S.Barbarino - Appunti di Fisica II. Cap. 2. Il campo elettrostatico nel vuoto: II

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1 Cap 2 Il campo elettostatico nel vuoto: II 2 - Enegia potenziale di un sistema di caiche Come abbiamo giá visto, il podotto del potenziale elettostatico pe la caica di un oggetto puntifome puó essee intepetato come una enegia potenziale Piú esattamente se una caica puntifome q i é taspotata dall infinito in un punto i di una egione sede di campo elettico descitto da un potenziale Φ che si annulla all infinito, il lavoo eseguito sulla caica (e quindi la sua enegia potenziale) é dato da: W i = q i Φ( i ) (2) Se esiste un campo podotto da un insieme di n caiche q j nelle posizioni j (j =,2,,n ), si ha: n q j Φ( i ) = k (22) i j L enegia della caica q i é: j= n q j W i = q i k i j j= (23) Estendiamo, oa, il concetto di enegia potenziale a tutto un insieme di caiche localizzate definendo enegia potenziale di un sistema di caiche localizzate come il lavoo fatto pe fomae il sistema stesso ossia il lavoo fatto pe potae ciascuna caica dall infinito alla posizione assegnata Quindi l enegia potenziale di un sistema disceto di n caiche si sciveá: n q i q j k i j i= j<i (24) Pe esempio pe n = 4 si ha: q 2 q W = k 2 + k q 3 q 3 + k q 4 q 4 + k q 3 q k q 4 q k q 4 q (25) É ovvio che l espessione (24) é equivalente a: W = q i q j k 2 i j j i (i j) (26) con l intesa, cioé, di scatae i temini i = j 2 -

2 Pe una distibuzione continua di caica l enegia potenziale assume la foma: W = 2 k ρ( )ρ( ) d3 d 3 (27) Il temine k ρ( ) d3 appesenta il potenziale nel punto geneato dalla caica infinitesima ρ( )d 3 situata nel punto La (27) si puó scivee: W = 2 d 3 ρ( )k ρ( ) d3 = 2 d 3 ρ( ) k ρ( ) d3 (28) dove é il volume occupato dalle caiche ed eventualmente un volume piú gande La (28) si puó scivee: W = 2 d 3 ρ( )Φ( ) (29) essendo Φ( ) il potenziale geneato dalla distibuzione nel punto geneico della distibuzione stessa ediamo adesso di pesentae un punto di vista altenativo e molto futtuoso che sottolinea il concetto di campo consideando l enegia elettostatica come immagazzinata nel campo elettico che ciconda le caiche Consideiamo la (29): W = 2 d 3 ρ( )Φ( ) Applichiamo l equazione di Poisson 2 Φ = 4πkρ; da cui ρ( ) = 2 Φ 4πk Sostituendo si ha: W = Φ 2 Φd 3 (20) 8πk Consideiamo, adesso, due funzioni scalai Φ e ψ e con esse ci costuiamo una funzione vettoiale A = Φ ψ Si ha, pe una nota identitá vettoiale: (Φ ψ) = Φ 2 ψ + Φ ψ (2) Alla funzione A applichiamo il teoema della divegenza: Ad 3 = A nda S essendo S la supeficie che limita 2-2

3 Sostituendo ad A l espessione Φ ψ e consideando l identitá (2) si ha: ( Φ 2 ψ + Φ ψ ) d 3 = che pende il nome di pima identitá di Geen Data l abitaietá delle funzioni Φ e ψ scegliamo ψ = Φ ottenendo: ( Φ 2 Φ + Φ Φ ) d 3 = S S Φ ψ nda (22) ( ) Φ Φ n da (23) che pende il nome di seconda identitá di Geen Attibuendo a Φ il significato della nosta funzione potenziale, si ha: W = 8πk Φ 2 Φd 3 = 8πk Φ Φd 3 8πk S ( ) Φ Φ n da Come abbiamo sottolineato inizialmente, il contibuto di W = d 3 ρ( )Φ( ) non 2 vaia se aumentiamo il volume in quanto fuoi dall effettiva distibuzione di caica, isulta: ρ( ) = 0 Riscivendo l espessione, si ha: W = 8πk Φ 2 Φd 3 = 8πk Φ Φd 3 8πk S ( ) Φ Φ n da (24) Possiamo, pe quanto detto pima, assumee pe una supeficie sfeica che ciconda completamente le caiche Lasciamo, altesí, espandee la supeficie S fino a diventae una sfea di aggio infinito É ovvio che, in queste condizioni, ( ), pe una distibuzione localizzata di caiche, si ha: ( ) lim Φ Φ n da = 0 (25) S in quanto, come abbiamo giá ossevato, pe una distibuzione localizzata di caiche Φ tende all infinito come e Φ come 2 Quindi: W = Φ 2 Φd 3 = E 2 d 3 (26) 8πk tutto lo spazio 8πk tutto lo spazio Da questa espessione si giustifica il concetto fisico che l enegia potenziale elettostatica é immagazzinata nel campo elettico 2-3

