Campo generato da un dipolo di momento P = qd: lungo l asse del dipolo:

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1 Sommaio: campo elettico Campo elettico: una distibuzione di caiche genea un campo elettico nello spazio cicostante, ovveo modifica le popietà dello spazio confeendo ad esso la potenzialità di inteagie con alte caiche nel momento in cui queste entano nel campo suddetto Linee di campo: il campo si appesenta figuativamente mediante le sue linee di campo: in ogni punto il campo è sempe tangente alla linea; la densità delle linee indica l intensità del campo. Le linee escono dalle caiche positive che geneano il campo, ed entano in quelle negative Campo geneato da una caica puntifome Q: E = k Q ˆ Campo geneato da un dipolo di momento P = qd: lungo l asse del dipolo: k E P 3 z All inteno del campo elettico una caica q subisce una foza: F = q E All inteno del campo elettico un dipolo P subisce una tosione: = = PE

2 Distibuzioni continue di caiche Finoa abbiamo consideato distibuzioni di caiche discete, ovveo un insieme di caiche puntifomi in punti specifici dello spazio. Quando si ha a che fae con moltissime caiche, la descizione in temini di caiche puntifomi è poco utile 1 cm In un cubo di mateia di lato 1 cm vi è cica una mole di sostanza; una mole coisponde a N A = 61 3 atomi (N A è detto numeo di Avogado). Immaginiamo quanto tempo occoeebbe pe sommae i campi elettici dovuti a tutti gli atomi caichi nel cubo Pe così tante paticelle, il calcolo del campo elettico mediante la fomula di Coulomb saebbe impoponibile anche pe un compute estemamente potente

3 Distibuzioni continue di caiche In molti casi patici, le caiche non sono distibuite nello spazio casualmente (disodinatamente), ma secondo una ceta simmetia: in questi casi è conveniente passae dal fomalismo disceto al fomalismo del continuo. Ciò compota: l utilizzo del calcolo infinitesimale l utilizzo del concetto di densità di caica al posto della caica totale 1 cm 1 nm dv In un punto inteno al cubo, immaginiamo di consideae un volumetto dv così piccolo (ad esempio 1 nm di lato) che la caica contenuta in esso (dq ) sia unifome; definiamo la densità di caica nel punto : dq ( ) = dq = ( ) dv dv La caica totale è ottenuta sommando su tutti i volumi infinitesimi, ovveo integando: q = dq = ( ) dv

4 Distibuzioni continue di caiche In molti casi patici abbiamo a che fae con distibuzioni bidimensionali (ad esempio un foglio di caica o un piatto sottile di caica) o monodimensionali (un filo caica o un cilindo sottile); in questi casi utilizziamo il concetto di densità di caica supeficiale (o planae) e densità di caica lineae: da ds D 1D 3D densità di caica di volume: dq ( ) = dv C m 3 = ( x, y, z) D densità di caica supeficiale: dq ( ) = da C m = ( x, y) 1D densità di caica lineae: dqx ( x) = ds C m

5 Campo di un anello caico Calcoliamo il campo elettico lungo l asse dell anello. Sia dq la caica contenuta nel segmento infinitesimale ds dq = ds Nel punto P ds genea un campo: dq ds ds de = k = k = k z R Sommando i contibuti di tutti i ds si vede che la componente pependicolae all asse z è nulla poiché il contibuto di ogni segmento ds è contobilanciato dal ds collocato dalla pate opposta dell anello; dunque soltanto la componente E z paallela all asse dell anello è non nulla. Si ha: de = de cos( ) z

6 Campo di un anello caico La geometia ci dice che: z z dez = de = k ds z R z R ( ) 3/ Pe calcolae il campo totale basta integae il campo infinitesimale lungo la ciconfeenza dell anello, ovveo integae in ds da s= a s= R z z E = de = k ds = k ( R) z C z z z cos( ) = z cos( ) = = z R 3/ 3/ ( ) ( z R ) C z R Se q è la caica totale dell anello, si ha: zq E z = k ( z R ) 3/

7 Campo di un anello caico zq E z = k ( z R ) 3/ Quiz: Com è il campo nel punto z=? Se la caica dell anello fosse negativa cosa cambieebbe? Pe un punto P lontanissimo dall anello (z >> R), come diviene il campo lungo l asse??

