CAMPO E POTENZIALE ELETTROSTATICO

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1 CMPO POTNZIL LTTROTTICO Maco Panaeo Campo elettico i definisce vettoe campo elettico il appoto ta la foza F che agisce su una caica di pova positiva ed il valoe di tale caica: F = tale gandezza si misua in N C La caica di pova deve essee sufficientemente piccola da non petubae la distibuzione di caica che genea il campo; così a igoe va definito come: F = lim sebbene il limite isulti fisicamente pivo di senso poiché la caica più piccola ottenibile è uella dell elettone Il concetto di campo consente di intepetae divesamente l azione che si esplica ta due copi caichi: è possibile ivedee tale inteazione come l inteazione ta una caica ed il campo podotto dall alta caica senza dove fa icoso all azione a distanza (inteazione dietta e istantanea) suggeita dalla legge di Coloumb I mutamenti di posizione della caica che si assume dia oigine al campo si popagano nello spazio alla velocità della luce in accodo con la teoia della elatività ssegnata una caica puntifome posta a distanza dalla caica di pova secondo la legge di Coloumb si ha: 1 F = ˆ così il campo elettico podotto dalla caica puntifome è dato da: F 1 = = ˆ (si veda la figua in cui è mostato il campo elettico podotto in - coispondenza di una caica di pova da una caica puntifome positiva in alto e negativa in basso) Come conseguenza del pincipio di sovapposizione se 1 N sono i campi podotti da N caiche alloa il campo complessivo è: = N +

2 Campo e potenziale elettostatico In paticolae pe un sistema di N caiche puntifomi 1 N poste ispettivamente alle distanze 1 N dal punto in cui è stata posta la caica di pova si ha: N 1 = = i 1 i i ˆ i Distibuzioni continue di caica Qualoa la sepaazione fa le singole caiche di un ceto insieme è molto piccola ispetto alla distanza dal punto in cui si vuole calcolae il campo è possibile consideae tale insieme come una distibuzione continua di caica Consideiamo petanto una ceta distibuzione di caica e valutiamo il campo elettico in un punto P Il contibuto al campo di un elemento di caica è: P D 1 = ˆ D dove è la distanza dell elemento da P In vitù del pincipio di sovapposizione il campo totale podotto dall intea distibuzione è appossimativamente dato da: 1 = i i i ˆ i dove i appesenta l i-esimo elemento di caica che costituisce la distibuzione e la sepaazione fa tali elementi è piccola ispetto alla distanza dal punto P la distibuzione può itenesi continua così nel limite si ha: i 1 1 d = lim ˆ = ˆ 4 i i i i i π Q dove l integazione è estesa a tutta la caica Q che costituisce la distibuzione llo scopo di eseguie tale calcolo si ende oppotuno intodue il concetto di densità di caica In paticolae se la caica è distibuita in un volume si definisce: d ρ d che pende il nome di densità di caica volumetica e si misua in una supeficie: d σ d 3 C m ; se è distibuita su di

3 Campo e potenziale elettostatico 3 che pende il nome di densità di caica supeficiale e si misua in distibuita lungo una linea si definisce: λ d dl C m ; infine se la caica è che pende il nome di densità di caica lineae e si misua in Cm Qualoa una caica è unifomemente distibuita in un volume o su di una supeficie o lungo una linea l alloa si ha ispettivamente ρ = o σ = o λ = l sempio: (Campo elettico podotto da una bacchetta caica) Consideiamo una bacchetta di lunghezza l lungo la uale è unifomemente distibuita una caica Q con densità λ tabiliamo l intensità del campo elettico in un punto situato lungo l asse della baetta ad una distanza d da un estemo Consideiamo un ascissa con oigine nel punto O in cui si vuole stabilie il campo d ll elemento infinitesimo d della sbaetta posto a distanza dall oigine O d d+l coisponde una caica (si veda la figua): d = λ d così il campo elettico nel punto O dovuto a tale elemento vale: 1 d 1 λ d d = ( ˆ) = ˆ essendo d oientato nella diezione opposta dell asse Integando uesta espessione ta d e d+ l si ha: e in modulo: d+ l d+ l λ d λ 1 λ 1 1 λ l = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ d d + l d d + l d d λ l 1 Q = = d d l 4 d d l ( + ) π ( + ) ( ) poiché essendo la caica Q unifomemente distibuita lungo la bacchetta di ha λ l = Q i ossevi che a gande distanza dalla bacchetta ovveo pe d l isulta: 1 Q d cioè a gande distanza la bacchetta è assimilabile ad una caica puntifome sempio: (Campo elettico podotto da un anello caico) Consideiamo l anello di figua di aggio R lungo il uale è unifomemente distibuita la caica Q Ci poponiamo di stabilie l intensità del campo elettico su un punto situato sull asse dell anello Consideiamo un ascissa coincidente con l asse e con oigine O nell intesezione ta l asse e il piano dell anello e il punto P è situato a distanza dall oigine il campo elettico dovuto ad un elemento di caica d sull anello isulta: d' R O d J P d d' J 1 d d =

4 4 Campo e potenziale elettostatico dove è la distanza da d a P Il vettoe d può essee decomposto in una componente dietta lungo l asse ed una pependicolae a uesto così poiché pe ogni elemento d c è ne è un alto d ' che genea un campo d ' la cui componente nomale all asse è opposta a uella di d alloa il campo in P è dovuto alla sola componente di d dietta lungo l asse iccome: si ha: ( ) 1 = + R cosϑ = 1 d 1 d = d cosϑ = = d ; R + R 4 + R ( ) π ( ) integando infine su si ha: 1 Q = = 4 d ( + R ) π Q ( + R ) 3 3 In figua è mostato l andamento del campo elettico lungo l asse sempio: (Campo elettico podotto da un disco caico) Consideiamo un disco di aggio R sul uale isulta unifomemente distibuita una caica Q con densità supeficiale σ tabiliamo il campo in coispondenza di un punto posto sull asse Consideiamo l ascissa indicata in figua con oigine nell intesezione ta il disco e l asse e sia la coodinata del punto P Consideiamo inolte un anello di aggio ( < R) e spessoe d ; poiché l aea di uesto anello è π d la caica d che è d contenuta in esso vale: O P d = πσ d R Dal isultato dell esempio pecedente segue che il campo podotto da tale distibuzione è: 1 1 σ d = d = πσ d = d ( + ) ( + ) ( + ) Pe ottenee il campo in P integiamo da a R: σ = R ( + ) 3 d ponendo ξ + si ha d= dξ così sostituendo segue: σ σ ξ σ = ξ dξ 1 = 1 = + + R 1 + R ( R ) (si veda la figua) i noti che nell espessione pecedente facendo tendee o R si ottiene: 1