4 22 - Sviluppo in seie di multipoli del potenziale di una distibuzione abitaia di caiche Supponiamo di avee una complicata distibuzione di caiche elettiche, come pe esempio le molecole dell acqua, e di essee inteessati soltanto ai campi a gande distanza Faemo vedee che é possibile tovae pe i campi un espessione elativamente semplice, che é adatta pe gandi distanze in confonto alle dimensioni dell oggetto Consideiamo una distibuzione abitaia di caiche e poniamo l oigine delle noste coodinate in un punto inteno alla distibuzione in modo da idue il numeo di coodinate Inolte questa distibuzione puó tutta essee acchiusa da una sfea di aggio a piccolo ispetto alla distanza dal punto di ossevazione Indichiamo con un punto abitaio dento la distibuzione di caiche (punto sogente), con ρ( ) la densitá di caica in quel punto, e con il punto di ossevazione (punto campo) z a θ O y P x fig22- Il potenziale in é dato da: Φ( ) = 4πǫ 0 ρ( ) d3 (22) dove d 3 é un elemento di volume dello spazio in cui é distibuita la caica e tutto il volume occupato dalla distibuzione di caiche 2-4

5 Consideiamo la quantitá = Pe il teoema di Canot si ha: = ; = ( ) 2 (222) Mettendo, dento le paentesi, in evidenza 2, si ha: ( ) 2 = [ ( )] 2 2 = ( ) 2 2 (223) Se il temine isulta < la quantitá dento paentesi puó essee sviluppata con la fomula del binomio e se < la seie convege assolutamente Pe gaantie questo basta pendee il punto P sufficientemente lontano Posto: δ = si ha: Quindi: Odinando: ( + δ) 2 = 2 δ δ2 + (224) ( ) 2 = + [ ( [ ( )] cos θ + )] cos θ cos2 θ + (225) = [ + cos θ cos2 θ 2 ] = = [ + cos θ + ( 3cos 2 θ ) 2 ] (226) La (226) si puó scivee in foma compatta come: = ( ) n P n (θ) (227) n=0 dove le quantitá P n (θ), come vedemo meglio in seguito, sono i cosiddetti polinomi di Legende che ipotiamo: P 0 (θ) =, P (θ) = cos θ, P 2 (θ) = ( 3cos 2 θ ), 2 P 3 (θ) = ( 5cos 3 θ 3cos θ ) etc 2 (228) 2-5

6 La seie (227) convege se < Quindi: Φ( ) = [ 4πǫ 0 che si puó scivee: ρd cos θρd ] 2 (3cos2 θ ) ρd (229) Φ( ) = [ 4πǫ 0 ρd ρ( )d ] 2 (3cos2 θ ) ρd (220) L espessione (220) é facilmente intepetabile Il pimo integale ρd 3 é chiaamente la caica totale della distibuzione; petanto il pimo temine del secondo membo: 4πǫ 0 [ ρd 3 ] (22) appesenta il potenziale che isulteebbe se questa caica totale fosse concentata nella oigine Esso pende il nome di potenziale di monopolo della distibuzione e puó anche essee nullo se la distibuzione é neuta ossia se la caica totale é nulla Il secondo integale ρ( )d 3 pende il nome di momento di dipolo della distibuzione e si indica con p; petanto il secondo temine del secondo membo: 4πǫ 0 [ ] 3 p (222) appesenta il potenziale di dipolo della distibuzione Il tezo integale pende il nome di momento di quadupolo della distibuzione e cosí via É inteessante ossevae che puó esistee una distibuzione di caiche che pu avendo la caica totale nulla puó pesentae temini supeioi di potenziali divesi da zeo Teoema - Il momento di dipolo di una distibuzione neuta di caiche é indipendente dall oigine delle coodinate 2-6