8 Legge di Gauss Si deve al fisico e matematico tedesco Cal Fiedich Gauss la scopeta di una legge che appesenta un fomidabile stumento pe l analisi dei poblemi elettostatici. Sfuttando la simmetia della distibuzione di caica, la legge di Gauss pemette la fomulazione analitica dei campi elettici geneati da distibuzioni continue di caica La legge di Gauss si fonda su un concetto matematico estemamente impotante non soltanto in elettomagnetismo, ma nelle Scienze in geneale: il concetto di FLUSSO di un campo vettoiale Johann Fiedich Cal Gauss (Baunschweig, 3 apile 1777 Gottinga, 3 febbaio 1855). Matematico, astonomo e fisico. Definito "il Pincipe dei matematici", è annoveato fa i più impotanti scienziati della stoia avendo contibuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e natuali.

9 Flusso della velocità Consideiamo un campo di velocità v, ad esempio la velocità di una coente d aia o di un liquido che scoe attaveso una sezione di aea A; sia v unifome in tutti i punti dell aea A; definiamo FLUSSO la quantità d aia (o di liquido) che attavesa l aea A nell unità di tempo; poiché la velocità è uguale alla lunghezza pecosa dall aia (o dal liquido) nell unità di tempo, il flusso è dato: = v A = v Acos( ) Il FLUSSO è il podotto scalae di v e del vettoe aeale A pependicolae al piano della finesta, di modulo uguale ad A; si noti che il flusso cambia segno se v invete la diezione, ovveo se > 9 o Pe una velocità pependicolae all aea: Pe una velocità paallela all aea: = =va in idodinamica il flusso si definisce anche potata di una conduttua; in tal caso v è la velocità dell acqua, ed A l aea della conduttua

10 Flusso del campo elettico Il concetto di flusso di un campo vettoiale può essee applicato a qualsiasi gandezza vettoiale, pe esempio al campo elettico: = E A Il flusso del campo elettico attaveso una supeficie è il podotto scalae del campo pe il vettoe aeale della supeficie; se la supeficie non è piana, possiamo scompola in quadatini infinitesimi di aea da così piccoli da pote essee consideati piani; il flusso infinitesimale associato ad un singolo quadatino è: d = E da Il flusso totale si ottiene integando sulla supeficie: = = E da Nm C Chiaamente il calcolo del flusso ichiede la conoscenza del campo elettico su ogni punto della supeficie consideata

11 Flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa Se la supeficie è chiusa il flusso si indica con un cechietto sull integale: = E da Una supeficie chiusa è anche detta gaussiana ; pe convenzione, il vettoe aeale su una supeficie chiusa è peso con veso uscente dalla supeficie; ne segue che se il campo è uscente dalla supeficie il flusso è positivo, se il campo è entante nella supeficie il flusso è negativo E entante: < E tangente: = E uscente: > Una linea di campo che enta ed esce dalla supeficie chiusa non contibuisce al flusso; se il numeo di linee di campo che entano ed escono è lo stesso, il flusso totale attaveso la supeficie chiusa è NULLO

12 Poblema 3.1 Sia dato un campo elettico unifome; calcolae il flusso del campo elettico attaveso la supeficie chiusa cilindica in figua; l asse del cilindo è paallelo al campo b = Ovviamente il flusso attaveso la supeficie lateale b del cilindo è nullo, dunque dobbiamo consideae soltanto il flusso attaveso le aee di base a e c; poiché il campo è unifome in tutti i punti, si ottiene: a = EA c = EA = = a b Questo isultato non vale soltanto pe la supeficie cilindica: pe un campo unifome, il flusso attaveso una supeficie chiusa è sempe nullo, indipendentemente dalla foma della supeficie

13 Legge di Gauss Il flusso totale del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è uguale alla caica elettica contenuta nella supeficie, divisa pe la costante dielettica del vuoto e (detta anche pemittività dielettica del vuoto) e = = C N m E da = k Eventuali caiche estene alla supeficie, non impota quanto gandi, non danno alcun contibuto al flusso Non ha impotanza la distibuzione o la posizione delle caiche intene, né la foma della supeficie q e int = e = 9 Nm C

14 Esempio: il dipolo elettico Consideiamo un campo di dipolo di caica q, e calcoliamo il flusso attaveso le 4 supefici chiuse in figua: La supeficie A contiene la caica positiva del dipolo La supeficie B contiene la caica negativa del dipolo La supeficie C acchiude entambe le caiche, pe cui la caica netta è nulla La supeficie D non ha caica al suo inteno = A q e B q = e = = C D

