica Q C geneata dai campi podotti dalle caiche Q A e Q B. [ F = (.5i +.436j) N ; F = (.53i -.87j) N ; F=F +F =(.755i -.436j) N ; F =.87 N, =-3 ] Q e.6 C F g mg ( 6 kg)(m / s ) N 7 C ke (8.99 N m / C )(7 C)( C) F (cos 6i sen6j) (.5m) ke (8.99 N m / C )(7 C)( 4 C) F (cos 6i sen6j) (.5m) F (.5i.436 )N j F (.53i.87 )N j F F F (.755i.436 ) N j Flavia Goppi

23 Esescizi Lezione Esecizi da: John R. Godon, Ralph V. McGew, Raymond A. Seway, John W. Jewett J. Esecizi di Fisica. Guida agionata alla soluzione (EdiSES). 9.: Due piccole sfee di massa M sono sospese a delle funicelle di lunghezza L collegate in un punto. Una sfea ha caica Q e l alta Q, mente la loo distanza è <<L. Assumendo che gli angoli siano piccoli in modo che si possa scivee sin = tan = (in adianti) si dimosti: a) che = = /(L), b) che =[(4kQ L)/(Mg)] /3 9.: Una sfea isolante di aggio a ha una densità di caica unifome e una caica totale Q. La sfea è concentica ad una sfea cava conduttice che la contiene e ha aggi inteno e esteno ispettivamente b e c. Sapendo che la sfea estena conduttice non è caica, si detemini: a) l intensità del campo elettico nelle egioni: <a, a<<b, b<<c, >c; b) la densità di caica indotta sulla supefici intena ed estena della sfea cava. [ a) E <a = ()/(3 ), E a<<b = Q/(4 ), E b<<c =, E >c = Q/(4 ), b) int =-Q/(4b ), ext =Q/(4c ) ] Flavia Goppi 3

24 Esescizi Lezione - continua Esecizi da: John R. Godon, Ralph V. McGew, Raymond A. Seway, John W. Jewett J. Esecizi di Fisica. Guida agionata alla soluzione (EdiSES)..4: Dimostae che la uantità di lavoo L necessaio pe mettee insieme uatto caiche puntifomi identiche di gandezza Q ai vetici di un uadato di lato s è dato da: L = 5.4 k Q /s U V ke U V 3 V 4 V3 V4 3V4 k e 3 3 k e 4 4 k e 3 3 k e 4 4 k e U QkeQ s Qk s e Q QkeQ s QkeQ s Qk s e Q QkeQ s keq s (4 ) 5.4k e Q s In una ceta egione di spazio il potenziale elettico è dato da V=5x 3x y+yz. Deteminae: a) le espessioni delle componenti del campo elettico E, in funzione di x, y, z, b) il modulo di E nel punto P(,, -). [ a) E =-V, E x =-5+6xy, E y =3x z, E z =-4yz ; b) E(,,-) = 7.7 N/C ] Flavia Goppi 4