7 O R O d 3 P fig22-2 Pe veificae ció consideiamo un nuovo sistema di coodinate con oigine nel punto individuato dal vettoe posizione R ispetto al vecchio sistema (fig22-2) Sia cioé: = + R (223) essendo e i vettoi posizione dell elemento della distibuzione ispetto al vecchio e al nuovo sistema di ifeimento ispettivamente Ne segue che: p = ρ( )d 3 = ( + R ) ρ( )d 3 = ρd 3 + RQ (224) Petanto, se Q = 0 alloa: p = p Un tipico esempio di campo elettico di dipolo é quello geneato da una singola molecola neuta Pe essa infatti il potenziale di monopolo é nullo e il potenziale di dipolo pe alcuni tipi di distibuzioni di caica intamolecolae come in figua 22-3 é cetamente diveso da zeo In geneale si tascua quasi sempe il potenziale di odine supeioe (quadupolo, etc) 2-7

8 e e e 3e z +2e 2e z +e +e 2e z fig22-3 L esempio piú classico di una distibuzione geneante un campo di dipolo nei punti lontani é quello costituito da due caiche puntifomi di segno opposto sepaati da una distanza s fig22-4 O +q q θ s P 2-8

9 Il potenziale Φ( ) della distibuzione di figua 22-4 é: Φ( ) = q 4πǫ s2 4 2s 2 cos θ = q 4πǫ 0 + s2 4 2 s cos θ 2 + s s 2 cos θ = + s s cos θ (225) Sviluppando in seie secondo la ( + δ) 2 δ, la (225) si scive: 2 Φ( ) q [ s 2 4πǫ s 2 cos θ + s s ] 2 cos θ = qs cos θ 4πǫ 0 2 = k pcos θ 2 (226) dove p = qs é il modulo del momento di dipolo della distibuzione; esso é un vettoe oientato dalla caica negativa a quella positiva La (226) é l espessione del potenziale dipolae da noi giá definito 23 - Linee di foza del campo elettico di un dipolo É inteessante valutae la distibuzione del vettoe campo elettico nello spazio, cosa che in geneale va fatta pe qualunque distibuzione Noi paticolaizziamo il concetto ifeendoci all impotante caso del campo di un dipolo Risciviamo l espessione del potenziale dipolae: Φ dip = k pcos θ 2 (23) Il campo elettico coispondente a tale funzione potenziale é, in componenti: E = Φ = 2pkcos θ 3 E θ = Φ θ = k p 3 sinθ E φ = 0 (232) É impotante ossevae che il tipico campo elettico di un dipolo va all infinito con legge 3 Si definisce linea di foza del campo elettico il luogo dei punti dello spazio tale che in ciascuno di essi il vettoe campo elettico é tangente all elemento d s del luogo geometico Dal punto di vista matematico l equazione della linea di foza é, in base alla definizione: E d s = 0 (233) 2-9

10 Note le componenti del vettoe E, la soluzione della foma diffeenziale (233) ci fonisce le equazioni della linea di foza Applichiamo la (233) al caso di un dipolo, ossevando che poiché il campo non dipende da φ la linea di foza é contenuta in un piano e quindi il poblema é bidimensionale Petanto, in coodinate polai: d s = (d)ê + (dθ)ê θ (234) Quindi l espessione (233) si espime: E dθ E θ d = 0 (235) che é conveniente scivee: d = E E θ dθ (236) Sostituendo le espessioni delle componenti del campo date dalle (232) si ha: d 2pkcos θ = 3 k p θ = 2cos dθ (237) 3 sin θdθ sinθ Integando la (237) si ha: ln = 2ln sin θ + lnc = ln sin 2 θ + lnc (238) la cui soluzione é: = C sin 2 θ (239) La (239), al vaiae della costante abitaia C, ci fonisce l equazione delle linee di foza il cui gafico é illustato in figua 2-0

11 Linee di foza del campo elettico (linea continua) e linee equipotenziali (linea tatteggiata) di un dipolo elettico C= C=4 2 C=4 p C= fig É inteessante tacciae le linee equipotenziali cioé quelle linee sulle quali il potenziale assume valoe costante L equazione si ottiene imponendo che: la cui soluzione é: Φ = k pcos θ 2 = costante (230) 2 = C cos θ (23) Anche le linee equipotenziali sono tacciate in figua 23- Dalla (230) segue che la linea equipotenziale é caatteizzata dall essee dφ = 0 su tutta la linea Poiché: dφ = Φ x Φ Φ dx + dy + y z dz = Φ d (232) 2 -