15 Poblema 3.3 Consideiamo la supeficie S in figua; le aee vedi appesentano alcune distibuzioni di caica; la moneta è neuta. Calcoliamo il flusso elettico attaveso S q1 = q4 = 3.1 nc q = q5 = 5.9 nc q 3 = 3.1 nc q 1, q, q 3 contibuiscono al flusso; la moneta essendo neuta non contibuisce, anche se polaizzata pe induzione = q1 q q3 5.9nC = =.661 e 1 C N m 3 N m C

16 Utilità della legge di Gauss In alcuni casi la legge di Gauss pemette di deteminae l espessione analitica del campo elettico Ciò si veifica quando il campo elettico possiede una specifica simmetia spaziale: in questo caso, calcolando il flusso attaveso una supeficie che ispecchia la simmetia del campo, si ottiene facilmente l espessione del campo elettico Esempio: campo elettico geneato da una caica puntifome positiva q; sappiamo che il campo ha simmetia adiale, ed è uscente dalla caica; scegliamo quindi come supeficie chiusa una sfea di aggio centata su q, e calcoliamo il flusso del campo; su ciascun punto della sfea il campo è unifome e paallelo al vettoe aeale, pe cui: ( 4 ) E da = E da = E A = E A = 4 Dalla legge di Gauss icaviamo: q 1 q q E A = E k e = 4e = sfuttando la simmetia sfeica del campo elettico abbiamo itovato la legge di Coulomb!!

17 Sfea isolante unifomemente caica q R S Consideiamo una sfea isolante di caica totale q e aggio R; supponiamo la caica distibuita unifomemente in tutti i punti inteni alla sfea ( costante); calcoliamo il campo elettico geneato dalla sfea in un punto esteno alla sfea; patiamo dall assunto che il campo elettico abbia simmetia adiale, ovveo sia unifome in modulo in tutti i punti della supeficie chiusa sfeica S (tatteggiata in osso) di aggio > R : ( 4 ) = E da = E = q e 1 q E() = k 4e = q Il campo geneato dalla sfea unifomemente caica in un punto esteno alla sfea è uguale al campo geneato da una caica puntifome q coispondente alla caica totale della sfea, posta nel cento della sfea

18 Sfea isolante unifomemente caica R S Vogliamo adesso deteminae il campo elettico in un punto all inteno della sfea; pe simmetia il campo è adiale, dunque costante in modulo in tutti i punti della supeficie sfeica S (in osso) di aggio, con < R; calcoliamo il flusso attaveso S ed applichiamo Gauss: E () = 1 q ' 4e Attenzione: adesso q è la caica intena alla pozione di sfea contenuta in S, NON la caica totale q della sfea! q 4 R 4 ' ' 3 q = = 3 q = q R ( 4 ) = E da = E = Il campo in un punto inteno alla sfea è uguale al campo geneato da una caica puntifome q posta nel cento, coispondente alla caica contenuta nella sfea di aggio Come detemino q? Sappiamo che la densità è costante, dunque la caica totale si ottiene moltiplicando densità pe volume: 3 q ' e Chiaamente q è funzione di, mente q ed R sono costanti

19 Sfea isolante unifomemente caica Sostituendo q con q si ottiene: R S 1 q k q E() = 3 3 4e R = R Dunque il campo in un punto inteno ad una sfea unifomemente caica cesce lineamente con la distanza dall oigine E () kq 3 R q k Riepilogo: intensità del campo elettico geneato da una sfea unifomemente caica in funzione di (distanza dal cento): E() cesce popozionalmente ad all inteno della sfea, mente decesce come 1/ all esteno della sfea, in modo equivalente ad una caica puntifome posta nell oigine R NB: le due fomule coincidono pe = R (bodo della sfea)

20 Sfea isolante con densità di caica adiale () q R S Consideiamo il caso in cui la caica q della sfea non sia distibuita unifomemente, ma secondo una distibuzione adiale (), ovveo una distibuzione che vaia con la distanza dal cento: il campo elettico geneato dalla sfea ha ancoa simmetia adiale, esattamente come nel caso della sfea unifomemente caica; dunque ipetendo il agionamento fatto pe la distibuzione unifome si ottiene che il campo elettico esteno alla sfea è dato da: E() = 1 q k 4e = q Il campo geneato dalla sfea con distibuzione di caica adiale in un punto esteno alla sfea è uguale a quello geneato dalla caica puntifome q uguale alla caica totale della sfea, posta nel cento della sfea