5 Campo e potenziale elettostatico 5 σ = tale elazione appesenta il campo elettico podotto da una distibuzione di caica piana di estensione infinita Linee di foza del campo elettico Le linee di foza consentono una immediata visualizzazione della distibuzione spaziale del campo elettico Le loo caatteistiche sono: Il vettoe campo elettico è tangente alle linee di foza in ogni punto; Il numeo di linee di foza pe unità di supeficie che attavesano una supeficie ad esse pependicolae è popozionale all intensità del campo elettico in coispondenza della supeficie Nell esempio di figua siccome la densità delle linee che attavesano la supeficie (matematica) è supeioe a uella delle linee che attavesano la supeficie il campo elettico in è maggioe del campo in Le egole pe disegnae le linee di foza pe una distibuzione di caica sono: le linee di foza devono avee oigine dalle caiche positive e teminae sulle caiche negative o all infinito ualoa il sistema abbia un eccesso di caica; il numeo di linee di foza che entano o escono da una caica è popozionale alla caica; due linee di foza non si possono incociae > Pe veificae che uanto sopa è in accodo con la legge di Coloumb consideiamo una sfea di aggio concentica con una caica (si veda la figua) Pe simmetia il campo elettico avà la stessa intensità su tutti i punti della sfea Il numeo N di linee che escono dalla caica è pai a uello delle linee che entano nella supeficie sfeica così poiché la supeficie della sfea in uestione è 4π e l intensità del campo elettico è popozionale al numeo di linee pe unità di supeficie saà: N 4π inolte siccome il numeo di linee è popozionale alla caica ( N ) alloa in accodo alla legge di Coloumb: 4π Poiché la caica è uantizzata il numeo di linee di foza che escono da un ualsiasi oggetto mateiale deve essee ± ke ± ke dove k è una costante di popozionalità abitaia Fissata k il numeo di linee di foza non è abitaio e ad esempio un oggetto ha caica Q 1 ed un alto ha caica Q alloa il appoto N1 N ta i numei delle coispondenti linee di foza saà pai al appoto delle caiche Q1 Q Il metodo di appesentazione del campo elettico attaveso le linee di foza pesenta tuttavia alcune limitazioni Innanzitutto la sua efficacia è cicoscitta alla descizione di campi statici essendo piuttosto complessa la appesentazione dei campi geneati da caiche in movimento;

6 6 Campo e potenziale elettostatico inolte con uesto metodo è impossibile applicae il pincipio di sovapposizione i faccia ifeimento infatti alla configuazione di linee di foza oiginate da una singola caica (si veda la figua); in pincipio il campo podotto da due caiche uguali ma di segno opposto si dovebbe ottenee affiancando due configuazioni di linee di una singola caica e invetendo la diezione delle fecce pe una delle due caiche Tuttavia tale metodo detemineebbe delle linee che si incociano a cui coispondeebbeo due diezioni del campo elettico nello stesso punto La appesentazione delle linee di foza Rappesentazione delle linee di foza del campo elettico podotto da due caiche puntifomi uguali (in alto) e di segno opposto (in basso) pe tale sistema di caiche è comunue possibile ma ichiede un peventivo calcolo matematico (si veda la figua) Rappesentazione delle linee di foza del campo elettico podotto da una caica puntifome - + Il dipolo elettico Il sistema costituito da due caiche uguali ma opposte poste alla mutua distanza d pende il nome di dipolo elettico Calcoliamo il campo elettico in un punto situato lungo la linea mediana pependicolae alla congiungente le caiche e posto alla distanza dalla congiungente (si veda la figua) Indicando con e + i campi podotti da ciascuna caica pe il pincipio di sovapposizione si ha: dove: = + + y +d O -d + J J - J J = = = + d + D alta pate ( ) = ( ) + così il campo saà dietto lungo l asse y e vaà: dove: ( ) ( ) cos cos cos = + = ϑ + ϑ = ϑ y + y + +

7 Campo e potenziale elettostatico 7 d d cosϑ = = d + Petanto sostituendo si ha: 1 d 1 1 d 1 p = = = 4 π 4 π 4 π avendo posto: 3 3 d d d d (11) p d kˆ dove ˆk è un vesoe oientato dalla caica negativa a uella positiva (si veda la figua) Il vettoe così definito pende il nome di momento di dipolo elettico e in modulo p vale d k - p + sempio: Il momento di dipolo elettico è una popietà di numeose molecole ossia di aggegati atomici contenenti una caica positiva ed una negativa sepaate da una ceta distanza d esempio la molecola di clouo di sodio (NaCl) può essee ivista come l insieme di uno ione Na + ed uno Cl sepaati da una ceta distanza d e ispettivamente di NaCl caiche + e e e Dalle misue si evince che: dnacl 36 nm così il elativo momento di dipolo dovebbe essee: ( ) ( ) pnacl ednacl 16 1 C 36 1 m C m Tuttavia il valoe misuato è: pnacl = = = C m; ciò evidenzia che l elettone del sodio non è completamente ceduto all atomo di cloo ma isulta condiviso ta uesti due atomi In applicazioni come uella mostata nell esempio pecedente isulta utile stabilie il campo elettico a gande distanza dal dipolo ossia pe: d Dalla elazione (11) segue: 1 p 1 p d = = d π + 3

8 8 Campo e potenziale elettostatico facendo uso della elazione dello sviluppo in seie del binomio: si ha: ( ) ( 1) n n n 1+ y = 1+ ny+ y +! 1 p 3 d = ed aestando lo sviluppo al pimo temine segue: 1 p 3 nalogamente si pova che pe un punto posto lungo l asse y a gande distanza da dipolo si ha: 1 p 3 y I due isultati appena ipotati costituiscono un indicazione di una caatteistica geneale del dipolo; è infatti possibile povae che a distanza dal dipolo con d il campo elettico vaia come 3 1 upponiamo che il dipolo si immeso in un campo elettico esteno unifome e supponiamo inolte che il dipolo non petubi significativamente le linee di foza del campo Le foze F 1 e F agenti sulle due caiche valgono in modulo: F1 = F = tuttavia sebbene abbiano la stessa diezione sono opposte in veso (si veda la figua) così il cento di massa del dipolo non è soggetto a movimento Nondimeno le foze esecitano una coppia sul dipolo che tende petanto a uotae pe allineasi con la diezione del campo e 1 e sono i due bacci con d 1 = = i momenti delle due foze ispetto al cento di massa del dipolo τ 1 e τ hanno moduli: d τ1 = 1 F1 = sinϑ = F = τ; F - + J + 1 J F - F 1 F 1 inolte τ1 e τ sono uguali sia in diezione che in veso così isulta:

9 Campo e potenziale elettostatico 9 τ = τ 1 e petanto il momento totale delle foze ha modulo: d τ = τ 1 = sin ϑ = d sin ϑ = p sin ϑ e uindi vettoialmente: τ = p Fisicamente ciò significa che il dipolo elettico è indotto dal campo a aggiungee una posizione di euilibio tale che p isulti paallelo ad ; in tale condizione infatti τ = Questo coisponde sia a ϑ = che a ϑ = π ; nel seguito poveemo che mente il pimo valoe di ϑ coisponde ad una posizione di euilibio stabile il secondo valoe è elativa ad una posizione di euilibio instabile Flusso di un vettoe Consideiamo un campo vettoiale v e supponiamo che le linee di foza coispondenti siano tutte paallele ta loo Consideiamo una supeficie di aea disposta pependicolamente alle linee di foza (si veda la figua) Poiché il numeo di linee di foza pe unità di aea di un vettoe è popozionale al modulo del vettoe un a misua del numeo di linee di foza passanti attaveso la supeficie è popozionale al podotto v Questa gandezza pende il nome di flusso φ del vettoe v attaveso la supeficie : φ = v v ' J Qualoa la supeficie foma un angolo ϑ con le linee di foza di v isulteà: φ = vcosϑ essendo il numeo di linee che attavesa pai al numeo di linee che attavesa l aea poiettata ' pependicolae al campo (si veda la figua) e si definisce un vesoe nomale ˆn alla supeficie come mostato in figua si può definie il flusso φ come: φ = v n ˆ ovveo definendo un vettoe n ˆ si ha: φ = v v Nel caso geneale il vettoe v può vaiae in coispondenza dei punti della supeficie attaveso la uale si vuole calcolae il flusso; così pe pote applicae la pecedente definizione occoe suddividee tale supeficie in elementi infinitesimi ds in coispondenza dei uali la vaiazione del vettoe v può essee consideata tascuabile alloa il flusso elementae di v attaveso ds saà: ' J n J v

10 1 Campo e potenziale elettostatico dφ = v nds ˆ = v ds dove si è posto ds nˆ ds (si veda la figua) Petanto la misua del numeo di linee di foza del campo v che attavesano tale supeficie è: n ds v φ = v ds La legge di Gauss v Poiché in geneale la supeficie può anche essee chiusa (si veda la figua) occoe stabilie una convenzione cica il veso di ˆn In uesto contesto tale vesoe è scelto uscente dalle supefici chiuse Con uesta convenzione il podotto v nˆ saà positivo laddove il campo è uscente dalla supeficie consideata e saà negativo dove il campo è entante Consideiamo una caica puntifome posta al cento di una sfea di aggio ulla supeficie della sfea isulta: 1 = nˆ dove ˆn è il vesoe nomale uscente dal geneico punto posto sulla supeficie Il flusso elementae attaveso un elemento di supeficie ds vale (si veda la figua): ds 1 1 dφ = ds = nˆ nˆds = ds così il flusso attaveso l intea supeficie vale: φ = ds = ds= ds= 4π essendo pai 4π la supeficie della sfea così: φ = Quindi il flusso del campo elettico attaveso la supeficie della sfea è popozionale alla caica intena alla supeficie Il isultato appena conseguito che saà esteso nel paagafo successivo ad una ualsiasi supeficie chiusa contenente la caica isulta consistente con la definizione di flusso e con le caatteistiche delle linee di foza; infatti il flusso attaveso una supeficie è popozionale al

11 Campo e potenziale elettostatico 11 numeo di linee di foza che attavesano tale supeficie d alta pate 3 tale numeo è popozionale alla caica che le oigina così il flusso isulta popozionale alla caica Dalla costuzione di figua è evidente che il numeo di linee di 1 foza che attavesano le supefici non sfeiche e 3 è pai al numeo di linee di foza che attavesano 1 così il flusso totale attaveso ualsiasi supeficie chiusa è indipendente dalla foma della supeficie stessa e la caica è estena alla supeficie chiusa (si veda la figua) il numeo di linee di foza entanti è pai a uello delle linee uscenti così il flusso totale del campo elettico che attavesa una supeficie chiusa che non ciconda alcuna caica è nullo I due isultati testé illustati costituiscono l enunciazione della legge di Gauss pe una caica singola in fomule: ds = se è intena a se è estena a Dimostazione della legge di Gauss Consideiamo una supeficie contenente la caica ia ' una supeficie sfeica concentica alla caica e contenuta in (si veda la figua); dal isultato conseguito nel paagafo pecedente il flusso attaveso ' vale: ds J φ ' = ' ds' = ds= ' ' ' ds' ' dove ' è il campo elettico sulla supeficie ' In paticolae se ' è il aggio della sfea si supeficie ' si ha: ' 1 ' = (1) 4 π ' mente in un punto a distanza sulla supeficie isulta: 1 = (13) così dividendo membo a membo le euazioni (1) e (13) si ottiene: ' = (14) ' Con ifeimento al cono di figua isulta che l aea della base e l aea ' di una sezione del cono pependicolae all asse possono essee espesse in funzione dei coispondenti aggi delle base e della sezione come: = πl ' = πl ' ' ' l' l petanto il appoto ta le aee ' e vale:

12 1 Campo e potenziale elettostatico ' l ' = ; l d alta pate valendo la elazione di popozionalità ll' = ' si può scivee: ' ' = (15) pplicando tale elazione alle supefici infinitesime ds e della figua pecedente si ha: ds ' appatenenti ispettivamente alle supefici e ' ' ds cos ϑ = ds ' così il flusso del campo elettico attaveso la supeficie vale: ' φ = ds = ds cos ϑ = ' ds ' = ' ds ' = ' ' dove si è fatto uso della (14) pe mettee in elazione il campo col campo ' e la caica è situata all esteno della supeficie consideata con ifeimento alla figua isulta: ds J ' ds 'cos ϑ ' = ds cosϑ ; facendo uso di tale fomula ed espimendo il flusso infinitesimo del campo elettico attaveso come la somma dei flussi infinitesimi attaveso la supefici contapposte ds e ds ' si ha: ' J' ds' ' ' d φ ' ds ' ds ' ds 'cos ϑ ' ds cos ϑ = + = + = ds cos ds cos ' ϑ + ϑ = e siccome uesto isultato vale pe ogni coppia di elementi ds e ds ' isulteà: φ = La dimostazione della legge di Gauss mette in luce un impotante collegamento ta tale legge e la legge di Coloumb Infatti uesta dimostazione è basata sul fatto che il appoto ta i campi elettici podotti 1 1 da una caica puntifome in coispondenza di due supefici sfeiche concentiche alla caica e di aggi e ' (14) è uguale al appoto ta le aee delle due supefici (15) Concludiamo uindi che la validità della 3 legge di Gauss dipende dalla popozionalità con l inveso del uadato espessa dalla legge di Coloumb upponiamo che intenamente alla supeficie chiusa consideata vi siano N caiche 1 N alloa se 1 N appesentano i campi podotti da ciascuna di esse pese singolamente (si veda la figua) alloa: 3

13 Campo e potenziale elettostatico ds = ds = N N ds = così sommando membo a membo pe il pincipio di sovapposizione se: alloa: int 1 N N int ds = Cioè il flusso del campo elettico totale attaveso una ualunue supeficie chiusa è uguale alla caica totale contenuta all inteno della supeficie divisa pe sempio: (Campo elettico podotto da una sfea caica) Consideiamo una sfea isolante di aggio R caatteizzata da una distibuzione di caica unifome di densità ρ Calcoliamo il campo elettico in ogni punto dello spazio Consideiamo una supeficie sfeica di aggio concentica con la sfea data e valutiamo il campo pe > R e pe < R e > R (si veda la figua in alto) dall applicazione della legge di Gauss segue: φ ( ) = ds = dove = 4π è la supeficie della sfea di aggio e è la caica contenuta nella sfea isolante Da tale elazione si icava: cioè: ds = ds= 4π = R R 1 = Quindi all esteno della sfea il campo è lo stesso che si avebbe ualoa la sfea fosse sostituita da una caica puntifome di uguale valoe posta al cento della sfea Inolte siccome è unifomemente distibuita nel volume della sfea si ha: 4 = dv= dv= R 3 ρ ρ π ρ 3 e uindi:

14 14 Campo e potenziale elettostatico e dove 3 ρ R = 3 < R (si veda la figua in basso) dall applicazione della legge di Gauss segue: ' φ( ) = ds = 4π = ' appesenta la caica contenuta all inteno del volume ' delimitato dalla supeficie di aggio : 4 ' = dv= dv= 3 ' 3 ρ ρ π ρ ' uindi sostituendo si ha: ρ = 3 in figua è mostato l andamento del campo elettico al vaiae di sempio: (Distibuzione di caica a simmetia cilindica) Consideiamo un filo di lunghezza infinita lungo il uale è unifomemente distibuita una caica con densità lineae λ tabiliamo il valoe del campo elettico in tutto lo spazio La simmetia della distibuzione di caica suggeisce che il campo elettico deve essee pependicolae al filo caico e uscente Consideiamo una supeficie cilindica di aggio e lunghezza l coassiale col filo (nella figua in alto; in basso la supeficie è mostata in sezione); il flusso attaveso le supefici di base è nullo essendo il campo elettico paallelo a tali supefici uindi: R φ ds ds πl ( ) = = = D alta pate pe la legge di Gauss isulta: l ds φ ( ) λl = πl = = petanto: 1 λ = π i ossevi che se il filo non è infinito viene a cadee la simmetia è diventa inutile l applicazione della legge di Gauss pe la deteminazione del campo elettico; tuttavia uesto isultato esta valido pe un filo di lunghezza finita L nel limite L pe punti sufficientemente distanti dalle estemità del filo R sempio: (Campo podotto da un guscio sfeico) Consideiamo un guscio sfeico di mateiale isolante di aggio R sul uale è unifomemente distibuita una caica con densità σ Con ifeimento ad una supeficie sfeica di aggio concentica al guscio (si veda la figua) possiamo affemae che pe < R il campo elettico è nullo poiché non è pesente caica all inteno del guscio Pe > R se è la caica distibuita sul guscio si ha: e uindi poiché: π σ = 4 R φ( ) = ds = 4π = R

15 Campo e potenziale elettostatico 15 segue: 1 R = σ = in figua è mostato l andamento del campo elettico al vaiae di sempio: (Piano infinito unifomemente caico) Consideiamo un piano isolante indefinito sul uale è unifomemente distibuita una caica positiva con densità supeficiale σ tabiliamo il valoe del campo elettico in ogni punto dello spazio Pe simmetia il campo elettico su entambe la supefici del piano saà nomale ed opposto in veso (si veda la figua) s Consideiamo una supeficie cilindica con asse pependicolae al piano e supefici di base di aea euidistanti dal piano come mostato in figua Il flusso del campo elettico attaveso ciascuna base è così il flusso totale attaveso la supeficie vale: φ = ( ) ; d alta pate la caica intena a uesta supeficie è pai a uella distibuita sull intesezione ta il volume definito dal cilindo di supeficie ed il piano caico: = σ così essendo φ ( ) = segue: s σ = Questo isultato pe alto già ottenuto attaveso un appoccio diffeente in un pecedente esempio può essee applicato ad una impotante configuazione di caica appesentata da una coppia di piani infiniti e paalleli unifomemente caichi e ecanti su di essi caiche di segno opposto Con ifeimento alla figua si osseva che all esteno della egione compesa ta i due piani i campi podotti da ciascun piano sono uguali ma hanno veso opposto; all inteno i campo hanno lo stesso segno e si sommano Petanto: s e s e s e s e +s -s s e s e Rappesentazione delle linee di foza del campo elettico podotto da due piani unifomemente caichi int et = σ = Questa configuazione elettostatica consente uindi di confinae in una egione limitata dello spazio un campo unifome Opeatoi diffeenziali e elativi teoemi i definisce un opeatoe nabla nella maniea seguente: ˆ+ yˆ+ zˆ y z possibile povae che tale opeatoe possiede caatteistiche analoghe a uelle dei tadizionali vettoi e si pesta a definie in maniea sintetica alte gandezze utili nell ambito