12 ne segue che sulla linea equipotenziale deve essee: Φ d = 0 cioé Φ é otogonale punto pe punto alla linea stessa Questo vuol die che in ciascun punto della linea equipotenziale il campo elettico é ivi otogonale 24 - Momento tocente e foze agenti su un dipolo posto in un campo elettico esteno Il modello che scegliamo pe illustae il momento tocente e le foze agenti su un dipolo é quello di due caiche tenute insieme meccanicamente in modo che la distanza s fa di esse si mantenga costante θ F + s/2 θ F + F p E fig24- Intoduciamo il dipolo in un campo elettico esteno unifome L estemo positivo del dipolo saá spinto veso desta, mente l estemo negativo saá spinto veso sinista, da una foza di intensitá Eq La foza isultante esecitata sul dipolo saá nulla e se esso foma un angolo θ con la diezione del campo (che é anche quella della foza) vi saá un momento meccanico N = F N é un vettoe pependicolae al piano di figua: la cui intensitá vale: N = F + + ( ) F s 2 Eq sin θ + s Eq sinθ = qse sinθ = pe sin θ (24) 2 In foma vettoiale la (24) si puó scivee: N = p E (242) 2-2

13 Il dipolo si oienta con l asse paallelo al campo In questa posizione coisponde l enegia piú bassa Calcoliamo il lavoo necessaio pe fa uotae il dipolo di un angolo θ 0, patendo dalla diezione paallela al campo = 2 θ0 0 θ0 L = 2 ( F ) dθ θ0 = Ndθ = 0 0 θ0 0 θ0 F d s = 2 0 F ( d θ) = pe sinθdθ = pe( cos θ 0 ) (243) Pima di concludee é indispensabile scivee l espessione del campo elettico geneato da un dipolo nel caso geneale Esso é: E( ) = k 3( p ) 2 p 5 (244) che in componenti é identica alla (232) Si noti che la (244) si ifeisce ad un dipolo nell oigine delle coodinate ( = 0) Infine é impotante ossevae che nell ipotesi in cui si abbia una distibuzione di caiche pe cui il momento di dipolo é nullo il campo pepondeante saá quello di quadupolo e l intensitá del campo elettico diminuiá con l inveso della quata potenza della distanza Un esempio é dato in figua 24-2 z +e e e x +e fig

14 25 - Ulteioi esempi di calcolo del campo elettostatico, del potenziale e della enegia potenziale di alcune distibuzioni di caiche elettiche Applicazioni del teoema di Gauss In cete situazioni di simmetia, é conveniente pocedee al calcolo del campo elettico pe mezzo del teoema di Gauss Sfea omogenea piena di caiche Si abbia una distibuzione sfeica, di aggio a, di caica positiva con densitá volumica ρ = costante fig25- a O S i Applichiamo il teoema di Gauss Sia S i una supeficie sfeica intena di aggio, si ha: S i E nda = 4πkqi (25) Poiché, pe simmetia, il campo elettico dipende soltanto dal modulo della distanza e la sua diezione coincide con la nomale in ciascun punto della sfea di supeficie S i, la (25) diventa: E4π 2 = 4πkρ 4 3 π3 essendo q i = ρ 4 3 π3 Ne segue, quindi, che in ciascun punto inteno alla sfea il campo elettico si scive: E = 4 3 kπρ 0 a (252) Pe > a la supeficie gaussiana si pende all esteno della sfea piena di caiche e si ha: E4π 2 = 4πkρ 4 3 πa3 pe cui E = 4 3 kρπa3 2 ( > a) (253) 2-4

15 Nel SI, la (252) e la (253) diventano: E int = ρ 3ǫ 0 E ext = ρ 3ǫ 0 a 3 2 (254) 0 08 Campo elettico di una sfea piena di caiche a = E() E max a distanza dal cento della sfea fig25-2 Calcoliamo, oa, l enegia potenziale della sfea applicando la fomula (26) Pe questo, isciviamo i campi elettici nei punti inteni e in quelli esteni alla sfea cioé: E int = 4 kπρ 0 a (255) 3 E ext = 4 3 kρπa3 2 ( > a) (256) Pe la fomula (26) si ha: W = E 2 d 3 8πk tutto lo spazio [ W = a ( ) 2 4 ( ) ] 2 4 8πk 0 3 πρk 2 4π 2 d + a 3 πρk a 6 4 4π2 d = = ( ) 2 [ 4 a 4π 4 d + a 6 ] 2 d = = 6π2 ρ 2 k 2 4π 8 9 π k 8πk { 5 a5 + 3 πρk [ ( a )] } a a = 8π2 ρ 2 k 9 [ ] 5 a5 + a 5 (257)