21 Sfea isolante con densità di caica adiale () R S Consideiamo ancoa una distibuzione adiale (); vogliamo adesso deteminae il campo elettico all inteno della sfea; pe simmetia il campo è adiale, dunque costante in modulo in tutti i punti della supeficie S (in osso) di aggio, con < R; calcoliamo il flusso attaveso S ed applichiamo Gauss: E () = ( 4 ) = E da = E = 1 q' 4e Come pe la sfea unifomemente caica, q è la caica intena ad S, non la caica totale q della sfea! Chiaamente q dipende da, dunque q =q () Il campo in un punto inteno alla sfea è uguale a quello geneato da una caica puntifome q posta nel cento e uguale alla caica contenuta nella sfea di aggio q' e

22 Integazione della densità adiale d ' ' S Poblema: calcolae la caica q intena alla supeficie gaussiana S di aggio, indicata dalla linea ossa tatteggiata; consideiamo il guscio sfeico aancione in figua, di aggio e spessoe infinitesimo d ; il volume del guscio aancione è: dv = d 4 ' ' Essendo lo spessoe del guscio infinitesimo, la densità in tutti i punti del guscio è costante ed uguale a ( ); dunque la caica infinitesima contenuta nel guscio è: dq dv d ' = ( ') = ( ') 4 ' ' Pe calcolae tutta la caica q dobbiamo infine sommae la caica di tutti i gusci infinitesimi di aggio compeso ta = e =, ovveo integae: '( ) = ' = 4 ' ' ( ') q dq d Ovviamente il valoe di q dipende dalla specifica espessione di ()

23 () R S Esecizio Consideiamo una sfea isolante caica di aggio R= 4 cm e densità adiale () = A/, A = 1 mc/m ; deteminae il campo elettico pe distanze dal cento = cm, = 4 cm, = 8 cm All inteno della sfea ( < R) si ha: q'( ) E() = k q () è la caica intena alla pozione di sfea di aggio : Dunque all inteno della sfea E( ) = k A q '( ) 4 d ' ' ( ') 4 A d ' ' A = = = Il campo all inteno della sfea è unifome; pe = cm ed = 4 cm il isultato è lo stesso: 9 Nm mc 3 N E = 9 1 = C m C

24 () q R S Esecizio Consideiamo una sfea isolante caica di aggio R= 4 cm e densità adiale () = A/, A = 1 C/m ; deteminiamo il campo elettico pe distanze dal cento = cm, = 4 cm, = 8 cm All esteno della sfea ( > R) si ha: E() = q k la caica totale della sfea q si calcola facilmente, poiché ovviamente: q = q '( R) = A R Dunque all esteno della sfea E() = k AR Pe = 8 cm E 9 m 4 3 Nm C cm N = 9 1 = C m 8cm C

25 Gusci isolanti a simmetia sfeica Definiamo guscio sfeico una sfea cava, con cavità anch essa di simmetia sfeica; supponiamo che il guscio sia unifomemente caico ( costante) o con caica adiale (=()); sia q la caica totale del guscio; dimostiamo, utilizzando la legge di Gauss, le seguenti egole fondamentali: 1. Il campo elettico geneato dal guscio sfeico in qualsiasi punto inteno alla cavità è nullo S q Patiamo dal pesupposto che il campo elettico abbia simmetia adiale, ovveo sia unifome in modulo in tutti i punti distanti dal cento del guscio. Calcoliamo il flusso attaveso la supeficie S in osso tatteggiato, ed applichiamo la legge di Gauss: ( ) = E 4 = E =

26 Gusci isolanti a simmetia sfeica. Il campo elettico geneato dal guscio sfeico in qualsiasi punto esteno al guscio è uguale al campo elettico geneato da una caica puntifome q posta nel cento del guscio. S q Patiamo dal pesupposto che il campo elettico abbia simmetia adiale, ovveo sia unifome in modulo in tutti i punti distanti dal cento del guscio. Calcoliamo il flusso attaveso la supeficie S in vede tatteggiato ed applichiamo Gauss: ( 4 ) = E da = E = E = 1 4e q q e

27 a a Poblema Sia dato un guscio sfeico isolante caico, con caica distibuita unifomemente q s =3 mc, aggio inteno a=5 cm ed esteno b=1 cm b a) Scivee l espessione del campo elettico E() in funzione della distanza pe < a (nella cavità), pe a > > b (nel guscio), pe > b (esteno al guscio) b) Calcolae l intensità del campo elettico nei punti = cm, =7 cm, =1 cm Applicando le due egole dei gusci isolanti si ottiene immediatamente: qs a E( ) = b E( ) = k In un punto a distanza dal cento inteno al guscio il campo elettico è dato da: q'( ) E() = k q () è la sola caica contenuta all inteno della sfea di aggio