16 16 Campo e potenziale elettostatico dell elettomagnetismo In geneale la sua espessione dipende dal paticolae sistema di coodinate adopeate e l espessione pecedente è elativa alle coodinate catesiane Il gadiente ia φ ( yz ) una funzione definita e deivabile in ogni punto ( ) yz di una ceta egione dello spazio (ossia φ descive un campo scalae deivabile) i definisce gadiente di φ e si indica con φ o gadφ la seguente gandezza: φ φ φ φ ˆ+ yˆ+ zˆ φ = ˆ+ yˆ+ zˆ; y z y z così φ descive un campo vettoiale La componente di φ nella diezione di un vesoe ˆ è data da ˆ φ e pende il nome di deivata diezionale della funzione φ nella diezione di ˆ ; in patica ˆ φ espime l entità della vaiazione di φ nella diezione di ˆ nel punto ( yz ) La divegenza ia v( y z) = v ˆ ˆ + vyy+ vzzˆ ( ) una funzione vettoiale definita e deivabile in ogni punto yz di una ceta egione dello spazio (ossia v descive un campo vettoiale deivabile) i definisce divegenza di v e si indica con v o divv la seguente gandezza: v v y vz v ˆ+ yˆ+ zˆ ( v ˆ ˆ + vyy+ vzzˆ) = + + y z y z i noti che l opeatoe nabla viene fomalmente adopeato come un opeatoe tadizionale; tuttavia tale opeatoe non soddisfa la popietà commutativa dei vettoi ispetto al podotto scalae isultando v diffeente da v espessione uest ultima che è piva di significato Il otoe ia v( y z) = v ˆ ˆ + vyy+ vzzˆ un campo vettoiale deivabile i definisce otoe di v e si indica con v o ot v la seguente gandezza: ˆ yˆ zˆ v ˆ+ yˆ+ zˆ ( v ˆ ˆ + vyy+ vzzˆ) = = y z y z v v v v vy z v v vz y v = ˆ+ yˆ+ zˆ y z z y y z

17 Campo e potenziale elettostatico 17 i ossevi che anche in uesto caso l opeatoe nabla agisce analogamente ad un vettoe tadizionale nel podotto vettoiale Teoema della divegenza ia il volume delimitato dalla supeficie chiusa e u un campo vettoiale deivabile con deivate continue alloa: u ds = u nds ˆ = udv dove ˆn è il vesoe positivo (ossia oientato veso l esteno) nomale ala supeficie Teoema del otoe ia una pozione di supeficie apeta a due facce delimitata da una cuva chiusa non intecciata (cuva chiusa semplice) C alloa se v è un campo vettoiale deivabile con deivate continue si ha: v d = v nds= v ds ( ) ˆ ( ) C dove C è pecosa in diezione positiva La diezione di C è detta positiva se un ossevatoe che cammina sul contono di in uesta diezione e con il capo oientato nella diezione del vesoe positivo ˆn nomale a ha la supeficie alla sua sinista (si veda la figua) Fomulazione puntuale della legge di Gauss C n upponiamo che all inteno del volume acchiuso da una supeficie vi sia una distibuzione ρ yz (si veda la figua) lloa la caica totale contenuta continua di caica con densità ( ) all inteno del volume vale: = ρ dv; sostituendo nell espessione della legge di Gauss si tova: 1 ds = = ρ dv Questa espessione mette in elazione il campo elettico definito su una supeficie con la densità di caica definita in un volume ebbene isulti utile in numeose cicostanze tale fomulazione della legge di Gauss detta integale pesenta lo svantaggio di non pote fonie in geneale indicazioni di caattee puntuale cica le gandezze coinvolte pplicando il teoema della divegenza al pimo membo dell espessione pecedente si tova: 1 ds = dv = ρ dv

18 18 Campo e potenziale elettostatico ovveo: 1 ρ dv= ; dovendo valee uesta elazione pe ogni dominio di integazione deve essee: 1 = ρ Laddove ρ è nullo = ed il campo elettico è detto ivi solenoidale In sostanza l euazione pecedente stabilisce uali sono i punti dello spazio dove è o meno solenoidale e di conseguenza l assenza o meno di sogenti del campo elettico in uei punti Petanto se ad esempio osseviamo delle linee di foza di che oiginano da un punto che funge uindi da sogente del campo (si veda la figua in alto) possiamo dedue che esiste un punto in cui isulta icevesa se le linee di foza del campo non oiginano manifestatamene da alcun punto (si veda la figua in basso) concludiamo che il campo è solenoidale Conduttoi in euilibio elettostatico Dal punto di vista micoscopico un buon conduttoe elettico può essee genealmente appesentato come un eticolo atomico immeso il un gas di elettoni libei di muovesi all inteno del mateiale In assenza di un moto netto degli elettoni in una paticolae diezione il conduttoe è detto in euilibio elettostatico In tale cicostanza valgono le seguenti popietà: Il campo elettico all inteno del conduttoe è ovunue nullo; Un ualunue eccesso di caica su conduttoe deve localizzasi supeficialmente ll esteno del conduttoe in possimità della supeficie il campo elettico è pependicolae alla supeficie ed ha intensità pai a σ dove σ è la densità supeficiale di caica u un conduttoe di foma iegolae la caica tende ad accumulasi nei punti in cui la cuvatua della supeficie è maggioa ovveo sulle punte La pima popietà può essee compesa consideando una lasta conduttice immesa in un campo elettico ll applicazione del campo gli elettoni si muovono veso sinista causando un accumulo di caica negativa a sinista e positiva a desta (si veda la figua) Queste - + caiche ceano un campo elettico opposto al campo esteno; la densità supeficiale di caica cesce fino a che l intensità di uesto - + campo non uguagli uella del campo esteno dando luogo ad un campo nullo all inteno del conduttoe; i tempi tipici pe aggiungee tale condizione di euilibio sono 16 dell odine di 1 sec pe un buon conduttoe Consideiamo un conduttoe in euilibio elettostatico; all inteno del conduttoe consideiamo una supeficie chiusa possima uanto si vuole alla supeficie del conduttoe (si veda la figua) Poiché all inteno del conduttoe il campo elettico è nullo dalla legge di Gauss segue che