16 che si puó scivee: W = π2 ρ 2 ka 5 (258) La (258) si puó espimee in funzione della quantitá totale di caica Q = 4 3 πa3 ρ, quindi: Q 2 = 6 9 π2 a 6 ρ 2 Ne segue: W = k 3 5 Q 2 a (259) É inteessante confontae il isultato dato dalla (259) con il calcolo dell enegia potenziale elettostatica di un guscio sfeico caico il cui campo elettico inteno e quello esteno sono dati dalla (57), cioé, in modulo: E int = 0 E ext = k Q 2 (250) Si ha: W = 8πk a k 2 Q2 4 4π2 d = 2 kq2 [ ] a = 2 kq2 a (25) Risulta cosí che il lavoo fatto pe costuie una distibuzione sfeica di caiche é maggioe di quello necessaio pe costuie un guscio sfeico caico 26 - Sfea cava omogenea Consideiamo una distibuzione di caica compesa fa due sfee concentiche di aggi R e R 2 ed applichiamo il teoema di Gauss nelle te egioni in cui é suddivisa la sfea fig26- R R 2 Pe < R segue immediatamente che E=0 2-6

17 Pe R < < R 2 si ha: Petanto: S i E nda = 4πkqi da cui E4π 2 = 4πkρ Pe R 2 si ha: E = 4 [ ] 3 πkρ R3 2 ( 4 E4π 2 = 4πkρ 3 πr3 2 4 ) 3 πr3 E = 4 3 πkρ( R2 3 R 3 ) / 2 ( 4 3 π3 4 ) 3 πr3 R R 2 (26) R 2 (262) E() E max Campo elettico di una sfea cava omogenea 0 R = 08 R 2 = R R distanza dal cento della sfea fig Applicazione dell equazione di Poisson Sfea omogenea piena di caiche Il poblema della sfea omogenea piena di caiche, giá sviluppato pe mezzo del teoema di Gauss, si puó isolvee pe mezzo dell equazione di Poisson: 2 Φ int = 4πkρ 0 a (27) 2-7

18 scitta in coodinate sfeiche Poiché, pe simmetia, Φ é funzione del modulo di soltanto, la (27) diventa: ( d 2 2 dφ ) i = 4πkρ d d ( d 2 dφ ) i = 4πkρ 2 2 dφ i d d d = 4 3 πkρ3 + C dφ i d = 4 3 πkρ + C 2 Φ i = 2 3 πkρ2 C + C 2 dove C e C 2 sono costanti da deteminae Osseviamo subito che, poiché il punto = 0 appatiene al nosto sistema e il potenziale non deve mai divegee, la costante C deve necessaiamente essee nulla La costante C 2 va deteminata dalla condizione di continuitá: Φ int(=a) = Φ ext(=a) (272) Pe Φ ext (che abbiamo giá calcolato) si ha: Φ ext(=a) = k Q a = 4 3 kπρa2 La (272) diventa: 2 3 πkρa2 + C 2 = 4 3 πkρa2 Ne segue: C 2 = 2πkρa 2 quindi: Φ int = 2πkρ ) (a a (273) Il campo elettico E = Φ, calcolato con il vettoe espesso in coodinate sfeiche isulta identico a quello valutato pecedentemente 28 - Applicazione del pincipio di sovapposizione Sfea cava omogenea di aggi R e R 2 Un metodo oiginale ed elegante pe isolvee il poblema della sfea cava omogenea, giá affontato, é il seguente: il potenziale della sfea cava omogenea si puó consideae come la somma del potenziale di una sfea piena di aggio R 2 meno il potenziale di una sfea piena di aggio R Φ 2ext = 4 3 πkρr3 2 Φ ext = 4 3 πkρr3 Φ 2int = 2πkρ Φ int = 2πkρ 2-8 ) (R ) (R 2 2 3

19 Pe un punto inteno R R 2 Φ (R R 2 ) = Φ 2i Φ e = 2kπρ ) (R πkρr3 Φ ( R2 ) = Φ 2e Φ e = 4 ( ) R 3 3 kπρ 2 R 3 Φ ( R ) = Φ 2i Φ i = 2kπρ ( R2 2 R 2 ) cioé costante I campi elettici coincidono con le fomule (26) e (262) (28) (282) (283) Φ() Φ max Potenziale di una sfea cava omogenea R = R 2 = R R distanza dal cento della sfea fig28- Fine del Cap2 2-9