28 Poblema Calcoliamo q () sfuttando il fatto che la densità di caica è unifome: q '( ) qs V ( ) = = q '( ) = qs V () V V TOT Chiaamente V TOT è il volume totale del guscio, V() il volume della pozione di guscio intena alla sfea di aggio : Nm 3mC = 7cm E = ( N / C) = C 491 m Nm 3mC 7 = 1 cm E = ( N / C) = C 1 m TOT 4 4 V TOT = b a V = a 3 3 V () a qs a = E() = k V b a b a TOT ( 3 3 ) () ( 3 3 )

29 Legge di Gauss nei mateiali conduttoi E = = In un conduttoe caico la caica si idistibuisce sulla supeficie: non ci sono caiche all inteno del mateiale. Ciò semba agionevole consideando che le caiche, potendo muovesi, tendono ad allontanasi il più possibile. Il teoema di Gauss ci fonisce una pova di questo compotamento. Consideiamo un conduttoe caico isolato nello spazio; il campo elettico in ogni punto inteno al conduttoe deve essee nullo, altimenti si geneeebbeo coenti che violano la condizione di equilibio elettostatico. Dunque, sui punti di una qualunque supeficie chiusa all inteno del mateiale (ad esempio la supeficie indicata dalla linea tatteggiata) il campo è sempe nullo, e di conseguenza il flusso attaveso la supeficie è nullo. Pe la legge di Gauss, concludiamo che non può esistee caica al suo inteno. Il flusso è diveso da zeo solo se la supeficie di gauss include la supeficie del mateiale.

30 Mateiali conduttoi con cavità intena Consideiamo un conduttoe di foma qualsiasi, contenente al suo inteno una cavità di foma qualsiasi; ci chiediamo se sulla supeficie intena alla cavità possa esseci caica Consideiamo una supeficie gaussiana (linea ossa tatteggiata) intena al mateiale, che acchiuda totalmente la cavità Essendo il campo nullo in tutti i punti inteni al mateiale conduttoe, il flusso attaveso la supeficie gaussiana è nullo Pe la legge di Gauss, la caica netta intena alla supeficie gaussiana deve essee nulla Dunque, non può esseci caica sulla supeficie intena; la caica può distibuisi soltanto sulla supeficie estena del conduttoe, non su una supeficie intena. NB: la situazione cambia se intoduciamo alte caiche all inteno della cavità!

31 Guscio conduttoe con caica puntifome q Consideiamo un guscio conduttoe neuto con una caica puntuale q posta nel cento della cavità. Quali caiche compaiono pe induzione nel conduttoe? Come sono distibuite? q all equilibio elettostatico il campo all inteno del conduttoe deve essee nullo in tutti i punti: E=; dunque, il flusso attaveso una qualsiasi supeficie chiusa (ad esempio quella tatteggiata in giallo) deve essee nullo: = Pe la legge di gauss, se = deve essee NULLA anche tutta la caica Q intena alla supeficie chiusa.

32 Guscio conduttoe con caica puntifome q qint = q q = Dunque, sulla paete intena della cavità deve geneasi pe induzione una caica q che compensa la caica puntuale q, cosicché la caica totale q int intena alla supeficie gaussiana sia NULLA: A causa della simmetia adiale, la caica positiva geneata sulla paete della cavità deve essee distibuita unifomemente su ciascun punto della supeficie Poiché il conduttoe è complessivamente neuto, sulla supeficie estena deve essee pesente una caica q che compensi la caica q sulla supeficie intena. Pe simmetia, anche questa caica è distibuita unifomemente sulla supeficie della sfea

33 Guscio conduttoe con caica puntifome q Cosa cambia se la caica puntifome non è nel cento della sfea? Il flusso attaveso la supeficie chiusa è sempe nullo, pe cui q int = e la caica indotta sulla supeficie intena deve essee ancoa uguale a q L unica diffeenza è che adesso q non è più unifome sulla supeficie intena, ma si accumula maggiomente sul lato della caica puntifome, pe compensane il campo La caica q sulla supeficie estena esta invece distibuita unifomemente, poiché il campo della caica puntifome negativa e quello della caica indotta positiva si compensano, dunque la caica sulla supeficie estena non isente delle posizione delle alte caiche.