19 Campo e potenziale elettostatico 19 all inteno della supeficie è uindi del conduttoe la caica netta è nulla Petanto se il conduttoe è caico tale caica deve situasi sulla supeficie Consideiamo un conduttoe caico all euilibio e facciamo ifeimento ad una supeficie a foma di cilindo con le supefici di base sufficientemente piccole da potesi itenee localmente paallele alla supeficie del conduttoe e con pate del cilindo contenuta nel conduttoe ttaveso la pate intena il flusso del campo elettico è nullo essendo nullo il campo elettico intenamente al conduttoe Inolte il campo è nomale alla supeficie peché ualoa vi fosse una componente tangenziale detemineebbe un moto delle caiche e uindi una condizione di non euilibio Peciò è nullo il flusso anche attaveso la supeficie lateale del cilindo Così il flusso attaveso la supeficie del cilindo è n essendo n il campo elettico in possimità della supeficie estena del conduttoe pplicando la legge di Gauss alla supeficie del cilindo si ha uindi: σ ds = n = = dove σ è la densità locale di caica supeficiale Ne segue che siccome n è pai a nˆ dove ˆn è il vesoe nomale alla supeficie del conduttoe alloa: σ = nˆ ; Rappesentazione delle linee di foza del campo elettico podotto da due conduttoi caichi tale espessione pende il nome di Teoema di Coloumb L ultima popietà elencata dei conduttoi in euilibio saà povata nel seguito Diffeenza di potenziale e potenziale elettico Le foze di tipo centale che dipendono dalla sola distanza da un cento isultano intinsecamente consevative; poiché la foza espessa dalla legge di Coloumb appatiene a uesta categoia alloa la foza elettostatica è consevativa e di conseguenza il campo elettostatico è consevativo e è immesa in un campo la foza F cui è soggetta vale ; tale foza è consevativa essendo la somma di tutte le foze consevative agenti ta e le caiche che deteminano il campo Il lavoo fatto da uesta foza in coispondenza di uno spostamento infinitesimo dl della caica vale: dl = F dl = dl Pe definizione il lavoo fatto da una foza consevativa è pai alla vaiazione di enegia potenziale du cambiata di segno: du = dl = dl ;

20 Campo e potenziale elettostatico in coispondenza di uno spostamento finito di dal punto al punto la vaiazione di enegia potenziale è data da: U = U U = dl dove l integale non dipende dal cammino scelto essendo il campo consevativo La diffeenza di potenziale ta i punti e è definita come la vaiazione dell enegia potenziale pe unità di caica ovveo: = = U U dl i noti che tale definizione peviene soltanto a diffeenze di potenziale in uanto solo tali uantità hanno valoe fisico pesso si usa assumee che la funzione potenziale si nulla in un punto paticolae ad esempio all infinito; alloa ponendo: ( ) = il potenziale in coispondenza di un geneico punto P vale: P P = dl espessione che può essee iguadata come il lavoo necessaio pe taspotae una caica unitaia dall infinito al punto P L unità di misua del potenziale è il volt () e isulta 1 = 1J 1C così 1 appesenta il lavoo che deve essee fatto pe fa supeae ad una caica di 1C una diffeenza di potenziale di 1 L intoduzione del volt consente inolte di iscivee l unità di misua del campo elettico in m che appesenta l unità tadizionalmente più usata pe uesta gandezza In fisica atomica e nucleae è d uso comune pe la misua dell enegia l elettonvolt (e)definito come l enegia che un elettone (o un potone) acuista uando viene acceleato mediante una diffeenza di potenziale di 1 iccome 1 = 1J 1C e la caica dell elettone (potone) è di alloa C e = 16 1 C = 16 1 J 7 sempio: Nel cinescopio di un appaecchio televisivo un elettone del fascio ha una velocità di 8 1 msec cica Poiché la massa dell elettone è 91 1 kg cica uesta velocità coisponde ad un enegia cinetica di 3 1 J Cosi tale elettone pe aggiungee uesta velocità patendo da femo deve essee acceleato tamite una diffeenza di potenziale di 19k Campo elettico unifome Consideiamo un campo elettico unifome dietto lungo l asse (si veda la figua): d

21 Campo e potenziale elettostatico 1 = ˆ e calcoliamo la diffeenza di potenziale ta i punti e sepaati dalla distanza d: = = dl = d = d = d ( ˆ) ( ˆ ) Il fatto che < indica che il potenziale di è infeioe a uello di ossia < La vaiazione di enegia potenziale di inteazione ta una caica di pova e un campo elettico unifome uando la caica si muove ta e è: U U = U = = d Quindi se > alloa U < ovveo U < U cioè il sistema pede enegia potenziale in coispondenza del moto di una caica positiva nella diezione del campo elettico e venisse abbandonata in la caica pe effetto della foza saebbe acceleata acuisendo enegia cinetica; siccome la caica guadagna enegia cinetica in una ceta misua il sistema deve pedee altettanta enegia potenziale Petanto se la caica è oiginaiamente a iposo in alloa la sua velocità v è nulla e uindi isulta: 1 U = U + m v dove v è la velocità della caica e m è la sua massa icevesa se < > U cioè il sistema guadagna enegia potenziale in alloa U > ovveo U coispondenza del moto di una caica negativa nella diezione del campo elettico upponiamo che lo spostamento avvenga ta due punti geneici alloa siccome è unifome si ha: d' C = dl = d + y dy = d = d ( ˆ) ( ˆ ˆ ) d così il isultato conseguito è lo stesso del caso pesentente Ne segue che i punti pependicolai alla diezione del campo ( e C ad esempio nella figua) sono euipotenziali e definiscono una supeficie detta supeficie euipotenziale Potenziale elettico ed enegia potenziale pe caiche puntifomi d J dl Calcoliamo la diffeenza di potenziale ta i punti e di figua: = dl

