Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa nivesità degli Studi di Milano Leione n Divegena e teoema della divegena Foma diffeeniale della Legge di Gauss Enegia del campo elettostatico Anno Accademico 8/9

2 La divegena in coodinate catesiane ogliamo adesso tovae un'espessione matematica più semplice pe calcolae la divegena di un campo La elaione che abbiamo tovato div F lim d k F a È la definiione della divegena di un campo vettoiale È indipendente dal sistema di coodinate Calcoliamo il flusso di un campo vettoiale attaveso una supeficie semplice Calcoliamo il flusso attaveso la faccia infeioe e quella supeioe Pe la supefice supeioe sup Pe la supefice infeioe inf ˆ ˆ k A da e ΔΔy da e ΔΔy k F ˆe F + ˆe F + ˆe F y e ˆ (,, y) Δ e ˆ Δ Δy Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa

3 La divegena in coodinate catesiane Sciviamo le coodinate dei due punti centali delle due facce Δ Δy P, y, Δ Δ Δy P, y, + + icodiamo le espessioni pe le aee I flussi attaveso le due facce sono (,, y) F( P ) da F( P ) e Δ Δ ( P ) Φ inf inf ˆ y Δ F ΔΔy F( P ) da F( P ) e Δ Δ ( P ) Φ sup sup ˆ y Il flusso attaveso le due facce pependicolai all'asse è petanto Φ Φ + Φ ( P ) ( P ) sup inf F ΔΔy F ΔΔy F ΔΔy ( P ) ( P ) Φ F F y Δ Δ da e ΔΔy sup inf Δ Δy ˆ da e ΔΔy ˆ Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa

4 La divegena in coodinate catesiane Calcoliamo F nei punti P e P Δ Δy Δ Δy F ( P ) F,, + y + F (,, y ) + + y y F ( P Δ Δ ) F, y, Δ (,, ) Δ Δy F y Δ y E finalmente F F( ) F( ) P P Δ Φ ΔΔyΔ Analogamente si tova pe le alte due coppie di facce Φ Δ Δ Δ y Il flusso attaveso il cubetto ΦΦ +Φ +Φ y y Φ Δ Δ Δ y y y F y y y + + Δ Δ Δ Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 4

5 La divegena in coodinate catesiane F y y y Φ + + Δ Δ Δ Notiamo che il flusso è popoionale al volume del cubetto Δ ΔΔyΔ Possiamo finalmente calcolae la divegena div F lim d k F a k lim Δ A k Φ Δ y Δ lim Δ + + y Δ y lim Δ + + y y y + + div F y y + + Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 5

6 La divegena con l'opeatoe icodiamo l'opeatoe "Nabla" ˆe ˆ ˆ + ey + e y icodiamo anche l'espessione appena tovata div F y y + + Si può petanto espimee la divegena come podotto scalae fa l'opeatoe "Nabla" e il vettoe F F ˆe F + ˆe F + ˆe F y y div F F La legge di Gauss in questa notaione E ρ Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 6

7 Esempio eifichiamo la legge di Gauss in foma diffeeniale pe un poblema che abbiamo isolto Iniiamo con il caso > ( + y + ) E 4π ( + y + ) / E ( y ) / + + 4π E Analogamente pe le alte deivate ( ) ( ) / 5/ + y + + y + 4π / E + y + + y + 4π ( ) ( ) E y y y 4π 4π E 4π E < 4π E 4π 4π Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 7

8 Esempio Otteniamo petanto E E y E y E y 4π ( + y + ) 4π 4π eniamo al caso < E 4π y E E E y 4π 4π 4π E E y E y 4π E E E y E + + y 4π E 4 π ρ Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 8

9 Alto esempio Illustaione del teoema della divegena applicato al campo F na elaione "inutile" ma divetente e istuttiva ˆe + ˆe y + ˆe y A Scegliamo come volume e supeficie quelli di una sfea di aggio con cento nell'oigine degli assi Calcoliamo l'integale di supeficie Sappiamo che l'elemento di supeficie A sulla sfea è (v. diapositiva 88 7 ) Calcoliamo la divegena di L'integale di volume è In conclusione F da div Fd F a π π d dφ sin d div d d 4 π θ θ A da div d a φsin θ θˆ ˆ d d d π π dφ sin d θ θ y y Natualmente è il volume della sfea 4 π 4π Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 9

10 Enegia del campo elettostatico Consideiamo ancoa una volta un guscio sfeico di caica e aggio icodiamo i isultati tovati La densità di caica è σ σ Il campo all'inteno è nullo 4π All'esteno ( > ) il campo è quello di una caica puntifome nell'oigine Sulla caica del guscio si esecita una E 4π pessione p veso l'esteno Supponiamo adesso di compimee unifomemente il guscio potando il suo aggio da a d Se d è infinitesimo la densità cambia di poco σ 4π ( d) 4 π ( d + ) 4π σ d + d Pe compimee bisogna fae un lavoo conto la foa, dietta veso l'esteno, dovuta alla pessione σ σ F p S p4π dw Fd dw 4π d dw d Osseviamo che la vaiaione di σ modificheebbe dw di un temine popoionale a d che può essee tascuato ˆ E p σ d Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa

11 Enegia del campo elettostatico Osseviamo che le uniche vaiaioni nel sistema sono na vaiaione della densità di caica σ che consideiamo tascuabile L'appaiione di un campo elettico nella egione d che a causa della compessione è diventata estena All'inteno E All'esteno, pe > il campo è invaiato È sempe il campo di una caica nell'oigine na vaiaione dell'enegia del sistema L'enegia d può essee pensata come Aumento dell'enegia del sistema di caiche Oppue enegia del campo elettico ceato nella egione d d σ d dw Al campo elettico è associata una densità di enegia Analisi dimensionale. E N σ σ d E 4π Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa σ 4π ˆ E d E d E E L EE NL σ σ d NLL JL E ρ p d σ E d E

12 Enegia di una sfea di caica Appofondiamo i concetti espessi con un esempio L'enegia di una sfea di caica (di aggio e caica totale ) Calcoleemo il lavoo fatto pe costuila (la sua enegia poteniale) Calcoleemo l'enegia del campo elettostatico edemo che sono uguali d Pe calcolae l'enegia di una sfea pocediamo come segue Supponiamo di avee già costuito una sfea di aggio Il suo poteniale è ( ) q( ) ( ) 4 ρ 4π π 4 ρ π Se aggiungiamo un guscio di caica dq (dall'infinito) l'enegia poteniale del sistema aumenta di d d d ( ) dq dq ρ π d ρ 4 4 Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa q ( ) q d 4π ρ 4 4 π d 4 π ρ 4π d semplificando d ρ π 4π d

13 Enegia di una sfea di caica 4 4 d ρ π d L'enegia totale si tova integando d 4 4 ρ πd 4 ρ 5 π 5 d 4π 4π ρ 4 π 5 5 ρ 4 π 54π 54π 54π L'espessione tovata appesenta il lavoo fatto pe "costuie" la sfea di caica taspotando la caica dall'infinito Ovviamente è anche l'enegia poteniale del sistema Poiché la caica genea anche un campo elettico questa può anche essee consideata come l'enegia immagainata nel campo elettico Calcoliamo adesso l'enegia del campo elettico Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa

14 Enegia del campo elettico Abbiamo calcolato il campo elettico di una sfea di caica unifome nella diapositiva 4 86 Calcoliamo l'enegia immagainata nel campo ρe ( ) d ρ E E L'integale è esteso a tutto lo spaio Calcoliamo l'integale in due pei Iniiamo con l'integale esteso allo spaio esteno alla sfea E 4 ( 4π ) > ρ d sin θdφd θd 4π dω E < 4π E 4π d > ρ E d d d 4 ( 4π ) ( π ) Ω 4π 4 d 4π Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 4

15 Enegia del campo elettico Calcoliamo adesso l'integale esteso al volume inteno alla sfea < ρ E 6 4π d sin θdφd θd < ρ E d 4π 6 4 ( π ) L'enegia totale è + E + 4π 5 ( ) dω d Ω 4 4 d 6 d d ( π ) ( 4π ) + 4π 54π E Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 5 4π π 4π E < 4π E 4π 5 4π 4π guale al valoe tovato pe l'enegia poteniale della sfea

16 Enegia del campo elettico Deiviamo la fomula dell'enegia del campo elettico nel caso geneale Abbiamo visto nella diapositiva 6 84 l'enegia di un sistema di caiche N qq i j 4π Passando a una ρ( ) ρ( ) i j icodiamo l'espessione del poteniale geneato da una densità di caica ρ φ ( ) tiliiamo la legge di Gauss in foma diffeeniale ρ E ρ( ) E φ( ) E d Si può dimostae che pe un campo scalae f e un campo vettoiale A Inseiamo nell'integale ij d d distibuione di caica ρ 4π ( ) d 4π ρ Pe campi che si annullano velocemente all'infinito il pimo integale è nullo Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 6 φ( ) ρ( ) d φ( ) ρ( ) d ( fa) f A + A f petanto ( ) φ E φe E φ ( ) E E E φ d φ d φd

17 Enegia del campo elettico ( ) E E E φ d φ d φd Infatti, utiliando il teoema della divegena ( ) d All'infinito l'elemento di φe φe da supeficie tende a S Se il podotto φe tende a eo più velocemente di l'integale è nullo ( + ) φe > φ E d a S L'espessione pe l'enegia diventa E φd E φ E E d Abbiamo così dimostato che le fomule viste in pecedena valgono pe tutti i campi elettostatici E E d ρ d ρ E E E Osseviamo che è anche l'enegia associata con la data distibuione di caiche ρ da d Ω Elettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 7