34 Guscio conduttoe con caica puntifome q S = 4 Cosa succede all esteno del conduttoe? Applichiamo la legge di Gauss ad una supeficie gaussiana sfeica (vede tatteggiata) di aggio, centata sulla caica puntuale. Pe simmetia, il campo elettico deve essee adiale e quindi unifome su tutti i punti della supeficie gaussiana; dunque: q = E da = E da = ES = e 1 q q E() = k 4e = itoviamo il campo geneato dalla caica puntifome! all esteno del conduttoe è come se il conduttoe neuto non esistesse

35 Poblema a c qs a E() = k 3 a q a b E() = k s b La sfea gialla isolante con caica unifome q s = 3 mc e aggio a= cm è posta al cento di un guscio conduttoe sfeico con aggio inteno b = 6 cm e aggio esteno c =7 cm; sul guscio è pesente una caica q c = 7 mc. 1) scivee l espessione E() del campo elettico in funzione della distanza dal cento, nella egione intena alla sfea ( < a), intena alla cavità (a < < b), intena al guscio (b < < c), ed estena al guscio ( > c) ) Deteminae la caica Q accumulata sulla supeficie intena ed estena del guscio 3) Calcolae l intensità del campo nei punti =1 cm, =5 cm, =1 cm b c E( ) = Sup. intena Q = 3 mc Sup. estena Q = 4 mc c E() = k ( q q ) s c

36 Poblema = 1cm 9 Nm 3mC 1cm 7 E = 9 1 = ( N / C) 3 C ( cm) = 5cm 9 Nm 3mC 7 E = 9 1 = 1.81 ( N / C) 4 C 51 m = 1cm 9 Nm 4mC 7 E = 9 1 =.361 ( N / C) 4 C 11 m E () sfea kqs 3 cavità q s a k guscio esteno Il campo elettico pesenta discontinuità in coispondenza di paeti caiche a b c k q s q c

37 Campo elettico esteno alla supeficie piana di un conduttoe caico Consideiamo una supeficie piana infinita (oppue supponiamo di essee abbastanza vicini alla supeficie da pote tascuae la cuvatua e la distanza dal bodo) essendo la supeficie piana, in assenza di alti campi la distibuzione di caica avà densità unifome. Calcoliamo il campo elettico esteno alla supeficie In equilibio elettostatico il campo geneato dalla caica deve essee pependicolae alla supeficie, altimenti le caiche si muoveebbeo sulla supeficie; inolte una componente planae non può esistee pe agioni di simmetia planae. Calcoliamo il flusso attaveso il cilindetto, contenente una pozione A di supeficie

38 Campo elettico esteno alla supeficie piana di un conduttoe caico il flusso attaveso la paete lateale del cilindetto è nullo, poiché il campo è pependicolae al vettoe aeale il flusso attaveso la base intena al conduttoe è nullo poiché il campo inteno al conduttoe è nullo Al flusso totale contibuisce soltanto la base estena al conduttoe; consideiamo una base da infinitesimale; il flusso attaveso il cilindo è: dq d = E da = e Poiché dq = da è la caica del conduttoe contenuta nel cilindetto, dalla legge di Gauss si ottiene: E = e Dunque, il campo esteno al conduttoe è unifome e popozionale alla densità di caica planae; il fatto che il campo sia unifome lo si capisce consideando cilindi di lunghezza e posizione diffeente: il isultato finale non dipende dalla lunghezza, né dal posizionamento sul piatto del cilindetto, ma solo dal fatto che è unifome. L unica assunzione è che il campo sia pependicolae alla supeficie

39 Campo elettico esteno ad una lamina conduttiva caica Consideiamo una piasta (lamina) conduttiva di dimensione infinita con caica positiva in eccesso; al solito, il campo inteno al conduttoe è nullo e la caica si idistibuisce soltanto sulle due supefici. Sia la densità di caica unifome su ciascuna supeficie; ipetendo il calcolo del flusso attaveso i volumetti cilindici in figua, itoviamo lo stesso isultato su entambe le supefici: il campo elettico all esteno della supeficie è: E = e Il campo elettico è unifome e popozionale alla densità di caica pesente su una singola faccia. Pe positiva il campo ai due lati della piasta è uscente dalla piasta; pe negativa il campo è lo stesso in modulo ma entante nella piasta