22 Campo e potenziale elettostatico in cui: 1 = ˆ alloa = dl = cosϑ dl = d = = i noti che l integale appena calcolato isulta indipendente dal pecoso seguito a motivo della consevatività del campo ssumendo che il potenziale sia nullo pe si tova il potenziale di una caica puntifome: 1 = ; tale espessione può essee intepetata come il lavoo pe unità di caica che si effettua pe taspotae una caica dall infinito ad un punto posto a distanza dalla caica Poiché è unifome su una supeficie sfeica di aggio (cioè = nella pecedente espessione) concludiamo che le supefici euipotenziali pe una caica puntifome sono delle sfee concentiche alla caica stessa e tali supefici isultano pependicolai alla diezione del campo In figua è mostata la sezione (in tatteggio) delle supefici euipotenziali pe una caica puntifome e pe due caiche puntifomi di segno opposto Come conseguenza del pincipio di sovapposizione il potenziale in un ceto punto dovuto a più caiche puntifomi è pai alla somma dei potenziali di ciascuna caica calcolati in tale punto: 1 = i i sempe con l ipotesi che il potenziale sia nullo all infinito ia 1 il potenziale deteminato dalla caica 1 nel punto P distante 1 da 1 Il lavoo ichiesto pe potae una seconda caica dall infinito a P vale 1 Poiché pe definizione tale lavoo è pai all enegia potenziale U del sistema uando le due caiche sono sepaate dalla distanza 1 alloa: 1 P 1 1 U 1 1 = 1= 1

23 Campo e potenziale elettostatico 3 possibile genealizzae uesta espessione ad un sistema di più caiche tovando ad esempio pe te caiche: U = + + ovveo pe N caiche: U = = = = N N N N N N i j j j i i i i i j 1 ij i 1 i j ij i 1 i j = = = ij i= 1 i j Potenziale elettico dovuto a distibuzioni continue di caica Pe il calcolo del potenziale pe una distibuzione continua facciamo ifeimento alle espessioni già tovate pe le caiche puntifomi ia d un elemento di caica della distibuzione Q alloa il contibuto al potenziale nel punto P posto a distanza da uesto elemento è: d 1 d = d così pe ottenee il potenziale geneato da tutta la distibuzione occoe integae su tutta la caica Q della distibuzione: 1 d = Q P In elazione al tipo di distibuzione di caica è possibile esplicitae il diffeenziale d ; così ualoa la caica è distibuita in un volume con densità ρ = d dv alloa: 1 d 1 = = Q ρ dv Un appoccio alla deteminazione del potenziale di un copo altenativo al pecedente pevede la dietta applicazione dell espessione della diffeenza di potenziale in temini di integale di linea di Petanto se il poblema ha un gado di simmetia tale da endee agevole tale deteminazione fissando infine il valoe del potenziale in un punto abitaio è possibile stabilie il potenziale del copo Relazione ta campo elettico e potenziale Nota che sia l espessione del campo elettico è possibile icavae il coispondente potenziale attaveso la elazione:

24 4 Campo e potenziale elettostatico P P dl P ( ) = + ( ) P Da uesta elazione segue: dl = d e sviluppando i due membi in coodinate catesiane si ha: ; d + dy y + dz z = d+ dy+ dz y z così confontando le due espessioni segue: y z = = y = z ovveo vettoialmente: = ostituendo uesta elazione nell espessione di d si tova: d = dl = dl α ( ) cos in cui α appesenta l angolo compeso ta i vettoi e dl Da tale elazione segue: d dl = cosα cioè la vaiazione pe unità di lunghezza di nella diezione di dl è pai alla poiezione di nella diezione di dl e a patie da un punto ci si sposta di un tatto dl otogonalmente a siccome α vale π e cosα = segue che d dl = ovveo è costante; petanto è un vettoe pependicolae alle supefici euipotenziali in cui è costante Infine se dl è dietto pependicolamente alle supefici euipotenziali ovveo paallelamente a siccome α è nullo e cosα = 1 segue che la deivata diezionale d dl isulta massima e pai al modulo del gadiente: a D dl +d

25 Campo e potenziale elettostatico 5 d dl = Inolte il veso di è nella diezione in cui il potenziale aumenta con la deivata massima 1 spessione della consevatività del campo elettostatico Dalla consevatività del campo elettico segue che l integale di linea di calcolato da un punto ad un punto isulta indipendente dal pecoso C che pota da a Risulta infatti che essendo: dl = ( ) ( ) l integale dipende dai soli valoi estemi del pecoso e il pecoso è tale che i punti e coincidono ovveo la cuva C è chiusa alloa si ha: C dl = Quindi l integale di linea del campo elettostatico calcolato lungo una cuva chiusa è nullo e applichiamo a uest ultima espessione il teoema del otoe si ha: = dl = ds C ( ) e poiché tale elazione vale pe ogni linea chiusa C e pe ogni supeficie che abbia pe contono C segue che: = cioè il campo elettostatico è iotazionale Pe alto uesta elazione può essee icavata seguendo un alta via ovveo il fatto che il campo elettostatico è consevativo implica che esiste una funzione scalae tale che = alloa: ˆ yˆ zˆ = = y z = y z = ˆ yˆ zˆ = yz yz z z y y 1 Infatti ad esempio pe una caica puntifome positiva punta veso la caica dove il potenziale aumenta

26 6 Campo e potenziale elettostatico i noti che a pescindee dallo sviluppo del podotto vettoiale in coodinate catesiane tale isultato poteva essee conseguito consideando e come due vettoi paalleli il cui podotto vettoiale isulta ovviamente nullo sempio: (Potenziale elettico di una bacchetta caica) Consideiamo una bacchetta di lunghezza l e valutiamo il potenziale in coispondenza dei punti dell asse passante pe un estemo Il contibuto al potenziale di un elemento di caica d posto a distanza dal punto consideato vale: 1 d 1 λ d d = = y così integando da a l si tova: ( y ) ( + ) 1 l λ d λ l+ l + y = = ln 1 + y y y d O l R d sempio: (Potenziale elettico dovuto ad un anello unifomemente caico) Consideiamo un anello unifomemente caico e calcoliamo il potenziale in un punto P posto sull asse dell anello Il contibuto al potenziale di un elemento di caica d posto sull anello è: O P 1 d 1 d d = = R ( + ) 1 segue: il temine ( ) 1 + R è comune a tutti i punti sull anello così integando 1 d 1 1 = = 4 Q = Q( + R ) π ( + R ) 1 1 Q 1 ( + R ) 1 d Il cui gafico è mostato in figua i ossevi che a patie dalla elazione = si può icavae l espessione del campo elettico lungo l asse Infatti: d d Q 1 Q 1 = = = = ( + R ) = Q d d + R + R Conduttoi caichi isolati ( ) ( ) iano e due punti posti in un conduttoe all euilibio poiché all inteno il campo elettico è nullo si ha: pe cui: dl ( ) ( ) = =