40 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva E E Il doppio stato conduttivo è il fondamento di uno dei dispositivi elettonici più impotanti: il condensatoe. Consideiamo due piaste conduttive infinite con densità di caica uguali in modulo ma opposte in segno, poste una di fonte all alta. Poiché le caiche si attaggono, esse si depositano sulle supefici intene al doppio stato. Siano E ad E i campi elettici geneati dalle due distibuzioni di caica. Assumiamo al solito che i campi siano pependicolai alle piaste. Il veso dei campi è uscente dalla piasta positiva ed entante in quella negativa

41 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva Pe calcolae il campo ta le due piaste, applichiamo Gauss al cilindetto aancione. Solo la base del cilindo ta le piaste contibuisce al flusso: dq da d = ( E E ) da = = e e Pe calcolae il campo esteno alle piaste applichiamo Gauss al cilindetto azzuo Adesso i campi sono discodi, poiché E e è antipaallelo al vettoe aeale; inolte la caica intena al cilindo è nulla; dunque il flusso totale è: E = E E Il campo ta le piaste è unifome e popozionale alla densità = e E E E = E = E E = E e ( ) d = E E da = E = E E = il campo esteno alle piaste è sempe NULLO, poiché i campi geneati dalle due piaste sono sempe uguali in modulo ed opposti in veso

42 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva Quesito: se avessimo applicato la legge di Gauss a ciascuna piasta sepaatamente pe ottenee E ed E pe poi sommae i campi ottenuti, avemmo tovato lo stesso isultato? NO, avemmo ottenuto un isultato sbagliato. Infatti, in pesenza della sola piasta positiva avemmo ottenuto: In pesenza della sola piasta negativa: Il campo totale saebbe stato: E = e E = e E = e La agione di questa discasia è che mente pe gli isolanti vige il pincipio di sovapposizione, pe i conduttoi le caiche possono muovesi e si veifica il fenomeno dell induzione elettica; dunque, la distibuzione di caica della doppia piasta NON è uguale alla sovapposizione delle caiche in due piaste isolate.

43 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva D P Nel calcolae il campo abbiamo assunto che le piaste siano infinite; in patica qualsiasi supeficie è FINITA, e si potebbe pensae che i isultati ottenuti non siano applicabili nella ealtà. Al contaio, i isultati sono significativi anche pe piaste finite, a patto che il punto P in cui si valuta il campo sia molto più lontano dal bodo della piasta che dalla pependicolae alla supeficie, ovveo a patto che << D; in questo modo si assume che i cosiddetti effetti di bodo siano tascuabili Pe idue al minimo gli effetti di bodo, nei condensatoi piani effettivamente utilizzati le supefici sono sempe molto maggioi della distanza ta i piatti

44 Campo elettico esteno ad una lamina isolante Consideiamo una lamina isolante infinita (ad esempio un foglio di plastica) caico positivamente su una faccia, con densità di caica unifome ; calcoliamo il campo da essa geneato a distanza dalla supeficie. Pe simmetia, essendo la densità di caica supeficiale unifome, non può esseci una componente del campo paallela al foglio, ovveo il campo deve essee pependicolae alla supeficie. Consideiamo il cilindetto il Figua, e valutiamo il flusso attaveso il cilindetto.

45 Campo elettico esteno ad una lamina isolante da 1 da Posizioniamo il cilindo in modo che le basi siano equidistanti dallo stato caico, cosicché il campo è uguale in modulo ma opposto in veso sulle due basi chiaamente, il flusso attaveso le basi 1 e è lo stesso, pe cui il flusso totale è dato da: d = d 1 d = E da Dalla legge di Gauss segue che: da E da = e E = e Il campo elettico geneato da una lamina isolante è unifome e popozionale alla densità di caica

46 Confonto: lamina conduttiva ed isolante lamina conduttiva: lamina isolante: 1 E = e E = e Nel caso del conduttoe, la caica si distibuisce sulle due supefici, mente nell isolante la caica esta confinata nei punti in cui è stata geneata; dunque, se la caica totale è la stessa nei due casi, ne segue che 1 sulle supefici del conduttoe deve essee metà della nell isolante; dunque, a paità di caica, il campo all esteno è lo stesso nei due casi