27 Campo e potenziale elettostatico 7 ( ) ( ) = ovveo tutti i punti inteni al conduttoe sono allo stesso potenziale e anche la supeficie del conduttoe in paticolae è una supeficie euipotenziali Quale ulteioe popietà dei conduttoi caichi all euilibio è possibile povae che in un conduttoe di foma iegolae la caica tende ad accumulasi nei punti in cui la cuvatua della supeficie è maggioe ovveo in possimità delle punte Pe compendee uesto fenomeno consideiamo due sfee conduttici di s 1 aggi ispettivamente R 1 e R con R 1 < R collegate eletticamente ta R 1 loo tamite un filo conduttoe e σ 1 e σ indicano le densità supeficiali di s caica sui due conduttoi le caiche ispettive saanno: = 4 π R σ = 4 π R σ R e facendo il appoto membo a membo segue: R σ = R σ D alta pate siccome sono connesse con un conduttoe le due sfee sono allo stesso potenziale; assumendo che la distanza ta le sfee sia tale da pote assumee che la caica su una non abbia alcun effetto sulla distibuzione di caica dell alta segue che il comune valoe del loo potenziale è: 1 1 R R = 1 = 1 e facendo il appoto membo a membo dei due valoi del potenziale segue: R = R 1 1 così confontando con l espessione pecedente si ha: σ R 1 σ = R 1 D alta pate siccome R1 < R alloa σ1 > σ cioè la sfea più piccola ha una maggioe densità di caica supeficiale; ciò implica che il campo elettico è più intenso in possimità della sfea più piccola Pe uesto motivo in un conduttoe che pesenta una zona in cui il aggio di cuvatua della supeficie è molto piccolo ovveo pesenta una punta il campo elettico è maggioe in tale zona Potenziale di un dipolo Consideiamo un dipolo il cui momento ha intensità

28 8 Campo e potenziale elettostatico p = d ; il potenziale in un punto P posto a distanze 1 e ispettivamente da + e vale: = = 1 1 Questa espessione può essee semplificata nel caso in cui il punto P è molto distante dal dipolo ovveo pe 1 d; in uesto caso isulta: 1 ϑ ϑ' con tali appossimazioni il podotto 1 è cica uguale a e la diffeenza pai a d cos ϑ ' è cica uguale a d cos espessione si ha: d + - J J' - 1 ϑ Petanto sostituendo nella pecedente 1 P + = 1 d cosϑ 1 p cosϑ = Da tale espessione segue che il potenziale è nullo pe ϑ = ovveo nel piano euatoiale del dipolo petanto = il campo elettico del dipolo non compie lavoo uando una caica viene - potata dall infinito ad un punto su uesto piano attaveso un ualsiasi pecoso patie dalla elazione pecedente è possibile icavae l espessione z del campo elettico podotto dal dipolo in tutto lo spazio llo scopo z espimiamo in coodinate catesiane; con ifeimento alla figua poiché: segue: z = cos ϑ ( ) 1 = + y + z = p cosϑ = p z = pz = pz y z ( + + ) 3 3 pplichiamo oa la elazione = lungo si ha: e calcoliamo il gadiente del potenziale Pe la componente + O J - P y y

29 Campo e potenziale elettostatico = = pz = + y + z 4 + y + z 1 ( y z ) pz ( ) π ( ) 3 5 La componente lungo y si può icavae dalla pecedente espessione ossevando che pe simmetia le due componenti devono essee indipendenti pe uno scambio ta i due assi coispondenti così: y 1 3pzy = = ( ) 5 y π y z infine: y z y = = p = p z + y + z 4 + y + z negia potenziale di un dipolo 3 1 ( + y + z ) z ( + y + z ) z ( ) π ( ) 3 5 Consideiamo un dipolo di momento p immeso in un campo elettico esteno ; pe uotae tale dipolo di un dato angolo ispetto al campo è necessaio compiee del lavoo Tale lavoo accesceà l enegia potenziale del sistema Il lavoo elementae dl necessaio pe uotae un momento meccanico τ di un angolo dϑ è pai a τ dϑ così siccome il momento del dipolo vale p e uindi τ = p sinϑ e poiché il lavoo viene tasfomato in enegia potenziale si ha che pe una otazione finita da ϑ a ϑ la vaiazione di enegia potenziale è: ϑ ϑ ϑ ( ) U U = τ dϑ' = p sin ϑ' dϑ' = p cos ϑ' = p cosϑ cosϑ ϑ ϑ ϑ La costante ϑ dipende dall oientazione iniziale del dipolo pe cui assumendo ϑ pai a π e ponendo uale ifeimento pe l enegia potenziale U = pe ϑ = π si ha: U = pcosϑ ovveo: U U = p -p / +p Il gafico dell enegia potenziale in funzione dell angolo ϑ mosta la pesenza di un minimo pe ϑ = pe cui tale angolo coisponde ad una posizione di euilibio stabile del dipolo nel campo elettico -p O - p +p / J

30 3 Campo e potenziale elettostatico uazioni di Mawell pe il campo elettostatico ssegnata una ceta distibuzione statica di caica nello spazio vuoto di densità descitta dalla ρ = ρ yz il campo elettico soddisfa le euazioni integali: funzione ( ) C 1 ds = dl = ρ dv nella pima è una supeficie chiusa contenente il volume ; nella seconda C è una geneica cuva chiusa La pima euazione è l espessione della legge di Gauss mente la seconda è conseguenza della consevatività del campo elettostatico In foma puntuale ueste euazioni si scivono: ρ = = Queste elazioni sono dette euazioni di Mawell pe il campo elettostatico Il fatto che il campo elettostatico è iotazionale implica l esistenza di una funzione potenziale tale che: = così sostituendo nella pima delle euazioni di Mawell segue ( ) = = ρ ovveo: ρ = dove l opeatoe è definito come: y z + + L euazione pecedente compendia le due euazioni di Mawell e pende il nome di euazione di Poisson Fissata che sia la funzione ρ localizzata in una egione definita dello spazio si pova che l euazione di Poisson ammette una sol soluzione che soddisfi le specificate condizioni al contono del dominio di definizione In assenza di caiche localizzate ovveo pe ρ = l euazione pecedente si scive: = e pende il nome di euazione di Laplace