47 Poblema 3.6 Consideiamo due lamine isolanti paallele con densità = 6, = 4, = 1 mc/m ; calcolae il campo ta le lamine e nelle egioni estene. Essendo le lamine isolanti, il campo totale è la somma dei campi di ciascuna piasta; sia x l asse pependicolae alle piaste. ˆx Regione intena: mc / m 6 N E = xˆ = xˆ = xˆ =.561 xˆ e e e 1 C C Nm Regione estena desta: mc / m 6 N E = xˆ = xˆ = xˆ =.111 xˆ e e e 1 C C Nm Regione estena sinista: N E = xˆ = xˆ =.111 xˆ e e e C

48 Campo elettico geneato da un filo caico Consideiamo un filo (o una bacchetta) di lunghezza infinita, con densità di caica lineae unifome (non impota se conduttoe o isolante) Sfuttiamo la legge di Gauss pe calcolae il campo geneato dalla bacchetta in un punto esteno al filo consideiamo la supeficie cilindica gialla in figua, di altezza h e aggio essendo la bacchetta infinita, possiamo ipotizzae che il campo abbia il simmetia cilindica, ovveo sia pependicolae alla supeficie del cilindo e unifome in tutti i punti della supeficie

49 Campo elettico geneato da un filo caico Il flusso attaveso le basi del cilindo è evidentemente nullo; conta soltanto il flusso attaveso la supeficie lateale (la supeficie lateale del cilindo è h); dunque: = = ( ) E da E h q =h è la caica intena al cilindo; dalla legge di Gauss: q h = = e e 1 E = = e k Questa espessione esta valida anche pe una bacchetta di dimensioni finite, a patto che la lunghezza della bacchetta sia gande ispetto alla distanza, in modo da pote tascuae gli effetti di bodo

50 Campo geneato da un cilindo isolante unifomemente caico R Consideiamo un lungo cilindo caico di aggio R, la cui sezione è disegnata in giallo in figua la caica all inteno del cilindo è unifome; dunque, le densità di caica lineae e di volume sono entambe unifomi vogliamo calcolae il campo elettico ad una geneica distanza dal cento del cilindo, sfuttando la simmetia cilindica del campo, ovveo il fatto che il campo è unifome in tutti i punti della ciconfeenza di aggio, sia essa estena al cilindo (ad esempio la linea vede tatteggiata) o intena al cilindo (linea ossa tatteggiata).

51 Campo geneato da un cilindo isolante unifomemente caico R Caso > R: campo al di fuoi del cilindo caico; applichiamo Gauss ad una supeficie cilindica di aggio (linea vede tatteggiata) ed altezza h: E da = E = ( h) Ritoviamo la fomula del campo pe il filo infinito con densità di caica lineae : il campo elettico esteno ad un cilindo caico è uguale a quello geneato da un filo di uguale caica passante pe l asse del cilindo; ovveo, è come se tutta la caica fosse concentata lungo l asse. E = q e q = h è la caica intena alla supeficie gaussiana, pe cui: = 1 q 1 k e h = e =

52 Campo geneato da un cilindo isolante unifomemente caico R Caso < R: campo all inteno del cilindo caico; applichiamo Gauss ad una supeficie cilindica di aggio (linea ossa tatteggiata) ed altezza h: ( ) = E da = E h = E = ' k q ' e Attenzione: adesso non include TUTTA la caica della sezione cilindica, ma solo quella INTERNA alla supeficie cilindica gaussiana; dalla densità di caica 3D unifome nel cilindo, calcoliamo la caica q contenuta all inteno della supeficie cilindica gaussiana di altezza h e aggio : q ' = ( h) Chiaamente dipende da q'( ) '( ) = = h

53 Campo geneato da un cilindo isolante unifomemente caico Possiamo espimee in temini di, essendo : E () k R R R k '( ) = = R ' = R ' E( ) = k = k R L intensità del campo elettico E() geneato da un cilindo unifomemente caico cesce popozionalmente ad all inteno del cilindo, decesce come 1/ all esteno del cilindo Come dobbiamo aspettaci (essendo entambe coette), le due fomule coincidono pe = R

54 Esecizio Consideiamo una sfea conduttiva caica, con caica q C = 8 mc, cava al suo inteno; una caica puntuale negativa q = 5 mc è posta in un punto inteno alla cavità. Deteminae quanta caica deve essee distibuita sulle supeficie intena (q int ) ed estena (q est ) del conduttoe Pe la legge di Gauss, la caica sulla supeficie intena deve compensae la caica puntuale, pe cui: q int = 5 mc Poiché la caica totale sul conduttoe è: q = q q = mc C qest int est 8 ne deiva che sulla supeficie estena deve essee distibuita una caica: = 3mC